x , οπότε : Α = = 2.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 69 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 7 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 009 Πρόβλημα Αν ισχύει ότι Γ τάξη Γυμνασίου a+ b=, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α= ( 6a+ b) ( a+ 6 b) + :. Η παράσταση γίνεται Α= ( 6a+ b) ( a+ 6 b) + : = + 6 ( a+ b) ( a+ b) = + 5 ( ) ( ) = + = + = =. 8 5 6 6 6 Πρόβλημα Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί x, y ικανοποιούν τηνισότητα x + y = xy, 0 να βρείτε την τιμή της παράστασης x + y Α=. x y 0 Από τη σχέση x + y = xy λαμβάνουμε: 0 x + y + x y = xy+ xy ( x+ y) = xy, 0 8 x + y x y = xy xy ( x y) = xy > 0, οπότε έχουμε: xy ή. x y 8 xy ( x+ y) ( ) Α = = = Α= Α=

Δεύτερος τρόπος 0 Από τη σχέση x + y = xy με διαίρεση των δύο μελών με x u = λαμβάνουμε: y y και την αντικατάσταση x x 0 0 0 6 + = 0 u u+ = 0 u = 0 y y 9 0 8 0 8 u = ή u = u = 6 ή u =. x 6y+ y Για u = = 6 λαμβάνουμε x = 6y, οπότε : Α = =. y 6y y x x+ x Για u = = λαμβάνουμε x = y, οπότε : Α = =. y x x Πρόβλημα Να βρείτε τους διψήφιους θετικούς ακέραιους n= ab= 0 a+ b, όπου abψηφία,, a 0,που έχουν την ιδιότητα: Το γινόμενο των ψηφίων τους αυξημένο κατά το τετραπλάσιο του αθροίσματος των ψηφίων τους, ισούται με τον αριθμό. Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε την εξίσωση: ab + ( a + b) = 0a + b, όπου abψηφία,, a 0. Ισοδύναμα έχουμε: ab + a + b = 0a + b ab 6a + b = 0 a( b 6) + ( b 6) = 8 ( a+ )( b 6) = 8 a+ 6 b = 8. ( )( ) Από την τελευταία εξίσωση, δεδομένου ότι a +, προκύπτει ότι: ( a+, 6 b) = ( 6,) ή ( 9, ) ( ab, ) = (,) ή ( 6, ), δηλαδή οι αριθμοί που ζητάμε είναι οι και 6.

Πρόβλημα Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο χορδές ΑΒ και ΓΔ που είναι κάθετες μεταξύ τους και δεν περνάνε από το κέντρο του κύκλου. Οι δύο χορδές τέμνονται στο σημείο Κ, έτσι ώστε να είναι ΑΚ > ΚΒ. Έστω Μ το συμμετρικό του Β ως προς κέντρο συμμετρίας το σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου ΑΓΔ. Έστω ότι η ευθεία ΓΜ τέμνει την πλευρά ΑΔ στο σημείο Ε. Η ΓΕ είναι ύψος του τριγώνου ΑΓΔ, αν είναι ΓΕ ΑΔ ή ΓΕΔ ˆ = 90. Αρκεί να ισχύει: ΕΓΔ ˆ + ΓΔΕ ˆ = 90. Όμως είναι ΕΓΔ ˆ = ΚΓΒ ˆ, () λόγω συμμετρίας ως προς την ευθεία ΓΔ. Επίσης έχουμε ΓΔΕ ˆ = ΓΔΑ ˆ = ΓΒΑ ˆ = ΓΒΚ ˆ, αφού οι γωνίες ΓΔΑ ˆ, ΓΒΑ ˆ είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του κύκλου. Άρα είναι ΓΔΕ ˆ = ΓΒΚ ˆ, () ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο του κύκλου. Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () λαμβάνουμε: ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 ΕΓΔ + ΔΓΕ = ΚΓΒ + ΓΒΚ = 80 ΓΚΒ = 80 90 = 90, αφού οι γωνίες ΓΒΚ ˆ και ΚΓΒ ˆ είναι οι δύο οξείες γωνίες του ορθογώνιου τριγώνου ΓΚΒ. Επειδή οι δύο χορδές είναι κάθετες θα είναι και ΑΚ ΓΔ, δηλαδή ΑΚ είναι επίσης ύψος του τριγώνου ΑΓΔ, οπότε το σημείο Μ είναι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου ΑΓΔ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 00 Γ Γυμνασίου Πρόβλημα Έστω ο ακέραιος ν ν ν ν Α= ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ν, όπου ν θετικός ακέραιος. Αν ο Α είναι διαιρέτης του, να βρείτε τις δυνατές τιμές του ν. ν ν ν ν ν ν Έχουμε Α= ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ν = ( ) + + (( ) ) + ν ν ν, αν ν άρτιος = + ( ) ν = 0, αν ν περιττός. Επειδή ο ακέραιος Α είναι διαιρέτης του, έπεται ότι: Α 0, οπότε ο ν δεν μπορεί να είναι περιττός. Ο θετικός ακέραιος Α= ν, όπου ν άρτιος θετικός ακέραιος, ανήκει στο σύνολο των άρτιων θετικών διαιρετών του, δηλαδή είναι: ν {,,6,8,, }, όπου ν άρτιος θετικός ακέραιος, ν,,,,,6,όπου ν άρτιος θετικός ακέραιος, ν = ή ν = 6. Άρα οι δυνατές τιμές του ν είναι το και το 6. Πρόβλημα Υπάρχει διψήφιος θετικός ακέραιος N = ab= 0 a+ b, όπου abψηφία, με a 0, που ισούται με το γινόμενο των ψηφίων του ελαττωμένο κατά το άθροισμα των ψηφίων του; Ο ζητούμενος διψήφιος θετικός ακέραιος N = ab= 0 a+ b, όπου abψηφία, με a 0, ικανοποιεί την εξίσωση 0a+ b= ab a+ b a = ab b b a = b. ( ) ( ) Η τελευταία εξίσωση δεν είναι δυνατόν να ισχύει, γιατί ο όρος ( b) a του πρώτου μέλους είναι θετικός, ενώ ο όρος του δευτέρου μέλους είναι μικρότερος ή ίσος με το μηδέν. Άρα δεν υ- πάρχει ο ζητούμενος διψήφιος θετικός ακέραιος. Πρόβλημα Να υπολογίσετε το άθροισμα: S = + + 5 6 7 + 8 + + 997 998 999 + 000. Παρατηρούμε ότι το άθροισμα S είναι άθροισμα 50 αθροισμάτων της μορφής ( ) ( ) ( ) ( ) Sk = k+ k+ k+ + k+, για k = 0,,,,...,9. Όμως έχουμε

Άρα έχουμε k ( ) ( ) ( ) ( ) S = k+ k+ k+ + k+ = + + + + + 6k 8k 6k 6k 6k k 9 6k k 6 =, για κάθε k = 0,,,,...,9. S = S + S +... + S = + +... = 50 = 000 0 9 Πρόβλημα Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: το σημείο Δ είναι το μέσο της πλευράς ΑΓ= β του τριγώνου ΑΒΓ, ˆ ΔΑΕ = 90, η ΔΕ είναι κάθετη προς τη ΒΓ, ΑΔΕ ˆ = ΓΔΖ ˆ = θ και ΓΖΔ ˆ = 0 0. (i) Να βρείτε τη γωνία θ. (ii) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΕΖ συναρτήσει του β. Σχήμα (i) Έστω ότι η ευθεία ΔΕ τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Η. Τότε θα είναι ΗΔΓ ˆ = θ (ως κατά κορυφή) και ΗΔΖ ˆ = ΗΔΓ ˆ + ΓΔΖ ˆ = θ, οπότε από το τρίγωνο ΗΔΖ έχουμε: 0 0 0 90 + θ + 0 = 80 θ = 0 (ii) Το τρίγωνο ΗΕΖ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα ΕΖ, οπότε για τον υπολογισμό της ΕΖ θα χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Πρέπει όμως να έχουμε υπολογίσει τις κάθετες πλευρές ΗΖ και ΗΕ συναρτήσει του β. Από το τρίγωνο ΗΔΓ που είναι ορθογώνιο στο Η με β ΓΔ= και έχει ΗΔΓ ˆ = θ = 0 0 λαμβάνουμε: 0 0 ΗΔ = ΔΓ συν 0 = β = β και ΗΓ = ΔΓ ημ0 = β = β. Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τα μήκη των ΗΔ και ΗΓ από το ορθογώνιο τρίγωνο ΗΔΓ με ΗΔΓ ˆ = θ = 0 0, οπότε η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την οξεία 0 β γωνία των 0 θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή είναι ΗΓ= και στη συνέχεια από το Πυθαγόρειο θεώρημα υπολογίζουμε και την πλευρά ΗΔ =. β

0 Το τρίγωνο ΓΔΖ είναι ισοσκελές ( ΓΖΔ ˆ = ΓΔΖ ˆ = 0 ), οπότε θα είναι β ΓΖ=ΓΔ= και β β β ΗΖ = ΗΓ + ΓΖ = + =. Επιπλέον, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ με ΔΑΕ ˆ = 90, ˆ β ΑΔΕ = 0 0 και ΑΔ=, έχουμε: ΔΕ β / β β ΑΔ = = = =, 0 συν 0 / οπότε θα είναι β β 7β ΗΕ = ΗΔ + ΔΕ = + =. Επομένως, από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΗΕΖ με Η= ˆ 90 έχουμε: 7β β β 57 ΕΖ = ΗΕ + ΗΖ = + =. 6

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 Γ τάξη Γυμνασίου Πρόβλημα (α) Να λύσετε την εξίσωση: x + 8 7 x =. 8 (β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= + β β 9 β 9 0, για β =. (α) Έχουμε x+ 8 7 x = ( x+ 8) ( 7 x) = 8 x+ 6 7+ x= 8 8 7x+ 9= 8 7x= 8 9 7x= x=. (β) Για β = η παράσταση Α γίνεται: Α= + 9 0= 9 0 + 9 9 9 9 8 8 = 9+ ( ) 0= + ( ) 0= 0 9 9 9 9 8 9 80 7 = =. 9 9 9 9 Πρόβλημα Οι θετικοί ακέραιοι α, β είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 0 και τέτοιοι ώστε ( ) ( ) α 0, β και α 0 β 0. Να βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της παράστασης Α = α β. Είναι α 0, οπότε α < 0. Άρα, για να αληθεύει η ανίσωση ( α )( 0 β) 0, αρκεί να ισχύει ότι: 0 β 0 0 β β 0. Έτσι έχουμε: 0 α 0 και β 0 0 α 0 και β 0 0 α 0 και 0 β, από τις οποίες με πρόσθεση κατά μέλη λαμβάνουμε: 0 Α= α β 6, οπότε η μεγαλύτερη τιμή της παράστασης Α είναι 6, ενώ η μικρότερη τιμή της είναι -0. Πρόβλημα Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ. Δίνεται ακόμη ότι ο κύκλος C που περνάει από τα σημεία Γ, Δ και Ε έχει ακτίνα cm.

(i) (ii) (iii) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές. Να βρείτε την πλευρά α του τετραγώνου. Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας που βρίσκεται εξωτερικά του σχήματος ΕΑΔΓΒΕ και εσωτερικά του κύκλου () c. (i) Στα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΕΓ ισχύουν: ˆ ˆ o o o ΕΑΔ = ΕΒΓ = 90 + 60 = 50. ΑΕ=ΒΕ= α, ΑΔ=ΒΓ= α και Σχήμα Άρα τα τρίγωνα ΑΕΔ και ΒΕΓ είναι ίσα και κατά συνέπεια ΕΔ=ΕΓ, δηλαδή το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισοσκελές. (ii) Εφόσον ΕΔ = ΕΓ, το σημείο Ε ανήκει στη μεσοκάθετη του τμήματος ΔΓ (που ταυτίζεται με τη μεσοκάθετη του τμήματος ΑΒ ). Επίσης ΕΑ=ΕΒ, οπότε το σημείο Ε ανήκει στη μεσοκάθετη του τμήματος ΑΒ. Άρα η OE είναι μεσοκάθετη της ΑΒκαι κατά συνέπεια διχοτόμος της γωνίας ΑΕΒ ˆ του ισόπλευρου τριγώνου ΑΕΒ. Άρα είναι Ε ˆ = 0 o. ΑΕ = ΑΔ = α ΟΑ μεσοκάθετη της ΕΔ ΟΑ διχοτόμος της ΔΑΕ ˆ Α ˆ = 75 o. ΟΕ = ΟΔ = Στο τρίγωνο ΑΟΕ έχουμε: Α ˆ = 75 o και Ε ˆ = 0 o. Άρα Ο ˆ = 75 o, οπότε το τρίγωνο ΑΟΕ είναι ισοσκελές με ΕΑ = ΕΟ = α = cm. (iii) Το εμβαδόν του κύκλου ( c ) είναι: Ε c = π = 6π. Το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι: Ε τετ = = 6, ενώ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΕ είναι: Ε τρ =. Άρα το εμβαδόν της ζητούμενης επιφάνειας είναι: Ε= 6π 6. Πρόβλημα Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο Α = αβγ = 00α + 0β + γ, αν ισχύουν και οι τρεις επόμενες προτάσεις: (i) Α Β= 98, όπου Β= γβα = 00γ + 0β + α,

x + α γ α γ (ii) Η εξίσωση = έχει δύο ρίζες με άθροισμα. α γ x (iii) Ο αριθμός Α διαιρείται με το 9. Σύμφωνα με την πρόταση (i) έχουμε: Α Β= 98 99 α γ = 98 α γ =. () ( ) Η εξίσωση της πρότασης (ii), αν γ α και x 0, γράφεται: x+ α γ α γ x+ α γ x+ α γ = 0 = 0 ( x + α γ) = 0 α γ x α γ x α γ x x+ α γ = 0 ή = 0 x= γ α ή x= α γ α γ x Επειδή, λόγω της (ii) το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι, έχουμε ότι γ α + α γ = α + γ =, () ( ) ( ) με τους περιορισμούς για τις παραμέτρους γ α και α γ. Από τις () και () με πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέλη λαμβάνουμε α = 6, γ = α =, γ = και εύκολα διαπιστώνουμε ότι ικανοποιούνται οι περιορισμοί για την εξίσωση. Άρα ο θετικός ακέραιος Α θα έχει τη μορφή Α= β με άθροισμα ψηφίων + β. Επειδή, σύμφωνα με την πρόταση (iii) ο Α διαιρείται με το 9, πρέπει και αρκεί + β = πολ.(9), οπότε, αφού το β είναι ψηφίο, η μοναδική δυνατή τιμή του είναι β = 5. Επομένως, ο ζητούμενος θετικός ακέραιος Α είναι ο 5.

7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 665-06778 - Fax: 0 605 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 0 665-06778 - Fax: 0 605 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 7 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 0 Πρόβλημα (α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης: ΕNΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Γ τάξη Γυμνασίου α 9 0 7 α α Α= + β +, β β β αν δίνεται ότι α = β =. x (β) Αν τα ποσά x, y είναι ανάλογα με συντελεστή αναλογίας = α > 0, να αποδείξετε ότι η y xy παράσταση Κ= έχει τιμή ανεξάρτητη των τιμών των x, y και ισχύει ότι Κ. x + y Για ποια τιμή του α η παράσταση Κ παίρνει τη μέγιστη τιμή της. (α) Για α = β = λαμβάνουμε Η παράσταση Α γράφεται: α β + 6 = = = = = 8. 6 ( ) α α α Α= + 7 9 0 + = ( 8 + 7) 8 + 9 8 0 β β β = 5 + 7 0 = 5 8 + 5 = 0. (β) Από την υπόθεση έχουμε ότι x = α y, οπότε η παράσταση γράφεται ayy α y α Κ= = =, α y + y ( α + ) y α + δηλαδή είναι ανεξάρτητη των x, y και εξαρτάται μόνο από το λόγο α. Επιπλέον, ισχύει α Κ = α + α α α + 0 ( α ) 0, α + το οποίο είναι αληθές. Επομένως η μέγιστη τιμή της παράστασης είναι και λαμβάνεται όταν α = 0, δηλαδή όταν α =.

Πρόβλημα Στο διπλανό σχήμα, οι μικροί κύκλοι είναι ίσοι μεταξύ τους (με ακτίνα R ), έχουν κέντρα τα σημεία ΚΛ, και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Μ. Οι διάμετροι ΑΒ και ΓΔ (των μικρών κύκλων) είναι κάθετες στην διάκεντρό τους ΚΛ. Ο μεγάλος κύκλος τέλος, έχει κέντρο το σημείο Μ και περνάει από τα σημεία Α, ΒΓΔ.,, Να υ- πολογιστεί συναρτήσει του R, το εμβαδό του σκιασμένου χωρίου. Επειδή είναι ΑΚ = ΔΛ και ΑΚ ΔΛ, ως κάθετες στη διάκεντρο ΚΛ, το τετράπλευρο ΑΚΛΔ είναι ορθογώνιο, οπότε θα είναι ΑΔ=ΚΛ= R. Ομοίως προκύπτει ότι και το τετράπλευρο ΚΒΓΛ είναι ορθογώνιο και ότι ΒΓ=ΚΛ= R Επομένως, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο με πλευρά R και εμβαδό ( ΑΒΓΔ ) = R. Σχήμα Το τρίγωνο ΑΚΜ είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές ΚΑ=ΚΜ= R. Άρα, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε: ΜΑ = ΜΒ = ΜΓ = ΜΔ = R, δηλαδή ο μεγάλος κύκλος έχει ακτίνα R και κατά συνέπεια το εμβαδό του θα είναι: Ε= π ( R ) = π R. Τα εμβαδά των δύο μικτόγραμμων χωρίων ΜΑΔ και ΜΒΓ είναι ίσα μεταξύ τους και το ά- θροισμά τους προκύπτει, αν από το εμβαδό του τετραγώνου αφαιρέσουμε το εμβαδό των δύο μικρών ημικυκλίων (δηλαδή το εμβαδό του μικρού κύκλου). Με βάση τους παραπάνω συλλογισμούς προκύπτουν οι σχέσεις: π Ε = ( ΑΒΓΔ) πr Ε = R πr Ε = R. π R Για τα εμβαδά των χωρίων Ε έχουμε: Ε = Ε. Άρα το εμβαδό του ζητούμενου χωρίου είναι: Ε+ Ε+ Ε = Ε+ ( π) R + πr Ε= R. Παρατήρηση Το εμβαδό ενός από τα τέσσερα ίσα κυκλικά τμήματα του μεγάλου κύκλου είναι: Ε ( ΑΒΓΔ) π R R ( π ) R Ε = = =.. Ο υπολογισμός όμως δεν είναι απαραίτητος γιατί απλοποιείται με τις πράξεις.

Πρόβλημα Γράφουμε στον πίνακα το σύνολο Α που περιέχει όλους τους ακέραιους από το 0 μέχρι και το 0. Διαγράφουμε από το σύνολο Α όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του και στη συνέχεια διαγράφουμε όλους τους ακέραιους που είναι πολλαπλάσια του 8. Να βρείτε πόσοι ακέραιοι θα απομείνουν στο σύνολο Α. Το σύνολο Α= { 0,0,0,...,0} έχει 0-00 =9 στοιχεία. Τα πολλαπλάσια του που ανήκουν στο σύνολο Α είναι της μορφής κ, όπου κ ακέραιος τέτοιος ώστε 0 0 0 κ 0 κ κ 670 κ {,5,..., 670 }, δηλαδή τα πολλαπλάσια του που ανήκουν στο σύνολο Α είναι 670 = 67. Τα πολλαπλάσια του 8 που ανήκουν στο σύνολο Α είναι της μορφής 8 κ, όπου κ ακέραιος τέτοιος ώστε 0 0 5 0 8κ 0 κ κ 5 κ {,,..., 5 }, 8 8 8 8 δηλαδή τα πολλαπλάσια του 8 που ανήκουν στο σύνολο Α είναι 5 = 9. Όμως υπάρχουν πολλαπλάσια του 8 που είναι και πολλαπλάσια του και έχουν ήδη διαγρα- ΕΚΠ,8 = που ανήκουν στο σύνολο Α. φεί. Αυτά είναι όλα τα πολλαπλάσια του { } Εργαζόμενοι ομοίως, από τις ανισώσεις 0 0 5 0 0 κ 0 κ κ 8 κ { 5,6,...,8 }, βρίσκουμε ότι τα κοινά πολλαπλάσια των και 8 μέσα στο σύνολο Α είναι 8 = 79. Επομένως, διαγράψαμε από το σύνολο Α συνολικά 67 + 9 79 = 797 στοιχεία, οπότε απέμειναν τελικά 9 797 = 5 στοιχεία. Πρόβλημα Δίνονται τα πολυώνυμα P( x) = ( x )( x+ )( x )( x+ ) και Q( x) = ( αx + βx)( γx + δ) +, όπου α, βγδ,,. Αν ισχύει ότι α + β + γ + δ =, να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α, βγδ,, για τις οποίες τα πολυώνυμα P( x) και Q( x) είναι ίσα. P x x x x x x x x x = + + = = 5 + και Έχουμε ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Q x α x β x γ x δ αγ x βγ x αδ x βδ x = + + + = + + + +. Τα πολυώνυμα P( x) και Q( x) είναι ίσα, αν, και μόνον αν, ισχύουν αγ =, βγ = 0, αδ = 5, βδ = 0 β = 0 ή γ = 0, β = 0ή δ = 0, αγ =, αδ = 5. { } { } Οι τιμές γ = 0 και δ = 0 αποκλείονται γιατί δεν επαληθεύουν τις δύο τελευταίες εξισώσεις, 5 οπότε λαμβάνουμε β = 0, γ =, δ, α 0. α = α Από την εξίσωση α + β + γ + δ =, με α- ντικατάσταση των τιμών των β, γ και δ προκύπτει η εξίσωση 5 α + = α = α + α = 0 α + α = 0 α α α α α + + α = 0 α α + = 0 α = 0 ή α + = 0 α = ή α = ( )( ) ( ) ( )( ) Επομένως οι τιμές των παραμέτρων α, βγδ,, πρέπει και αρκεί να είναι 5 α =, β = 0, γ =, δ = 5 ή α =, β = 0, γ =, δ =.