Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές"

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Αναλυτικός Υπολογισμός Χρονικής Απόκρισης Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Ανάλυση απόκρισης συχνότητας Απόκριση στο πεδίο συχνότητας Μοντέλο Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Δυναμικές εξισώσεις Ιδιοανυσματική Ανάλυση Αναλυτικός Υπολ. Απόκρισης Απόκριση στο πεδίο χρόνου Προσομοίωση

4 Περιεχόμενα Πρόβλημα Αρχικών Συνθηκών σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης και 2 ης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Μηδενικές Ιδιοτιμές Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης Παραδείγματα

5 Το μαθηματικό πρόβλημα που θα λυθεί Πρόβλημα Αρχικών Συνθηκών σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης και 2 ης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές

6 Δυναμικές Εξισωσεις: Συστήματα ΣΔΕ Συνήθως ένα σύστημα περιγράφεται από Ν > 1 Β.Ε. ή ισοδύναμα από S > 1 Μ.Κ. Οι δυναμικές εξισώσεις που το περιγράφουν είναι ντότε συστήματα ΣΔΕ με σταθερούς συντελεστές Ως προς τους Ν Β.Ε. q είναι Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης M q + C q + K q = G f(t) Ως προς τις Μ.Κ. είναι S ΣΔΕ 1 ης τάξης x = Α x + Β f(t) * Και στις δύο περιπτώσεις τα μητρώα M, Κ, C, G, A, B περιέχουν μόνο σταθερούς συντελεστές Πρόβλημα/Ερώτημα Μοντελοποίηση Μοντέλο Κατάστρωση Δυν. Εξισώσεων Γραμμικοποίηση Σύστημα Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων

7 Γενίκευση Δυναμικές Εξισωσεις: Συστήματα ΣΔΕ ΣΔΕ 1 ης τάξης τ x + x = f(t) ΣΔΕ 2 ης τάξης m q + c q + k q = f(t) Σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης x = Α x + Β f(t) Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης M q + C q + K q = G f(t)

8 Συστήματα Ενδιαφέροντος: Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης Τα γραμμικά συστήματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς τους Ν Β.Ε. q M q + C q + K q = G f(t) Χρησιμοποιούνται κυρίως για την μοντελοποίηση κατασκευών Το σύστημα ΣΔΕ προκύπτει είτε από μοντέλο διακριτών στοιχείων είτε από την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Ο αριθμός των Β.Ε. μπορεί να είναι πολύ μεγάλος (π.χ. δεκάδες χιλιάδες) Στα συστήματα αυτά η απόσβεση είναι μικρή και πολλές φορές δύσκολο να υπολογιστεί με ακρίβεια. Για να απλοποιηθεί η ανάλυση, το μητρώο C πολλές φορές αμελείται M q + K q = G f(t)

9 Συστήματα Ενδιαφέροντος: Σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης Τα γραμμικά συστήματα S ΣΔΕ 1 ης τάξης ως προς τις S M.K. x x = Α x + Β f(t) Χρησιμοποιούνται για την μοντελοποίηση συστημάτων με έντονη απόσβεση ή συστημάτων που αποτελούνται από υποσυστήματα διαφορετικού είδους Το σύστημα ΣΔΕ προκύπτει συνήθως από ένα μοντέλο διακριτών στοιχείων Ένα σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης μπορεί να μετατραπεί σε σύστημα ΣΔΕ 1 ης τάξης. Αυτό όμως δεν είναι απαραίτητο και συνήθως σε μοντέλα κατασκευών δεν γίνεται. Σε μηχανικά συστήματα ο πίνακας Α περιέχει τις συνεισφορές των αδρανειακών, ελαστικών δυνάμεων και των δυνάμεων απόσβεσης

10 ΠΑΣ σε Συστήματα Γραμμικών ΣΔΕ Πρόβλημα αρχικών συνθηκών (ΠΑΣ) σε Συστήματα Γραμμικών ΣΔΕ 2 ης τάξης: Υπολογίστε την απόκριση των Ν Μ.Κ. q(t) σε διέγερση f(t) όταν τα q(t) και f(t) συνδέονται μέσω συστήματος Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης: M q + C q + K q = G f(t) και οι αρχικές συνθήκες q(0) και q(0) είναι γνωστές ΠΑΣ σε Συστήματα Γραμμικών ΣΔΕ 1 ης τάξης: Υπολογίστε την απόκριση των S Μ.Κ. x(t) σε διέγερση f(t) όταν τα x(t) και f(t) συνδέονται μέσω συστήματος S ΣΔΕ 1 ης τάξης: x = Α x + Β f(t) και οι αρχικές συνθήκες x(0) είναι γνωστές

11 Γενική Μορφή Λύσης Η συνολική απόκριση είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης: Συστηματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης ως προς τους Β.Ε. q(t): q t = q h t + q p t Συστηματα S ΣΔΕ 1 ης τάξης ως προς τις Μ.Κ. x(t): x t = x h t + x p t

12 Γενική Μορφή Λύσης Συνολική Λύση: q t = q h t + q p t Ομογενής λύση Η μορφή της ομογενούς λύσης εξαρτάται ΜΟΝΟ από το σύστημα και περιγράφει το πώς αποκρίνεται το σύστημα σε Α.Σ. Οι παράμετροι της ομογενούς λύσης εξαρτώνται από την ειδική λύση (αν υπάρχει) και τις συγκεκριμένες Α.Σ. Ειδική λύση Η μορφή της ειδικής λύσης εξαρτάται τόσο από το σύστημα όσο και από την μορφή της διέγερσης f(t) Οι παράμετροι της ειδικής λύσης είναι τέτοιοι ώστε η ειδική λύση να ικανοποιεί την ΣΔΕ. Δεν εξαρτώνται από Α.Σ.

13 Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Οι ιδιότητες των γραμμικών ΣΔΕ (επαλληλία, χρονική ανεξαρτησία, παραγώγηση και ολοκλήρωση) ισχύουν για τα συστήματα ΣΔΕ 1 ης & 2 ης τάξης Παράδειγμα: H συνολική απόκριση q(t) σε αρχικές διεγέρσεις (ΑΣ) και εξωτερικές διεγέρσεις (ΕΔ) είναι το άθροισμα της απόκρισης σε Α.Σ. q ΑΣ t και της απόκρισης σε ΕΔ q ΕΔ t q(t) = q ΑΣ t + q ΕΔ (t) Μ q + C q(0) = q 0 q + K q = 0 q(0) = q 0 q ΑΣ (t) Μ q + C q + K q = G f(t) q(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 Μ q + C q(0) = 0 q + K q = G f(t) q(0) = 0 q ΕΔ (t)

14 Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Αντίστοιχα, οι ιδιότητες των γραμμικών συστημάτων ισχύουν και για την επίλυση συστημάτων ΣΔΕ 1 ης τάξης: x(t) = x ΑΣ t + x ΕΔ (t) x = A x + B f(t) x(0) = x 0 x = A x x(0) = x 0 x = A x + B f(t) x(0) = 0 x ΑΣ (t) x ΕΔ (t) x(t)

15 Ξεκινάμε από την απλούστερη περίπτωση όπου η απόσβεση αμελείται Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Χωρίς Απόσβεση

16 ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ Θα υπολογιστεί η συνολική λύση q t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν Μ q + K q = G f(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 q(t) Από θεωρεία ΣΔΕ, η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς q h t και της ειδικής λύσης q p t : q t = q h t + q p t Προς το παρών μελετούνται συστήματα χωρίς απόσβεση (C = 0, βλέπε παραπάνω) που δεν έχουν μηδενικές ιδιοτιμές!

17 Σύνοψη Μεθοδολογίας Λύσης ΠΑΣ σε Συστήματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης 1. Επίλυση του προβλήματος ιδιοτιμών/ιδιοανυσμάτων Κατάστρωση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου υπολογισμός Ν ζευγαριών ιδιοτιμών (συνολικά 2Ν ιδιοτιμών λ i ) Υπολογισμός 2Ν ιδιοανυσμάτων που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές 2. Με βάση τις ιδιοτιμές λ i και την διέγερση f t επιλέγεται η κατάλληλη μορφή της ειδικής λύσης q p t, η οποία αντικαθίσταται στην ΣΔΕ και υπολογίζονται οι παράμετροι της 3. Οι 2N παράμετροι της ομογενούς q h t υπολογίζονται έτσι ώστε η συνολική λύση q t = q h t + q p t να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: q 0, q(0) * Τα 3 βήματα αυτά ισχύουν ανεξάρτητα από είδος ιδιοτιμών!

18 Ομογενής Λύση Για το αντίστοιχο ομογενές σύστημα ΣΔΕ: Μ q + K q = 0 Αναζητείται λύση της μορφής q t = φ e λ t Όπου λ είναι μια ιδιοτιμή και φ είναι το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα. Αντικαθιστώντας την λύση στo σύστημα ΣΔΕ προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: (λ 2 M + K) φ = 0 Επειδή αναζητούνται μη-τετριμένα διανύσματα φ, οι ιδιοτιμές πρέπει να ικανοποιούν την σχέση λ 2 M + K = 0

19 Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοτιμών Η ορίζουσα λ 2 M + K = 0 δίνει το χαρακτηριστικό πολυόνυμο τάξης 2Ν ως προς λ. Η λύση της εξίσωσης δίνει Ν ζεύγη φανταστικών ιδιοτιμών: λ = ± i ωj, i = 1, 2,, N όπου i ω είναι η i-ιοστή ιδιοσυχνότητα του συστήματος Επομένως, ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση έχει Ν ζευγάρια ιδιοτιμών ± i ωj (συνολικά 2Ν ιδιοτιμές λ i ) Γενίκευση του συστήματος 1 Β.Ε. χωρίς απόσβεση που έχει ιδιοτιμές = ±ωj

20 Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοανυσμάτων Για κάθε ιδιοτιμή λ αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα φ, το οποίο υπολογίζεται από την σχέση (λ 2 M + K) φ = 0 Σε συστήματα χωρίς απόσβεση, τα ιδιοανύσματα για τις δύο ιδιοτιμές λ = ± i ω j που αντιστοιχούν σε μια ιδιοσυχνότητα i ω είναι κοινά, συμβολίζονται με i φ και υπολογίζονται από το σύστημα εξισώσεων: ( i ω 2 M + K) i φ = 0 Επομένως, η παραπάνω σχέση δίνει το κοινό ιδιοάνυσμα φ για το ζεύγος ιδιοτιμών που αντιστοιχεί στην i-ιοστή ιδιοσυχνότητα i ω

21 Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα συνιστωσών από 2Ν ιδιοανυσμάτα/ιδιοτιμές Σχόλια q h t = N i=1 {c i i φ e j i ω t + c i i φ e j i ω t } Μιγαδικός συζηγής Γενικά, οι άγνωστες σταθερές c i είναι μιγαδικοί αριθμοί. Όμως, επειδή τα στοιχεία της q h (t) είναι πραγματικοί αριθμοί, ο συντελεστής c i για την ιδιοτιμή j i ω πρέπει να είναι ο μιγαδικός συζηγής του συντελεστή c i για την μιγαδική συζηγή ιδιοτιμή j i ω Οι Ν άγνωστες μιγαδικες σταθερές c i μπορούν να βρεθούν από τις 2Ν Α.Σ.

22 Ομογενής Λύση Για να αποφύγουμε τους μιγαδικούς εκθέτες, η ομογενής απόκριση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως: q h t = N i=1 {c i i φ cos( i ω t + φ i )} = Φ diag(cos( i ω t + φ i )) c όπου Φ είναι το Ν Ν μητρώο ιδιοανυσμάτων, και diag cos i ω t + φ i = cos 1 ω t + φ 1 Φ = 1 φ Ν φ c = c 1 c N T cos N ω t + φ N Οι παραπάνω 2Ν άγνωστες σταθερές της ομογενούς (c i, φ i ) είναι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ αριθμοί που θα υπολογιστούν από τις 2Ν Α.Σ.

23 Ομογενής Λύση Iσοδύναμα, η ομογενής απόκριση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα ως: q h t = N i=1 { i φ (c i cos i ω t + d i sin i ω t } = = Φ (diag(cos( i ω t)) c + diag(sin( i ω t)) d) Όπου Φ = 1 φ Ν φ είναι το Ν Ν μητρώο ιδιοανυσμάτων, και cos 1 ω t diag cos ω t = cos N ω t c = c 1 c N T d = d 1 d N T Οι παραπάνω 2Ν άγνωστες σταθερές της ομογενούς (c i, d i ) είναι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ αριθμοί που θα υπολογιστούν από τις 2Ν Α.Σ.

24 Απόκριση q ΑΣ t σε Αρχικές Συνθήκες Όταν f t = 0 (δεν υπάρχει εξωτερική διέγερση) τότε N q t q ΑΣ t = q h t = {c i i φ cos( i ω t + φ i )} i=1 Οι 2Ν άγνωστες πραγματικές σταθερές c i, φ i θα υπολογιστούν από τις 2Ν Α.Σ.: N q 0 = {c i i φ cos(φ i )} i=1 N q 0 = {c i i ω i φ sin(φ i )} i=1

25 Απόκριση q ΑΣ t σε Αρχικές Συνθήκες Όταν f t = 0 (δεν υπάρχει εξωτερική διέγερση) και q 0 = 0 τότε q t q ΑΣ t = q h t = Φ diag(cos( i ω t)) Φ 1 q 0 Αν τα ιδιοανύσματα έχουν κανονικοποιηθεί ώστε Φ Τ Φ = Ι, (βλέπε επόμενη ενότητα) τότε: q t q ΑΣ t = q h t = Φ diag(cos( i ω t)) Φ Τ q 0

26 Ομογενής Λύση: Σημασία Ιδιοτιμών και Ιδιοανυσμάτων Σε ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης χωρίς απόσβεση, οι 2Ν ιδιοτιμές λ i είναι φανταστικές και προκύπτουν σαν Ν ζευγάρια ± i ω j ΔΕΝ εξαρτώνται από την διέγερση Περιγράφουν πως το σύστημα αποκρίνεται ΧΡΟΝΙΚΑ σε Α.Σ Το σύστημα θα κάνει ταλάντωση χωρίς απόσβεση Τα ιδιοανύσματα i φ περιγράφουν το σχετικό εύρος κίνησης των Ν Β.Ε. όταν ταλαντώνονται με τις ιδιοτιμές ± i ωj Περισσότερα στην επόμενη ενότητα

27 Ειδική Λύση Η ειδική λύση q p t είναι μη μηδενική όταν f t 0 Η μορφή της ειδικής λύσης q p t εξαρτάται από Την μορφή της διέγερσης f t Τις ιδιοτιμές λ i του συστήματος Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης Βλέπε μάθημα ΣΔΕ (Κεφάλαιο 6, βιβλίο Σταυρακάκη) Εδώ, ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης λύνεται αναλυτικά για δύο μοντέλα διεγέρσεων: βηματική, αρμονική

28 Ειδική Λύση: Μέθοδος Προσδιορισμού Σταθερών 1. Η ειδική λύση q p t που αναζητείται εξαρτάται από την μορφή της διέγερσης f t και την πολλαπλότητα κ μιας κρίσιμης ιδιοτιμής Λ Αν το σύστημα ΣΔΕ δεν έχει σαν ιδιοτιμή την τιμή Λ τότε κ = 0 Όνομα διέγερσης Μορφή διέγερσης f(t) Κρίσιμη Ιδιοτιμή Λ Ειδική Λύση y p t Βηματική u s (t) 0 Γ t κ u s (t) Εκθετική e a t u s (t) α Γ t κ e a t u s (t) Αρμονική cos(ω t + φ) u s (t) ±Ω j t κ Γ cos Ω t + φ + Δ sin Ω t + φ u s (t) Αποσβένουσα Αρμονική e a t cos(ω t + φ) u s (t) α ± Ω j e a t t κ Γ cos Ω t + φ + Δ sin Ω t + φ u s (t)

29 Ειδική Λύση: Μέθοδος Προσδιορισμού Σταθερών 2. Οι παράμετροι της ειδικής λύσης (Γ και Δ) υπολογίζονται αντικαθιστώντας την ειδική λύση q p t στο σύστημα ΣΔΕ και λύνοντας τις εξισώσεις που προκύπτουν ως προς τα Γ και Δ Για τον υπολογισμό των παραμέτρων της ειδικής λύσης αμελείται η ομογενής λύση

30 Συνολική Απόκριση Με βάση τα παραπάνω, η συνολική απόκριση είναι: q t = q h t + q p t = Φ diag(cos( i ω t + φ i )) c + q p t Η ειδική λύση σε αυτό το σημείο είναι πλήρως γνωστή Οι 2Ν παράμετροι c i και φ i της ομογενούς υπολογίζονται από τις 2Ν Α.Σ. q 0 = Φ diag(cos(φ i )) c + q p 0 q 0 = Φ diag( i ω sin(φ i )) c + q p 0

31 Απόκριση q ΕΔ t σε Βηματική Διέγερση Στην περίπτωση που f t = u s (t) και q 0 = q 0 = 0, αν το σύστημα των Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης δεν έχει μηδενική ιδιοτιμή, αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = Γ t 0 u s t = Γ u s t Αντικαθιστώντας στο σύστημα ΣΔΕ, για t 0 προκύπτει ότι Μ q p + K q p = G f(t) Μ 0 + K Γ = G 1 Γ = K 1 G Επομένως η ειδική λύση είναι q p t = K 1 G u s t

32 Απόκριση q ΕΔ t σε Βηματική Διέγερση Η συνολική λύση θα είναι q t = Φ diag(cos( i ω t + φ i )) c + K 1 G u s t Οι άγνωστες παράμετροι c i, φ i υπολογίζονται από τις 2Ν Α.Σ.: q 0 = q 0 = 0 Αντικαθιστώντας στην συνολική λύση προκύπτει: φ i = 0 c = Φ Τ K 1 G Οπότε η συνολική απόκριση σε βηματική είσοδο είναι: q t = q ΕΔ t = (Ι Φ diag cos i ω t Φ Τ ) K 1 G

33 Απόκριση q ΕΔ t σε Κρουστική Διέγερση Στην περίπτωση q 0 = q 0 = 0, η απόκριση h t του συστήματος ΣΔΕ σε κρουστική διέγερση f t = δ(t) προκύπτει (λόγω ιδιότητας παραγώγησης) παραγωγίζοντας την απόκριση σε βηματική διέγερση για μηδενικές Α.Σ.: h t = d dt (Ι Φ diag cos i ω t Φ Τ ) K 1 G h t = Φ diag i ω sin i ω t Φ Τ K 1 G

34 Απόκριση q ΕΔ t σε Αρμονική Διέγερση Στην περίπτωση που f t = cos Ω t και q 0 = q 0 = 0, αν το σύστημα των Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης δεν έχει ιδιοτιμές τα ±Ωj, τότε αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = Γ cos Ω t + Δ sin Ω t u s (t) Αντικαθιστώντας στο σύστημα ΣΔΕ, για t 0 προκύπτει ότι Μ q p + K q p = G f(t) M Ω 2 Γ + Κ Γ G cos Ω t + M Ω 2 Δ + Κ Δ sin Ω t = 0 M Ω2 Γ + Κ Γ G = 0 M Ω 2 Δ + Κ Δ = 0 Γ = ( Ω2 M + K) 1 G Δ = 0 Επομένως η ειδική λύση είναι q p t = ( Ω 2 M + K) 1 G cos(ω t) u s t

35 Απόκριση q ΕΔ t σε Αρμονική Διέγερση Η συνολική λύση θα είναι q t = Φ (diag(cos( i ω t)) c + diag(sin( i ω t)) d) +( Ω 2 M + K) 1 G cos(ω t) u s t Οι άγνωστες παράμετροι c i, d i υπολογίζονται από τις 2Ν Α.Σ.: q 0 = 0 c = Φ 1 ( Ω 2 M + K) 1 G q 0 = 0 d = 0 Οπότε η συνολική απόκριση σε αρμονική διέγερση (μηδέν Α.Σ.) είναι: q t = q ΕΔ t = (Ι cos(ω t) Φ diag(cos( i ω t)) Φ 1 ) ( Ω 2 M + K) 1 G

36 Κίνηση στερεού σώματος!!!! Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Μηδενικές Ιδιοτιμές

37 Φυσικό Νόημα Μηδενικής Ιδιοτιμής Μηδενικές ιδιοτιμές περιγράφουν κίνηση στερεού σώματος: Μεταφορική ή περιστροφική κίνηση που εκτελούν όλες οι αδράνειες του συστήματος σαν να ήταν ένα στερεό σώμα Παράδειγμα 1: στο αριστερό μεταφορικό μηχανικό σύστημα, μια κίνηση όπου οι δύο μάζες κινούνται ως προς το αδρανειακό ΣΣ με x 1 = x 2 είναι κίνηση στερεού σώματος. Το ελατήριο k μένει απαραμόρφωτο και δεν συμμετέχει Y Χ m 1 x 1 k m 2 x 2 θ 1 θ 2 Ι 1 Ι 2 Παράδειγμα 2: στο δεξί περιστροφικό μηχανικό σύστημα, μια κίνηση όπου οι δύο αδράνειες περιστρέφονται με την ίδια γωνία θ 1 = θ 2 είναι κίνηση στερεού σώματος. Το στρεπτικό ελατήριο k Τ μένει απαραμόρφωτο και δεν συμμετέχει k Τ

38 Μηδενικές Ιδιοτιμές σε Μηχανικά Συστήματα Χωρίς Απόσβεση Σε μηχανικά συστήματα που δεν συνδέονται με το αδρανειακό σ.σ. μέσω στοιχείων ελαστικότητας ή απόσβεσης, υπάρχουν μηδενικές ιδιοσυχνότητες i ω = 0 οι οποίες αντιστοιχούν σε ζευγάρια μηδενικών ιδιοτιμών λ = 0. Ένα ζευγάρι μηδενικών ιδιοτιμών (ισοδύναμα μια μηδενική ιδιοσυχνότητα) για κάθε μεταφορική ή περιστροφική κατεύθυνση που μπορεί να κάνει κίνηση στερεού σώματος x 1 x 2 x 1 x 2 Y Χ m 1 k m 2 Y Χ m 1 k m 2 k Το σύστημα των δύο αδρανειών δεν συνδέεται με το αδρανειακό ΣΣ μέσω κάποιας ελαστηκότητας ή αδράνειας μπορεί να κάνει κίνηση στερεού σώματος στον άξονα X θα έχει 1 ζευγάρι μηδενικών ιδιοτιμών Το σύστημα των δύο αδρανειών συνδέεται με το αδρανειακό ΣΣ μέσω ελαστηκότητας ΔΕΝ μπορεί να κάνει κίνηση στερεού σώμαρτος ΔΕΝ έχει ζευγάρι μηδενικών ιδιοτιμών

39 Κίνηση Στερεού Σώματος 39

40 ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης με Μηδενικές Ιδιοτιμές Θα υπολογιστεί η συνολική λύση q t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν Μ q + K q = G f(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 q(t) H συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς q h t και της ειδικής λύσης q p t : q t = q h t + q p t Χαρακτηριστικό γνώρισμα των συστημάτων αυτών είναι ότι ο συμμετρικός πίνακας K δεν είναι αναστρέψιμος: Κ = 0 rank Κ < N

41 Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοτιμών Το χαρακτηριστικό πολυόνυμο από όπου υπολογίζονται οι ιδιοτιμές/ιδιοσυχνότητες είναι πάλι λ 2 M + K = 0 Η λύση της εξίσωσης δίνει Ν Ν ζεύγη φανταστικών ιδιοτιμών λ = ± i ω j, όπου i ω είναι η i-ιοστή (μημηδενική) ιδιοσυχνότητα του συστήματος Ν Μ ζεύγη μηδενικών ιδιοτιμών λ = 0 που αντιστοιχούν σε Ν Μ μηδενικές ιδιοσυχνότητες i ω = 0 Σε αυτό το μάθημα θα ασχοληθούμε μόνο με την περίπτωση Ν Μ = 1 Συνολικά για ένα σύστημα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης Ν Ν + Ν Μ = Ν

42 Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοανυσμάτων Για κάθε ιδιοτιμή λ αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα φ, το οποίο υπολογίζεται από την σχέση (λ 2 M + K) φ = 0 Όπως αναλύθηκε παραπάνω για κάθε ζεύγος ιδιοτιμών που αντιστοιχεί στην i-ιοστή ιδιοσυχνότητα i ω το αντίστοιχο κοινό ιδιοάνυσμα υπολογίζεται ως ( i ω 2 M + K) i φ = 0 Παρόμοια, για κάθε ζεύγος μηδενικών ιδιοτιμών που αντιστοιχούν σε μια μηδενική ιδιοσυχνότητα, το κοινό ιδιάνυσμα υπολογίζεται ως i ω 2 M + K i φ = K i φ = 0 Σε αυτό το μάθημα θα ασχοληθούμε μόνο με την περίπτωση Ν Μ = 1. Το ιδιοάνυσμα που αντιστοιχεί στην κίνηση στερεού σώματος θα συμβολιστεί με 0 φ

43 Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα των συνιστωσών από Ν Ν ζεύγη μη-μηδενικών ιδιοτιμών και Ν Μ ζεύγη μηδενικών ιδιοτιμών. Για την περίπτωση Ν Μ = 1: q h t = N Ν {c i i=1 i φ cos( i ω t + φ i )} + 0 φ (c 01 + c 02 t) Συνεισφορά από τα N Ν ζεύγη ιδιοτιμών που αντιστοιχούν σε μη-μηδενικές ιδιοσυχνότητες Περιγράφουν ταλάντωση χωρίς απόσβεση Συνεισφορά από το ζεύγος ιδιοτιμών που αντιστοιχεί στην μηδενική ιδιοσυχνότητα Περιγράφει κίνηση στερού σώματος

44 Ειδική Λύση σε Βηματική Διέγερση Στην περίπτωση που υπάρχει ζεύγος μηδενικών ιδιοτιμών, η μορφή της απόκρισης σε βηματική διέγερση f t = u s (t) διαφέρει επειδή το σύστημα έχει πολλαπλότητα κ = 2 στην κρίσιμη ιδιοτιμή Λ = 0 Αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = (Γ t 2 + Δ) u s (t) Αντικαθιστώντας στις ΣΔΕ προκύπτει ότι το διάνυσμα Γ είναι παράλληλο του 0 φ, και επειδή rank K < N το διάνυσμα Δ έχει Ν-1 μη-μηδενικά στοιχεία. q p t = (α 0 φ t 2 + Δ) u s (t) Οι Ν άγνωστοι παράμετροι (Ν-1 μη-μηδενικά στοιχεία του Δ και η παράμετρος α) υπολογίζονται από Ν εξισώσεις. Δείτε το παράδειγμα 2 στο τέλος της θεματικής ενότητας (θέμα επαναληπτικής εξέτασης 2013)

45 Η πιο γενική και πολύπλοκη περίπτωση Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 2ης Τάξης Με Απόσβεση

46 ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 2 ης τάξης με Απόσβεση Θα υπολογιστεί η συνολική λύση q t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν Μ q + C q + K q = G f(t) q(0) = q 0 q(0) = q 0 q(t) H συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς q h t και της ειδικής λύσης q p t : q t = q h t + q p t Ο υπολογισμός και η ανάλυση σε συστήματα Ν ΣΔΕ 2 ης τάξης με απόσβεση είναι πολύ πιο πολύπλοκος από αυτά χωρίς απόσβεση

47 Ομογενής Λύση Για το αντίστοιχο ομογενές σύστημα ΣΔΕ: Μ q + C q + K q = 0 Αναζητείται πάλι λύση της μορφής q t = φ e λ t Όπου λ είναι μια ιδιοτιμή και φ είναι το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα. Αντικαθιστώντας στo σύστημα ΣΔΕ προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: (λ 2 M + λc + K) φ = 0 Οι ιδιοτιμές είναι πάλι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: λ 2 M + λc + K = 0

48 Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοτιμών Οι 2Ν ιδιοτιμές του συστήματος μπορεί να είναι διάφορων ειδών Ν C ζεύγη μιγαδικών συζηγών ιδιοτιμών λ = α ± β j, όπου i ω είναι η i- ιοστή (μη-μηδενική) ιδιοσυχνότητα του συστήματος Ν R πραγματικές ιδιοτιμές (αρνητικές, μηδενικές ή θετικές) Μηδενικές ιδιοτιμές περιγράφουν κίνηση στερεού σώματος Συνολικά 2 Ν C + N R = 2 N * Οι ιδιοτιμές (και των δύο ειδών) μπορούν να έχουν πολλαπλότητα. Σε αυτό το μάθημα για απλοποίηση θα θεωρηθούν να έχουν πολλαπλότητα κ=1

49 Ομογενής Λύση: Αναλυτικός Υπολογισμός Ιδιοανυσμάτων Για κάθε ιδιοτιμή λ j αντιστοιχεί ένα ιδιοάνυσμα j φ, που υπολογίζεται από την σχέση (λ j 2 M + λ j C + K) j φ = 0 Για κάθε ζεύγος μιγαδικών συζηγών ιδιοτιμών i α ± i β j προκύπτει ένα ζεύγος μιγαδικών συζηγών ιδιοανυσμάτων R j φ ± I j φ j Για κάθε πραγματική ιδιοτιμή προκύπτει ένα πραγματικό ιδιοάνυσμα j φ

50 Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα των συνιστωσών λύσεων από 2Ν ιδιοτιμές. Με την παραδοχή ότι όλες οι ιδιοτιμές έχουν πολλαπλότητα 1, προκύπτει η ομογενής λύση: q h t = N C { R i φ i=1 Ι i φ e i a t cos i β t sin i β t sin i β t cos i β t c i d i } + N R l i i=1 i φ e λ i t Συνεισφορά από τα N C ζεύγη μιγαδικών ιδιοτιμών Συνεισφορά από τις πραγματικές ιδιοτιμές Οι 2Ν πραγματικές σταθερές c i (i = 1,, N C ), d i (i = 1,, N C ), και l i (i = 1,, N R ) θα προκύψουν από τις Α.Σ. δεδομένης της ειδικής λύσης q p. Αν κάποια ιδιοτιμή έχει πολλαπλότητα κ > 1, η συνεισφορά της είναι πιο πολύπλοκη (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ)

51 Η απόσβεση εδώ δεν αμελείται.. Γενική μέθοδος Επίλυση ΠΑΣ σε Συστήματα ΣΔΕ 1ης Τάξης με Σταθερούς Συντελεστές

52 ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 1 ης Τάξης Θα υπολογιστεί η συνολική λύση x t του παρακάτω Π.Α.Σ. όταν x = A x + B f(t) x(0) = x 0 x(t) Από θεωρεία ΣΔΕ, η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς x h t και της ειδικής λύσης x p t : x t = x h t + x p t Η παρακάτω ανάλυση είναι γενική και συμπεριλαμβάνει συστήματα με ή χωρίς απόβεση, με ή χωρίς μηδενικές ιδιοτιμές κτλ.

53 ΠΑΣ σε ΣΔΕ 1 ης Τάξης Ξενικώντας από την επίλυση του ΠΑΣ ΣΔΕ 1 ης τάξης: x = a x + b f t, x 0 = x 0 Πολλαπλασιάζοντας με e αt και φέρνοντας τον όρο a x αριστερά: e αt x e αt a x = e αt b f(t) d dt (e αt x(t)) = e αt b f(t) Ολοκληρώνοντας τα δύο μέλη από t = 0 έως t προκύπτει η συνολική λύση: x t = e αt x t e α(t τ) b f τ dτ Ομογενής λύση x h t Ειδική λύση x p t (ολοκλήρωμα συνέλιξης)

54 ΠΑΣ σε Σύστημα ΣΔΕ 1 ης Τάξης Αντίστοιχα, η επίλυση του ΠΑΣ ΣΔΕ 1 ης τάξης: x = A x + B f t, x 0 = x 0 Η συνολική λύση είναι: x t = e Αt x 0 + Ομογενής λύση x h t 0 t e Α(t τ) B f τ dτ Ειδική λύση x p t (ολοκλήρωμα συνέλιξης) Κλειδί είναι η ομογενής λύση ο εκθετικός πίνακας e Αt, του οποίου η μορφή εξαρτάται από τις ιδιοτιμές & τα ιδιοανύσματα του πίνακα Α Βλέπε εδάφιο 6.4, «συνήθεις διαφορικές εξισώσεις», Νίκου Σταυρακάκη

55 Ομογενής Λύση: Εκθετικός Πίνακας Για το σύστημα S ΣΔΕ 1 ης τάξης x = A x, ο εκθετικός πίνακας υπολογίζεται ως: e Αt = W(t) W 1 (0) Όπου W(t) είναι ο θεμελιώδης πίνακας του συστήματος, η i-ιοστή στήλη του οποίου είναι η i-ιοστή λύση (i) x t της ομογενούς: W t = (1) x t (S) x t Η μορφή i-ιοστής λύσης (i) x t εξαρτάται από την μορφή (πραγματική, μιγαδική) και την πολλαπλότητα της i-ιοστής ιδιοτιμής λ i και του αντίστοιχου ιδιοανύσματος i ξ του πίνακα A.

56 Ομογενής Λύση: Ιδιοτιμές και Ιδιοανύσματα Οι ιδιοτιμές λ και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα ξ του S S τετραγωνικού πίνακα A ικανοποιούν την σχέση: (Α λ I) ξ = 0 Οι S ιδιοτιμές λ i προκύπτουν από το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυμο τάξης S ως προς λ: Α λ I = 0 Οι ιδιοτιμές μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί λ i = α (αρνητικοί, μηδέν, θετικοί) ή ζευγάρια συζηγών μιγαδικών αριθμών λ i = a ± b j Για την i-ιοστή ιδιοτιμή λ i αντιστοιχεί το ιδιοάνυσμα i ξ (Α λ i I) i ξ = 0 Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις (βλέπε επόμενα slides)

57 Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας 1 1. Έστω λ i πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα A πολλαπλότητας κ = 1 Η ιδιοτιμή λ i = α μπορεί να είναι αρνητική, θετική, ή μηδέν Το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα i ξ περιέχει μόνο πραγματικά στοιχεία και ικανοποιεί την σχέση (Α λ i I) i ξ = 0 Α i ξ = i ξ λ i Η αντίστοιχη λύση (i-ιοστή στήλη του θεμελιώδη πίνακα W(t)) είναι (i) x t = i ξ e λ i t

58 Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας 1 2. Έστω λ i = i a + i b j και λ i+1 = i a i b j ένα ζεύγος μιγαδικών ιδιοτιμών του πίνακα A πολλαπλότητας κ = 1 Το ιδιοάνυσμα i ξ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i και ικανοποιεί: (Α λ i I) i ξ = 0 Το i ξ έχει μιγαδικά στοιχεία και γράφεται i ξ = R i ξ + I i ξ j όπου τα R i ξ και I i ξ περιέχουν μόνο πραγματικά στοιχεία Το ιδιοάνυσμα i+1 ξ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ i+1 = i a i b j είναι το μιγαδικό συζηγές του i ξ: i+1 ξ = R i ξ I i ξ j

59 Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας 1 Tα δύο ιδιοανύσματα ικανοποιούν τις σχέσεις: Α R i ξ I i ξ = R i ξ I i ξ i a i b i b i a Οι αντίστοιχες λύσεις (στήλες i και i+1 του W(t)) είναι (i) x t = (R i ξ cos i b t i I ξ sin i b t ) e i a t (i+1) x t = (R i ξ sin i b t + I i ξ cos i b t ) e i a t

60 Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας κ 3. Έστω λ i πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα A πολλαπλότητας κ Αυτό το μάθημα θα περιοριστεί στην περίπτωση κ = 2 (οι περιπτώσεις κ > 2 είναι αρκετά πιο πολύπλοκες), όπου διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: a) Aν rank Α λ i I = S 2 τότε η επίλυση της (Α λ i I) i ξ = 0 δίνει 2 ανεξάρτητα πραγματικά ιδιοανυσμα i ξ και i+1 ξ για τα οποία ισχύει (Α λ i I) i ξ = 0 (Α λ i I) i+1 ξ = 0 Α i ξ i+1 ξ = i ξ i+1 ξ Οι αντίστοιχες λύσεις (στήλες i, i+1 του πίνακα W(t)) είναι (i) x t = i ξ e λ i t (i) x t = i+1 ξ e λ i t λ i 0 0 λ i Η μορφή των λύσεων ταυτίζεται με την περίπτωση πραγματικών ιδιοτιμών με κ=1

61 Ομογενής Λύση: Πραγματική Ιδιοτιμή Πολλαπλότητας κ b) Aν rank Α λ i I = S 1 τότε η επίλυση της (Α λ i I) i ξ = 0 δίνει 1 ανεξάρτητο πραγματικό ιδιοανυσμα i ξ. Το δεύτερο γενικευμένο ιδιοανυσμα i ξ προκύπτει ως εξής: i (Α λ i I) ξ = i ξ Οπότε τα δύο ιδιοανύσματα περιγράφονται ως: (Α λ i I) (Α λ i I) i ξ = 0 i ξ = i ξ Α i ξ i ξ = i ξ i ξ λ i 1 0 λ i Οι αντίστοιχες λύσεις (στήλες i, i+1 του πίνακα W(t)) είναι (i) x t = i ξ e λ i t (i+1) x t = ( i ξ t + i ξ) e λ i t

62 Ομογενής Λύση H ομογενής λύση είναι το άθροισμα S συνιστωσών από τις λύσεις (i) x t S N R x h t = c i (i) x t = {c i i ξ e λi t } + i=1 i=1 N C + {d i1 i R ξ cos i=n R +2N M +1 N M i=n R +1 {c i1 i ξ e λi t + c i2 ( i ξ t + i ξ) e λi t } + i b t i I ξ sin i b t

63 Ομογενής Λύση H ομογενής λύση σε μητρωϊκή μορφή γράφεται x h t = W(t) c = Ξ e Λ(t) c Όπου W(t) είναι ο θεμελιώδης πίνακας. Οι στήλες του πίνακα Ξ περιέχουν τα S ιδιοανύσματα του συστήματος Ξ = N R Ξ N M Ξ N C Ξ N R Ξ = 1 ξ N R ξ N M Ξ = N R+1 ξ N R +1 ξ N R+N M ξ N R +N M ξ N C Ξ = N R +2N M +1 R ξ N R +2N M +1 N I ξ R +2N M +N C Rξ Το S 1 διάνυσμα c περιέχει τις S άγνωστες σταθερές c i, c 1i, c 2i, d 1i, d 2i N R +2N M +N C Iξ

64 Ομογενής Λύση Ο σύνθετος πίνακας e Λ(t) περιέχει ως διαγώνια στοιχεία τους πίνακες e Λ R(t), e Λ M(t) και e Λ C(t), που περιέχουν τις συναρτήσεις e λ it των διάφορων ειδών ιδιοτιμών e Λ(t) = e Λ R(t) e Λ M(t) e Λ C(t) e Λ C(t) = diag e ΛR(t) = diag(e λi t ), i = 1,, N R e ΛM(t) = diag 1 t 0 1 eλ i t, i = N R + 1,, N R + N M cos i b t sin i b t sin i b t cos i e i a t, i = N R + 2N M + 1,, N R + 2N M + Ν C b t

65 Απόκριση x ΑΣ t σε Αρχικές Συνθήκες Όταν f t = 0 η συνολική λύση ταυτίζεται με την ομογενή λύση x t x ΑΣ t = x h (t) = W(t) c = Ξ e Λ(t) c Εφαρμόζοντας τις Α.Σ. x 0 = x 0 Ξ e Λ(0) c = Ξ c = x 0 c = Ξ 1 x 0 Οπότε η λύση σε Α.Σ. είναι: x ΑΣ t = Ξ e Λ(t) Ξ 1 x 0 Εφόσον όταν f t = 0 η συνολική λύση εκφράζεται ως: x t = e Αt x 0 O εκθετικός πίνακας υπολογίζεται ως: e Αt = Ξ e Λ(t) Ξ 1

66 Απόκριση x ΕΔ t σε Κρουστική Διέγερση Στην περίπτωση που f t = δ(t) και x 0 = 0, η ομογενής λύση e Αt x 0 είναι μηδέν και η συνολική απόκριση h(t) ταυτίζεται με την ειδική λύση: x ΕΔ t h t = 0 t e Α t τ B f τ dτ = 0 t eα t τ B δ τ dτ Με βάση τις ιδιότητες της συνάρτησης Dirac, η απόκριση προκύπτει: h t = e Αt B = Ξ e Λ(t) Ξ 1 B

67 Απόκριση x ΕΔ t σε Βηματική Διέγερση Στην περίπτωση x 0 = 0, η απόκριση h s t του συστήματος ΣΔΕ σε βηματική διέγερση f t = u s (t) προκύπτει ολοκληρώνοντας την απόκριση σε κρουστική διέγερση h t για μηδενικές Α.Σ.: h s t = 0 t h τ dτ = h s t = Α 1 0 t 0 t e Ατ Bdτ = 0 t Α 1 Α e Ατ dτ B Α e Ατ dτ B = Α 1 e Ατ t 0 B h s t = Α 1 (e Αt Ι) B

68 Απόκριση x ΕΔ t σε Αρμονική Διέγερση Σε αρμονική διέγερση f t = cos Ω t με μηδενικές Α.Σ. x 0 = 0, η ομογενής λύση x h t = e Αt x 0 = 0 οπότε x ΕΔ t = x p t. Αν το σύστημα δεν έχει ιδιοτιμή ±Ω j αναζητείται ειδική λύση x p t : x p t = Γ 1 cos Ω t + Γ 2 sin Ω t Aντικαθιστώντας την x p t στο σύστημα ΣΔΕ προκύπτει: x p = A x p + B f t cos Ω t Ω Γ 2 A Γ 1 B + sin Ω t Ω Γ 1 A Γ 2 = 0 A I Ω I Ω A Γ 1 = B Γ 2 0 Εφαρμόζοντας τον τύπο για τον αντίστροφο 2 2 σύνθετων πινάκων προκύπτει: Γ 1 = (Α 2 + Ι Ω 2 ) 1 Α Β Γ 2 = Ω Α 1 (Α 2 + Ι Ω 2 ) 1 Α Β

69 Παραδείγματα

70 1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης 1 0 Δίνεται το σύστημα Μ q + K q = G f(t) με Μ = m 0 1 και K = k Υπολογίστε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοανύσματατου συστήματος. Λύση 1. Υπολογισμός ιδιοτιμών: Κατάστρωση και λύση Χ.Π.: Μ λ 2 + K = 0 m λ2 + 2k k k m λ 2 + k = m2 λ k m λ 2 + k 2 = 0 Θέτωντας z = λ 2 προκύπτει ένα πολυώνυμο 2 ης τάξης ως προς z με ρίζες z = 3± 5 2 οι δύο αρνητικοί αριθμοί. Η πρώτη ρίζα του z δίνει το πρώτο ζευγάρι ιδιοτιμών k m που είναι και λ = ± k m = ±0.618 Η δεύτερα ρίζα του z δίνει το δεύτερο ζευγάρι ιδιοτιμών k m j = ± 1 ω j λ = ± k m = ±1.618 k m j = ± 2 ω j

71 1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης Σχόλια στον υπολογισμό των ιδιοτιμών/ιδιοσυχνοτήτων: Εδώ οι ιδιοτιμές είναι φανταστικοί αριθμοί λόγω έλειψης απόσβεσης Κάθε ζευγάρι ιδιοτιμών εκφράζεται ως συνάρτηση μιας ιδιοσυχνότητας i ω, η οποία είναι k συνάρτηση του λόγου (αντιστοιχία με σύστημα ΣΔΕ m 2ης τάξης 1 Β.Ε. προφανής!). Οι ιδιοσυχνότητες εξαρτώνται τόσο από την συνολική αδράνεια/ελαστικότητα του συστήματος όσο και από την κατανομή τους στους Β.Ε. όπως αυτό περιγράφεται από τα μητρώα αδράνειας και ελαστικότητας αντίστοιχα.

72 1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης 2. Υπολογισμός ιδιοανυσμάτων. Σε συστήματα χωρίς απόσβεση, κάθε ζευγάρι ιδιοτιμών ± i ω j (αντιστοιχούν στην ίδια i ω) έχει κοινό ιδιοάνυσμα i φ που υπολογίζεται ως (λ 2 M + K) i φ = 0 ή ισοδύναμα από την σχέση ( i ω 2 M + K) i φ = 0 Υπολογισμός ιδιοανύσματος 1 φ για το πρώτο ζευγάρι ιδιοτιμών (πρώτη ιδιοσυχνότητα) k 2 m M + K φ = k k φ = φ = 0 1 φ φ = 0 0 Ο πίνακας στο αριστερό μέρος του 2 2 γραμμικού συστήματος έχει μηδενική ορίζουσα επομένως τα 2 στοιχεία 1 j φ του 1 φ είναι εξαρτημένα. Από την πρώτη γραμμή του συστήματος προκύπτει η σχέση εξάρτησης 1 2 φ = φ επομένως το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα είναι 1 φ = 11 φ 1 φ = 1 1 φ φ = φ 1 1 φ =

73 1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης Υπολογισμός ιδιοανύσματος 2 φ για το δεύτερο ζευγάρι ιδιοτιμών (δεύτερη ιδιοσυχνότητα) 3 5 k 2 m M + K φ = k k φ = φ = 0 1 φ φ = 0 0 Πάλι τα 2 στοιχεία 1 j φ του 2 φ είναι εξαρτημένα. Από την πρώτη γραμμή του συστήματος προκύπτει η σχέση εξάρτησης 2 2 φ = φ επομένως το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα είναι 2 φ = 12 φ 2 φ = 1 2 φ = φ 2 1 φ =

74 1) Υπολογισμός Ιδιοτιμών/Ιδιοανυσμάτων Σύστημα 2 ΣΔΕ 2 ης τάξης Σχόλια στον υπολογισμό των ιδιοανυσμάτων: Εδώ η σταθερά k απαλείφθηκε κατά τον υπολογισμό των ιδιοανυσμάτων διότι είναι μη μηδενική. Σε άλλα προβλήματα δεν είναι δυνατών να απαληφθούν όλες οι παράμετροι, οπότε τα ιδιοανύσματα υπολογίζονται ως συνάρτηση των παραμέτρων του προβλήματος Ένας καλός έλεγχος πράξεων είναι ότι η ορίζουσα του πίνακα i ω 2 M + K (αφού αντικατασταθεί μια τιμή ιδιοσυχνότητας i ω 2 ) είναι μηδέν Σε όρους γραμμικής άλγεβρας, η πράξη ( i ω 2 M + K) i φ = 0 σημαίνει ότι το διάνυσμα i φ βρίσκεται στο μηδενικό διανυσματικό χώρο (nullspace) του μετασχηματισμού που περιγράφει ο πίνακας i ω 2 M + K. Εδώ ο διανυσματικός χώρος αυτός έχει διάσταση 1, επομένως για κάθε i ω 2 υπάρχει μόνο 1 ιδιοάνυσμα. Σε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις το nullspace έχει διάσταση μεγαλύτερη από 1 επομένως υπάρχουν περισσότερα από ένα ιδιοανύσματα.

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές Δυναμική Μηχανών I 6 2 Ιδιομορφές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιομορφές σε Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς Δυναμική Μηχανών I 7 2 Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin

Δυναμική Μηχανών I. Προσέγγιση Galerkin Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D. 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I 7 3 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική Δυναμική Μηχανών I 2 2 Επανάληψη: Κινηματική και Δυναμική 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση. Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγική Ανάλυση και Γραμμικοποίηση 4 5 Μη-Γραμμικών Δυναμικών Εξισώσεων 25 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0- Για ένα πολυβάθμιο σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση, λόγω μόνο επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων

Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 21 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 8 έκδοση DΥΝI-EXC08-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων

Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων Δυναμική Μηχανών I 8 3 H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink

Δυναμική Μηχανών I. Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink Δυναμική Μηχανών I 5 6 Αριθμητική Επίλυση Δυναμικών Συστημάτων στο Περιβάλλον MATLAB και Simulink 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης. Συστήματος με το Περιβάλλον του

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης. Συστήματος με το Περιβάλλον του Δυναμική Μηχανών I Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης 3 4 Συστήματος με το Περιβάλλον του 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 1. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 1. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Εισαγωγή στην Δυναμική Μηχανών Φιλοσοφία του μαθήματος Περίληψη του μαθήματος Αντικείμενο Εφαρμογές Δυναμικής

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 19. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές)

Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες. Κατάστρωση διαφορικών εξισώσεων. Μεταβατική απόκριση. Γενικό μοντέλο. ,, ( ) είναι γνωστές ποσότητες (σταθερές) Μεταβατική Ανάλυση - Φάσορες Πρόσθετες διαφάνειες διαλέξεων Αλέξανδρος Πίνο Δεκέμβριος 2017 Γενικό μοντέλο Απόκριση κυκλώματος πρώτης τάξης, δηλαδή με ένα μόνο στοιχείο C ή L 3 Μεταβατική απόκριση Ξαφνική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-INTDYN_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 2019Κ7-1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΝΟ 19Κ7-1 ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Είσοδος ΜΑΥΡΟ ΚΟΥΤΙ Έξοδος 1. Το περιεχόμενο του μαύρου κουτιού (απλά ηλεκτρικά στοιχεία). Είσοδος: σήματα (κυματομορφές) διέγερσης 3. Έξοδος: απόκριση i.

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 4: Μέθοδος Μικρών Μεταβολών Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Ι Από το πραγματικό κύκλωμα στο μοντέλο Μαθηματική μοντελοποίηση Η θεωρία κυκλωμάτων είναι

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/ / 13 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 1 Εισαγωγή Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 1 19/2/2014 1 / 13 Εισαγωγή Τι έχουμε μάθει; Στο πρώτο μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος

Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων. Κ. Κυριακόπουλος Δυναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Κ. Κυριακόπουλος Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η Δυναµική Περιβάλλον u Ροµποτική Δυναµική q,!q Ροµποτική Κινηµατική Θέση, Προσανατολισµός και αλληλεπίδραση Η δυναµική ασχολείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

υναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων

υναµ α ι µ κή τ ων Ρ οµ ο π µ ο π τ ο ικών Βραχιόνων υναµική των Ροµποτικών Βραχιόνων Ροµποτική Αρχιτεκτονική: η υναµική u Ροµποτική υναµική q, q& Ροµποτική Κινηµατική Περιβάλλον Θέση, Προσανατολισµός & και αλληλε ίδραση Η δυναµική ασχολείται µε την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα