ΜΑΘΗΜΑ 3ο Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ Η ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ 3ο Η ΓΑΛΙΛΑΪΚΗ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ Η ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ Πρώτα απ όλα θέλουµε να βρούµε και να εξηγήσουµε έναν ορισµό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόµενα. Και η πεποίθησή µας θα ενισχυθεί κυρίως εφόσον τα πειραµατικά ευρήµατα συµφωνούν µε τις ιδιότητες που αποδείξαµε µία προς µία. Galileo Galilei ος (16 αιώνας) Η Νευτώνεια Αρχή του Ντετερµμινισµμού και η Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας, εκφράζοντας αντίστοιχα την αντίληψη της προδιαγεγραµμµμένης τάξης στη φύση και της σχετικότητας των κινήσεων στο φυσικό χώρο, συγκροτούν την ορθο- λογική αξιωµματική βάση της Κλασικής Μηχανικής. Ο Γαλιλαίος ήταν ο πρώτος που υπέδειξε την ανυπαρξία απόλυτου κριτηρίου το οποίο θα επέτρεπε να αποφανθούµμε για το αν ένα σώµμα βρίσκεται σε κατάστα- ση ηρεµμίας ή όχι, δηλώνοντας ότι µμπορούµμε να αποφανθούµμε για την κινητική του κατάσταση µμόνο αναφορικά ως προς κάποιο άλλο σώµμα. Στα κείµμενά του περιγράφει µμε γλαφυρό και απλοϊκό τρόπο αυτό που σήµμερα είναι γνωστό ως Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας.1 Ο Νεύτωνας έδωσε τη θεµμελιώδη εξίσωση που διέπει την κίνηση των σωµμάτων στο χώρο, θέτοντας έτσι τη βάση µμιας µμαθηµματικής θεωρίας ανταποκρινόµμενης στα πειραµματικά δεδοµμένα της φυσικής πραγµματικότητας. Στα κείµμενά του αναδεικνύεται η ορθολογική σχέση αιτίας και αποτελέσµματος και δηλώνεται αυτό που σήµμερα είναι γνωστό ως Νευτώνεια Αρχή του Ντετερµμινισµμού. 1 Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, 163 Isaac Newton, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 3.1. Η Σχετικότητα του Γαλιλαίου και ο Ντετερμινισμός του Νεύτωνα. Ο Γαλιλαίος, µμέσα από µμια γλαφυρή διήγηση που προτρέπει στην παρατήρηση, αφήνει να διαφανεί η ανυπαρξία απόλυτου κριτηρίου ακινησίας ενός σώµματος στο χώρο και καθιστά αντιληπτό το ότι µμπορούµμε να αποφανθούµμε για την κι- νητική του κατάσταση µμόνο σχετικά ως προς κάποιο άλλο σώµμα: Μαζί µμε φίλους σας µμπείτε στο αµμπάρι ενός πλοίου όπου δεν θα έχετε δυνατότητα αντί- ληψης του εξωτερικού χώρου και αφήστε να πετούν ολόγυρά σας πεταλούδες και άλλα πετούµμενα, βάλτε µμικρά ψάρια σε ένα ενυδρείο και στην οροφή ένα δοχείο από όπου να πέφτουν στάλες νερού σε ένα µμπουκάλι τοποθετηµμένο στο δάπεδο. Όταν το πλοίο είναι ακίνητο παρατηρείστε προσεκτικά πώς κινούνται τα µμικρά ζώα εξίσου άνετα προς κάθε κατεύθυνση και τα ψάρια κινούνται εξίσου άνετα προς κάθε πλευρά του ενυδρείου και οι στάλες πέφτουν µμέσα στο µμπουκάλι. Και εσείς δεν θα χρειαστεί να καταβάλετε µμεγα- λύτερη ή µμικρότερη προσπάθεια για να ρίξετε ένα αντικείµμενο προς τον ένα ή τον άλλο φίλο σας που απέχουν εξίσου από εσάς. Όταν το πλοίο αρχίσει να κινείται, όσο γρήγορα θελήσετε, αρκεί η κίνηση να είναι οµμαλή, δεν θα διακρίνετε την παραµμικρή αλλαγή στις παρατηρήσεις σας ώστε να µμπορέσετε να συµμπεράνετε ότι το πλοίο πράγµματι κινείται. Ο λόγος βρίσκεται στο ότι η κίνηση είναι κοινή για το πλοίο και ό,τι άλλο βρίσκεται σε αυτό συµμπεριλαµμβανόµμενου του αέρα. 1 Ο Νεύτωνας, δίνοντας τη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνησης, έθεσε σε ορθολογική βάση, αιτιοκρατική και ντετερµμινιστική, την αντίληψη για την κίνηση των σω- µμάτων στο χώρο. Η κύρια ιδέα της αιτιοκρατίας, όπως την θεµμελίωσε λίγο αργό- τερα ο Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), βασίζεται στο ότι η αιτία προη- γείται του αποτελέσµματος και ίδιες αιτίες προκαλούν ίδια αποτελέσµματα. Έτσι, κάθε χρονική στιγµμή, η κινητική κατάσταση ενός σώµματος εξαρτάται από τις προηγούµμενες καταστάσεις του και µμέσα από µμια µμαθηµματική σχέση εξίσωση του Νεύτωνα καθίσταται εφικτή η προβλεψιµμότητα της κίνησης στο χώρο. Ο Pierre- Simon Laplace (1749-187), υποστηρικτής της αιτιοκρατικής και ντετερ- µμινιστικής αντίληψης που οδηγεί στην αποδοχή της προδιαγεγραµμµμένης τάξης στη φύση, έγραψε αργότερα στα κείµμενά του: Πρέπει να αντιµμετωπίζουµμε την παρούσα κατάσταση του σύµμπαντος ως αποτέλεσµμα της προηγούµμενης κατάστασής του και ως αιτία της επόµμενης. Μια διάνοια που, σε µμια δεδοµμένη στιγµμή, θα γνώριζε όλες τις δυνάµμεις που κινούν τη φύση και την αντίστοιχη κατάσταση των όντων που την αποτελούν, ενώ ταυτόχρονα θα ήταν τόσο ευρεία ώστε να µμπορεί να αναλύει όλα τα δεδοµμένα, θα είχε τη δυνατότητα να συµμπεριλάβει σε ένα σχήµμα τόσο τις κινήσεις των µμεγαλύτερων σωµμάτων του σύµμπαντος όσο και εκείνες των ελάχιστων ατόµμων. Τίποτε δεν θα ήταν αβέβαιο για αυτήν, το µμέλλον και το παρελθόν θα ήταν πάντα παρόντα στα µμάτια της.. 1 Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, 163 Pierre Simon Laplace, Essai Philosophique sur les Probabilités, 185

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 91 Νευτώνεια Αρχή του Ντετερµινισµού: Η θέση και η ταχύτητα ενός σώµατος, µια οποιαδήποτε δεδοµένη χρονική στιγµή, ορίζουν µονοσήµαντα το µέλλον και το παρελθόν της κίνησής του. Η αξιωµματική αυτή αρχή δηλώνει ότι, κάθε χρονική στιγµμή, η θέση και η ταχύ- τητα ενός σώµματος εξαρτώνται από τις προηγούµμενες θέσεις του και τις αντί- στοιχες ταχύτητές του και αν µμια κάποια στιγµμή η θέση του και η ταχύτητά του είναι γνωστές τότε αυτό αρκεί για να προβλέψουµμε το µμέλλον και να µμάθουµμε το παρελθόν της κίνησής του στο χώρο. Σύµμφωνα µμε αυτή την αξιωµματική αρχή, η κίνηση κάθε υλικού σηµμείου στο χώρο διέπεται από µμια διαφορική εξίσωση ης τάξης τη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνησης : d x = f (x, x,t) (ΘΕΚ) dt Η συνάρτηση 1 που υπεισέρχεται στο δεύτερο µμέλος της ΘΕΚ καθορίζεται από τα φυσικά εµμπειρικά δεδοµμένα και ορίζεται στο καρτεσιανό γινόµμενο του χώρου των θέσεων, του χώρου των ταχυτήτων και του χρονικού άξονα, µμε τιµμές στο χώρο των θέσεων. Έτσι, έχοντας ως δεδοµμένη αυτή τη συνάρτηση: f : 3 3 3, f (x, x,t) = ( f 1 (x, x,t), f (x, x,t), f 3 (x, x,t)), τίθεται ως αναλυτικό ζητούµμενο ο υπολογισµμός της λύσης της διαφορικής αυ- τής εξίσωσης για τις δεδοµμένες αρχικές συνθήκες θέσης και ταχύτητας: x :Ι 3, x(t o ) = x o, x(t o ) = v o. Το θεώρηµμα ύπαρξης και µμοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώ- σεων, εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις του, υποδεικνύει ότι η γνώση της θέσης και της ταχύτητας του υλικού σηµμείου, κάποια στιγµμή της κίνησής του, ορίζει µμία µμοναδική λύση που πληροί αυτές τις συνθήκες και η εικόνα αυτής της λύσης δίνει την τροχιά του υλικού σηµμείου στο χώρο. Στη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνησης συνοψίζονται τρεις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης οι οποίες εκφράζονται στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς ως εξής: d x i dt = f i (x, x,t), i = 1,,3. Από τη λύση που πληροί τις δεδοµμένες αρχικές συνθήκες απορρέει η παραµμε- τρική έκφραση της τροχιάς του υλικού σηµμείου στο χώρο ως προς το χρόνο: x(t) = (x 1 (t),x (t),x 3 (t)). 1 Το φυσικό νόηµμα αυτής της συνάρτησης που υπεισέρχεται στη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνησης αναδεικνύεται µμέσα από τους νόµμους που εισήγαγε αξιωµματικά ο Νεύτωνας.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας: Υπάρχει µια κλάση προνοµιούχων συστηµάτων αναφοράς, των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς, στα οποία οι γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί διατηρούν αναλλοίωτη τη θεµελιώδη εξίσωση της κίνησης. Η αξιωµματική αυτή αρχή διασφαλίζει ορθολογικά την ύπαρξη των αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς. Η ανάγκη αξιωµματικής εισαγωγής τους οφείλεται στην αδυναµμία απόλυτης πειραµματικής διαπίστωσης της ύπαρξής τους στη φύση. Στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, σύµμφωνα µμε αυτή την αρχή, οι γαλιλα- ϊκοί µμετασχηµματισµμοί διατηρούν αναλλοίωτη τη ΘΕΚ. Αυτό σηµμαίνει ότι οι γαλι- λαϊκοί µμετασχηµματισµμοί µμετατρέπουν κάθε κίνηση που διέπεται από τη ΘΕΚ σε κίνηση που διέπεται από την ίδια ακριβώς εξίσωση µμε το ίδιο δεύτερο µμέλος αλλά µμε άλλες αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας. Συγκεκριµμένα, δυο παρατηρητές που καταγράφουν την κίνηση ενός σώµματος στο χώρο, ο καθένας στο δικό του αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς, αποδίδουν στο σώµμα, κάθε δεδοµμένη χρονική στιγµμή, διαφορετική θέση και διαφορετική ταχύτητα αλλά ίδια επιτάχυνση. Έτσι, δηλώνουν ότι η κίνησή του διέπεται από την ίδια εξίσωση αλλά η τροχιά του καθορίζεται από διαφορετικές αρχικές συν- θήκες. Όµμως, ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε µμη αδρανειακό σύστηµμα ανα- φοράς αποδίδει κάθε στιγµμή στην κίνηση του σώµματος όχι µμόνο διαφορετική θέση και ταχύτητα αλλά και διαφορετική επιτάχυνση από αυτή που αποδίδουν οι αδρανειακοί παρατηρητές. Έτσι, δηλώνει την διαφωνία του στους αδρανεια- κούς παρατηρητές ως προς τη συνάρτηση που αυτοί αποδέχονται και εισάγουν στο δεύτερο µμέλος της θεµμελιώδους εξίσωσης προκειµμένου να προσδιορίσουν από το δικό τους σύστηµμα αναφοράς την κίνηση του σώµματος στο χώρο.1 Εντοπισµμός της κίνησης ενός σηµμείου στο χώρο από διαφορετικά συστήµματα αναφοράς. 1 Το φυσικό νόηµμα της ερµμηνείας των κινήσεων στα µμη αδρανειακά συστήµματα αναφοράς θα αναδειχθεί σε επόµμενο µμάθηµμα µμε τη θεώρηση των αδρανειακών δυνάµμεων. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 93 3.. Θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης και γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί. Οι δυο θεµμελιώδεις αξιωµματικές αρχές διαµμορφώνουν την ορθολογική βάση για την ανάλυση και ερµμηνεία των κινήσεων στο χώρο. Σύµμφωνα µμε αυτές τις αρχές, κάθε κίνηση διέπεται από µμια διαφορική εξίσωση ης τάξης (ΘΕΚ) και η εξίσωση αυτή διατηρείται αναλλοίωτη στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, δηλαδή δεν επηρεάζεται από τις χρονικές µμεταφορές, τις χωρικές µμεταφορές, τις χωρι- κές στροφές και τις αδρανειακές µμετατοπίσεις, κατά την εξής έννοια: Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =x(t + t o ), t o. Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =x(t) + x o, x o 3. Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =S(x(t)), S SO(3). Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =x(t) + v o t, v o 3. Ο θεµμελιώδης νόµμος που διέπει την κίνηση των σωµμάτων στο χώρο, όπως όλοι οι νόµμοι της φύσης, δεν αλλοιώνεται στο πέρασµμα του χρόνου. Αυτό απορρέει ορθολογικά από το γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό που εκφράζει την οµμογένεια του χρόνου και αφήνει αναλλοίωτη τη δοµμή του κλασικού χωροχρόνου. Συνεπώς, ο χρόνος δεν εµμφανίζεται ως ανεξάρτητη µμεταβλητή αλλά υπεισέρχεται ως παρά- µμετρος στη ΘΕΚ, άρα η έκφρασή της οφείλει να έχει ως εξής: 1 d x = f (x, x) (ΘΕΚ) dt Ας θεωρήσουµμε δυο συστήµματα αναφοράς R και R στις συντεταγµμένες των οποίων καταγράφεται αντίστοιχα η κίνηση ενός υλικού σηµμείου στο χώρο: ( R ) x(t) = ( x 1 (t),x (t),x 3 (t)) και ( R ) ( ). x (t) = x 1 (t), x (t), x 3 (t) Αν πρόκειται για αδρανειακά συστήµματα αναφοράς τότε η ΘΕΚ που διέπει αυτή την κίνηση εκφράζεται αντίστοιχα ως εξής: ΘΕΚ - R : d x(t) = f (x(t), x(t)) και dt ΘΕΚ - R : d x (t) = f ( x (t), x (t)). dt Πρόκειται για την ίδια εξίσωση, στο δεύτερο µμέλος της οποίας υπεισέρχεται η ίδια ακριβώς συνάρτηση, εκφρασµμένη στις αντίστοιχες συντεταγµμένες των δυο αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς. 1 Αν όµμως η κίνηση του σώµματος στο χώρο επηρεάζεται από άλλα εξωτερικά συστήµματα σωµμάτων, η επίδραση αυτή εκφράζεται ως χρονική µμεταβολή των παραµμέτρων οι οποίες υπεισέρχονται στην εξίσωση της κίνησης και έτσι ο χρόνος µμπορεί να εµμφανιστεί ως ανεξάρτητη µμεταβλητή κατά την υπολογιστική διαδικασία επίλυσης ή µμελέτης της εξίσωσης της κίνησης.

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η τροχιά της κίνησης προκύπτει λοιπόν στα αντίστοιχα συστήµματα αναφοράς από διαφορετικές λύσεις της ίδιας εξίσωσης που ορίζονται από διαφορετικές αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας και σχετίζονται µμεταξύ τους δι- αµμέσου µμιας χωρικής στροφής, µμιας χωρικής µμεταφοράς και µμιας αδρανειακής µμετατόπισης όπως υπαγορεύεται από τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς: Χωρική στροφή: (t) = S x(t) x (t) = S x(t) x (t) = S x(t) x Χωρική µμεταφορά: x (t) = x(t) + xo x (t) = x(t) = S f (x, x), S SO(3). f (S x, S x) x (t) = x(t) = f (x, x), xo 3. f (x + xo, x) + vo x (t) = x(t) Αδρανειακή µμετατόπιση: x (t) = x(t) + vot x (t) = x(t) = f (x, x), vo 3.1 f (x + vot, x) Τα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς προκύπτουν το ένα από το άλλο µμε εκτέ- λεση µμιας χωρικής στροφής, µμιας µμεταφοράς και µμιας αδρανειακής µμετατόπι- σης. Στο σύνολο των συστηµμάτων αναφοράς ορίζεται έτσι µμια σχέση ισοδυνα- µμίας ανακλαστική, συµμµμετρική, µμεταβατική από την οποία αναδεικνύεται η προνοµμιούχος κλάση των αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς όπου διατηρεί- ται αναλλοίωτη η ΘΕΚ. Συνεπώς, κάθε σύστηµμα αναφοράς που κινείται στο χώρο ευθύγραµμµμα οµμαλά ως προς ένα αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς ανήκει και αυτό στην κλάση των αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς. Κάθε σύστηµμα αναφοράς που κινείται ευθύγραµμµμα οµμαλά ως προς ένα αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς ανήκει και αυτό στην κλάση των αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς. Αν ένα σύστηµμα αναφοράς εκτελεί, π.χ., ευθύγραµμµμη επιταχυνόµμενη κίνηση ως προς ένα αδρανει- ακό σύστηµμα αναφοράς τότε η εξίσωση της κίνησης αλλοιώνεται ως εξής: 1 xi (t) = xi (t) + vi (t) t x i (t) = x i (t) + vi (t) + v i (t) t x i (t) = x i (t) + v i (t) + v i (t) t, i = 1,,3. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 95 3.3. Παραδείγματα και υπολογιστική πρακτική του 3 ου μαθήματος. Τα παραδείγµματα που ακολουθούν έχουν σκοπό την υπολογιστική εξοικείωση µμε τις αξιωµματικές αρχές του νευτώνειου ντετερµμινισµμού και της γαλιλαϊκής σχετικότητας των κινήσεων στο χώρο στο πλαίσιο της Κλασικής Μηχανικής. Ø Παράδειγμα 1. Η ανάλυση της κίνησης κατά την ελεύθερη πτώση. Ο Γαλιλαίος ανέδειξε πειραµματικά ότι τα σώµματα κατά την πτώση τους προς το έδαφος υπό την επίδραση του βάρους τους, όποια και είναι η µμάζα τους, απο- κτούν την ίδια σταθερή επιτάχυνση. Ο Νεύτωνας, λίγο αργότερα, υπολόγισε τη βαρυτική δύναµμη που καθορίζει τη σταθερή αυτή επιτάχυνση και η οποία προσ- δίδει σε κάθε σώµμα, ανάλογα µμε τη µμάζα του, το βάρος του: B = m g. Στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, η εξίσωση που διέπει την κίνηση του σώµματος υπό την επίδραση του βάρους του εκφράζεται ως εξής: 1 και προκύπτει: x(t) = g m d x dt = B d x dt = g (ΘΕΚ) x(t) = v o + g t x(t) = x o + v o t + 1 g t. Ελεύθερη πτώση σηµμαίνει ότι το σώµμα αφέθηκε να κινηθεί υπό την επίδραση του βάρους του από ένα δεδοµμένο ύψος µμε µμηδενική αρχική ταχύτητα, οπότε, τοποθετώντας το σύστηµμα αναφοράς στο σηµμείο πτώσης του σώµματος, προ- κύπτει ο νόµμος της ελεύθερης πτώσης που είχε υποδείξει ο Γαλιλαίος: x(t) = x o + 1 g t h(t) = h(0) 1 g t. Ο Γαλιλαίος είχε πράγµματι υποδείξει ότι από την έναρξη της ελεύθερης πτώσης, κάθε χρονική στιγµμή, η διανυθείσα απόσταση από το σώµμα είναι ανάλογη του τετραγώνου του παρελθόντος χρόνου. Σηµμείωσε επίσης ότι το συµμπέρασµμά του θα ίσχυε µμε απόλυτη ακρίβεια αν µμεταξύ του αρχικού και τελικού σηµμείου της πτώσης υπήρχε κενό. Από την έκφραση αυτή υπολογίζεται απευθείας ο χρό- νος που θα µμεσολαβήσει από τη στιγµμή της έναρξης της ελεύθερης πτώσης από δεδοµμένο ύψος h έως τη στιγµμή της πρόσκρουσης του σώµματος στο έδαφος και το µμέτρο της ταχύτητάς του τη στιγµμή της πρόσκρουσης στο έδαφος: Δ ιάρκεια της ελεύθερης πτώσης : τ = h / g, Ταχύτητα πρόσκρουσης : υ τ = hg. 1 Η εξίσωση αυτή αφορά στην κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας, όπως το κέντρο µμάζας του σώµματος.

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ø Παράδειγμα. Η αρχή της σχετικότητας και η ελεύθερη πτώση. Στην ακόλουθη εικόνα φαίνεται ένα πλοίο που κινείται ευθύγραµμµμα οµμαλά σε απόλυτα ήρεµμη θάλασσα και από την κορυφή του καταρτιού κάποιος αφήνει να πέσει ελεύθερα ένα σφαιρικό σώµμα. Την πτώση παρατηρούν, αφενός ο παρατη- ρητής που βρίσκεται στο πλοίο και αφετέρου ένας παρατηρητής που βρίσκεται ακίνητος στη στεριά του οποίου το σύστηµμα αναφοράς είναι αδρανειακό. Αφού το πλοίο κινείται ευθύγραµμµμα µμε σταθερή ταχύτητα, το σύστηµμα αναφοράς του παρατηρητή που βρίσκεται στο πλοίο είναι επίσης αδρανειακό. Γαλιλαϊκή σχετικότητα των κινήσεων. Το σύστηµμα αναφοράς της στεριάς, µμε κατάλληλη χωρική στροφή και µμεταφο- ρά θα παραλληλιστεί µμε το σύστηµμα αναφοράς του πλοίου στη γραµμµμή πλεύσης του και θα συσχετιστεί αδρανειακά µμε αυτό όταν υποστεί την αδρανειακή µμετα- τόπιση που ορίζεται από τη σταθερή ταχύτητα του πλοίου. Από τη σύνθεση αυ- τής της χωρικής στροφής µμε τη χωρική µμεταφορά και την αδρανειακή µμετατό- πιση προκύπτει ο γαλιλαϊκός µμετασχηµματισµμός που συσχετίζει τα δυο αδρανει- ακά συστήµματα αναφοράς, της στεριάς και του πλοίου, αφήνοντας αναλλοίωτη, όπως λέει η γαλιλαϊκή αρχή της σχετικότητας, την εξίσωση της κίνησης του σώ- µματος που αφέθηκε να πέσει υπό την επίδραση του βάρους του από την κορυφή του καταρτιού. Αυτό σηµμαίνει ότι οι παρατηρητές θα γράψουν, ο καθένας στο δικό του σύστηµμα αναφοράς, την ίδια εξίσωση κίνησης: d x(t) dt = f (x, x) και d x (t) = f ( x, x ). dt Ο γαλιλαϊκός µμετασχηµματισµμός της αδρανειακής µμετατόπισης που ορίζεται από τη σταθερή ταχύτητα του πλοίου υποδεικνύει ότι: 1 x (t) = x(t) + v o t x (t) = x(t) + v o x (t) = x(t) f (x, x) = f ( x, x ). 1 Χάρη απλότητας, ας πούµμε ότι τα δυο συστήµματα αναφοράς βρίσκονται σε ίδιο οριζόντιο επίπεδο και έχουν τους αντίστοιχους άξονές τους σε παραλληλία µμε τον ίδιο προσανατολισµμό.

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 97 Οι δυο παρατηρητές θα λύσουν λοιπόν την ίδια ακριβώς εξίσωση, όµμως για τον υπολογισµμό της λύσης που δίνει την τροχιά της σφαίρας οφείλουν να δώσουν διαφορετικές τιµμές στην αρχική της θέση και την αρχική της ταχύτητα: m x(t) = m g x(t) = g x(t) = v o + g t x(t) = x o + v o t + 1 g t. Για τον παρατηρητή που βρίσκεται στο πλοίο, η σφαίρα ξεκινά µμε µμηδενική αρ- χική ταχύτητα, οπότε δηλώνει ότι θα πέσει κατακόρυφα στη βάση του καταρ- τιού. Πράγµματι, αν ο τρίτος άξονας του συστήµματος αναφοράς του πλοίου συµμ- πίπτει µμε το κατάρτι και η σφαίρα αφεθεί από ύψος h, η λύση που θα υποδείξει την κίνηση της σφαίρας εκφράζεται στο σύστηµμα αναφοράς του ως εξής: x (t) = xo + 1 g t x 1 (t) = 0, x (t) = 0, x 3 (t) = h 1 g t, και η ταχύτητά της θα είναι κάθε στιγµμή η εξής: x (t) = g t x1 (t) = 0, x (t) = 0, x 3 (t) = g t. Για τον παρατηρητή που βρίσκεται στη στεριά, η σφαίρα ξεκινά µμε αρχική τα- χύτητα εκείνη του πλοίου και, υπολογίζοντας τις σταθερές της ολοκλήρωσης, µμε δεδοµμένη τη σταθερή ταχύτητα του πλοίου και την αρχική θέση της σφαίρας στο σύστηµμα αναφοράς του, δηλώνει ότι η σφαίρα θα διαγράψει παραβολική τροχιά όπως υποδεικνύει η αντίστοιχη λύση στο σύστηµμα αναφοράς του: x 1 (t) = x 01 + v 01 t, x (t) = x 0 + v 0 t, x 3 (t) = x 03 1 gt, και η ταχύτητά της θα είναι κάθε στιγµμή η εξής: x 1 (t) = v 01, x (t) = v 0, x 3 (t) = gt. Ø Παράδειγμα 3. Η ανάλυση της βαλλιστικής κίνησης χωρίς τριβές. Ο Γαλιλαίος είχε πειστεί πειραµματικά ότι ο νόµμος που διέπει τη βαλλιστική κί- νηση των σωµμάτων προκύπτει από τη σύνθεση του νόµμου της κατακόρυφης κίνησης που οφείλεται στο βάρος τους και το νόµμο της οριζόντιας κίνησης που οφείλεται στην αρχική τους ταχύτητα. Είχε επίσης διαπιστώσει ότι η τροχιά της βαλλιστικής κίνησης είναι παραβολική και ότι δεν επηρεάζεται από τη µμάζα του σώµματος. Επιπλέον, ήξερε ότι είτε το σώµμα αφεθεί χωρίς αρχική ταχύτητα από κάποια θέση, είτε εκτοξευτεί οριζόντια µμε οποιαδήποτε ταχύτητα από την ίδια θέση, µμεσολαβεί ίδιος χρόνος έως ότου φτάσει στο έδαφος. Οι διαπιστώσεις του προκύπτουν πλέον ως συµμπεράσµματα από την εξίσωση του Νεύτωνα: m x(t) = m g x(t) = g x(t) = v o + g t x(t) = x o + v o t + 1 g t.

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Συγκεκριµμένα, στους άξονες του συστήµματος αναφοράς προκύπτει: x 1 (t) = 0 x 1 (t) = v 01 x 1 (t) = x 01 + v 01 t x (t) = 0 x 3 (t) = g x (t) = v 0 x 3 (t) = v 03 gt x (t) = x 0 + v 0 t x 3 (t) = x 03 + v 03 t gt / Η τροχιά της βαλλιστικής κίνησης διαγράφεται στο επίπεδο που ορίζεται από τα διανύσµματα της βαρυτικής επιτάχυνσης και της αρχικής ταχύτητας. Αν το σύστηµμα αναφοράς τοποθετηθεί στη θέση βολής έτσι ώστε το επίπεδο της κί- νησης να είναι ένα από τα συντεταγµμένα επίπεδα, σε αυτό το σύστηµμα αναφο- ράς, χρησιµμοποιώντας νέους προφανείς συµμβολισµμούς, η έκφραση της τροχιάς και της ταχύτητας αναδεικνύουν την ορθότητα της εικασίας του Γαλιλαίου: x(t) = v ox t, z(t) = v oz t g t / και x(t) = v ox, z(t) = v oz g t. Εισάγοντας την γωνία βολής και το µμέτρο της αρχικής ταχύτητας, η τροχιά και η ταχύτητα της βαλλιστικής κίνησης αποκτούν την ακόλουθη έκφραση: x(t) = (υ o cosα )t, z(t) = (υ o sinα )t g t / και x(t) = υ o cosα, z(t) = υ o sinα g t. Συµμπεράσµματα: o Παραβολικότητα της βαλλιστικής τροχιάς Αρχικές συνθήκες της βαλλιστικής κίνησης. Η παραβολικότητα διαπιστώνεται µμε απαλοιφή του χρόνου στις προαναφερό- µμενες σχέσεις που ορίζουν τη βαλλιστική κίνηση: o Δ ιάρκεια της βαλλιστικής κίνησης z = ax + bx, a = g/v ox, b = v oz /v ox. Η χρονική διάρκεια, από τη στιγµμή της έναρξής της βαλλιστικής κίνησης έως τη στιγµμή της πρόσκρουσης του σώµματος στο έδαφος, υπολογίζεται µμε µμηδενισµμό της τρίτης συνιστώσας της θέσης: Δt = v 03 g = υ o g sinα.

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 99 o Βεληνεκές της βαλλιστικής κίνησης Το βεληνεκές της τροχιάς υπολογίζεται θέτοντας στην οριζόντια συνιστώσα της θέσης την τιµμή του χρόνου λήξης της βαλλιστικής κίνησης ή εντοπίζοντας το σηµμείο όπου η παραβολή τέµμνει καταληκτικά τον οριζόντιο άξονα: max = b /a = v 0 v 03 g o Ανώτατο ύψος της βαλλιστικής τροχιάς = υ o sin α. g Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων υποδεικνύει ότι το σώµμα θα βρεθεί στο ανώτατο σηµμείο της τροχιάς του τη στιγµμή που θα µμηδενιστεί η κατακό- ρυφη συνιστώσα της ταχύτητάς του, δηλαδή τη στιγµμή t o = v 03 / g : h max = b /4a = v 03 g = υ o g sin α. o Καµπυλότητα στο ανώτατο σηµείο της βαλλιστικής τροχιάς Η καµμπυλότητα της τροχιάς στο ανώτατο σηµμείο της υπολογίζεται ως εξής: κ(t o ) = v(t ο ) a(t ο ) v(t = g ο ) 3 = v 0 g υ o cos α. o Σύνορο προσβασιµότητας κατά τη µεταβολή της γωνίας βολής Αφήνοντας ελεύθερη την επιλογή της γωνίας βολής και κρατώντας σταθερό το µμέτρο της αρχικής ταχύτητας και δεδοµμένο το επίπεδο της κίνησης, τίθεται το ερώτηµμα του εντοπισµμού των ακραίων θέσεων πρόσβασης των βαλλιστικών τροχιών σε αυτό το επίπεδο. Ξέρουµμε ότι η παραβολή στην οποία εξελίσσεται η βαλλιστική τροχιά ορίζεται στο δεδοµμένο επίπεδο µμε την εξίσωση: ax bx + z = 0, a = g / υ o cos α, b = tanα, και θέτοντας u = tanα η εξίσωση αυτή διατυπώνεται ως εξής: c x u xu + z + c x = 0, c = g / υ o. Ο υπολογισµμός της διακρίνουσας αυτού του τριωνύµμου ως προς u οδηγεί στο συµμπέρασµμα ότι οι ακραίες θέσεις πρόσβασης για τις διάφορες τιµμές της γωνίας βολής ορίζουν στο δεδοµμένο επίπεδο κίνησης την ακόλουθη παραβολή: z = (g /υ o ) x + (υ o /g). Κάθε σηµμείο της περιβάλλουσας αυτής παραβολής είναι προσβάσιµμο µμε µμια µμο- ναδική επιλογή της γωνίας βολής και κάθε θέση κάτω από αυτήν είναι προσβά- σιµμη µμε δυο διαφορετικές επιλογές της γωνίες βολής. Αφήνοντας ελεύθερο το

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ επίπεδο κίνησης να περιστραφεί γύρω από την κατακόρυφο σχηµματίζεται µμια παραβολική επιφάνεια περιβάλλουσα των βαλλιστικών τροχιών µμε ελεύθερη τη γωνία βολής και αρχική ταχύτητα δεδοµμένου σταθερού µμέτρου υ ο. Σύνορο προσβασιµμότητας των βαλλιστικών τροχιών κατά τη µμεταβολή της γωνίας βολής. Ø Παράδειγμα 4. Η ανάλυση της βαλλιστικής κίνησης με τριβές. Ο Γαλιλαίος είχε πει ότι κατά τη βαλλιστική κίνηση όποια διαφορά υπάρξει µμε- ταξύ των συµμπερασµμάτων του και της πραγµματικότητας, οφείλεται στην αντί- σταση του αέρα. Αν στη θεωρητική ανάλυση ληφθεί υπόψη η αντίσταση του αέρα, στην πράξη ανάλογη της ταχύτητας, η εξίσωση της κίνησης έχει ως εξής: m x = m g ρ x m x + ρ x = m g. Πρόκειται για σύστηµμα διαφορικών εξισώσεων που διατυπώνεται ως εξής: mx 1 + ρ x 1 = 0 mx + ρ x = 0 mx 3 + ρ x 3 = mg x 1 (t) = c 1 e t/λ x (t) = c e t/λ x 3 (t) = c 3 e t/λ λg Στις εξισώσεις αυτές έχουµμε θέσει λ=m/ρ και, υπολογίζοντας τις σταθερές της ολοκλήρωσης από τις αρχικές συνθήκες της ταχύτητας, προκύπτει: v o = (0, υ ο cosα, υ ο sinα ) x 1 (t) = 0 x (t) = e t/λ υ o cosα x 3 (t) = e t/λ (λg +υ o sinα ) λg Επαναλαµμβάνοντας την ολοκλήρωση προκύπτει: x 1 (t) = c 1 x (t) = λe t/λ υ o cosα + c x 3 (t) = λ e t/λ (λg +υ o sinα ) λg t + c 3 και υπολογίζοντας τις νέες σταθερές από τις αρχικές συνθήκες της θέσης: x 1 (t) = 0 x (t) = λ(1 e t/λ )υ o cosα x 3 (t) = λ(1 e t/λ )(λg +υ o sinα ) λg t

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 101 Συνεπώς, όπως και στην περίπτωση ανυπαρξίας τριβών, η τροχιά διαγράφεται στο επίπεδο που ορίζεται από τα διανύσµματα της βαρυτικής επιτάχυνσης και της αρχικής ταχύτητας και χρησιµμοποιώντας νέους προφανείς συµμβολισµμούς, η έκφραση της τροχιάς έχει ως εξής: x(t) = λ(1 e t/λ )v ox, z(t) = λ(1 e t/λ )(λg + v oz ) λg t. Άρα, όταν ληφθούν υπόψη οι τριβές, η τροχιά της βαλλιστικής κίνησης, τείνον- τας οριακά στο βεληνεκές της έχει ασυµμπτωτική συµμπεριφορά µμε κατακόρυφη ασύµμπτωτη στο σηµμείο x= λv ox. Τροχιά της βαλλιστικής κίνησης όταν η αντίσταση του αέρα είναι αµμελητέα και όταν είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώµματος. Ø Παράδειγμα 5. Η γαλιλαϊκή αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων. Στην ακόλουθη εικόνα φαίνεται ένας δροµμέας που τρέχει έτσι ώστε κάθε στιγµμή να βρίσκεται ακριβώς κάτω από την µμπάλα την οποία έχει ρίξει κάποιος άλλος παίκτης. Την πορεία της µμπάλας παρακολουθούν, αφενός ο παρατηρητής που είναι ακίνητος στο έδαφος και αφετέρου ο δροµμέας. Στην πράξη οι τριβές µμε τον αέρα θεωρούνται αµμελητέες. Ζητούµμενο είναι να αναλύσουµμε το πώς αντι- λαµμβάνεται ο καθένας από αυτούς την τροχιά της µμπάλας κατά την πορεία της. Ο νόµμος που διέπει τη βαλλιστική κίνηση της µμπάλας αποτελεί σύνθεση του νόµμου της ελεύθερης πτώσης που οφείλεται στη βαρύτητα και του νόµμου της οριζόντιας κίνησης που οφείλεται στην αρχική ταχύτητα της µμπάλας. Άλλωστε, αυτό ακριβώς προβλέπει η γαλιλαϊκή αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων και προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης της κίνησης της µμπάλας, όπως αυτή εκφράζεται στο αδρανειακού σύστηµμα αναφοράς του ακίνητου παρατηρητή:

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ x(t) = g x(t) = v o + g t x(t) = x o + v o t + 1 g t. Κατά τη διάρκεια της κίνησης της µμπάλας, η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτη- τάς της παραµμένει σταθερή, όπως ορίστηκε την αρχική στιγµμή της βολής. Άρα, ο δροµμέας, για να βρίσκεται κάθε στιγµμή ακριβώς κάτω από τη µμπάλα, οφείλει να τρέχει σε ευθεία πορεία µμε σταθερή ταχύτητα όπως αυτή της οριζόντιας συ- νιστώσας της ταχύτητάς της. Συνεπώς, το κινούµμενο σύστηµμα αναφοράς του δροµμέα είναι επίσης αδρανειακό, οπότε ο δροµμέας και ο ακίνητος παρατηρητής θα λύσουν την ίδια εξίσωση κίνησης, δίνοντας όµμως διαφορετικές αρχικές συν- θήκες, αφού κάθε στιγµμή αποδίδουν στη µμπάλα διαφορετική θέση και ταχύτη- τα αλλά ίδια επιτάχυνση. Τη στιγµμή της βολής της µμπάλας, ο δροµμέας, προχωρώντας µμε τη σταθερή του ταχύτητα, την βλέπει, στον κατακόρυφο άξονα του συστήµματος αναφοράς του. Κατόπιν, ενώ αυτός προχωρά, την βλέπει να ανυψώνεται κατακόρυφα πάνω από το κεφάλι του και, αφού φτάσει σε µμια ανώτατη θέση, επιστρέφει κατακό- ρυφα προς αυτόν έως τη στιγµμή του µμηδενισµμού της κατακόρυφης συνιστώ- σας της ταχύτητάς της, όπως ακριβώς υποδεικνύει η λύση που υπολόγισε, µμε τις δικές του αρχικές συνθήκες, στο σύστηµμα αναφοράς του: x 1 (t) = x (t) = 0, x 3 (t) = v 03 t 1 gt, x 1 (t) = x (t) = 0, x 3 (t) = v 03 gt. Ο δροµμέας θα πει ότι το ανώτατο ύψος στο οποίο έφτασε κατακόρυφα η µμπά- λα και η στιγµμή που έφτασε σε αυτό το ύψος υπολογίζονται ως εξής: h ο = 1 v / g, t 03 o = v 03 / g. Ο ακίνητος παρατηρητής θα πει ότι η µμπάλα θα φτάσει την ίδια στιγµμή στο ίδιο ύψος αλλά διαγράφοντας παραβολική τροχιά, όπως υποδεικνύει η λύση που υπολόγισε, µμε τις δικές του αρχικές συνθήκες, στο σύστηµμα αναφοράς του: x 1 (t) = v 01, x (t) = v 0, x 3 (t) = v 03 gt, x 1 (t) = x 01 + v 01 t, x (t) = x 0 + v 0 t, x 3 (t) = x 03 + v 03 t 1 gt. Ø Παράδειγμα 6. Αναζητώντας το μέλλον και το παρελθόν μιας κίνησης. Στην ακόλουθη εικόνα φαίνεται, σε σµμίκρυνση 10:1, η διαδροµμή που διήνυσε µμια σηµμειακή µμάζα από το µμεσηµμέρι µμέχρι τα µμεσάνυχτα µμιας µμέρας υπό την επίδρα- ση µμιας άγνωστης δύναµμης. Αυτό που ξέρουµμε είναι ότι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης της σηµμειακής µμάζας η γωνιακή της ταχύτητα είναι σταθερή, η ακτινι- κή της ταχύτητα είναι ανάλογη κάθε στιγµμή προς την απόσταση της από ένα άγνωστο σηµμείο του χώρου και η στρέψη της τροχιάς της είναι µμηδενική. Πώς θα προβλέψουµμε το µμέλλον και θα µμάθουµμε το παρελθόν αυτής της κίνησης;

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 103 Η τροχιά της σηµμειακής µμάζας, από το µμεσηµμέρι µμέχρι τα µμεσάνυχτα µμιας µμέρας. Οι πληροφορίες ως προς την ακτινική και τη γωνιακή ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας προτρέπουν στη χρήση πολικών συντεταγµμένων, λαµμβάνοντας υπόψη ότι η τροχιά της είναι επίπεδη. Η σταθερότητα της γωνιακής της ταχύτητας και η αναλογικότητα της ακτινικής της ταχύτητας προς την απόσταση της από ένα άγνωστο σταθερό σηµμείο Ο δηλώνονται στις πολικές συντεταγµμένες ως εξής: θ(t) = ω, r(t) = α r(t), α,ω. Όµμως, η αρχή του συστήµματος των πολικών συντεταγµμένων δεν είναι γνωστή. Πώς θα υπολογιστούν οι σταθερές που υπεισέρχονται σε αυτές τις εκφράσεις; Όπως υποδεικνύει το σχήµμα, στο 1ωρο από το µμεσηµμέρι έως τα µμεσάνυχτα µμιας µμέρας, το διάνυσµμα θέσης της σηµμειακής µμάζας στράφηκε κατά π ακτίνια. Αφού η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή, σε αυτό το 1ωρο, οι ωριαίες διαδο- χικές θέσεις της σηµμειακής µμάζας έχουν σταθερή γωνιακή απόκλιση π/6 και το ίδιο θα ισχύει σε όλη τη διάρκεια της κίνησης. Άρα, η τιµμή της γωνιακής ταχύ- τητας είναι π/6 ακτίνια ανά ώρα και έτσι προκύπτει: ω = θ(t) = π 6 θ(t) = π 6 t +θ(0) θ(t) = π 6 t. Η αναλογική σχέση της ακτινικής ταχύτητας υποδεικνύει ότι: r(t) = α r(t) lnr(t) = α t + c r(t) = r(0)e α t. Το ότι η ακτινική ταχύτητα είναι κάθε στιγµμή ανάλογη προς την απόσταση της σηµμειακής µμάζας από το άγνωστο κέντρο Ο υπαγορεύει ότι οι ωριαίες διαδοχι- κές τιµμές αυτής της απόστασης σχηµματίζουν γεωµμετρική πρόοδο. Άρα, κατά τη διάρκεια της κίνησης, οι ωριαίες διαδοχικές θέσεις ορίζουν µμια γεωµμετρική ακο- λουθία σηµμείων στο επίπεδο της κίνησης. Αν γνωρίζαµμε το σηµμείο Ο και το λό- γο αυτής της ακολουθίας, θα εντοπίζαµμε τις ωριαίες θέσεις και θα συµμπεραίνα- µμε τη θέση της σηµμειακής µμάζας κάθε λεπτό, κάθε στιγµμή. Η πληροφορία αυτή παρέχεται µμετρήσεις στη διαδροµμή που έχει δοθεί υπό κλίµμακα στο σχήµμα!

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Συγκεκριµμένα, αν A,B,C είναι οι θέσεις της σηµμειακής µμάζας στους αντίστοιχους χρόνους t=0, t=6, t=1, αξιοποιούµμε, από τις µμετρήσεις στο σχήµμα, τις πληρο- φορίες µμήκους των αποστάσεων αυτών των σηµμείων και διαπιστώνουµμε ότι: r o + r o e 6α = µ(ab), r o r o e 1α = µ(ac), r o e 6α + r o e 1α = µ(bc). Οι πειραµματικές µμετρήσεις παρουσιάζουν πάντα κάποιο σφάλµμα και πρέπει να προσέξουµμε ώστε να είναι όσο το δυνατό ακριβέστερες. Οι δικές µμας µμετρήσεις και η επίλυση των προηγούµμενων εξισώσεων οδήγησαν στις τιµμές: α 0,058, r o,8 r(t) =,8e 0,058 t. Συνεπώς, στο 1ωρο αυτό η απόσταση της σηµμειακής µμάζας από το κέντρο Ο µμειώνεται στο µμισό και αυτό επαναλαµμβάνεται κάθε φορά που συµμπληρώνεται µμια πλήρης περιστροφή. Πρόκειται λοιπόν για σπειροειδή κίνηση της οποίας η πολική έκφραση έχει ως εξής: r = r o (1/ ) θ /π. Το κέντρο Ο προς το οποίο κατευθύνεται η σπειροειδής τροχιά είναι το όριο της γεωµμετρικής ακολουθίας των διαδοχικών θέσεων της σηµμειακής µμάζας. Το διάνυσµμα της ταχύτητας της σηµμειακής µμάζας είναι πάντα εφαπτόµμενο σε κάθε σηµμείο της τροχιάς και έχει την ακόλουθη πολική έκφραση: 1 άρα υ(t) = r(t) e r + r(t) θ(t) e θ = r(t) ( α e r + ω e θ ) υ(t) = r o e α t α cosω t ω sinω t, α sinω t + ω cosω t ( ) όπου r o,8, α 0,058, ω = π / 6. 1 Το πέρασµμα από τις πολικές στις καρτεσιανές συντεταγµμένες υποδεικνύει ότι: x = r cosθ dx = cosθdr r sinθdθ e r = (cosθ, sinθ) y = r sinθ dy = sinθdr + r cosθdθ e θ = ( sinθ, cosθ)

ΜΑΘΗΜΑ 3 ο : ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΥ 105 Η σπειροειδής τροχιά της σηµμειακής µμάζας. 3.4. Ερωτήματα, προβληματισμοί και ασκήσεις του 3 ου μαθήματος. Τα ερωτήµματα και οι ασκήσεις που ακολουθούν έχουν σκοπό την εξοικείωση µμε τις έννοιες και τις υπολογιστικές τεχνικές στις οποίες βασίστηκε το µμάθηµμα. Για την επεξεργασία τους απαιτείται καλή γνώση βασικών εννοιών και ευχέρεια στη χρήση τεχνικών από τη θεωρία των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων. 1. Στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, η θεµμελιώδης εξίσωση της κίνησης διατηρείται αναλλοίωτη από τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς. Τι σηµμαίνει ακριβώς αυτό; Για παράδειγµμα, µμε ένα συγκεκριµμένο αριθµμητικό γαλιλαϊκό µμε- τασχηµματισµμό της επιλογής σας δείξτε αυτό το αναλλοίωτο στην περίπτωση της εξίσωσης της ελεύθερης πτώσης υπό την επίδραση της βαρύτητας. Εκτός από τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς, υπάρχουν άλλοι χωροχρονικοί µμετα- σχηµματισµμοί που αφήνουν αναλλοίωτη αυτή την εξίσωση;. Οι παρατηρητές που βρίσκονται σε αδρανειακά συστήµματα αναφοράς συµμ- φωνούν ως προς την εξίσωση που διέπει την κίνηση ενός σώµματος αλλά δια- φωνούν ως προς τις αρχικές συνθήκες που ορίζουν τη λύση η οποία υποδει- κνύει την τροχιά του στο χώρο. Γιατί συµμβαίνει αυτό; Τι θα έλεγε ένας παρατη- ρητής που βρίσκεται σε µμη αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς; 3. Τι θα λέγατε για τα χαρακτηριστικά µμιας βαλλιστικής κίνησης, βεληνεκούς 10 m και µμέγιστου ύψους 10 m, αν η βολή δεν πραγµματοποιηθεί από το έδαφος αλλά από ένα όχηµμα που εκτελεί ευθύγραµμµμη οµμαλή κίνηση 10 km/h ; Πώς θα ερµμηνεύσει αυτό το ερώτηµμα ένας παρατηρητής που βρίσκεται στο όχηµμα και ένας άλλος που στέκεται ακίνητος στο έδαφος; Τι διαφορετικό θα λέγατε, αν η κίνηση του οχήµματος ήταν οµμαλά επιταχυνόµμενη; 4. Ένα βλήµμα βάλλεται από την επιφάνεια του εδάφους, µμε ταχύτητα µμέτρου υ και γωνία θ ως προς το έδαφος, προκειµμένου να πλήξει στόχο που βρίσκεται σε οριζόντια απόσταση από τον σκοπευτή. Τη στιγµμή εκτόξευσης του βλή-

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ µματος, ο στόχος αρχίζει να αποµμακρύνεται από τον σκοπευτή κινούµμενος στον ίδιο άξονα µμε σταθερή ταχύτητα µμέτρου V. Εξετάστε αν αληθεύει ότι για να πλήξει το βλήµμα το στόχο πρέπει να ισχύει: υ sinθ (υ cosθ V ) = g. 5. Η κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας στον ευκλείδειο χώρο διέπεται από τη ΘΕΚ: d x 1 dt = x 1, d x dt = x, d x 3 dt = 0. Δείξτε ότι υπάρχει αρχική θέση και αρχική ταχύτητα έτσι ώστε η τροχιά της στο χώρο να είναι κυκλική ελικοειδής µμε καµμπυλότητα και στρέψη: κ=1/5 και τ=/5. 6. Η κίνηση µμιας σηµμειακής µμάζας στον ευκλείδειο χώρο διέπεται από τη ΘΕΚ: d x 1 dt = x, d x dt = x 1, d x 3 dt = 0. Εξετάστε αν υπάρχει αρχική θέση και αρχική ταχύτητα έτσι ώστε η τροχιά της στο χώρο να είναι κυκλική ελικοειδής. 7. Ένα τρένο, όπως αυτό που βλέπετε στην εικόνα, κινείται ευθύγραµμµμα οµμαλά και, λίγο πριν µμπει στο τούνελ, µμια σφαίρα βάλλεται από την οροφή του. Κατά την έξοδό του τρένου από το τούνελ, η σφαίρα πέφτοντας προσκρούει στο ίδιο ακριβώς σηµμείο της οροφής του από όπου έγινε η βολή. Αν η επίδραση του αέ- ρα στην κίνηση της σφαίρας είναι αµμελητέα, ποιες είναι οι ελάχιστες πληροφο- ρίες που χρειάζεστε ώστε να υπολογίσετε τη γωνία υπό την οποία έγινε η βολή και το µμέτρο της αρχικής της ταχύτητας; Τι θα έλεγε για την τροχιά της σφαί- ρας ένας παρατηρητής που θα βρισκόταν στο τρένο και ένας άλλος που θα στε- κόταν ακίνητος στο έδαφος; Τι διαφορετικό θα µμπορούσατε να πείτε αν, λίγο πριν την είσοδό του τρένου στο τούνελ, ο µμηχανοδηγός επιβράδυνε οµμαλά την ταχύτητά του; Δώστε αριθµμητικές τιµμές στις πληροφορίες που χρειάζεστε έτσι ώστε να έχετε συγκεκριµμένα αριθµμητικά συµμπεράσµματα.