ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 9 ο ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΑ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Τίποτα δεν χάνεται, τίποτα δεν δηµιουργείται, όλα µετασχηµατίζονται. Αναξαγόρας (5 ος αιώνας π.χ.) Η έννοια της µμηχανικής ενέργειας, ως φυσικού µμεγέθους που διατηρεί σταθερή τιµμή κατά την κίνηση ενός σώµματος, παρότι υπήρξε αντικείµμενο αναζητήσεων και πολλαπλών αντιπαραθέσεων από την εποχή του Νεύτωνα, απέκτησε σαφή µμαθηµματική έκφραση στα µμέσα του 19 ου αιώνα. Ζητούµμενο ήταν να εισαχθεί ως εννοιολογική µμετάβαση, από την αµμφιλεγόµμενη έννοια της δύναµμης ως αιτίου της µμεταβολής της κίνησης στην έννοια του παραγόµμενου έργου από τις δυνά- µμεις που ασκούνται σε ένα σώµμα κατά τη διάρκεια της κίνησής το στο χώρο. Στη µμακρά αυτή αντιπαράθεση έδωσε τέλος το θεώρηµμα της ζώσας δύναµμης, του Lagrange 1, που δηλώνει ότι το έργο το οποίο δέχεται κάθε σώµμα από τις ασκούµμενες σε αυτό δυνάµμεις κατά την κίνησή του, εφόσον δεν υπάρξουν απώ- λειες, είναι ίσο µμε το µμισό της επαύξησης της ζώσας δύναµμης που προκύπτει από το γινόµμενο της µμάζας του µμε το τετράγωνο της ταχύτητάς του. Απέµμενε πλέον η αναγνώριση του ρόλου της δυναµμικής ενέργειας και ήταν θέµμα χρόνου η άθροισή της µμε την κινητική ενέργεια ώστε να αναδειχθεί ο ρόλος της µμηχα- νικής ενέργειας και η αρχή της διατήρησής της: Κατά τη διάρκεια της κίνησης µιας σηµειακής µάζας υπό την επίδραση ενός πεδίου δυναµικού, η ενεργειακή της τιµή διατηρείται σταθερή κατά µήκος της τροχιάς της. 1 Joseph Louis Lagrange ( ), Mécanique Analytique, Paris, 1788.

2 06 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ 9.1. Κινήσεις ενός βαθμού ελευθερίας και διατήρηση της ενέργειας. Αν ο χώρος των θέσεων στις οποίες θα µμπορούσε να βρεθεί µμια σηµμειακή µμάζα είναι µμονοδιάστατος τότε λέµμε ότι οι κινήσεις της είναι ενός βαθµμού ελευθερίας. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση που διέπει την κίνηση της σηµμειακής µμάζας στα αδρανειακά συστήµματα αναφοράς εκφράζεται ως εξής: m d x = f (x), x. dt Η ασκούµμενη δύναµμη στη σηµμειακή µμάζα υπεισέρχεται σε αυτή την εξίσωση ως διανυσµματική συνάρτηση µμιας πραγµματικής µμεταβλητής και προκύπτει από τη συνάρτηση δυναµμικού µμιας πραγµματικής µμεταβλητής που ορίζεται ως εξής: U :, U(x) = f (u)du. Η συνάρτηση µμηχανικής ενέργειας της σηµμειακής µμάζας ορίζεται στο καρτεσια- νό γινόµμενο του µμονοδιάστατου χώρου των θέσεων της µμε το µμονοδιάστατο χώρο των ταχυτήτων της, δηλαδή στο ευκλείδειο επίπεδο και παίρνει πραγµμα- τικές αριθµμητικές τιµμές. Σε κάθε ενδεχόµμενη θέση και ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας, δηλαδή σε κάθε σηµμείο του επιπέδου θέσεων και ταχυτήτων, αποδίδε- ται µμια ενεργειακή τιµμή η οποία προκύπτει από το άθροισµμα των αντίστοιχων αριθµμητικών τιµμών της δυναµμικής και της κινητικής ενέργειας: E :, E(x, x) = U(x) + 1 m x. Στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων η εξίσωση της κίνησης της σηµμειακής µμάζας εκφράζεται ως σύστηµμα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: m dx dt = x, m d x dt x x o = x Η αρχή διατήρησης της µμηχανικής ενέργειας δηλώνει ότι κατά τη διάρκεια της κίνησης της σηµμειακής µμάζας, η ενεργειακή της τιµμή διατηρείται σταθερή: E(x(t), x(t)) = E o U(x(t)) + 1 m x(t) = E o. Εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµματος ύπαρξης και µμοναδικό- τητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων, κάθε δεδοµμένη αρχική θέση και ταχύτητα της σηµμειακής µμάζας ορίζει µμια µμοναδική τροχιά, η οποία εξελίσ- σεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων µμε σταθερή ενεργειακή τιµμή και η τι- µμή αυτή είναι γνωστή εξαρχής από την επιλογή των αρχικών συνθηκών: E o = U(x o ) + 1 mv o..

3 ΜΑΘΗΜΑ 9 ο : ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 07 Οι τροχιές στις οποίες αντιστοιχεί ίδια ενεργειακή τιµμή εξελίσσονται στο ίδιο ισοενεργειακό υποσύνολο του επιπέδου θέσεων και ταχυτήτων, δηλαδή στο ίδιο ισοσταθµμικό σύνολο της συνάρτησης ενέργειας: S Eo (E) = {(x, x) / E(x, x) = E o }, E o. Τα ισοενεργειακά αυτά σύνολα είναι µμεµμονωµμένα σηµμεία ή καµμπύλες οι οποίες, όπως υποδεικνύει το θεώρηµμα πεπλεγµμένων συναρτήσεων, είναι παντού λείες εκτός από εκεί όπου µμηδενίζεται το διαφορικό της συνάρτησης ενέργειας: de(x, x) = dx + x d x. x Τα µμεµμονωµμένα σηµμεία αντιστοιχούν σε καταστάσεις ισορροπίας, δηλαδή σε σηµμειακές τροχιές που ορίζονται από σταθερές λύσεις των εξισώσεων κίνησης στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων. Σε κάθε ισοενεργειακή καµμπύλη, κατά κα- νόνα, εξελίσσεται µμια µμόνο τροχιά, όµμως υπάρχει ενδεχόµμενο σε κάποιες από αυτές να εξελίσσονται περισσότερες από µμια τροχιές µμε ίδια ενεργειακή τιµμή. Συγκεκριµμένα, κάποιες ισοενεργειακές καµμπύλες ίσως εµμφανίζουν αυτοτοµμές στα σηµμεία µμηδενισµμού του διαφορικού της συνάρτησης ενέργειας και εκεί θα αναζητηθούν καταστάσεις ισορροπίας πέρα από εκείνες που αντιστοιχούν στα σηµμειακά ισοενεργειακά σύνολα. Η προβολή κάθε τροχιάς στον µμονοδιάστατο χώρο θέσεων υποδεικνύει τη δια- δροµμή της σηµμειακής µμάζας και η προβολή της στον µμονοδιάστατο χώρο ταχυ- τήτων υποδεικνύει τις τιµμές της ταχύτητας µμε την οποία η σηµμειακή µμάζα διέρ- χεται από τις θέσεις αυτής της διαδροµμής. Η προβολή κάθε κατάστασης ισορ- ροπίας στο µμονοδιάστατο χώρο θέσεων υποδεικνύει την αντίστοιχη θέση όπου ισορροπεί η σηµμειακή µμάζα και στις θέσεις αυτές η ταχύτητά της προφανώς οφείλει να είναι µμηδενική. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας υποδεικνύει ότι η προβολή της τροχιάς στο µμονοδιάστατο χώρο θέσεων έχει δυνατότητα εξέλιξης µμόνο σε συγκεκριµμένα διαστήµματα, εκεί όπου η τιµμή της δυναµμικής ενέργειας της σηµμειακής µμάζας δεν υπερβαίνει τη σταθερή ενεργειακή της τιµμή: U(x) + 1 m x = E o U(x) E o. Ο προσδιορισµμός της τροχιάς στα επιτρεπτά διαστήµματα της µμονοδιάστατης κίνησης ανάγεται στον υπολογισµμό ενός ολοκληρώµματος: U(x) + 1 m(dx/dt) = E o dx 1 x = t t x o x(t) =.... / m o E o U(x)

4 08 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Γράφηµμα συνάρτησης δυναµμικού και περιοχές επιτρεπτής κίνησης µμε δεδοµμένη ενεργειακή τιµμή. Η φύση των καταστάσεων ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων και η συµμπεριφορά των τροχιών στην περιοχή τους µμπορεί να γίνει αντιληπτή µμε την απευθείας µμελέτη του γραφήµματος της συνάρτησης δυναµμικού. o Οι καταστάσεις ευσταθούς ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων αντιστοιχούν στις θέσεις τοπικής ελαχιστοποίησης της τιµμής της συνάρτησης δυναµμικού, δηλαδή στα σηµμεία του µμονοδιάστατου χώρου θέσεων όπου η 1 η παράγωγος της συνάρτησης δυναµμικού είναι µμηδενική και η η παράγωγός της είναι θετική. Αυτό σηµμαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες θέσης και ταχύτητας που είναι αρκετά γειτονικές σε αυτή την κατάσταση ισορροπίας ορίζουν τροχιές που εξελίσσονται στην περιοχή της κατάστασης ισορροπίας. o Οι καταστάσεις ασταθούς ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων αντιστοιχούν στις θέσεις µμεγιστοποίησης της τιµμής της συνάρτησης δυναµμικού, δηλαδή στα σηµμεία του µμονοδιάστατου χώρου θέσεων όπου η 1 η παράγωγος της συνάρτησης δυναµμικού είναι µμηδενική και η η παράγωγός της είναι αρνη- τική. Αυτό σηµμαίνει ότι οι αρχικές συνθήκες θέσης και ταχύτητας που είναι αρ- κετά γειτονικές σε αυτή την κατάσταση ισορροπίας ορίζουν τροχιές που αποµμ- ακρύνονται από την περιοχή της κατάστασης ισορροπίας. Γράφηµμα συνάρτησης δυναµμικού ενός βαθµμού ελευθερίας και συµμπεριφορά των τροχιών κοντά στις καταστάσεις ισορροπίας στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων. 1 1 Τα σηµμεία καµμπής του δυναµμικού αντιστοιχούν σε καταστάσεις ιδιάζουσας ισορροπίας.

5 ΜΑΘΗΜΑ 9 ο : ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 09 ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΕΛΚΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΩΣΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ F(x) = K x, K > 0, 1 U( x) = K x F(x) = K x, K > 0, 1 U() x = K x Ευσταθής ισορροπία Γράφηµμα δυναµμικού & Ισοενεργειακές καµμπύλες Ασταθής ισορροπία. Γράφηµμα δυναµμικού & Ισοενεργειακές καµμπύλες E(x, x) = 1 K x + 1 m x E(x, x) = 1 K x + 1 m x Εξίσωση της κίνησης m x(t) + K x(t) = 0 Εξίσωση της κίνησης m x(t) K x(t) = 0 Λύση: x(t) = C 1 cosωt + C sinωt Λύση: x(t) = C 1 e ωt + C e ωt ω= K / m ω= K / m

6 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β : ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ