ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μάθημα 1 ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών 1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΏΡΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα 1 ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών Το πρώτο μέρος του μαθήματος της Μαθηματικής Φυσικής αφορά στην τοπολογική και γεωμετρική μελέτη των θεσεογρα- φικών χώρων των φυσικών συστημάτων Οι χώροι αυτοί γενικά έχουν δομή διαφορικής πολλαπλότητας και χαρτογρα- φούνται τοπικά σε ευκλείδειους χώρους Η θεωρία των επιφανειών και οι ιδιότητες των ευκλείδειων χώρων και των συναρτήσεων που ορίζονται σε αυτούς, υπάγονται στις βασικές προπτυχιακές γνώσεις οι οποίες πρέπει να είναι σαφείς στη σκέψη των μεταπτυχιακών φοιτητών Το πρώτο μάθημα θα αφιερωθεί σε συνοπτική ανασκόπηση αυτών των εννοιών και θα ακολουθήσει η ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών πολλαπλοτήτων 1 ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΏΡΩΝ Ο όρος ευκλείδειος χώρος δηλώνει κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης εφοδι- ασμένο με την πράξη του εσωτερικού γινομένου Έτσι, απορρέει η ισομορφική ταύτιση κάθε n- διάστατου ευκλείδειου χώρου με τον πραγματικό διανυσματικό χώρο n Η διανυσματική δομή προσδίδει στα σημεία του διανυσματική υπόσταση και στο πλαίσιό της ισχύουν οι πράξεις της πρόσθεσης διανυσμάτων και του πολλαπλασιασμού τους με πραγματικούς αριθμούς Το εσωτερικό γινόμενο αποδίδει σε κάθε ζεύγος διανυ- σμάτων x, y n έναν πραγματικό αριθμό < x, y > που ορίζεται διαμέσου μιας διγραμμικής, συμμετρικής, θετικά ορισμένης, απεικόνισης: 1 <,>: n n 1 Γενικότερα, ένας οποιοσδήποτε n- διάστατος πραγματικός διανυσματικός χώρος Ε αποχτά ευκλείδεια δομή όταν εφοδιαστεί με μια διγραμμική συμμετρική θετικά ορισμένη απεικόνιση: Η διγραμμικότητα σημαίνει: και η συμμετρικότητα δηλώνει: ενώ ο όρος θετικά ορισμένη σημαίνει: < x + x, y >= < x, y > + < x, y >, x, x, y E, <,>: E E < x, y + y >= < x, y > + < x, y >, x, y, y E, λ < x, y >= < λ x, y >= < x,λ y >, x, y E, λ, < x, y > = < y, x >, x, y E, < x, x > 0, x E, < x, x > = 0 x = 0

2 Η μετρική δομή του ευκλείδειου χώρου n, στο πλαίσιο της οποίας προσμετρούνται οι αποστάσεις των σημείων του, προκύπτει από το εσωτερικό του γινόμενο Συγκεκριμένα, σε κάθε διάνυσμα αποδίδεται το μέ- τρο του το οποίο απορρέει από το εσωτερικό γινόμενο ως εξής : x = < x, x > Η απόσταση δυο σημείων του ευκλείδειου χώρου προσμετράται ως εξής: d(x, y) = x y Το εσωτερικό γινόμενο αποδίδει σε κάθε ζεύγος μη μηδενικών διανυσμάτων τη γωνία τους ως εξής: και έτσι προκύπτει η συνθήκη ορθογωνιότητας: Η συνθήκη ορθογωνιότητας 2 δηλώνει ότι: < x, y > = x y cosθ < x, y >= 0 x y x + y = x y και από αυτήν απορρέει ο χαρακτηρισμός των ορθοκανονικών βάσεων: < e i, e j > = δ ij (σύμβολο Kronecker), i, j = 1,,n Κάθε προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση ορίζει ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων στον ευκλείδειο χώρο n και οι ορθογώνιες προβολές στους άξονες αποδίδουν στα σημεία του καρτεσιανές συντεταγμένες: x i : n, i = 1,,n Αποσυνθέτοντας σε μια βάση του ευκλείδειου χώρου n τα διανύσματα: προκύπτει: n x = x ei i και i=1 n y = n j=1 y j ej < x, y > = x i y j < e i, e j > i,j=1 και στις ορθοκανονικές βάσεις προκύπτει η κανονική έκφραση: < x, y >= x 1 y x n y n Από την κανονική έκφραση του εσωτερικού γινομένου καθορίζεται η ευκλείδεια στάθμη: και η ευκλείδεια μετρική: x = x 2 2 ( x n ) 1/2 n d(x, y) = x i y i 2 i=1 1/2 2 Η γωνία που αποδίδεται από το εσωτερικό γινόμενο σε κάθε ζεύγος μη μηδενικών διανυσμάτων είναι μη προσανατολισμένη και παίρνει τις τιμές της στο διάστημα από 0 έως π όπως υποδεικνύεται από την ανισότητα Cauchy- Schwarz: < x, y > 2 x 2 y 2, x, y n 2

3 Από την ευκλείδεια μετρική απορρέει η τοπολογία του ευκλείδειου χώρου n στο πλαίσιο της οποίας ορί- ζονται οι έννοιες της γειτονικότητας, του ορίου και της συνέχειας Συγκεκριμένα, για κάθε σημείο, θέτοντας: s ρ (a) = {x n / d(a,x) < ρ}, ρ> 0, a n ορίζονται οι περιοχές του σημείου a n ως τα σύνολα V a n που πληρούν τη συνθήκη: ρ > 0 : s ρ (a) V a Έτσι, διατυπώνονται οι ορισμοί: Μια ακολουθία (x k ) k σημείων του ευκλείδειου χώρου n συγκλίνει στο σημείο a n όταν πληρούται η συνθήκη: ρ > 0, k o : k k o x k s ρ (a) Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο a n f : n όταν πληρούται η συνθήκη: ε > 0, ρ > 0 : x s ρ (a) f (x) ] f (a) ε, f (a) + ε[ Μια απεικόνιση είναι συνεχής στο σημείο a n f : n m, () ( (),, ()) f x f x f x, = 1 m όταν στο σημείο αυτό είναι συνεχείς οι συνιστώσες συναρτήσεις: γεγονός που εκφράζεται με τη συνθήκη: f i : n, i = 1,, m, ε > 0, ρ > 0 : x s ρ (a) n f (x) s ε ( f (a)) m Όταν δοθεί ένα υποσύνολο Σ n, τα σημεία του ευκλείδειου χώρου n ως προς αυτό το υποσύνολο: διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες Εσωτερικά σημεία του Σ: τα σημεία που διαθέτουν περιοχή εγκλεισμένη στο Σ, Εξωτερικά σημεία του Σ: τα σημεία που διαθέτουν περιοχή εγκλεισμένη στο Σ c, Συνοριακά σημεία του Σ: τα σημεία που δεν είναι εσωτερικά ή εξωτερικά του Σ Τα υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου n των οποίων όλα τα σημεία είναι εσωτερικά καλούνται ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας του Προφανώς, τα ανοιχτά σύνολα χαρακτηρίζονται από το ότι αποτελούν περιοχή κάθε σημείου τους Τα συμπληρώματα των ανοιχτών υποσυνόλων καλούνται κλειστά σύνολα της τοπολογίας του ευκλείδειου χώρου n Η συνέχεια μιας απεικόνισης: f : n m χαρακτηρίζεται από το ότι η προεικόνα κάθε ανοιχτού υποσυνόλου του n είναι ανοιχτό υποσύ- νολο του n και, προφανώς, ο χαρακτηρισμός αυτός είναι ισοδύναμος με το ότι η προεικόνα κάθε κλειστού υποσυνόλου του n είναι κλειστό υποσύνολο του n 3

4 Οι αμφιμονοσήμαντες και αμφισυνεχείς απεικονίσεις: f : n n καλούνται ομοιομορφισμοί του ευκλείδειου χώρου n και το σύνολό τους, εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης, έχει δομή ομάδας με ουδέτερο στοιχείο την ταυτοτική απεικόνιση Οι ομοιομορφισμοί μετασχημα- τίζουν αμφιμονοσήμαντα τα ανοιχτά σύνολα σε ανοιχτά σύνολα και τα κλειστά σύνολα σε κλειστά σύνολα στον ευκλείδειο χώρο n Οι ιδιότητες που διατηρούνται αναλλοίωτες από τους ομοιομορφισμούς καλούνται τοπολογικές ιδιότητες 3 Ο ευκλείδειος χώρος n κληροδοτεί σε κάθε υποσύνολό του Σ την επαγόμενη τοπολογία της οποίας τα ανοιχτά σύνολα είναι τα ίχνη που αφήνουν επάνω τους τα ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας του ευκλείδειου χώρου n Τα κλειστά σύνολα της επαγόμενης τοπολογίας στο Σ είναι τα συμπληρώματα των ανοιχτών υπο- συνόλων του Σ και προφανώς συμπίπτουν με τα ίχνη που αφήνουν επάνω τους τα κλειστά σύνολα της τοπο- λογίας του ευκλείδειου χώρου n Κάθε σύνολο Σ n εφοδιασμένο με την επαγόμενη τοπολογία καλείται τοπολογικός υπόχωρος του ευκλείδειου χώρου n Η συνέχεια μιας απεικόνισης: f : Σ n Σ m ορίζεται με το ότι η προεικόνα κάθε ανοιχτού υποσυνόλου του τοπολογικού υπόχωρου Σ m εί- ναι ανοιχτό υποσύνολο του τοπολογικού υπόχωρου Σ n Ο χαρακτηρισμός αυτός ισοδυναμεί με το ότι η προεικόνα κάθε κλειστού υποσυνόλου του Σ m είναι κλειστό υποσύνολο του Σ n Στον ευκλείδειο χώρο n, δυο υποσύνολα εφοδιασμένα με την επαγόμενη τοπολογία χαρακτη- ρίζονται ως ομοιόμορφα όταν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη και αμφισυνεχής απεικόνιση του ενός στο άλλο, δηλαδή όταν υπάρχει δυνατότητα ταύτισής τους διαμέσου ενός ομοιομορφισμού Έτσι ορίζεται η σχέση της τοπολογικής ισοδυναμίας στην οποία στηρίζεται η τοπολογική ταξινόμηση των υποσυνόλων του ευκλείδειου χώρου n Τα υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου n που ανήκουν σε ίδια κλάση τοπολογικής ισοδυναμίας έχουν ίδιες τοπολογικές ιδιότητες, δηλαδή ιδιότητες που δεν επηρεάζονται τους ομοιομορφικούς μετασχηματισμούς Οι κλασικότερες τοπολογικές ιδιότητες των υποσυνόλων των ευκλείδειων χώρων είναι η συμπάγεια και η συνεκτικότητα που θα υπεισέλθουν σε επόμενα μαθήματα Τα συμπαγή υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου n είναι τα κλειστά και φραγμένα υποσύνολά του, δηλαδή τα κλειστά υποσύνολα που εγκλείονται σε σφαίρα πεπερασμένης ακτίνας του ευκλείδειου χώρου n Η συμ- πάγεια είναι τοπολογική ιδιότητα και διατηρείται αναλλοίωτη από τους ομοιομορφικούς μετασχηματισμούς Τα συνεκτικά υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου n είναι τα υποσύνολά του που δεν επιδέχονται διαμερι- σμό σε ανοιχτά σύνολα της επαγόμενης τοπολογίας, άρα ούτε σε κλειστά σύνολά της και συνεπώς δεν διαθέτουν υποσύνολα, εκτός του εαυτού τους και του κενού, που να είναι συγχρόνως ανοιχτά και κλειστά σύνολα της επαγόμενης τοπολογίας Κάθε μη συνεκτικό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου n διαμερίζεται στις συνεκτικές συνιστώσες του, δηλαδή στα μέγιστα συνεκτικά υποσύνολά τους ή με άλλα λόγια στα υποσύ- νολά τους που είναι συγχρόνως ανοιχτά και κλειστά σύνολα της επαγόμενης τοπολογίας Η συνεκτικότητα διατηρείται αναλλοίωτη κατά τους ομοιομορφικούς μετασχηματισμούς, δηλαδή είναι τοπολογική ιδιότητα 3 Βλ Θεμελιώδεις Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ Πνευματικού, Αθήνα

5 Ο όρος δρόμος σε ένα υποσύνολο Σ του ευκλείδειου χώρου n, εφοδιασμένο με την επαγόμενη τοπολογία, δηλώνει κάθε συνεχή απεικόνιση: γ :[0,1] Σ n Δρόμοι στο ευκλείδειο επίπεδο Τα σημεία a =γ(0) και b =γ(1) καλούνται αντίστοιχα αρχή και πέρας του δρόμου και όταν συμπίπτουν λέμε ότι πρόκειται για κλειστό δρόμο Σε περίπτωση σταθερής απεικόνισης αναφερόμαστε σε σημειακό δρόμο Αν κάθε δυο σημεία του συνόλου Σ μπορούν να συνδεθούν με δρόμο που η εικόνα του περιέχεται εξολοκλήρου στο Σ, λέμε ότι το σύνολο αυτό είναι δρομοσυνεκτικό Η δρομοσυνεκτικότητα είναι τοπολογική ιδιότητα και διατηρείται αναλλοίωτη κατά τους ομοιομορφικούς μετασχηματισμούς Στον ευκλείδειο χώρο n, τα δρομο- συνεκτικά σύνολα είναι συνεκτικά αλλά το αντίστροφο ισχύει μόνο όταν πρόκειται για ανοιχτά σύνολα της τοπολογίας του Συνεκτικό υποσύνολο του ευκλείδειου επιπέδου που δεν είναι δρομοσυνεκτικό: Σ = {(x, y) 2 / x = 0, y 1} {(x, y) 2 / x 0, y = sin1/ x} Δυο δρόμοι μέσα σε ένα υποσύνολο Σ του ευκλείδειου χώρου n : γ:[0,1] Σ και γ :[0,1] Σ κοινής αρχής a Σ και κοινού πέρατος b Σ, καλούνται ομότοποι όταν μπορούν να ταυτιστούν διαμέσου μιας συνεχούς παραμόρφωσης, γεγονός που σημαίνει την ύπαρξη συνεχούς απεικόνισης: τέτοιας ώστε h :[0,1] [0,1] Σ ht (,0) =γ() t, ht (,1) =γ () t, t [0,1], h(0, s) = a, h(1, s) = b, s [0,1] Ομοτοπική παραμόρφωση δρόμων στο ευκλείδειο επίπεδο 5

6 Ομότοποι και μη ομότοποι δρόμοι σε δακτύλιο του ευκλείδειου επιπέδου Οι κλειστοί δρόμοι του συνόλου Σ που είναι ομότοποι με σημειακό δρόμο καλούνται συρρικνώσιμοι και αν όλοι οι κλειστοί δρόμοι του είναι συρρικνώσιμοι τότε λέμε ότι πρόκειται για απλά συνεκτικό υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου n Η απλή συνεκτικότητα είναι τοπολογική ιδιότητα, δηλαδή αν ένα σύνολο είναι απλά συνεκτικό τότε όλα τα ομοιόμορφά του σύνολα, εφοδιασμένα με την επαγόμενη τοπολογία, είναι απλά συνε- κτικά στον ευκλείδειο χώρο n Ο ευκλείδειος χώρος n είναι δρομοσυνεκτικός και απλά συνεκτικός Ομοτοπική συρρίκνωση δρόμου στο ευκλείδειο επίπεδο Σχόλια Το νόημα της τοπολογικής ταξινόμησης στους ευκλείδειους χώρους Η ομοιομορφία αποτελεί τη θεμελιώδη σχέση ισοδυναμίας στην οποία στηρίζεται η τοπολογική ταξινόμηση των υποσυνόλων των ευκλείδειων χώρων Τα υποσύνολα που ανήκουν σε ίδια κλάση ισοδυναμίας καλούνται ομοιόμορφοι και έχουν ίδιες τοπολογικές ιδιότητες Η ταξινόμηση των τοπολογικών χώρων διαμέσου της ομοι- ομορφίας αποτελούν το κεντρικό ζητούμενο της Τοπολογίας Προκειμένου να αποκτήσουμε μια εμπειρική διαίσθηση της ομοιομορφίας, ας τοποθετηθούμε στο ευκλείδειο επίπεδο 2 (ή στον ευκλείδειο χώρο 3 ) και ας ξεχάσουμε για λίγο τη μαθηματική ακριβολογία Αν δοθούν για παράδειγμα δυο καμπύλες (ή επιφά- νειες) Σ και Σ, εφοδιασμένες με την επαγόμενη τοπολογία του περιβάλλοντος ευκλείδειου χώρου, η ομοιο- μορφία τους εκφράζεται στην πράξη με τη δυνατότητα συνεχούς παραμόρφωσης του Σ έτσι ώστε να μετα- σχηματιστεί τελικά στο Σ Κατά την παραμόρφωση επιτρέπεται οποιαδήποτε καμπύλωση, επιμήκυνση, σμί- κρυνση της καμπύλης ή της επιφάνειας μέσα στον περιβάλλοντα χώρο, αλλά δεν επιτρέπεται συγκόλληση ή αποκοπή τους Ο ομοιομορφισμός μεταξύ Σ και Σ ορίζει την τοπολογική διαδικασία της συνεχούς παραμόρ- φωσης του Σ με κατάληξη το Σ, ενώ ο αντίστροφος ομοιομορφισμός ορίζει την αντίστροφη πορεία παραμόρ- φωσης του Σ με κατάληξη το Σ Για παράδειγμα, αντιλαμβανόμαστε ότι είναι ανέφικτη η τοπολογική παρα- μόρφωση ενός κύκλου σε ευθεία και ότι είναι εφικτή η τοπολογική παραμόρφωσή του σε τετράγωνο, γεγονός που υποδηλώνει την τοπολογική τους ισοδυναμία και οδηγεί στην αναζήτηση μιας αμφιμονοσήμαντης και αμφισυνεχούς απεικόνισης Ανέφικτη είναι όμως η τοπολογική παραμόρφωση ενός κλειστού διαστήματος σε ανοιχτό διάστημα της πραγματικής ευθείας ή ενός κλειστού δίσκου σε ανοιχτό δίσκο του ευκλείδειου επι- πέδου και η απόδειξη αυτού του γεγονότος απορρέει από το ότι δεν έχουν τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες 4 Τοπολογική παραμόρφωση κύκλου σε τετράγωνο στο ευκλείδειο επίπεδο 4 Η απόδειξη ανυπαρξίας ομοιομορφισμού μεταξύ μη ομοιόμορφων τοπολογικών χώρων δεν είναι κατά κανόνα εύκολη διαδικασία Πχ Επιχειρείστε να δείξετε τη μη ομοιομορφία των ευκλείδειων χώρων n και k όταν n k 6

7 Η πιο απλή σκέψη για την κατασκευή ενός ομοιομορφισμού ανάμεσα στον κύκλο και το τετράγωνο συνίστα- ται στο να παρατηρήσουμε ότι όλοι οι κύκλοι είναι μεταξύ τους ομοιόμορφοι και όλα τα τετράγωνα είναι μεταξύ τους ομοιόμορφα, οπότε αρκεί να θεωρήσουμε ένα τετράγωνο εγγεγραμμένο στο μοναδιαίο κύκλο, όπως φαίνεται στο σχήμα, και με ένα απλό γεωμετρικό σκεπτικό να καταλήξουμε στην αμφιμονοσήμαντη και αμφισυνεχή απεικόνιση ανάμεσα στα σύνολα: Σ = {(x, y) 2 / x 2 + y 2 = 1} και Σ = {(x, y) 2 / x + y = 1} Η απεικόνιση αυτή ορίζεται ως εξής: Κατασκευή ομοιομορφισμού μεταξύ κύκλου και τετραγώνου f : Σ Σ f 1 : Σ Σ x f (x, y) = x + y, y x + y f 1 ( x, y ) = x, y x 2 + y 2 x 2 + Σε ένα άλλο απλό παράδειγμα, αντιλαμβανόμαστε τη δυνατότητα τοπολογικής παραμόρφωσης των κλειστών κυκλικών χωρίων σε κλειστά τετραγωνικά χωρία : Σ = {(x, y) 2 / x 2 + y 2 1} και Σ = {(x, y) 2 / max{ x, y } 1} H απόδειξη συνίσταται στην κατασκευή του ομοιομορφισμού: f : Σ Σ που διατηρεί σταθερή την αρχή f (0,0) = (0,0) και για ( xy, ) (0,0) ορίζεται ως: y 2 x x 2 + y 2 f (x, y) = sup x, y ( ), y x 2 + y 2 sup ( x, y ) ( ) ( ) x sup x, y y sup x, y, f 1 (x, y) =, x 2 + y 2 x 2 + y 2 Τοπολογική παραμόρφωση κύκλου χωρίου σε τετραγωνικό χωρίο στο ευκλείδειο επίπεδο 5 5 Βλ Θεμελιώδεις Έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Σ Πνευματικού, Αθήνα

8 Ομοιόμορφα υποσύνολα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου Μη ομοιόμορφα υποσύνολα του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου Ο κύκλος δεν είναι ομοιόμορφος με την ευθεία και η σφαίρα δεν είναι ομοιόμορφη με το επίπεδο Αν από τον κύκλο εξαιρεθεί ένα σημείο του τότε το σύνολο που προκύπτει είναι ομοιόμορφο με την ευθεία Αν από τη σφαίρα εξαιρεθεί ένα σημείο της τότε το σύνολο που προκύπτει είναι ομοιόμορφο με το επίπεδο Η κατασκευή των αντίστοιχων ομοιομορφισμών προκύπτει από τη στερογραφική προβολή του κύκλου στην ευθεία και της σφαίρας στο επίπεδο 8

9 2 ΙΣΟΜΕΤΡΙΕΣ ΣΤΟΥΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ Ο όρος ισομετρία στον ευκλείδειο χώρο n δηλώνει κάθε μετασχηματισμό: f : n n που διατηρεί αναλλοίωτες τις αποστάσεις των σημείων: d( f( x), f( y)) = d( x, y ), x, y n Κάθε ισομετρία του ευκλείδειου χώρου αποσυντίθεται σε ένα γραμμικό ισομορφισμό που διατηρεί αναλλοί- ωτο το εσωτερικό γινόμενο, άρα το μέτρο των διανυσμάτων, ακολουθούμενο προσθετικά από μια μεταφορά και εκφράζεται ως εξής: 6 x 1 x n a 11 a 1n = a n1 a nn x 1 x n + b 10 b n0 Το σύνολο των γραμμικών μετασχηματισμών του ευκλείδειου χώρου n και το σύνολο των τετραγωνικών n n- πινάκων, εφοδιασμένα με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς αριθ- μούς, είναι ισόμορφοι 2 n - διάστατοι πραγματικοί διανυσματικοί χώροι: L( n, n ) M(n,) n2 Το σύνολο των αντιστρέψιμων γραμμικών μετασχηματισμών δεν έχει δομή διανυσματικού υπόχωρου αλλά αποτελεί υποομάδα του L( n, n ) και καλείται γραμμική ομάδα : Gl( n ) = { f L( n, n ) / det f 0} Τα στοιχεία της γραμμικής ομάδας είναι οι ισομορφισμοί του ευκλείδειου χώρου n οποίους εκφράζονται είναι οι αντιστρέψιμοι τετραγωνικοί n n- πίνακες: και οι πίνακες με τους Gl(n,) = { M M(n,) / det M 0} Τα στοιχεία της γραμμικής ομάδας που διατηρούν αναλλοίωτο το εσωτερικό γινόμενο: < f ( x), f ( y) > = < x, y >, x, y n, γεγονός που ισοδυναμεί με τη διατήρηση του μέτρου των διανυσμάτων: f ( x) = x, x n, συγκροτούν μια υποομάδα της γραμμικής ομάδας, την ορθογώνια ομάδα του ευκλείδειου χώρου n, που χαρακτηρίζεται ως εξής: O(n,) = { M Gl(n,) / T MM = I n } Τα στοιχεία της ορθογώνιας ομάδας καλούνται ορθογώνιοι μετασχηματισμοί και διατηρούν την ορθοκανονι- κότητα των βάσεων του ευκλείδειου χώρου n : αν { e 1,, e n } είναι ορθοκανονική βάση τότε το ίδιο ισχύει για τη βάση { f ( e 1 ),, f ( e n )} στον ευκλείδειο χώρο n 6 Βλ Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, B O Neil, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης,

10 Ο χώρος L( n, n ) M(n,) δέχεται ισομορφικά την ευκλείδεια τοπολογία του χώρου n2 και η γραμμική ομάδα είναι ανοιχτό υποσύνολό του, ενώ η ορθογώνια ομάδα είναι συμπαγές υποσύνολο της γραμμικής ομάδας το οποίο διαμερίζεται σε δυο ομοιόμορφες συνεκτικές συνιστώσες 7 : O + (n) = { M O(n,) / det M = 1} και O (n) = { M O(n,) / det M = 1} Η πρώτη από αυτές τις συνιστώσες, σε αντίθεση με την δεύτερη, είναι υποομάδα της ορθογώνιας ομάδας Πρόκειται για την ειδική ορθογώνια ομάδα που συνήθως συμβολίζεται: SO(n) = { M O(n,) / det M = 1} Περίπτωση n = 2 : Η ορθογώνια ομάδα του ευκλείδειου επιπέδου 2 Η ορθογώνια ομάδα: O(2,) = { M Gl(2,) / T MM = I n } διαμερίζεται στις ομοιόμορφες συνεκτικές συνιστώσες: O + (2) = { M O(2,) / det M = 1} και O (2) = { M O(2,) / det M = 1} Η συνθήκη ορθογωνιότητας ενός στοιχείου : υποδεικνύει τις αλγεβρικές σχέσεις: M = a a b b που δηλώνουν την ύπαρξη θ τέτοιου ώστε: και την ύπαρξη φ τέτοιου ώστε: άρα Έτσι προκύπτει η έκφραση: a 2 + b = 1, a + b = 1, aa + bb = 0, a a = ( 1) k+1 sinθ, = cos θ, b = sin θ, a = cosφ, b = sinφ, cosθ M = sinθ k b = ( 1) cosθ, k ( 1) k+1 sinθ ( 1) k cosθ και ανάλογα με το αν ο ακέραιος k είναι άρτιος ή περιττός, διακρίνονται δυο περιπτώσεις: cos θ sin θ sin θ cos θ ή cos θ sin θ sin θ cosθ Η πρώτη περίπτωση εκφράζει τις στροφές στο ευκλείδειο επίπεδο οδηγώντας στη συνεκτική συνιστώσα O + (2) και η δεύτερη εκφράζει τη σύνθεση στροφών με συμμετρίες οδηγώντας στη συνεκτική συνιστώσα O (2) : cosθ sinθ sinθ cosθ = cosθ sinθ sinθ cosθ Δηλαδή, η ορθογώνια ομάδα εφοδιασμένη με την επαγόμενη τοπολογία διαμερίζεται σε δυο ανοιχτά υποσύνολά της και προφανώς τα υποσύνολα αυτά είναι επιπλέον κλειστά Πρόκειται για τα μόνα υποσύνολά της που είναι συγχρόνως ανοιχτά και κλειστά εκτός από το κενό και τον εαυτό της 10

11 Περίπτωση n = 3 : Η ορθογώνια ομάδα του ευκλείδειου χώρου 3 Η ορθογώνια ομάδα: O(3,) = { M Gl(3,) / T MM = I n } διαμερίζεται στις ομοιόμορφες συνεκτικές συνιστώσες: O + (3) = { M O(3,) / det M = 1} και O (3) = { M O(3,) / det M = 1} Τα στοιχεία του O + (3) δέχονται την ιδιοτιμή λ= 1 και ορίζουν χωρικές στροφές γύρω από τον ιδιοάξονά τους Τα στοιχεία του O (3) δέχονται την ιδιοτιμή λ= 1 και ορίζουν χωρικές στροφές γύρω από τον ιδιοάξονά τους συντεθειμένες με κατοπτρικές συμμετρίες Συγκεκριμένα, κάθε ορθογώνιος μετασχηματισμός διατηρεί αναλ- λοίωτο τον ιδιοάξονα που ορίζεται από ένα μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα και το ορθογώνιο προς αυτόν επίπεδο Π μέσα στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο Συγκροτώντας μια θετικά προσανατολισμένη ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου, αποτελούμενη από δυο μοναδιαία ορθογώνια μεταξύ τους διανύσματα του επιπέδου Π και το μοναδιαίο διάνυσμα του ιδιοάξονα, ο ορθογώνιος μετασχηματισμός εκφράζεται ως εξής: M { ζ, ζ, ξ} = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ ±1 Τα στοιχεία του O + (3) ορίζουν χωρικές στροφές γύρω από τον ιδιοάξονά τους και στην ορθοκανονική αυτή βάση εκφράζονται ως εξής: M { ζ, cosθ sinθ 0 ζ, ξ} = sinθ cosθ Τα στοιχεία του O (3) ορίζουν χωρικές στροφές γύρω από τον ιδιοάξονά τους συντεθειμένες με κατοπτρικές συμμετρίες και στην ορθοκανονική αυτή βάση εκφράζονται ως εξής: M { ζ, ζ, ξ} = cosθ sinθ sinθ cosθ 0 = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ Η γωνία της χωρικής στροφής, στις δύο αυτές περιπτώσεις, υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη ότι το ίχνος των πινάκων διατηρείται αναλλοίωτο κατά την αλλαγή βάσης, οπότε: M O + (3) 2cosθ +1 = Tr M ή M O (3) 2cosθ 1= Tr M Ο προσανατολισμός της στροφής εξαρτάται από τον προσανατολισμό του μοναδιαίου ιδιοδιανύσματος ξ το οποίο υπεισέρχεται στη συγκρότηση της ορθοκανονικής βάσης και ισχύει : det ζ, f ( ζ), ξ = ( ζ f ( ζ) ξ )sinθ, ζ Π Αν S SO(3) και είναι γνωστή η γωνία στροφής και το μοναδιαίο διάνυσμα ξ = (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) του άξονα στροφής, τότε στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου ο μετασχηματισμός αυτός εκφράζεται με τον πίνακα: (1 cosθ)ξ cosθ (1 cosθ)ξ 1 ξ 2 (sinθ)ξ 3 (1 cosθ)ξ 1 ξ 3 + (sinθ)ξ 2 (1 cosθ)ξ 1 ξ 2 + (sinθ)ξ 3 (1 cosθ)ξ cosθ (1 cosθ)ξ 2 ξ 3 (sinθ)ξ 1 (1 cosθ)ξ 1 ξ 3 (sinθ)ξ 2 (1 cosθ)ξ 2 ξ 3 + (sinθ)ξ 1 (1 cosθ)ξ cosθ 11

12 Εφαρμογή Οι μετασχηματισμοί που αφήνουν αναλλοίωτη την εξίσωση του Νεύτωνα Η ορθολογική ανάπτυξη της Κλασικής Μηχανικής βασίζεται σε δυο θεµμελιώδεις αξιωµματικές αρχές, την Αρχή του Ντετερµμινισµμού του Νεύτωνα και την Αρχή της Σχετικότητας του Γαλιλαίου 8 Η διατύπωση των δύο αυτών αρχών προϋποθέτει τη γνώση και χρήση της οµμάδας των γαλιλαϊκών µμετασχηµματισµμών Γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί στο χώρο και στο χρόνο : Οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί είναι οι µμετασχηµματισµμοί του κλασικού χώρο- χρόνου οι οποίοι ανταπο- κρίνονται σε αυτό που οι φυσικοί αποκαλούν συµμµμετρίες του χρόνου και του χώρου Οι φυσικές αυτές συµμµμετρίες δηλώνουν την οµμογένεια του χρόνου, την οµμογένεια και ισοτροπία του χώρου και την αδρα- νειακή µμετατόπιση στο χώρο που πρώτος αντιλήφθηκε και περιέγραψε ο Γαλιλαίος Συνεπώς, πρόκειται για χρονικές ισοµμετρίες και χωρικές ισοµμετρίες που δεν επηρεάζουν τον προσανατολισµμό του χώρου Αυτό σηµμαίνει ότι στον αριθµμητικό χώρο- χρόνο οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί προκύπτουν ως σύνθεση των ακόλουθων βασικών χωροχρονικών µμετασχηµματισµμών: Χρονικές µμεταφορές: 3 3, ( x, t ) = (x, t + t o ), t o, Χωρικές µμεταφορές: 3 3, ( x, t ) = (x + x o, t), x o 3, Χωρικές στροφές: 3 3, ( x, t ) = (S x,t), S SO(3), Αδρανειακές µμετατοπίσεις: 3 3, ( x, t ) = (x + υ o t, t), v o 3 Οι χρονικές µμεταφορές δηλώνουν τη χρονική οµμογένεια, οι χωρικές µμεταφορές τη χωρική οµμογένεια, οι χωρικές στροφές τη χωρική ισοτροπία και οι αδρανειακές µμετατοπίσεις την αδρανειακή συµμπεριφορά Κάθε γαλιλαϊκός µμετασχηµματισµμός προκύπτει αφενός από µμια χρονική µμεταφορά και αφετέρου από µμια χωρική στροφή, µμια χωρική µμεταφορά και µμια αδρανειακή µμετατόπιση στο χώρο στην οποία ο χρόνος υπεισέρχεται ως παράµμετρος : g : 3 3 g(x, t) = ( x, t ) = (S x + x o + υ o t, t + t o ) Το σύνολο των γαλιλαϊκών µμετασχηµματισµμών, εφοδιασµμένο µμε την πράξη της σύνθεσης των µμετασχηµμα- τισµμών, αποκτά δοµμή µμη αντιµμεταθετικής οµμάδας που καλείται γαλιλαϊκή οµμάδα Κάθε στοιχείο της γαλι- λαϊκής οµμάδας διαθέτει το αντίστροφό του και από τη σύνθεσή τους προκύπτει το ουδέτερο στοιχείο της Ο αντίστροφος ενός γαλιλαϊκού µμετασχηµματισµμού υπολογίζεται ως εξής: x = S x + υ o t + x o, t = t + t o x = S 1 x S 1 (υ o t + x o ), t = t t o Κάθε στοιχείο της γαλιλαϊκής οµμάδας ορίζεται από δέκα αριθµμητικές παραµμέτρους, µμια που καθορίζει τη µμεταφορά των γεγονότων στο χρόνο, τρεις που καθορίζουν την αδρανειακή µμετατόπιση των ταυτόχρο- νων γεγονότων στο χώρο, τρεις που καθορίζουν τη µμεταφορά των ταυτόχρονων γεγονότων στο χώρο και τρεις που καθορίζουν τη στροφή των ταυτόχρονων γεγονότων στο χώρο: t o, υ o = (υ o1,υ o2,,υ o3 ) 3, x o = (x o1,x o2,x o3 ) 3, S SO(3) Στον αριθµμητικό χώρο- χρόνο, όταν δοθούν οι αριθµμητικές τιµμές των γαλιλαϊκών παραµμέτρων, ορίζεται ένας µμοναδικός γαλιλαϊκός µμετασχηµματισµμός, ο οποίος µμετασχηµματίζει κάθε γεγονός σε άλλο γεγονός, όχι οπωσδήποτε ταυτόχρονό του, και στην κανονική βάση εκφράζεται ως εξής: x 1 x 2 x 3 t υ o1 S υ o2 = υ o x 1 x 2 x 3 t + x o1 x o2 x o3 t o 8 Βλ Κλασική Μηχανική, Σ Πνευματικού, Αθήνα

13 Οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί που δεν εκτελούν µμεταφορά στο χρόνο (to=0) συγκροτούν µμια υποοµμάδα της γαλιλαϊκής οµμάδας και δρουν αποκλειστικά στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων εκτελώντας χω- ρικές στροφές, χωρικές µμεταφορές και αδρανειακές χωρικές µμετατοπίσεις : x 1 x2 = S x3 x1 xo1 + υ o1t x2 + xo2 + υ o2t x3 xo3 + υ o3t Οι στροφές στο χώρο συγκροτούν µμια αντιµμεταθετική υποοµμάδα της γαλιλαϊκής οµμάδας Πρόκειται για υποοµμάδα της οµμάδας των ορθογώνιων µμετασχηµματισµμών του τρισδιάστατου ευκλείδειου χώρου και οι πίνακες που εκφράζουν τα στοιχεία της χαρακτηρίζονται ως εξής: S SO(3) Τ S S = I 3 & det S = 1 Στροφή στο χώρο των ταυτόχρονων γεγονότων Η στροφή εκτελείται γύρω από τον ιδιοάξονα που αντιστοιχεί στη µμοναδιαία ιδιοτιµμή και του οποίου ο προσανατολισµμός ορίζεται µμε την επιλογή ενός από τα δυο µμοναδιαία ιδιοδιανύσµματα αυτού του µμετα- σχηµματισµμού Αν η χωρική στροφή γωνίας θ εκτελείται γύρω από τον πρώτο, δεύτερο ή τρίτο άξονα του ευκλείδειου συστήµματος αναφοράς, προκύπτουν οι αντίστοιχες εκ- φράσεις: 1 S1 = cosθ sinθ cosθ sinθ S2 = 0 cosθ sinθ cosθ sinθ 0 S3 = sinθ cosθ 0 sinθ cosθ Αν είναι γνωστή η γωνία στροφής και το μοναδιαίο διάνυσμα ξ = (ξ1,ξ 2,ξ 3 ) του άξονα στροφής, τότε στην κα- νονική βάση του ευκλείδειου χώρου ο μετασχηματισμός αυτός εκφράζεται με τον πίνακα: (1 cosθ)ξ12 + cosθ (1 cosθ)ξ1ξ 2 (sinθ)ξ 3 (1 cosθ)ξ1ξ 3 + (sinθ)ξ 2 S = (1 cosθ)ξ1ξ 2 + (sinθ)ξ 3 (1 cosθ)ξ 22 + cosθ (1 cosθ)ξ 2 ξ 3 (sinθ)ξ1 (1 cosθ)ξ1ξ 3 (sinθ)ξ 2 (1 cosθ)ξ 2 ξ 3 + (sinθ)ξ1 (1 cosθ)ξ 32 + cosθ Αν ο πίνακας στροφής έχει δοθεί εξαρχής στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου : s s S( e,e,e ) = s21 s s31 s32 s13 s23 s33 τότε ο άξονας γύρω από τον οποίο εκτελείται η στροφή, αφού µμένει αναλλοίωτος, είναι ο ιδιοάξονας της µμοναδιαίας ιδιοτιµμής, προσανατολισµμένος από την επιλογή του µμοναδιαίου ιδιοδιανύσµματος, και η γωνία στροφής υπολογίζεται λαµμβάνοντας υπόψη ότι το ίχνος των πινάκων δεν αλλάζει κατά τις αλλαγές βάσης Συγκροτώντας µμια θετικά προσανατολισµμένη ορθοκανονική βάση, στρέφοντας για παράδειγµμα το αρχικό σύστηµμα αναφοράς έτσι ώστε ο τρίτος άξονάς του να ταυτιστεί µμε τον ιδιοάξονα, τότε στο νέο σύστηµμα αναφοράς ο µμετασχηµματισµμός της στροφής εκφράζεται µμε τον πίνακα: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, Μάθημα 1ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών 13

14 S ( ζ, ζ, ξ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ και υπολογίζοντας τα αντίστοιχα ίχνη προκύπτει η µμη προσανατολισµμένη γωνία στροφής: trs ( ζ, ζ, ξ) = trs ( e1, e 2, e 2cosθ +1 = trs cosθ = 1 (trs 1) 3 ) 2 Ο προσανατολισµμός της εξαρτάται από την επιλογή του µμοναδιαίου ιδιοδιανύσµματος που προσανατολίζει τον ιδιοάξονα και αποκαλύπτεται εξετάζοντας υπολογιστικά τη φορά µμε την οποία θα στραφεί στο ορθο- γώνιο προς τον ιδιοάξονα επίπεδο Π ένα οποιοδήποτε διάνυσµμά του ή από τη σχέση αλλαγής βάσης ή µμε απευθείας εφαρµμογή του τύπου που ισχύει για κάθε µμοναδιαίο διάνυσµμα του επιπέδου Π : ζ Π sinθ = det[ ζ, S ζ, ξ], Οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί που εκτελούν µμόνο αδρανειακές µμετατοπίσεις στο χώρο συγκροτούν µμια αντιµμεταθετική υποοµμάδα της γαλιλαϊκής οµμάδας και διατυπώνονται ως εξής: ή x 1 = x 1 + υ o1 t, x 2 = x 2 + υ o2 t, x 3 = x 3 + υ o3 t, t = t, x 1 = x 1 υ o1 t, x 2 = x 2 υ o2 t, x 3 = x 3 υ o3 t, t = t Νευτώνεια Αρχή του Ντετερµινισµού: Η θέση και η ταχύτητα ενός σώµατος, µια οποιαδήποτε δεδοµένη χρονική στιγµή, ορίζουν µονοσήµαντα το µέλλον και το παρελθόν της κίνησής του Η αξιωµματική αυτή αρχή δηλώνει ότι, κάθε χρονική στιγµμή, η θέση και η ταχύτητα ενός σώµματος εξαρ- τώνται από τις προηγούµμενες θέσεις του και τις αντίστοιχες ταχύτητές του και αν µμια κάποια στιγµμή η θέση του και η ταχύτητά του είναι γνωστές τότε αρκεί για να προβλέψουµμε το µμέλλον και να µμάθουµμε το παρελθόν της κίνησής του στο χώρο Σύµμφωνα µμε αυτή την αξιωµματική αρχή, η κίνηση κάθε υλικού ση- µμείου στο χώρο διέπεται από µμια διαφορική εξίσωση 2 ης τάξης τη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνησης : d 2 x = f (x, x,t) (ΘΕΚ) 2 dt Η συνάρτηση που υπεισέρχεται στο δεύτερο µμέλος της ΘΕΚ καθορίζεται από τα φυσικά εµμπειρικά δεδο- µμένα και ορίζεται στο καρτεσιανό γινόµμενο του χώρου των θέσεων, του χώρου των ταχυτήτων και του χρονικού άξονα, µμε τιµμές στο χώρο των θέσεων Έτσι, έχοντας ως δεδοµμένη αυτή τη συνάρτηση: f : 3 3 3, f (x, x,t) = ( f 1 (x, x,t), f 2 (x, x,t), f 3 (x, x,t)), τίθεται ως αναλυτικό ζητούµμενο ο υπολογισµμός της λύσης της διαφορικής αυτής εξίσωσης για τις δεδο- µμένες αρχικές συνθήκες θέσης και ταχύτητας: x :Ι 3, x(t o ) = x o, x(t o ) = v o Το θεώρηµμα ύπαρξης και µμοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις του, υποδεικνύει ότι οι αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας του υλικού σηµμείου ορίζουν µμία µμοναδική λύση που πληροί αυτές τις συνθήκες και η εικόνα της δίνει την τροχιά του υλικού σηµμείου στο χώρο Στη θεµμελιώδη εξίσωση της κίνησης συνοψίζονται τρεις διαφορικές εξισώσεις δεύτε- ρης τάξης οι οποίες εκφράζονται στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς ως εξής: d 2 x i dt 2 = f i (x, x,t), i = 1,2,3 14

15 Από τη λύση που πληροί τις δεδοµμένες αρχικές συνθήκες απορρέει η παραµμετρική έκφραση της τροχιάς του υλικού σηµμείου στο χώρο ως προς το χρόνο: x(t) = ( x1 (t), x2 (t), x3 (t)) Τροχιά στο χώρο Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας: Υπάρχει µια κλάση προνοµιούχων συστηµάτων αναφοράς, των αδρανειακών συστηµάτων αναφοράς, στα οποία οι γαλιλαϊκοί µετασχηµατισµοί διατηρούν αναλλοίωτη τη θεµελιώδη εξίσωση της κίνησης Η αξιωµματική αυτή αρχή διασφαλίζει την ύπαρξη των αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς Η ανάγκη αξιωµματικής εισαγωγής τους οφείλεται στην αδυναµμία απόλυτης πειραµματικής διαπίστωσης της ύπαρξής τους στη φύση Στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, σύµμφωνα µμε αυτή την αρχή, οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί δια- τηρούν αναλλοίωτη τη ΘΕΚ Αυτό σηµμαίνει ότι οι γαλιλαϊκοί µμετασχηµματισµμοί µμετατρέπουν κάθε κίνηση που διέπεται από τη ΘΕΚ σε κίνηση που διέπεται από την ίδια ακριβώς εξίσωση µμε το ίδιο δεύτερο µμέλος αλλά µμε άλλες αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας Δύο παρατηρητές που καταγράφουν την κίνηση ενός σώµματος στο χώρο, ο καθένας στο δικό του αδρα- νειακό σύστηµμα αναφοράς, αποδίδουν στο σώµμα, κάθε δεδοµμένη χρονική στιγµμή, διαφορετική θέση και διαφορετική ταχύτητα αλλά ίδια επιτάχυνση Έτσι, δηλώνουν ότι η κίνησή του διέπεται από την ίδια εξίσωση αλλά η τροχιά του καθορίζεται από διαφορετικές αρχικές συνθήκες Όµμως, ένας παρατηρητής που βρίσκεται σε µμη αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς αποδίδει κάθε στιγµμή στην κίνηση του σώµματος όχι µμόνο διαφορετική θέση και ταχύτητα αλλά και διαφορετική επιτάχυνση από αυτή που αποδίδουν οι αδρανειακοί παρατηρητές Έτσι, δηλώνει την διαφωνία του στους αδρανειακούς παρατηρητές ως προς τη συνάρτηση που αυτοί αποδέχονται και εισάγουν στο δεύτερο µμέλος της θεµμελιώδους εξίσωσης προκειµμένου να προσδιορίσουν από το δικό τους σύστηµμα αναφοράς την κίνηση του σώµματος στο χώρο Εντοπισµμός της κίνησης ενός σηµμείου στο χώρο από διαφορετικά συστήµματα αναφοράς Οι δυο θεµμελιώδεις αξιωµματικές αρχές διαµμορφώνουν την ορθολογική βάση για την ανάλυση και ερµμηνεία των κινήσεων στο χώρο Σύµμφωνα µμε αυτές τις αρχές, κάθε κίνηση διέπεται από µμια διαφορική εξίσωση 2ης τάξης (ΘΕΚ) και η εξίσωση αυτή διατηρείται αναλλοίωτη στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, δηλαδή δεν επηρεάζεται από τις χρονικές µμεταφορές, τις χωρικές µμεταφορές, τις χωρικές στροφές και τις αδρανειακές µμετατοπίσεις, κατά την εξής έννοια: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Καθηγητής Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ, Μάθημα 1ο : Συνοπτική ανασκόπηση βασικών προπτυχιακών εννοιών 15

16 Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =x(t + t o ), t o Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =x(t) + x o, x o 3 Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =S(x(t)), S SO(3) Αν η ΘΕΚ δέχεται τη λύση x =x(t) τότε δέχεται ως λύση την x =x(t) + υ o t, υ o 3 Ο θεµμελιώδης νόµμος που διέπει την κίνηση των σωµμάτων στο χώρο, όπως όλοι οι νόµμοι της φύσης, δεν αλλοιώνεται στο πέρασµμα του χρόνου Αυτό απορρέει ορθολογικά από το γαλιλαϊκό µμετασχηµματισµμό που εκφράζει την οµμογένεια του χρόνου Συνεπώς, ο χρόνος δεν εµμφανίζεται ως ανεξάρτητη µμεταβλητή αλλά υπεισέρχεται ως παράµμετρος στη ΘΕΚ, άρα η έκφρασή της οφείλει να έχει ως εξής: d 2 x = f (x, x) (ΘΕΚ) 2 dt Αν η κίνηση ενός υλικού σηµμείου καταγράφεται αντίστοιχα στα συστήµματα αναφοράς R και R : ( R ) x(t) = ( x 1 (t),x 2 (t),x 3 (t)) και ( R ) ( ) x (t) = x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) τότε, αν πρόκειται για αδρανειακά συστήµματα αναφοράς, η ΘΕΚ εκφράζεται αντίστοιχα ως εξής: ΘΕΚ - R : d 2 x(t) = f (x(t), x(t)) και ΘΕΚ - R : dt 2 d 2 x (t) = f ( x (t), x (t)) dt 2 Πρόκειται για την ίδια εξίσωση, στο δεύτερο µμέλος της οποίας υπεισέρχεται η ίδια ακριβώς συνάρτηση, εκφρασµμένη στις αντίστοιχες συντεταγµμένες των δυο αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς Η τροχιά της κίνησης προκύπτει λοιπόν στα αντίστοιχα συστήµματα αναφοράς από διαφορετικές λύσεις της ίδιας εξίσωσης που ορίζονται από διαφορετικές αρχικές συνθήκες της θέσης και της ταχύτητας και σχετίζονται µμεταξύ τους διαµμέσου µμιας χωρικής στροφής, µμιας χωρικής µμεταφοράς και µμιας αδρανειακής µμετατόπισης όπως υπαγορεύεται από τους γαλιλαϊκούς µμετασχηµματισµμούς: Χωρική στροφή: x (t) = S x(t) x (t) = S x(t) x (t) = S x(t) f (S x, S x) = S f (x, x), S SO(3) Χωρική µμεταφορά: x (t) = x(t) + x o x (t) = x(t) x (t) = x(t) f (x + x o, x) = f (x, x), x o 3 Αδρανειακή µμετατόπιση: x (t) = x(t) + υ o t x (t) = x(t) + υ o x (t) = x(t) f (x + υ o t, x) = f (x, x), v o 3 9 Τα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς προκύπτουν το ένα από το άλλο µμε εκτέλεση µμιας χωρικής στρο- φής, µμιας µμεταφοράς και µμιας αδρανειακής µμετατόπισης Στο σύνολο των συστηµμάτων αναφοράς ορίζε- ται έτσι µμια σχέση ισοδυναµμίας ανακλαστική, συµμµμετρική, µμεταβατική από την οποία αναδεικνύεται η προνοµμιούχος κλάση των αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς όπου διατηρείται αναλλοίωτη η ΘΕΚ Συνεπώς, κάθε σύστηµμα αναφοράς που κινείται στο χώρο ευθύγραµμµμα οµμαλά ως προς ένα αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς ανήκει και αυτό στην κλάση των αδρανειακών συστηµμάτων αναφοράς Θέμα μελέτης Μελετήστε τα αριθµμητικά παραδείγµματα και τις ασκήσεις που δίνονται στην ιστοσελίδα: mixaniki- mathima1pdf 9 Αν ένα σύστηµμα αναφοράς εκτελεί, πχ, ευθύγραµμµμη επιταχυνόµμενη κίνηση ως προς ένα αδρανειακό σύστηµμα αναφοράς τότε η εξίσωση της κίνησης αλλοιώνεται ως εξής: x i (t) = x i (t) + υ i (t) t x i (t) = x i (t) + υ i (t) + υ i (t) t x i (t) = x i (t) + 2 υ i (t) + υ i (t) t, i = 1, 2,3 16