4.3. ΠΟΛΥΨΗΦΙΟΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΙ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ 4.3.. Αποτελέσματα ερευνών σε πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις της σχολής των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής Παρουσίαση δεδομένων από το αρχικό και το τελικό ερωτηματολόγιο στην Ε και Στ τάξη Όπως έχουμε ήδη πει, στην Ε και Στ τάξη είχαν προταθεί οι ίδιες ασκήσεις. Πράξ η Αριθ. Σωστών απαντήσεων Ν=38 Αριθ. Μαθητών που καταγράφουν τη στρατηγική Γραπτός Αλγόριθμος Επαναλαμβανό μενη πρόσθεση ή αφαίρεση Στρατηγικές διασπασμένου αριθμού Στρατηγικές Αντιστάθμισης ή ολιστικές Παραγωγή Πράξης (για διαιρέσεις) 8 x5 66 86,5 5 8 x46 45 5 4 6 7 7,5 8 58,5 78 47 8 48 8 8 74 3 75 84 5,5 73 56 5 4 45 7,5 8 74 68 65,5 8 6 68 6,5 6,5 3 6 3 77 5 8 38,5 7,5 5,5 3 38,5 6 6 8 6,5,5 6 5 7 76 4,5 7 3,5 7 5,5 7 5,5 35,5 7,5 3 45 4,5 4 3 75 4,5 35,5 3 Πίνακας 4.: Ποσοστά επιτυχίας και των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές πριν και μετά την πειραματική διδασκαλία στην Ε και Στ τάξη Επιτυχία στις πράξεις και ικανότητα καταγραφής στρατηγικών Στην Ε και Στ τάξη προτάθηκαν δύο πολλαπλασιασμοί και δύο διαιρέσεις. Όπως φαίνεται στον πίνακα 4., ο πολλαπλασιασμός 8x5 έχει υψηλό ποσοστό επιτυχίας (86,5), ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση διψήφιων (5x46 και 45:5) έχουν ποσοστό επιτυχίας 7 και η διαίρεση 4:6 πέφτει στο 58,5. Μετά τη διδακτική παρέμβαση τα ποσοστά επιτυχίας στις τέσσερεις αυτές πράξεις αυξάνονται, αυξάνονται σημαντικά σε όλες τις πράξεις, εκτός από την 8x5, της οποίας η αύξηση είναι στο όριο της στατιστικής σημαντικότητας. Τα ποσοστά των μαθητών που μπορούν να καταγράφουν τη στρατηγική που χρησιμοποιούν είναι μικρότερα από τα ποσοστά επιτυχίας στις πράξεις. Τα ποσοστά αυτά, βέβαια, είναι ανάλογα με τη δυσκολία της κάθε πράξης. Η χρήση των στρατηγικών Ένα αρκετά υψηλό ποσοστό μαθητών χρησιμοποιεί τον γραπτό αλγόριθμο για να εκτελέσει τους νοερούς πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις που προτείνονται. Πριν τη διδασκαλία το ποσοστό αυτό είναι κατά μ.ο.,5 και όλως παραδόξως μετά τη διδασκαλία το ποσοστό αυτό αντί να μειωθεί αυξήθηκε στο,5. Φαίνεται, δηλαδή, από αυτό ότι στην Ε και Στ τάξη οι μαθητές δεν βελτιώνονται από τη διδακτική παρέμβαση και δεν χρησιμοποιούν ευέλικτες στρατηγικές, αντίθετα χρησιμοποιούν πολύ τις αλγοριθμικές μεθόδους. Μικρά ποσοστά μαθητών (γύρω στο ) χρησιμοποιούν τις ολιστικές στρατηγικές στους πολλαπλασιασμούς και πριν και μετά
τη διδακτική παρέμβαση. Μόνο στην πράξη 5x46 το ποσοστό των μαθητών που χρησιμοποιούν τις ολιστικές στρατηγικές διπλασιάζεται (από 7, 4,5) μετά τη διδακτική παρέμβαση. Στην πράξη αυτή προσφέρεται η στρατηγική του ταυτόχρονου διπλασιασμού του 5 και υποδιπλασιασμού του 46: 5x46=x3. Σύγκριση μεταξύ της Δ τάξης και των Ε και Στ τάξεων Οι κοινές ασκήσεις που προτάθηκαν στη Δ και στις Ε και Στ τάξεις ήταν οι πολλαπλασιασμοί διψήφιων 8x5 και 5x46 και η διαίρεση με διψήφιο διαιρέτη, 45:5. Αν εξετάσουμε τα ποσοστά επιτυχίας μεταξύ αυτών τάξεων πριν τη διδακτική παρέμβαση, διαπιστώνουμε ότι και στις τρεις αυτές πράξεις τα ποσοστά επιτυχίας αυξήθηκαν στατιστικά σημαντικά: 8x5: 7,5 86,5, 5x46: 53,5 7 και 45:5: 53 7,5. Άρα και εδώ με την πάροδο του χρόνου, από την Δ τάξη στις Ε και Στ τάξεις, οι μαθητές βελτιώνουν τις επιδόσεις τους σε τέτοιου είδους πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις. 4.3..3. Έρευνες στις στρατηγικές σε μαθητές Γυμνασίου Έρευνα σε Έλληνες μαθητές Γυμνασίου Θα παρουσιάσουμε εδώ τα αποτελέσματα από μια έρευνα που πραγματοποιήθηκε σε Γυμνάσιο της Ξάνθης κατά το σχολικό έτος - (Φραγγίδου, Λεμονίδης, Φραγγίδου, ). Ο βασικός σκοπός της παρούσας έρευνας ήταν να μελετηθούν και να συγκριθούν οι συμπεριφορές διαφορετικών ομάδων μαθητών Γυμνασίου σε καταστάσεις πολλαπλασιασμού. Υπήρχαν τρεις ομάδες μαθητών: i) μαθητές με μαθησιακές δυσκολίες, ii) δίγλωσσοι και iii) μη δίγλωσσοι μαθητές, και εξετάστηκε κατά πόσο οι παράμετροι των μαθησιακών δυσκολιών, της διγλωσσίας ή μη και της τάξης στην οποία φοιτούν οι μαθητές, τους επηρεάζουν σε καταστάσεις πολλαπλασιασμού. Το δείγμα της έρευνας ήταν μαθητές και των τριών τάξεων (8 από την Α, 76 από τη Β και 4 από τη Γ τάξη). Οι 6 ήταν δίγλωσσοι, δηλαδή δήλωσαν ότι η γλώσσα που μιλούν στο σπίτι με την οικογένειά τους δεν είναι η ελληνική. Επίσης, από τους μαθητές ήταν με Μαθησιακές Δυσκολίες, εφόσον είχαν διαγνωστεί επίσημα από το αρμόδιο κέντρο (ΚΕΔΔΥ) και υπήρχε έκθεση με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους στα αρχεία του σχολείου. Οι καταστάσεις πολλαπλασιασμού στις οποίες εξετάστηκαν οι μαθητές συμπεριελάμβαναν τρία μέρη: νοερούς υπολογισμούς, κατ εκτίμηση υπολογισμούς, και τον γραπτό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Οι μαθητές εξετάστηκαν γραπτά με ερωτηματολόγιο. Εδώ θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα από τους νοερούς υπολογισμούς, όπου ζητήθηκε από τους μαθητές να υπολογίσουν με το μυαλό τους και να γράψουν επίσης τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν για να υπολογίσουν. 5 x x 5 7 x 5 x 48 Επιτυχία 86 47 35 6 3 74 68 53 Στρατηγικές Γνωρίζει από μνήμης 56 8 3,5 Προσθέτει 6 4 Μ.Ο. Χρήσης στρατηγικών 7,5
επαναλαμβανόμενα 8 7 8,75 Διασπά σε προσθετέους ή πολλαπλάσια 48 4 3 5 6 4,5,5 Στρογγυλοποιεί ή ρυθμίζει τον έναν αριθμό Εκτελεί το γραπτό αλγόριθμο Μετράει με τα δάχτυλα Δεν απαντά 3,5 4 4,5 6 3 8 8 54 4 37 8,5 8 5 5,5 44 3 5 6,5 48,5,5 5 5 8,5 Πίνακας 4.: Ποσοστά επιτυχίας και στρατηγικές που χρησιμοποίησαν μαθητές Γυμνασίου σε πολλαπλασιασμούς πολυψήφιων αριθμών. Όσον αφορά τα ποσοστά επιτυχίας των μαθητών στους νοερούς υπολογισμούς πολυψήφιων αριθμών δεν μπορούμε να πούμε ότι είναι ικανοποιητικά για το επίπεδο του Γυμνασίου. Η πλειοψηφία των μαθητών (3) μπορεί να υπολογίζει τον πολλαπλασιασμό 5x, γύρω στο 7 υπολογίζει τους πολλαπλασιασμούς x5 και 7x και σχεδόν οι μισοί μαθητές (53) μπορούν και υπολογίζουν τον πολλαπλασιασμό 5x48. Σχετικά με τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές παρατηρούμε ότι σχεδόν οι μισοί μαθητές καταφεύγουν στον γραπτό αλγόριθμο και δεν υπολογίζουν νοερά, αν και τους ζητήθηκε να υπολογίσουν νοερά. Επίσης, παρατηρούμε ότι όσο πιο δύσκολη είναι η πράξη τόσο μεγαλύτερο ποσοστό μαθητών χρησιμοποιεί τον γραπτό αλγόριθμο. Για παράδειγμα, στην πράξη 5x48, που ήταν η δυσκολότερη, το ποσοστό των μαθητών που χρησιμοποιεί τον γραπτό αλγόριθμο φτάνει στο 6,5. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι μαθητές αυτοί δεν γνωρίζουν την ολιστική στρατηγική (μ.ο. χρήσης 3). ακόμη και στην πράξη 7x, όπου ο αριθμός καλεί για μια ολιστική στρατηγική, μόνο το των μαθητών τη χρησιμοποιούν. Ένα άλλο συμπέρασμα της έρευνας αυτής ήταν ότι οι μαθητές έκαναν αρκετά λάθη και στην εκτέλεση του γραπτού αλγόριθμου. Ζητήθηκε η εκτέλεση με γραπτό αλγόριθμο των πράξεων 57x7 και 38x, οι οποίες είχαν ποσοστά επιτυχίας 7 και 47 αντίστοιχα. Δυσκολεύτηκαν κυρίως στο γινόμενο διψήφιου με τριψήφιο, στο οποίο σχεδόν οι μισοί μαθητές (3 στους, το 46,5) έδωσαν λανθασμένη απάντηση. Γενικά, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι μαθητές του Γυμνασίου που εξετάσαμε δεν γνωρίζουν να εκτελούν νοερούς υπολογισμούς πολλαπλασιασμών και καταφεύγουν στις γραπτές πράξεις. Μπορούμε να πούμε ότι είναι μη ευέλικτοι και
δεν διαθέτουν ένα ευρύ ρεπερτόριο στρατηγικών, αλλά χρησιμοποιούν κυρίως την τεχνική του γραπτού αλγόριθμού. Αλλά και την τεχνική αυτή του γραπτού αλγόριθμου την εκτελούν με πολλά λάθη. Έρευνα σε Κύπριους μαθητές Γυμνασίου Η έρευνα αυτή πραγματοποιήθηκε σε 8 μαθητές της Β και Γ γυμνασίου σε γυμνάσια της επαρχίας Λεμεσού και Πάφου τον Νοέμβριο του 7. Στόχος της έρευνας ήταν να εξεταστούν οι ικανότητες των μαθητών και οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν, όταν λύνουν νοερά πολυψήφιους πολλαπλασιασμούς. Δόθηκε στους μαθητές ένα φυλλάδιο με οκτώ ασκήσεις πολλαπλασιασμού, στο οποίο τους ζητήθηκε να απαντήσουν, αφού σκεφτούν νοερά την απάντηση, και στη συνέχεια να γράψουν την διαδικασία με την οποία σκέφτηκαν για να βρουν την απάντηση. Ασκήσεις (5x) (x6) (x4) (8x) (5x48) (3x5) (5x48) (5x46) Επιτυχία Στρατηγι κές πρόσθεση ς (7) 3 (6,5) 6 8 (85,5) (4) 5 (8) () 6 (8) () (65) - 37 (6) () 3 (65,5) () 5 (76,5) - Στρ. διάσπαση σε αριθμ. μη δεκάδων 7 (3,5) 6 (3) (5) (4,5) () () () 4 () Στρατηγική διάσπασης του αριθμού σε δεκάδες (46) (5) 7 (54) 63 (3) 85 (43) (55) (46) 86 (43,5) Στρ.Αντισ τάθμησης Ή Ολιστικές (4,5) 4 (7) 8 (4) 53 (7) 4 () (4,5) 4 () (4,5) Κάθετος γραπτός αλγόριθμ ος 3 (5,5) 37 (8,5) 43 (,5) 4 () 44 () 4 () 3 (,5) 4 () Πίνακας 4.: Ποσοστά επιτυχίας και στρατηγικές που χρησιμοποίησαν μαθητές Β και Γ τάξης Γυμνασίου σε πολλαπλασιασμούς διψήφιων αριθμών. Από τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα μια πρώτη παρατήρηση που μπορούμε να κάνουμε είναι ότι, αν και τονίστηκε στους μαθητές να μην χρησιμοποιήσουν τον γραπτό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού και να υπολογίσουν νοερά σε όλες τις ασκήσεις, περίπου το των μαθητών υπολογίζει με τον γραπτό αλγόριθμο. Παρατηρούμε, επίσης, ότι πολύ λίγοι μαθητές υπολογίζουν νοερά χρησιμοποιώντας τη στρατηγική της πρόσθεσης σε σχέση με την προηγούμενη έρευνα. Αυτό μπορούμε να το ερμηνεύσουμε με το γεγονός, εκτός του ότι οι αριθμοί είναι μεγάλοι και δεν προσφέρονται για επαναλαμβανόμενες προσθέσεις, ότι οι μαθητές πλέον βρίσκονται σε μεγαλύτερη ηλικία και χρησιμοποιούν άλλες μεθόδους για να πολλαπλασιάσουν. Τα δεδομένα της έρευνας αυτής τα συνέλλεξαν οι μεταπτυχιακές φοιτήτριες: Μαρία Γεωργίου, Αντωνία Πηλίνα και Μαρία Χατζημηνά.
Γνωρίζουν απ έξω περισσότερα γεγονότα του πολλαπλασιασμού και γνωρίζουν τον γραπτό αλγόριθμο για να πολλαπλασιάσουν. Η νοερή στρατηγική που χρησιμοποιείται περισσότερο από τους μαθητές αυτούς είναι η στρατηγική της διάσπασης του αριθμού σε δεκάδες. Περίπου το 5 των μαθητών χρησιμοποιεί τη στρατηγική αυτή για να υπολογίζει νοερά τους πολλαπλασιασμούς. Σύμφωνα με τα ποσοστά του πίνακα 4. παρατηρούμε ότι οι μαθητές αυτοί δεν χρησιμοποιούν πολύ τις στρατηγικές της αντιστάθμισης ή τις ολιστικές στρατηγικές. Στον πολλαπλασιασμό 8x παρουσιάζεται το πιο υψηλό ποσοστό χρήσης αυτής της στρατηγικής (7). Στη στρατηγική αυτή 4 μαθητές (το των μαθητών) για να πολλαπλασιάσουν 8x στρογγυλοποιούν το σε και υπολογίζουν 8x=8, 8-8=7. Δύο μόνο μαθητές () στρογγυλοποιούν το 8 και υπολογίζουν x=, -=8, 8-=7. Εκτός από την πράξη 8x άλλοι πολλαπλασιασμοί που προσφέρονται για τις ολιστικές στρατηγικές είναι: Ο πολλαπλασιασμός x6 x6 6, μόνο 3 μαθητές (6,5) εφαρμόζουν αυτήν τη στρατηγική. Ο πολλαπλασιασμός 5x48 5x5 5x =.5-5=, 8 μαθητές (4) εφαρμόζουν αυτήν τη στρατηγική. 7 μαθητές (3,5) εφαρμόζουν 48x=48, 48/4= ή 5x48=4, 4/= Ο πολλαπλασιασμός 5x48 5x5=75, x5=3, 75-3=7, 5 μαθητές (7,5) εφαρμόζουν αυτήν τη στρατηγική. Ο πολλαπλασιασμός 5x46. Εδώ 5 μαθητές (7,5) στρογγυλοποιούν το 46 5x5=5, 5x4=, 5-=3 και 3 μαθητές (6,5) στρογγυλοποιούν το 5 46x=46, 46/=3. Το γεγονός ότι λίγοι μαθητές χρησιμοποιούν τις ολιστικές στρατηγικές δείχνει ότι οι μαθητές αυτοί δεν διαθέτουν ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς. Δείχνει, δηλαδή, ότι δεν έχουν ασκηθεί στους νοερούς υπολογισμούς, ώστε να γνωρίζουν πολλές στρατηγικές υπολογισμού και από αυτές να διαλέγουν τις πιο γρήγορες και αποτελεσματικές.