ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζεται μηχανικό κύμα; Να περιγράψετε το μηχανισμό διάδοσής του. 2. Τι χρειάζεται για να δημιουργηθεί και να διαδοθεί ένα μηχανικό κύμα; Διαδίδονται τα μηχανικά κύματα στο κενό; Να αναφέρετε μερικά παραδείγματα μηχανικών κυμάτων. 3. Μεταφέρεται ύλη κατά τη διάδοση ενός μηχανικού κύματος; Τι άλλο μεταφέρεται; Αφού η διάδοση του κύματος γίνεται μέσω της κίνησης των μορίων, αυτό δεν σημαίνει ότι μεταφέρεται ύλη; 4. Τι είναι η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος; Λέγοντας «ταχύτητα διάδοσης του κύματος» εννοούμε την ταχύτητα με την οποία κινούνται τα μόρια του μέσου; Πως μεταβάλλεται με το χρόνο η ταχύτητα διάδοσης; 5. Από τι εξαρτάται η ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού κύματος; Ένα ισχυρός κυματισμός διαδίδεται στο ίδιο μέσο με διαφορετική ταχύτητα από ότι ένας ασθενής; Σε ποια υλικά διαδίδονται τα μηχανικά κύματα με μεγαλύτερη ταχύτητα: στα στερεά, στα υγρά ή στα αέρια; 6. Τι είναι τα εγκάρσια κύματα και τι τα διαμήκη; Πού διαδίδεται το κάθε είδος; Να αναφέρετε από ένα παράδειγμα. Σε ποια από τις δύο κατηγορίες μπορούμε να κατατάξουμε τα κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια των υγρών; 7. Κατά τη δική σας εκτίμηση, στο ίδιο μέσο ποια κύματα διαδίδονται ταχύτερα: τα εγκάρσια ή τα διαμήκη; 8. Πώς προκύπτει ένα περιοδικό κύμα; Πότε είναι ένα περιοδικό κύμα ημιτονοειδές (ή αρμονικό); Πώς μπορούμε με τη βοήθεια των μαθηματικών να μελετήσουμε οποιαδήποτε κυματική διαταραχή, όσο πολύπλοκη κι αν είναι; 9. Στη συνέχεια λέγοντας για ευκολία «κύμα» θα εννοούμε το ημιτονοειδές μηχανικό (τρέχον) κύμα. Τι είδους ταλάντωση εκτελούν

τα μόρια του μέσου κατά τη διάδοση ενός τέτοιου κύματος, με ποια συχνότητα και γιατί; 10. Ας υποθέσουμε ότι μια σημειακή πηγή παράγει κύμα που διαδίδεται σε κάποιο (ομογενές και ισότροπο) μέσο. Αν το κύμα διαδίδεται σε μία διάσταση (π.χ. κατά μήκος τεντωμένου σκοινιού) τότε ονομάζεται γραμμικό. Σε δύο διαστάσεις (π.χ. στην επιφάνεια υγρού), επιφανειακό και, σε τρείς διαστάσεις, κύμα χώρου (π.χ. τα ηχητικά κύματα στον αέρα). Τι ονομάζουμε μέτωπο του κύματος και ποια μορφή εκτιμάτε ότι έχει το μέτωπο σε κάθε μία από τις τρεις αυτές περιπτώσεις; 11. Ας υποθέσουμε ότι κατά τη διάδοση του κύματος δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας σε θερμότητα. Σε ποια από τις τρεις προηγούμενες περιπτώσεις εκτιμάτε ότι μπορεί να διαδίδεται το κύμα χωρίς να εξασθενεί με την απόσταση (χωρίς δηλαδή να μικραίνει το πλάτος ταλάντωσης των μορίων του μέσου όσο πιο μακριά βρίσκονται από την πηγή); Σε ποια περίπτωση εκτιμάτε επίσης ότι η εξασθένηση αυτή είναι πιο σύντομη; 12. Τι είναι η περίοδος του κύματος και τι η συχνότητα; Εξαρτώνται από το μέσο διάδοσης; 13. Στιγμιότυπο κύματος είναι η απεικόνιση των θέσεων όλων των μορίων του μέσου μια δεδομένη στιγμή (μια «φωτογραφία» του κύματος). Ή αλλιώς, η κυματική εικόνα τη δεδομένη στιγμή. Με τη βοήθεια της κυματικής εικόνας, να δώσετε έναν εναλλακτικό ορισμό για την περίοδο του κύματος. 14. Παρατηρώντας ένα στιγμιότυπο εγκαρσίου κύματος, βλέπουμε ότι υπάρχουν όρη (κορυφές) και κοιλάδες, που εναλλάσσονται διαδοχικά. Τι είναι αυτά τα όρη και οι κοιλάδες και πώς δημιουργούνται; Συμβαίνει και με τα διαμήκη κύματα το ίδιο; Αν όχι, τι ακριβώς συμβαίνει; 15. Ας υποθέσουμε ότι ηχητικό κύμα διαδίδεται στον αέρα. Θα πρόκειται βέβαια για διάμηκες κύμα, αλλά τα πυκνώματα και τα αραιώματα δεν είναι τώρα ορατά. Το αυτί μας όμως, ή ένα μικρόφωνο «αντιλαμβάνεται» τον ήχο αυτό. Μέσω ποιάς

φυσικής ιδιότητας του αέρα γίνεται αντιληπτός ο ήχος; Πώς σχετίζεται αυτή η ιδιότητα με τα πυκνώματα και τα αραιώματα; 16. Πώς σχετίζεται η συχνότητα του κύματος με τις κορυφές (στο εγκάρσιο) ή με τα πυκνώματα (στο διάμηκες κύμα); 17. Τι είναι το μήκος κύματος; Αν αυξήσουμε τη συχνότητα της πηγής πώς θα επηρεαστεί (στο ίδιο μέσο) το μήκος κύματος; Αν το κύμα αυτό περάσει σε διαφορετικό μέσο θα αλλάξει η συχνότητά του και το μήκος κύματος; 18. Να αποδείξετε τη σχέση που συνδέει το μήκος κύματος σε κάποιο μέσο με τη συχνότητα του κύματος και την ταχύτητα διάδοσής του στο μέσο αυτό (θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής). 19. Κατά τη διάδοση κύματος σε κάποιο μέσο, τα σημεία του μέσου εκτελούν όπωςείπαμε αρμονικές ταλαντώσεις. Οι ταλαντώσεις αυτές έχουν όλες την ίδια φάση ή διαφορετικές φάσεις; Πως το αντιλαμβανόμαστε στην πράξη αυτό; Να δώσετε ποιοτική εξήγηση. 20. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με γραμμικά αρμονικά κύματα (διάδοση σε μία διάσταση). Τι έχετε να παρατηρήσετε για τις κινήσεις δύο σημείων του μέσου που η απόστασή τους είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος; Μπορείτε με τη βοήθεια της παρατήρησης αυτής να δώσετε έναν εναλλακτικό ορισμό για το μήκος κύματος; 21. Να δείξετε πώς προκύπτει η εξίσωση του τρέχοντος κύματος. Να την γράψετε σε όσες διαφορετικές μορφές μπορείτε. Τι μας δίνει η εξίσωση του κύματος; Τι ονομάζεται πλάτος του κύματος; 22. Ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου κατά τη θετική φορά και περιγράφεται από την εξίσωση y=a ημ(ωt 2πx/λ ). Ας υποθέσουμε ότι το σημείο Ο του μέσου που βρίσκεται στη θέση x=0 είναι η πηγή του κύματος που εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση yo=a ημωt με t 0 και ότι το κύμα διαδίδεται μόνο κατά τη θετική φορά, ισχύει δηλαδή x 0. Ποια είναι η φάση τυχαίου σημείου Μ του μέσου που βρίσκεται στη θέση x; Τι εκφράζει η παράσταση 2πx/λ;

23. Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α, Β του προηγούμενου κύματος σε θέσεις x 1, x 2. Ποιο από τα δύο έχει, την ίδια στιγμή, μεγαλύτερη φάση; Αν γνωρίζετε ότι το Α βρίσκεται πιο κοντά στην πηγή, να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης ΔФ 21 του Β ως προς το Α. 24. Η διαφορά φάσης δύο σημείων του μέσου κατά τη διάδοση ενός κύματος, οποιαδήποτε χρονική στιγμή, είναι ΔФ 21 =2πd/λ όπου d η μεταξύ τους απόσταση. Πότε λέμε ότι τα δύο αυτά σημεία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και πότε σε αντίθεση φάσης; Πόσο απέχουν δύο τέτοια σημεία; Ποια είναι η μικρότερη δυνατή απόσταση μεταξύ δύο συμφασικών ή αντιφασικών σημείων; 25. Από τι εξαρτάται η φάση ενός σημείου του τρέχοντος κύματος; Δύο σημεία Α, Β του μέσου βρίσκονται πάνω στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος και απέχουν απόσταση d. Αν η φάση Φ Α παίρνει ίδιες τιμές με τη φάση Φ Β με καθυστέρηση χρόνου Δt=0,75Τ (Τ η περίοδος του κύματος), να βρείτε (α) πόσο απέχουν τα δύο σημεία και (β) προς ποια κατεύθυνση διαδίδεται το κύμα (A B ή B A). 26. Τι είναι αυτό που προκύπτει από την εξίσωση του κύματος, αν θεωρήσουμε (α) μια δεδομένη χρονική στιγμή t=t 1 =σταθ., ή (β) μια ορισμένη θέση πάνω στη διεύθυνση διάδοσης, x=x 1 =σταθ.; 27. Ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου κατά τη θετική φορά, έστω προς τα δεξιά, με μήκος κύματος λ. Τη στιγμή που το κύμα έφτασε στο σημείο Ο του μέσου που βρίσκεται στη θέση x=0 μηδενίσαμε το χρονόμετρο και άρχισε η μέτρηση του χρόνου. Η ταλάντωση του σημείου Ο περιγράφεται επομένως από την εξίσωση yo=a ημ ωt. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης δύο τυχαίων σημείων Μ και Ν που το πρώτο βρίσκεται δεξιά από το Ο (x>0) και το δεύτερο αριστερά (x<0). Τι συμπέρασμα βγάζετε; Υπάρχουν σημεία του μέσου με φάση μεγαλύτερη από τη φάση ωt του σημείου Ο; Αν κάποιο σημείο Α αρχίσει να ταλαντώνεται τη στιγμή t=2sec, μπορείτε να συμπεράνετε αν το σημείο αυτό βρίσκεται δεξιά ή αριστερά από το Ο; Ποια στιγμή άρχισε να κινείται το συμμετρικό σημείο A του Α ως προς Ο; Έχουν ίδια φάση τα συμμετρικά ως προς το Ο σημεία Α και Α ; 28. Τι θα άλλαζε στην εξίσωση του προηγούμενου κύματος αν η διάδοσή του γινόταν κατά την αρνητική φορά του άξονα;

29. Ας υποθέσουμε τώρα πάλι ότι το σημείο Ο που βρίσκεται στην αρχή (x=0) του προσανατολισμένου άξονα x x είναι πηγή αρμονικού κύματος και αρχίζει τη στιγμή t=0 να ταλαντώνεται με εξίσωση yo=a ημ ωt (με t 0). Το παραγόμενο γραμμικό κύμα διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις του άξονα. Να γράψετε πάλι τις εξισώσεις κίνησης δύο τυχαίων σημείων Α και Β του αρνητικού Οx και του θετικού Οx ημιάξονα αντίστοιχα. Αν τα δύο αυτά σημεία είναι συμμετρικά ως προς Ο, τι σχέση έχουν οι φάσεις τους; 30. Σημειακή πηγή βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα (x=0) και τη στιγμή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται παράγοντας εγκάρσιο κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t=5t/2, αν η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Ο είναι: (α) yo=a ημ ωt, (β) yo= A ημ ωt, (γ) yo=a ημ(ωt+π/2). Να απεικονίσετε επίσης γραφικά από 0 έως 5T/2, για κάθε μία από τις πιο πάνω περιπτώσεις, την απομάκρυνση y(t)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΔΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Δύο μηχανικά κύματα ίδιας συχνότητας διαδίδονται σε ελαστική χορδή. Αν λ 1 και λ 2 τα μήκη κύματος αυτών των κυμάτων ισχύει: α) λ 1 <λ 2 β) λ 1 >λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικαιολογήστε την απάντησή σας. ΕΡΩΤΗΣΗ 2 Η γραφική παράσταση της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για ένα σημείο (διαφορετικό της πηγής Ο) ενός ελαστικού γραμμικού μέσου στο οποίο διαδίδεται ένα εγκάρσιο γραμμικό αρμονικό κύμα, κατά τη θετική φορά, είναι μία ευθεία: α) αύξουσα. β) φθίνουσα. γ) παράλληλη στον άξονα t. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΕΡΩΤΗΣΗ 3 Η γραφική παράσταση της φάσης των διαφόρων σημείων ενός γραμμικού ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται, προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x'x, ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, σε

συνάρτηση με την απόστασή τους Χ από την πηγή Ο, κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, είναι μία ευθεία: α) παράλληλη στον άξονα Χ. β) φθίνουσα. γ) αύξουσα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ελαστικό ομογενές μέσον κατά την θετική κατεύθυνση και έχει εξίσωση: y=6 10-2 ημ(2πt- 10πχ) (S.I), (S.I.). Η πηγή O παραγωγής αυτού του κύματος βρίσκεται στη θέση X=0 του ημιάξονα OX και τη χρονική στιγμή t 0 =0 ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα.

α) Nα υπολογισθούν το πλάτος A, η περίοδος T, το μήκος λ και η ταχύτητα διάδοσης υ του κύματος. β) Nα γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης και της φάσης ενός σημείου Σ που απέχει Χ Σ =0,4m από το Ο σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνουν οι γραφικές τους παραστάσεις. γ) Αν το Σ θεωρηθεί υλικό σημείο με μάζα m=10-3 Kg να εκφραστεί η κινητική του ενέργεια σε συνάρτηση με το χρόνο. δ) Πόσο απέχουν μεταξύ τους δύο σημεία Μ και Ν που έχουν την ίδια χρονική στιγμή φάσεις Φ Μ =2π/3rad Φ Ν =π/2 rad ε) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος γ=f(t) τη χρονική στιγμήt=2,75sec. ΑΣΚΗΣΗ 2 Μια πηγή Ο αρχίζει να εκτελεί, τη χρονική στιγμή t=0, απλή αρμονική ταλάντωση. Το παραγόμενο από την πηγή γραμμικό αρμονικό κύμα, διαδίδεται σε ελαστικό ομογενές μέσο, προς τη θετική φορά X X. Τα σημεία του μέσου ταλαντώνονται εξαιτίας του κύματος και έχουν εξίσωση επιτάχυνσης: α=-π 2 10-4 ημ2π(0,5t-0,25x) (S.I)(S.I.). α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα του κύματος. β) Να βρείτε την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου και την ταχύτητα διάδοσης αυτού του κύματος. γ) Πότε θα βρίσκεται για 1η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του ένα σημείο Κ που βρίσκεται σε απόσταση Χκ=10m από την πηγή Ο; δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός άλλου σημείου Λ

που βρίσκεται σε απόσταση X Λ =13m από την πηγή Ο, κάποια στιγμή που το Κ θα βρίσκεται στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής του. ΑΣΚΗΣΗ 3 Η διπλανή γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης Φ σε συνάρτηση με το χρόνο ενός σημείου Μ ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α=10cm προς τη θετική κατεύθυνση. Το σημείο Μ απέχει από την πηγή Ο παραγωγής κυμάτων απόσταση X M =18cm και μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο μάζας m=2 10-3 Kg. H πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση X 0 =0 και ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή t 0 =0 με υ>0. α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ) Να παρασταθεί γραφικά η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ καθώς και ενός άλλου σημείου Ν, που βρίσκεται δεξιά του Μ και απέχει από αυτό απόσταση d=λ/2, από τη θέση ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο σε κοινό διάγραμμα.

δ) Να υπολογίσετε τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του σημείου Μ τη χρονική στιγμή t=8sec. ΑΣΚΗΣΗ 4 Η παρακάτω γραφική παράσταση αναφέρεται στη μεταβολή της φάσης Φ σε συνάρτηση με την απόσταση Χ από την πηγή γραμμικού αρμονικού κύματος, που διαδίδεται σε ομογενές ελαστικό μέσο κατά τη θετική κατεύθυνση Χ Χ, πλάτους Α=2cmκάποια χρονική στιγμή t 1 H ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ=0,5cm/s. α) Να υπολογίσετε την περίοδο και το μήκος του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή t 1. δ) Να γίνει η γραφική παράσταση 1) της ταχύτητας ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με τη θέση τους X τη χρονική στιγμή t 1 και 2) της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο M με X M =5cm. Σημείωση: Η πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση X 0 =0 και τη

χρονική στιγμή t=0, ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα..