ΕΞΕΤΑΣΗ 30 ης ΜΑΪΟΥ 2016

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΞΕΤΑΣΗ 30 ης ΜΑΪΟΥ 2016"

Παύλος Παπαφιλίππου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μάθηµα: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Α Μπούντης - Σ Πνευµατικός ΕΞΕΤΑΣΗ 0 ης ΜΑΪΟΥ 016 ΘΕΜΑ I (5 µονάδες) Στερεό Σώµα Δίνεται ο τελεστής αδράνειας I: οµμογενούς στερεού σώµματος συνεχούς κατανοµμής µμάζας στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου: 1 1 I ( e1, e, e = 1 1 ) Πώς ορίζονται και ποιες είναι οι τιµμές των αδρανειακών ροπών αυτού του στερεού ως προς τους άξονες που διέρχονται από το αδρανειακό του κέντρο (κέντρο µμάζας) και καθορίζονται αντίστοιχα από τα διανύσµματα της κανονικής βάσης του ευκλείδειου χώρου; Προσδιορίστε µμια ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου στην οποία ο πίνακας του τελεστή αδράνειας αυτού του στερεού να είναι διαγώνιος και δώστε την έκφρασή του:? 0 0 I ( ξ1, ξ, ξ = 0? 0 ) 0 0? Ποιες είναι οι τιµμές των αδρανειακών ροπών αυτού του στερεού σώµματος ως προς τους άξονες που διέρχονται από το αδρανειακό του κέντρο οι οποίοι καθορίζονται από τα αντίστοιχα διανύσµματα της βάσης που επελέγη στην προηγούµμενη ερώτηση; Διαπιστώστε σε ποια από τις ακόλουθες κατηγορίες υπάγεται αυτό το στερεό: (ι) σφαίρα, (ιι) σφαιροειδές, (ιιι) ελλειψοειδές Στα επόµμενα θεωρούµμε ότι η συνισταµμένη και ολική ροπή των εξωτερικών δυνάµμεων που ασκούνται σε αυτό το στερεό είναι µμηδενική, οπότε ισχύουν οι αρχές διατήρησης στροφικής κινητικής ενέργειας και στροφορµμής και, υπό αυτές τις προϋποθέσεις, η εξίσωση Eule διατυπώνεται ως εξής: I( ω(t)) + ω(t) I( ω(t)) = 0 Δώστε την έκφραση των δυο αρχών διατήρησης και της εξίσωσης Eule για το συγκεκριµμένο στερεό στο σύστηµμα αναφοράς της ορθοκανονικής βάσης που επιλέξατε στο ερώτηµμα 1 Δείξτε ότι, σε αυτό το σύστηµμα αναφοράς, η εξίσωση Eule που διέπει τη στροφική κίνηση αυτού του στερεού οδηγεί στο σύστηµμα εξισώσεων: ω (t) +κ ω, = 1,, ω Προσδιορίστε την τιµμή της σταθεράς κ και δώστε τη γενική λύση αυτού του συστήµματος Δώστε την έκφραση των αλγεβρικών εξισώσεων που ορίζουν τα ελλειψοειδή αδράνειας (στροφικής κινητικής ενέργειας και στροφορµμής) του συγκεκριµμένου στερεού στο σύστηµμα αναφοράς των κύριων αδρανειακών του αξόνων (υπάρχει εξάρτηση από τη σταθερή τιµμή Κ ο της στροφικής κινητικής ενέργειας, από το σταθερό µμέτρο Ω ο της στροφορµμής και από τις τιµμές των κύριων αδρανειακών ροπών) Ποια είναι η σχέση του διανύσµματος του οποίου το άκρο διαγράφει την τοµμή των δυο αυτών ελλειψοειδών εφόσον δεν είναι κενή µμε τη λύση των εξισώσεων Eule;

2 Περιγράψτε τη συµμπεριφορά του διανύσµματος γωνιακής ταχύτητας κατά τη στροφική κίνηση αυτού του στερεού στις ακόλουθες περιπτώσεις: () Κ =, () Κ = 4 Υπόδειξη Για το σκοπό αυτό παρατηρείστε ότι από το συνδυασµμό των εξισώσεων των ελλειψοειδών αδράνειας αυτού του στερεού προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση ενός διπλού κώνου: ξ 1 + ξ + (c /c )ξ = 0, c Ω = I I K, =, Πώς θα χρησιµμοποιήσετε το διάνυσµμα γωνιακής ταχύτητας για να προβλέψετε σε κάθε µμελλοντική χρονική στιγµμή, µμε δεδοµμένες αρχικές συνθήκες, τη θέση και την ταχύτητα κάθε σηµμείου του στερεού; ΘΕΜΑ 1Ι (5 µονάδες) Κεντρικά πεδία δυνάµεων: Δυναµικό Keple Στο κεντρικό πεδίο δυνάµεων που ορίζεται από το δυναµικό Keple: U () = /, > 0, θεωρούµε σηµειακή µάζα m που κινείται µε δεδοµένες αρχικές θέση και ταχύτητα Όπως συµβαίνει στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, η τροχιά της σηµειακής µάζας είναι επίπεδη και κατά τη διάρκεια της κίνησης, η ενέργεια και η στροφορµή της διατηρούνται σταθερές Στο επίπεδο κίνησης, εφοδιασµένο µε πολικές συντεταγµένες, θεωρούµε τα µοναδιαία διανύσµατα e και e θ που ορίζουν τη βάση του συστήµατος πολικών συντεταγµένων και το µοναδιαίο διάνυσµα e z που είναι κάθετο στο επίπεδο κίνησης Η ενέργεια και στροφορµή σε πολικές συντεταγµένες είναι: E = 1 m + 1 m θ, Ω = m = m θ e z 1 Δείξτε ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης της σηµειακής µάζας στο πεδίο δυναµικού Keple, πέρα από την ενέργεια και τη στροφορµή, διατηρείται σταθερό το ακόλουθο διανυσµατικό µέγεθος: Α = 1 Ω e Υπολογίστε τις συνιστώσες αυτού του σταθερού διανύσµατος Α = Α 1 e + Α eθ και δώστε την έκφρασή τους χρησιµοποιώντας τη σταθερά C = θ που προκύπτει από το νόµο εµβαδών του Keple Κατόπιν, υπολογίζοντας το µέτρο του, δείξτε ότι η ενέργεια της σηµειακής εκφράζεται ως εξής: E = e 1 mc ( ) όπου e = Α Υπολογίζοντας το εσωτερικό γινόµενο του διανύσµατος Α µε το διάνυσµα θέσης της σηµειακής µάζας, και θέτοντας p = mc /, δείξτε ότι η πολική έκφραση της τροχιάς της είναι: p = 1+ ecsθ Αν x = (1,0,0) και v = (0,1,0) είναι οι αρχικές θέση και ταχύτητα της σηµειακής µάζας στο ευκλείδειο σύστηµα αναφοράς, υπολογίστε τις αριθµητικές εκφράσεις των σταθερών µεγεθών E, Ω, Α Με βάση αυτές, αποφανθείτε για τη γεωµετρική φύση της τροχιάς της σηµειακής µάζας

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ I 1 - Αδρανειακές ροπές: 1 1 I:, I ( e1, e, e = 1 1 ) 1 1 I xx = (y + z ) ρ(x,y,z) dxdydz =, I yy = (z + x ) ρ(x,y,z) dxdydz =, I zz = (x + y ) ρ(x,y,z) - Ιδιοτιµμές: λ 1 = λ = 1, λ = 4 Ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσµμάτων: dxdydz = - ξ 1 = (1, 1,0), ξ = 6 6 (1,1, ), ξ = (1,1,1) I ( ξ1, ξ, ξ = ) Κύριες αδρανειακές ροπές: = I = 1, I = 4 Σφαιροειδές - Αρχές διατήρησης εκφρασµμένες στην ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσµμάτων: Στροφορµμής: Στροφικής κινητικής ενέργειας: ξ 1 + I ξ + I ξ = σταθερά ξ 1 + ξ + 4 ξ = σταθερά ξ 1 + I ξ + I ξ = σταθερά ξ 1 + ξ +16 ξ = σταθερά - Εξίσωση Eule: I( ω(t)) + ω(t) I( ω(t)) = 0 Στην ορθοκανονική βάση ιδιοδιανυσµμάτων: ω 1 (t) + I I I ω (t) + I I ω (t) + I ( ) ω (t) ω ( ) ω ( ) ω 1 (t) ω ω 1 (t) + ω (t) ω ω (t) ω 4 ω - Επίλυση εξίσωσης Eule: ω ω (t) = c ω 1 (t) = c ω (t), ω (t) = c ω 1 (t) ω (t)) +κ ω, = 1,, κ = c (Ι Ι ) / Ι = c, ω (t)) + 9c ω, = 1, Γενική λύση εξίσωσης Eule: ω 1 (t) = a csκ t + b snκ t ω(t) : ω (t) = a snκ t b csκ t a,b,c ω (t) = c Συµμπέρασµμα: Το διάνυσµμα γωνιακής ταχύτητας του στερεού έχει σταθερή την τρίτη συνιστώσα του και το µμέτρο του Κατά την κίνηση του στερεού, το άκρο του διανύσµματος της γωνιακής του ταχύτητας διατρέχει τα σηµμεία της τοµμής των ελλειψοειδών αδράνειας (στροφικής κινητικής ενέργειας και στροφορµμής) τα οποία ορίζονται στις συντεταγµμένες του συστήµματος αναφοράς των κύριων αδρανειακών του αξόνων ως εξής: ξ 1 + I ξ + I ξ = Κ ξ 1 + ξ + 4 ξ = Κ, ξ 1 + I ξ + I ξ = Ω ξ 1 + ξ +16 ξ = Ω, (Κ ο είναι η σταθερή τιµμή της στροφικής κινητικής ενέργειας και Ω ο το σταθερό µμέτρο της στροφορµμής)

4 Από το συνδυασµμό των δυο αυτών εξισώσεων προκύπτει η εξίσωση ενός διπλού κώνου: ξ 1 + ξ + (c /c )ξ = 0, c Ω = I I K, =, () Κ = : ξ 1 + ξ + 4 ξ = 4, ξ 1 + ξ +16 ξ = 4 ξ = 0 ω Ο διπλός κώνος εκφυλίζεται στο ιδιοεπίπεδο της διπλής ιδιοτιµμής που είναι κάθετο στον ιδιοάξονα της απλής ιδιοτιµμής και τέµμνει το σφαιροειδές ενέργειας στον ισηµμερινό του κύκλο Το διάνυσµμα της γωνιακής ταχύτητας, διατηρείται σταθερό µμε µμηδενική την τρίτη του συνιστώσα και καταλήγει σε ένα από τα σηµμεία του ισηµμερινού κύκλου τα οποία προφανώς είναι σταθερά σηµμεία της εξίσωσης Eule Ο άξονας του διανύσµματος της γωνιακής ταχύτητας αποτελεί το σταθερό άξονα της οµμαλής περιστροφικής κίνησης που εκτελεί το στερεό () Κ = 4 : ξ 1 + ξ + 4 ξ = 4, ξ 1 + ξ +16 ξ = 16 ξ 1 + ξ = 0 ω 1 (t) = ω Ο διπλός κώνος εκφυλίζεται στον ιδιοάξονα της απλής ιδιοτιµμής, δηλαδή στον τρίτο κύριο αδρανειακό άξονα του στερεού σώµματος ο οποίος τέµμνει το σφαιροειδές ενέργειας σε ένα ζεύγος αντιδιαµμετρικών σηµμείων Το διάνυσµμα της γωνιακής ταχύτητας διατηρείται σταθερό, µμε διεύθυνση εκείνη του ιδιοάξονα, καταλήγοντας σε ένα από τα αντιδιαµμετρικά σηµμεία που προφανώς είναι σταθερά σηµμεία της εξίσωσης Eule Ο ιδιοάξονας αποτελεί το σταθερό άξονα της οµμαλής περιστροφικής κίνησης που εκτελεί το στερεό Σε κάθε µμια από τις προηγούµμενες περιπτώσεις, έχοντας το διάνυσµμα γωνιακής ταχύτητας: και λαµμβάνοντας υπόψη τη σχέση: ω(t) = ω 1 (t),ω (t),ω (t) ( ) L ω (t) ξ = ω(t) ξ, ξ, προσδιορίζουµμε τον αντίστοιχο αντισυµμµμετρικό τελεστή που στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου εκφράζεται µμε τον πίνακα:: 0 ω (t) ω (t) L ω (t) = ω (t) 0 ω 1 (t) ω (t) 0 Προσδιορίζεται συνακόλουθα ο τελεστής περιστροφής του στερεού επιλύοντας την εξίσωση: S(t) = S(t) L ω (t), S(0) = I Ο τελεστής περιστροφής υποδεικνύει την στροφική τοποθέτηση του στερεού κατά την κίνησή του στο χώρο, αποδίδοντας σε κάθε χρονική στιγµμή ένα στοιχείο της οµμάδας στροφών του ευκλείδειου χώρου: S : I SO(), S(0) = I Αν R(t) είναι το διάνυσµμα θέσης του αδρανειακού κέντρου του στερεού και R (t) το διάνυσµμα θέσης ενός σηµμείου του στο ευκλείδειο σύστηµμα αναφοράς και R (t) είναι το διάνυσµμα θέσης του ίδιου σηµμείου ως προς το αδρανειακό κέντρο, η θέση αυτού του σηµμείου υποδεικνύεται κάθε στιγµμή της κίνησης ως εξής: R (t) = S(t) R (0) + R(t)

5 ΘΕΜΑ 1Ι 1 Από την εξίσωση του Νεύτωνα και την έκφραση του κεντρικού πεδίου δυνάµεων προκύπτει: F = m & F = e m = e Πολλαπλασιάζοντας διανυσµατικά τα δυο µέλη αυτής της σχέσης µε το σταθερό διάνυσµα της στροφορµής και λαµβάνοντας υπόψη την έκφραση της στροφορµής προκύπτει : Ω m = Ω e = m θ e z e = m θ e z e = m θ e θ = m e Ω = e Και επειδή κατά τη διάρκεια της κίνησης το διάνυσµα της στροφορµής είναι σταθερό, προκύπτει: d dt 1 Ω e = 0 Α σταθερό Οι συνιστώσες του σταθερού αυτού διανύσµατος υπολογίζονται ως εξής : Α = 1 Ω e = 1 ( e + θ e θ ) mc e z ( ) e = mc 1 e mc Υπολογίζοντας το τετράγωνο του µέτρου του προκύπτει η έκφραση της ενέργειας ως εξής : Α = mc 1 + mc e θ = mc 1 m + 1 mc mc +1= E +1 mc E +1= e E = ( e 1) mc Ένας απλός υπολογισµός του εσωτερικού γινοµένου οδηγεί στην γνωστή πολική έκφραση της τροχιάς της σηµειακής µάζας στο πεδίο δυναµικού Keple : < Α, > = mc & < Α, > = e csθ mc = e csθ p = e csθ p = 1+ ecsθ 4 Το συµπέρασµα, για τις δεδοµένες αρχικές συνθήκες θέσης και ταχύτητας, προκύπτει πλέον εύκολα αρκεί να εκφραστούν οι αρχικές αυτές συνθήκες στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου της κίνησης

Σχετικά έγγραφα

d 2 x = f (x, x). (t),x 2

d 2 x = f (x, x). (t),x 2 5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Στην Κλασική Μηχανική, ο θεσεογραφικός χώρος μιας σημειακής μάζας είναι το σύνολο των θέσεων που έχει τη δυνατότητα να καταλάβει στον ευκλείδειο χώρο 3 Αν η σημειακή