Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα

Hamiltonian Δυναμική - Παράδειγμα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 1 Μάζα m κινείται στο εσωτερικό επιφάνειας κατακόρυφου κώνου ρ=cz. Το σώμα κινείται μέσα σε ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο με g προς τα κάτω. Χρησιμοποιήστε z και φ σαν γενικευμένες συντεταγμένες. (α) Να δειχθεί ότι για μια οποιαδήποτε δεδομένη λύση υπάρχουν μέγιστα και ελάχιστα ύψη, z max και z min, στα οποία περιορίζεται η κίνηση. (β) Με βάση το αποτέλεσμα αυτό, περιγράψετε την κίνηση της μάζας. (γ) Δείξτε ότι για μια οποιαδήποτε τιμή του z>0 υπάρχει μια λύση για την οποία το σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά σε συγκεκριμένο ύψος z. z φ ρ=cz y Οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι z και φ, ενώ το ρ προσδιορίζεται από το δεσμό ρ = cz Η κινητική ενέργεια δίνεται από: ( ) = 1 2 m (( c2 +1)!z 2 + ( cz!ϕ ) 2 ) T = 1 2 m!ρ 2 + ( ρ!ϕ ) 2 +!z 2 Η δυναμική ενέργεια είναι: U = mgz x Επομένως οι γενικευμένες ορμές είναι: z = L!z = T!z = m ( c2 +1)!z και ϕ = L!ϕ = T!ϕ = mc2 z 2!ϕ

Σωματίδιο σε κώνο ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 2 Μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις αυτές ως προς!z και!ϕ!z =!ϕ = ϕ mc 2 z 2 z m c 2 +1 ( ) Οπότε η Hamiltonian γίνεται: H = H = 1 2m 2 z ( c 2 + 1) + 2 ϕ c 2 z 2 + mgz i i!q i L = E = T + U Από αυτή την τελευταία σχέση προκύπτουν οι εξισώσεις του Hamilton!z = H z =!ϕ = H ϕ = z m c 2 +1 ( ) και! z = H z ϕ mc 2 z 2 και! ϕ = H ϕ = 0 = ϕ 2 mc 2 z 3 mg Αλλά φ είναι η συνιστώσα της στροφορμής στη διεύθυνση z και είναι σταθερή όπως περιμέναμε

Σωματίδιο σε κώνο ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 3 Ο πιο εύκολος τρόπος για να δούμε αν η κίνηση του σωματιδίου είναι περιορισμένη μεταξύ z max, z min για μια οποιαδήποτε λύση είναι να θυμηθούμε ότι η Hamiltonian είναι ίση με την ενέργεια και η ενέργεια διατηρείται. Επομένως για κάθε λύση H = i!q i L = E j όπου Ε j η ενέργεια της i συγκεκριμένης λύσης και Ε j =Ε Αλλά H = 1 2 2 z 2m c 2 + 1 c 2 z 2 + mgz > 0 ενώ mgz όταν z ( ) + ϕ Επομένως αφού η Ε=σταθ. θα πρέπει z < z max Με το ίδιο σκεπτικό, όταν z 0 ο όρος c 2 z 2 Επομένως αφού η Ε=σταθ. θα πρέπει z > z min > 0 H μάζα δεν μπορεί να πέσει στην κορυφή του κώνου όπου z=0 Περιγραφή της κίνησης της μάζας: Ø κίνηση γύρω από τον άξονα-z με σταθερή στροφορμή z = m(c 2 + 1)!z Ø φ = σταθ., η!ϕ αυξάνει για μικρά z και ελαττώνεται για μεγάλα z Ø To ύψος της μάζας, z, ταλαντώνεται μεταξύ z max, z min ϕ 2

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 4 Σωματίδιο σε κώνο Υπάρχει λύση για την οποία το σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά? Αυτό συνεπάγεται ότι z = const!z = 0 Στην περίπτωση αυτή, έχουμε:!z = z m(c 2 + 1) z = 0! z = 0 Από την εξίσωση Hamilton:! z = ϕ 2 mc 2 z mg = 0 3 ϕ = ±mc gz3 Ø Αν από κάποιο ύψος, z, εκτοξεύσουμε την m με z = 0 και ϕ = ±mc gz 3 τότε αφού η! z = 0 z = 0,!z = 0 πάντοτε Η μάζα θα συνεχίσει να κινείται στο αρχικό της ύψος σε κυκλική τροχία

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 5 Παράδειγμα κυκλικής συντεταγμένης q Πρόβλημα κεντρικής δύναμης σε 2 διαστάσεις. L = m ( 2!r 2 + r 2!θ 2 ) V(r) r = m!r, θ = mr 2!θ, H H ( x i, i ) = 1 2m ( x i, i ) = 1 2m 2 r + 2 θ r 2 2 r + l 2 r 2 + V r ( ) + V r ( ) θ κυκλική, θ =σταθ.=l q Oι εξισώσεις Hamilton είναι: ( )!r = r m,! r = l 2 mr V r 3 t Oι κυκλικές συντεταγμένες δεν εμφανίζονται από μόνες τους στις εκφράσεις

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 6 Σωματίδιο σε ΕΜ πεδίο q Για σωματίδιο σε ΕΜ πεδίο L = m 2!x i2 q c φ + q c A i!x i Δεν μπορούμε να πάμε απ ευθείας στο H=Ε εξαιτίας του τελευταίου όρου, αλλά i = L!x i = m!x i + q c A i ( )!x i L = m!x i H = m!x i + q c A i 2 2 + q cφ Αυτό αντιστοιχεί στην ενέργεια Ε q Θα είχαμε τελειώσει αν θέλαμε να βρούμε την συνάρτηση ενέργειας h q Η Hamiltonian όμως εξαρτάται μόνο από τα q και. Πρέπει επομένως να τη ξαναγράψουμε χρησιμοποιώντας i = m!x i + q c A i H ( ( ) = q A i c i ) 2 x i, i 2m + q c φ

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 7 Σωματίδιο σε ΕΜ πεδίο H ( ( ) = q A i c i ) 2 x i, i 2m q Οι εξισώσεις του Hamilton θα είναι επομένως: + q c φ!x i = H i = i q c A i m! i = H x i = q c j q c A j m A j x i q c φ x i q Είναι ισοδύναμες με την συνήθη δύναμη Lorentz? q Μπορούμε να το ελέγξουμε απαλείφοντας το i d dt A ( m!x i + q c A i ) = q c!x j i x i q c φ x i d dt!! ( mv i ) = q c E i + q c ( v B ) i

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 8 Φασικός χώρος hase sace q Ένας 2-Ν διαστατικός χώρος με άξονες {q k } και { k }. Ø Χρήσιμος στην Hamiltonian δυναμική: ü {q k } και { k } είναι οι βαθµοί ελευθερίας ü Οι εξισώσεις Hamilton συνδέουν χρονικές παραγώγους των συντεταγµένων µε µερικές παραγώγους της Hamiltonian στον φασικό χώρο q Η Hamiltonian είναι ένα σύνολο επιφανειών στο φασικό χώρο Ø Για κάθε επιφάνεια αντιστοιχεί διαφορετική αλλά σταθερή τιµή της Hamiltonian q Οι εξισώσεις του Hamilton µας λένε την διεύθυνση κίνησης του συστήµατος στον φασικό χώρο Ø Έστω σωµατίδιο κινείται στο φασικό χώρο και η Hamiltonian διατηρείται ανεξάρτητη του χρόνου (εποµένως οι επιφάνειες είναι σταθερές) Ø Έστω ˆq και ˆ τα µοναδιαία διανύσµατα στις διευθύνσεις q και! q H = ˆq H q + ˆ H Η εξέλιξη της θέσης του συστήµατος στο φασικό χώρο: ˆq!q + ˆ! = ˆq H ˆ H q Από τις 2 σχέσεις:! q H ˆq "q+ ˆ" ( ) = 0! q H ( ˆq "q+ ˆ" )

Φασικός χώρος hase sace q Έστω απλός αρμονικός ταλαντωτής: H = 2 2m + k 2 x2 = E 2 Γράφημα στο φασικό χώρο: 2mE + x2 2 E k = 1 ç έλλειψη: E 1 E 2 E 3 2mE! q H ˆq!q + ˆ! 2 E k x Μεγάλος ηµιάξονας: Μικρός ηµιάξονας: ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 9 2 E k 2mE q Για περισσότερες από 2-Δ:! H q H = ˆq k k q k H [ ˆq k!q k + ˆ k! k ] = ˆq k + ˆ k H k k k k! q H [ ˆq k "q k + ˆ k " k ] = 0 k ˆ k H q k προβολή σε κάποιο q k - k επίπεδο προβολή σε κάποιο q k - k επίπεδο κάθετες µεταξύ τους q Ένα σύστηµα σωµάτων κινείται σαν ένα «υγρό» ή «αέριο» στο χώρο φάσεων

Φασικός χώρος hase sace ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 10 q Έστω ο αρμονικός ταλαντωτής έχει συχότητα 1 : H = 2 2 + x2 2 = E Γράφημα στο φασικό χώρο: 2 2E + x2 2E = 1 ç κύκλος ακτίνας 2E! q H ˆq!q + ˆ! x (!q,! ) = H, H q = (, q) Η ροή της κλίσης της Hamiltonian ή ροή της Hamiltonian Η δυναμική είναι «ροή»

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 11 q Όχι μόνο το σύστημα σωμάτων μοιάζει σαν «υγρό» αλλά και η ροή του είναι ασυμπίεστη. q Η πυκνότητα του φασικού χώρου είναι σταθερή κατά μήκος των τροχιών των σωματιδίων dρ ({ q k },{ k },t)= 0 dt q Λέει ότι οποιεσδήποτε είναι οι δυναμικές συντεταγμένες (q,) δεν μπορούμε να συμπιέσουμε μια κατανομή του φασικού χώρου σε μικρότερη περιοχή του φασικού χώρου Ø Για δυνάμεις τριβής το θεώρημα παραβιάζεται q Το εμβαδό μιας περιοχής του φασικού χώρου ΔΑ=ΔqΔ, διατηρείται καθώς το σύστημα χρονοεξελίσεται

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 12 q Έστω ένα σύνολο από αρχικές καταστάσεις. Θέλουμε να ξέρουμε πως θα εξελιχθεί χρονικά. Liouville: το εμβαδό της Ν-διαστατικής επιφάνειας σε χώρο των φάσεων παραμένει σταθερό q Δ q Θεωρήστε 2-Δ και η επιφάνεια είναι ένα τετράγωνο Ø Χρονική εξέλιξη των πλευρών του τετραγώνου: Δq ( ) ( q, ) q + H dt, H q dt όπου H =!q = H και H =! = H q q ( q + Δq, ) q + Δq + dt ( H + H q Δq), ( H q + H qq Δq)dt ( ) (q,) Ανάπτυγµα Taylor του H = H q=q+δq + H Δq q=q = H q + H q=q q Δq q=q q=q ( q, + Δ) q + dt ( H + H Δ), + Δ ( H q + H q Δ)dt ( ) ( ( ), + Δ ( H q + H q Δ + H qq Δq)dt) ( q + Δq, + Δ) q + Δq + dt H + H Δ + H q Δq

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 13 q Ουσιαστικά αυτό που κάναμε ήταν. Δ Δq q Το αρχικό εμβαδό ήταν: A = ΔΔq q Μετά από χρόνο dt: A = ΔΔqdet q Χρειάζεται να υπολογίσουμε το μήκος των πλευρών του νέου σχήματος: ( Δq + dth q Δq,ΔqH qq dt) ( dth Δ,Δ ΔH q dt) 1+ dth q dth qq dth A = ΔΔqdet 1 dt 2 2 H q A = ΔΔq + 0 dt 2 q Επομένως το εμβαδόν δεν αλλάζει για 0(dt) q Ολοκληρώνοντας έχουμε: Α=σταθ. 1 dth q (( ) dt 2 H H qq ) ( ) Ø Το εμβαδό δεν αλλάζει αλλά το σχήμα αλλάζει da dt = 0

Φασικός χώρος Θεώρημα Liouville ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 14 q Τα προηγούμενα ισχύουν για οποιαδήποτε σχήμα: Δ Δq Ø Μπορούμε να χωρίσουμε το σχήμα σε πολλά μικρότερα τετράγωνα τα οποία δεν αλλάζουν εμβαδό Ø Αθροίζουμε τα τετράγωνα q Για Ν-διάστατο χώρο η απόδειξη είναι ίδια Ø Ν-διάστατος όγκος παραμένει αμετάβλητος με το χρόνο Ø Το σχήμα ωστόσο αλλάζει

Μονοδιάστατα συστήµατα ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 15 q Ας θεωρήσουμε το εκκρεμές L = 1 2 ml 2!θ 2 + mgl cosθ θ m q Ευσταθή σημεία ισορροπίας V ( θ ) θ = 2nπ q Ασταθή σημεία ισορροπίας θ = ( 2n +1)π q Αν η ενέργεια έχει τιμές mgl > E > mgl 0 π 2π 3π θ Ø Ταλάντωση ως προς ευσταθές σημείο q Αν η ενέργεια έχει τιμές E > mgl Ø Θ θα είναι μονότονη: θα αυξάνει ή θα ελαττώνεται το εκκρεμές θα περιστρέφεται πάντοτε

Φασικός χώρος hase sace ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 16 q Χρήσιμο να περιγράψουμε την δυναμική στο φασικό χώρο q Για το εκκρεμές αυτό θα είναι ένα επίπεδο θ, θ q Η ενέργεια είναι σταθερή, το σύστημα θα κινείται σε σταθερές καμπύλες q Για το εκκρεμές: E = 1 2 ml 2!θ 2 mgl cosθ E = 2 θ mgl cosθ 2 2ml E q Φασικός χώρος (θ, θ ): Ø καμπύλες σταθερής ενέργειας Ø Όταν mgl < E < mgl E = mgl κλειστές καμπύλες θ E > mgl > mgl Ø Όταν E = mgl σημείο θ =0,θ=0 δεν υπάρχει ταλάντωση Ø Όταν E > mgl ανοικτές καμπύλες θ >0 περιστροφή δεξιόστροφα θ <0 περιστροφή αριστερόστροφα -π<θ<π Ø Για E = mgl μια καμπύλη διαχωριστική θ

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 17 Φασικός χώρος V q Στην διαχωριστική καμπύλη Το εκκρεμές είναι ανάποδα θα κυλήσει προς τα κάτω και θα πάρει άπειρο χρόνο για να ανέβει Μπορείτε από το ολοκλήρωμα του χρόνου να δείτε ότι απειρίζεται για να βρεθεί και πάλι στην θέση ανάποδα q Κοντά σε σημείο ευσταθούς ισορροπίας Ø Αρμονικός ταλαντωτής: H = 2 2m + k 2 x2 H = E οπότε: E = 2 2m + x2 2 k 1 = 2 2mE + π x2 2E k 3π E 1 E2 E3 θ 2mE 2 E k x Μεγάλος ηµιάξονας: Μικρός ηµιάξονας: 2 E k 2mE έλλειψη: q Κοντά σε σημεία ασταθούς ισορροπίας Ø Υπερβολές διαχωριστικές

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 18 Κατασκευή φασικών γραµµών - παράδειγµα

ΦΥΣ 211 - Διαλ.12 19 Φασικός χώρος - Παράδειγµα Σωματίδιο κινείται σε δυναμικό της μορφής: U x (α) Να κατασκευαστεί το γράφημα του δυναμικού ( ) = U 0 x 2 a 2 e x a (β) Να κατασκευαστεί το γράφημα των αντιπροσωπευτικών καμπυλών στο φασικό χώρο. Να βρεθούν τα πιθανά σταθερά σημεία και η ενέργεια των διαχωριστικών καμπυλών ( ) 0 ( ) (α) Για x + U x ενώ για x U x Aκρότατα της U(x) για du ( x ) = 0 U 0 2x x2 dx a 2 a e x a = 0 x = 0 ελάχιστο U x x = 2a μέγιστο ( ) 0 x 2a (β) Τα τοπικά ακρότατα δημιουργούν κέντρα στο επίπεδο (x,). Σταθερό σημείο στο x = 0 και ασταθές στο x = 2α 0 2a x ( ) Ενέργεια διαχωριστικής καμπύλης E = U x = 2a