Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ
Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά συστήματα 1 Β.Ε. Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων Κινηματική Εξισώσεις Νεύτωνα Μέθοδος Lagrange Παράδειγμα: τροχός σε κύληση χωρίς ολίσθηση
Μεταβλητές ισχύος Γραμμικά Διακριτά Στοιχεία Για Μηχανικά Συστήματα Μεταφορικό σύστημα Γραμμική ταχύτητα u Δύναμη F Περιστροφικό σύστημα Γωνιακή ταχύτητα ω Ροπή Τ Ισχύς P = F u P = Τ ω Βαθμός ελευθερίας Γραμμική μετατόπιση x Γωνιακή μετατόπιση θ Μεταβλητή «Ροής» Γραμμική ταχύτητα u = x Γωνιακή ταχύτητα ω = θ Μεταβλητή «Σθένους» Δύναμη F Ροπή M Στοιχείο Αδράνειας Μάζα m F = m u Στοιχείο Ελαστικότητας Γραμμικό ελατήριο k F = k (x 1 x 2 ) Στοιχείο Απόσβεσης Γραμμικός αποσβεστ. c F = c (u 1 u 2 ) Ροπή αδράνειας Ι Τ = I ω Περιστροφίκό ελατήριο k T Τ = k T (θ 1 θ 2 ) Περιστροφ. Αποσβεστ. c T Τ = c T (ω 1 ω 2 )
Μοντελοποίηση Μέσω Συστήματος 1 Β.Ε. Επιπλέων ιστιοπλοϊκό Κίνηση γερανού Δόνηση χορδής κιθάρας
Δόνηση Χορδής Κιθάρας Βαθμός ελευθερίας Απόσταση χορδής x από θέση ισορροπίας πάνω από έναν μαγνήτη «Αδράνεια» Μάζα χορδής «Δυσκαμψία» Ελαστικότητα χορδής Προένταση χορδής Απόσβεση Τριβή στις εδράσεις χορδής Αεροδυναμική αντίσταση Εξωτερικές δυνάμεις Διέγερση χορδής από μουσικό x(t)
Κίνηση Γερανού: Κάμψη @ κατακόρυφο άξονα Βαθμός ελευθερίας Κατακόρυφη μετακίνηση x γερανού στο σημείο βάσης φορτίου «Αδράνεια» Μάζα (γερανού+αντίβαρου) «Δυσκαμψία» Ελαστικότητα συρματόσχ. στήριξης Ελαστικότητα σκελετού γερανού «Απόσβεση» Τριβή σκελετού γερανού Εξωτερικές δυνάμεις Βάρος φορτίου f(t) c m k m f(t) x(t) f(t) x(t)
Κίνηση Γερανού: Κάμψη @οριζόντιο επίπεδο Βαθμός ελευθερίας Οριζόντια μετακίνηση x γερανού στο σημείο βάσης φορτίου «Αδράνεια» Αδράνεια (γερανού+ αντίβαρου) «Δυσκαμψία» Ελαστικότητα σκελετού γερανού «Απόσβεση» Τριβή σκελετού γερανού Εξωτερικές δυνάμεις Ροπή περιστροφής γερανού M(t) κάτωψη Τ(t) m k f(t) m x(t) c x(t)
Κίνηση Γερανού: Εγκάρσια ταλάντωση φορτίου Βαθμός ελευθερίας Γωνία θ φορτίου ως προς κατακόρυφο άξονα «Αδράνεια» Ι(m,L) λόγω μάζας φορτίου m «Δυσκαμψία» Δύναμη επαναφοράς λόγω βάρους του φορτίου «Απόσβεση» Τριβή στην έδραση σχοινιών Εξωτερικές δυνάμεις Δύναμη λόγω μετακίνησης γερανού θ(t) Πλάγια όψη V(θ) = mgz = mgl(1 cos (θ)) V θ = mgl sin (θ) mglθ L m
Κίνηση Ιστιοπλοϊκού: Εμπρός κίνηση Βαθμός ελευθερίας Εμπρος μετατόπιση x «Αδράνεια» Μάζα πλοίου «Δυσκαμψία» Δεν υπάρχει «Απόσβεση» Τριβή νερού-πλοίου Εξωτερικές δυνάμεις Πρόωση από πανιά, έλικα x(t)
Κίνηση Ιστιοπλοϊκού: Κλίση Βαθμός ελευθερίας Κλίση θ ως προς κατακόρυφο άξονα «Αδράνεια» Αδράνεια πλοίου «Δυσκαμψία» Δύναμη επαναφοράς λόγω άνωσης «Απόσβεση» Τριβή νερού-πλοίου Εξωτερικές δυνάμεις Πρόωση από πανιά
Κίνηση Ιστιοπλοϊκού: Κατακόρυφη Κίνηση Βαθμός ελευθερίας Κατακόρυφη μετατόπιση x από σημείο ισσοροπίας βαρύτητας-άνωσης «Αδράνεια» Μάζα πλοίου «Δυσκαμψία» Δύναμη επαναφοράς λόγω άνωσης «Απόσβεση» Τριβή νερού-πλοίου Εξωτερικές δυνάμεις Κύμματα, αέρας F k = m + ρ W V g = m ρ W A L 0 x g = ρ W A g x
Γραμμικά Ελατήρια σε Σειρά/Παράλληλα Ελατήρια σε σειρά Κοινή δυναμη k1 k2 k se m Κυριαρχεί η πιο εύκαμπτη m 1 k se = 1 k 1 + 1 k 2 Ελατήρια παράλληλα Κοινή μετατόπιση Κυριαρχεί η πιο δύσκαμπτη k1 k2 k1 k2 m m k pa m k pa = k 1 + k 2
Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας 1. Αναγνώριση διακριτών στοιχείων Αδράνεια, δυσκαμψία, απόσβεση, εξωτερικές δυνάμεις 2. Επιλογή βαθμών ελευθερίας q Περιγράφουν πλήρως την κινηματική του συστήματος Στρατηγική επιλογή Αναγνώριση και απαληφή περιορισμών 3. Υπολογισμός κινηματικών παραμέτρων Θέσεις Ταχύτητες, γωνιακές ταχύτητες 4. Κατάστρωση δυναμικών εξισώσεων Εξισώσεις Νεύτωνα Μέθοδος Lagrange
Κινηματική 1. Υπολογισμός συντεταγμένων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των Β.Ε. q Σημειακή μάζα Θέση r i (q) Στερεό σώμα Κέντρο βάρους r G (q) Διεύθυνση θ q Ελατήρια/αποσβεστήρες θέσεις r i (q) των ακροδεκτών κάθε ελατηρίου/αποσβεστήρα Εξωτερικές δυνάμεις Θέσεις r i (q) όπου ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις
Κινηματική 2. Υπολογισμός των γραμμικών/γωνιακών ταχυτήτων θέσεων ενδιαφέροντος ως συνάρτηση των q και q Η ταχύτητα u i (q, q ) της θέσης r i (q) μπορεί να γραφεί μέσω ενός Ιανωβιανoύ πινάκων J i (q): u i = dr i(q) dt = J i (q) q όπου J i q = dr i(q) dq Ιακωβιανός πίνακας της θέσης r i (q) ως προς τους Β.Ε. q
Κινηματική Υπολογισμός Ιακωβιανών πινάκων ταχυτήτων ενδιαφέροντος Ταχύτητα κέντρου βάρους: u G = dr G dt = J G(q) q Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 3 διαστάσεις: Γωνιακή ταχύτητα ω δεν είναι παράγωγος κάποιας γωνίας! ω = J Τ (q) q Γωνιακή ταχύτητα στερεού σώματος σε 2 διαστάσεις: ω = θ = J Τ (q) q
Εξισώσεις Νεύτωνα Κίνηση 3D κίνηση 1D κίνηση Μεταφορική Περιστροφική ΣF = L = m du G dt ΣΤ G = H G = I G dω dt ΣF = m x G ΣΤ G = I θ Σε κάθε στερεό σώμα ασκούνται Ν Force δυνάμεις F i στα σημεία r i, και Ν Torque ροπές Τ i. Αυτές περιλαμβάνουν: Εξωτερικές δυνάμεις Δυνάμεις/ροπές λόγω ελαστικότητας: F i (q), Τ i (q) Δυνάμεις/ροπές λόγω απόσβεσης: F i q, Τ i q Εσωτερικές δυνάμεις και αντιδράσεις
Εξισώσεις Νεύτωνα Έστω ότι σε ένα σώμα ασκούνται Ν Force δυνάμεις F i στα σημεία r i, και Ν Torque ροπές Τ i. Συνησταμένη δυνάμεων N Force ΣF = F i i=1 Συνησταμένη ροπών ως προς κέντρο μάζας N Force N Torque ΣT G = (r i r G ) F i i=1 + T i i=1
Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Μέσω Εξισώσεων Νεύτωνα 1. Υπολογισμός u G, ω παραγωγίζοντας τις σχέσεις u G = J G q q, ω = J Τ (q) q 2. Υπολογισμός συνιστωσών δυνάμεων Έφραση «ελαστικών» δυνάμεων ως συνάρτηση του q Έφραση δυνάμεων απόσβεσης ως συνάρτηση του q 3. Υπολογισμός συνισταμένων ΣF και ΣT G. 4. Αντικατάσταση u G,ω, ΣF, ΣT G στους νόμους Νεύτωνα ΣF = mu G ΣΤ G = I G ω 5. Επίλυση και αντικατάσταση εσωτερικών δυνάμεων & αντιδράσεων.
Μέθοδος Lagrange Η δυναμική εξίσωση για τον j-οστό Β.Ε. προκύπτει ως: d dt L q j L q j = ξ j j = 1,2,, N Συνάρτηση Langrange γενικευμένη δύναμη Β.Ε. j L = T(q, q ) V q Κινητική ενέργεια συστήματος N Force ξ j = ( r i ) T F q i j i=1 Δυναμική ενέργεια συστήματος N Torque + ( ω i ) T Τ q i j i=1 j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού J i (q) της θέσης r i (q) όπου ασκείται η δύναμη F i ως προς τους Β.Ε. q j-ιοστή στήλη του Ιακωβιανού πίνακα J Τ (q) της γωνιακής ταχύτητας του σώματος που ασκείται η ροπή Τ i
Μέθοδος Lagrange 1. Η κινητική ενέργεια Τ q, q ενός συστήματος ισούται i με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών Τ q, q όλων των στοιχείων αδράνειας i Τ q, q = Τ(q, q ) i, i T(q, q ) = 1 2 ( im i T u G i ug + i ω T i I 2. Η Δυναμική ενέργεια V q ενός συστήματος ισούται με i το άθροισμα των δυναμικών ενεργειών V q όλων των στοιχείων ελαστικότητας/δυσκαμψίας V q = V linear q +V gravity q = i { Vlinear(q)} + i { V i i ω) i gravity(q)} Γραμμικά ελατήρια Βαρύτητα iv linear (q) = 1 2 ( ik i Δx T iv gravity (q) = m g z i (q) i Δx )
Μέθοδος Lagrange Επειδή T q, q, V(q), οι εξισώσεις Langrange γίνονται: d dt T q, q q j T q, q q j + V q q j = ξ j, j = 1,2,, N Μεθοδολογία: για κάθε βαθμό ελευθερίας q j : 1. Πρώτος όρος: παραγώγηση T q, q ως προς q j. Παραγώγηση αποτελέσματος ως προς χρόνο t. 2. Δεύτερος όρος: παραγώγηση T q, q ως προς q j. 3. Τρίτος όρος: παραγώγηση V q, q ως προς q j. 4. Τέταρτος όρος: άθροισμα εσωτερικών γινόμένων των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών J i (q) με τις F i και των j-ιοστών στήλων των ιακωβιανών J Τ (q) με τις Τ i.
Δυνάμεις Απόσβεσης Δύναμη σε γραμμικό αποσβεστήρα u 1 u 2 u 1 u 2 m 1 m 2 m 1 f c f c m 2 c f c = c (u 1 u 2 ) Αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις ξ c = J 1 T ( f c ) + J 2 T f c = (J 1 T J 2 T ) c (J 1 J 2 ) q Ιακωβιανoί πίνακες των θέσεων r 1 (q) και r 2 (q) ως προς τους Β.Ε. q
Κύλιση Τροχού Χωρίς Ολίσθηση x(t) k R,m,Ι f(t) c
Κύλιση Τροχού Χωρίς Ολίσθηση 1 Βαθμός ελευθερίας: επίπεδη κίνηση στερεού σώματος περιγράφεται από 3 Β.Ε. (x, y, θ) 2 περιορισμοί Κίνηση στο οριζόντιο επίπεδο y = 0 όχι ολίσθηση x = R θ Άρα τελικα Ν = 3 2 = 1 βαθμός ελευθερίας Επιλογή ως Β.Ε. της οριζόντιας θέσης του κέντρου τροχού q = x
Κινηματική: θέσεις/διευθύνσεις Αδράνεια στερεού σώματος: Θέση κέντρου βάρους x G = x Διεύθυνση θ = 1 x R Ελατήριο/αποσβεστήρας Αριστερό άκρο έχει μηδενική ταχύτητα και δεν επιδρά Θέση δεξί άκρου x 2 = x G = x Εξωτερική δύναμη Ασκείται στο κέντρο βάρους x F = x G = x
Κινηματική: ταχύτητες Ιακωβιανοί πίνακες θέσης Ιακωβιανοί είναι 1 1 επειδή οι θέσεις περιγράφονται σε 1 διάσταση (x) και το σύστημα έχει 1 B.E. Θέση κέντρου βάρους/δεξί άκρο ελατηρίου/ αποσβεστήρα/εξωτερικής δύναμης: x G = x 2 = x F = x J G = J 2 = J F = 1 Ιακωβιανοί πίνακες διεύθυνσης Διεύθυνση τροχού: θ = 1 R x J T = 1 R
Επίλυση μέσω εξισώσεων Νεύτωνα x(t) F(t) Εξωτερική δύναμη F k F c F rol F(t) F k = k x F c = c x F rol Δύναμη ελατηρίου Δύναμη αποσβεστήρα Δύναμη κύλησης Αντικαθιστώ στις εξισώσεις Νεύτωνα: ΣF = m x G F t + F k + F c F rol = m x m x = c x k x + F t F rol [1] ΣΤ G = I θ R F rol = I θ = I R x Λύνωντας την [2] ως προς την αντίδραση F rol και αντικαθιστώντας στην [1]: (m + I R2) x + c x + k x = F t [2]
Επίλυση μέσω Μεθόδου Lagrange Κινητική ενέργεια: T = 1 2 mx G 2 + 1 2 Iθ 2 = 1 2 mx 2 + 1 2 I(x R )2 = 1 I (m + 2 R 2)x 2 Δυναμική ενέργεια: V = 1 2 kx 2 2 = 1 2 kx2 Εξωτερικές δυνάμεις (όχι αδράνεια/ελαστικότητα) F t + F c = F t c x Ιακωβιανός για την θέση που ασκούνται οι εξωτερικές δυνάμεις J = 1
Επίλυση μέσω Μεθόδου Lagrange d dt T q, q q j T q, q q j + V q q j = ξ j, j = 1,2,, N Σε αυτή την περίπτωση N=1. Μοναδικός Β.Ε. το q = x d dt T q j = d dt T x = d dt T x = d dt (m + I R 2)x I = (m + R2) x Οπότε: T = T q j x = 0 V = V q j x = kx N Force ξ j = ( r i ) T F q i j i=1 = 1 (F t c x ) = F t c x (m + I R2) x + c x + k x = F t
Παράρτημα
Παράρτημα: Ιακωνιανός Πίνακας Παράγωγος ενός N 1 διανύσματος r ως προς M 1 διάνυσμα q είναι ο N M πίνακας J (Ιακωβιανός) Τα στοιχεία του r είναι συνάρτηση του q Το στοιχείο J(i, j) είναι η μερική παράγωγος του i-οστού στοιχείου του r ως προς το j-οστό στοιχείο του q r q = r 1 q f N q r 1 (q) q 1 r 1 (q) q M q = q 1 q M J = dr(q) dq = r N (q) q 1 r i (q) q j r N (q) q M
Παράρτημα: Ιακωνιανός Πίνακας Στην δυναμική μηχανικών συστημάτων: r είναι η θέση r i ενός σημείου ενδιαφέροντος i και q είναι οι Β.Ε. Η αντίστοιχη ταχύτητα r i μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του q με μέσω του J i (κανόνας αλυσίδας) u i = r i = dr i(q) dt = r i (q) q dq dt = J i(q) q O Ιακωβιανός πίνακας J i (q) περιγράφει πως η ταχύτητα r i της θέσης i εξαρτάται από την χρονική μεταβολή των Β.Ε. q.