4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид (1862 1943) 41 Појам подударности Основна правила подударности троуглова 1 На слици 1 су приказане неке геометријске фигуре 1) 2) x y x 3) 4) 5) p p q p права pиq праве γ s 1 γ 1 1 1 1 Сл 1 1 Које од њих се премештањем (кретањем) могу довести до поклапања? Образложи 2 Нацртај: 1) неколико подударних (једнаких) дужи; 2) више подударних дужи; 3) неколико подударних углова (бар три) 50 математика за 6 разред основне школе
3 1) Да ли је тачно да се углови с паралелним крацима увек могу поклопити (једнаки су)? Образложи одговор 2)* Уради исти задатак за углове с нормалним крацима 4 1) Дате су кружнице k 1 и k 2 полупречника r (сл 2) Кретањем се могу поклопити Уради то 1 1 2 k 1 1 k 2 Сл 2 За две геометријске фигуре F 1 и F 2 каже се да су подударне ако се неким кретањем могу довести до поклапања * Један пример таквих фигура је приказан на слици 3 M 1 1 M 1 E E 1 1 1 F 1 1 F 2 1 J Сл 3 За подударност две фигуре F 1 и F 2 користи се знак, тј F 1 F 2 ** Примећујемо, да свакој дужи једне фигуре одговара подударна дуж друге фигуре и обратно (сл 3) Као, на пример: 1 1, 1 1, EM E 1 M 1 Такође, сваком углу једне фигуре одговара подударан угао друге фигуре и обратно На пример: 1, 1 * Разматрају се само геометријске фигуре у равни ** Касније, за подударност одговарајућих страница и углова троугла пишемо и знак једнакости (=) Троугао (II део) 51
2) Провери подударност троуглова и 1 1 1 (сл 4) 1 γ 1 γ 1 1 1 1 1 1 1 Сл 4 Троугао подударан је троуглу 1 1 1, ако су све странице и углови једног троугла подударни одговарајућим страницама и угловима другог троугла Записујемо: 1, 1, 1, 1, 1, γ γ 1 * 3) На слици 5 приказана су два троугла Да ли су ти троуглови подударни? 3m γ 3m 1 γ 1 Сл 5 4m 60º 1 1 4m 1 Одговор: Преношењем (кретањем), биће: страница = 1 1, = 1 1, (90 ) 1 (60 ), 1, γ γ 1 Према претходним условима, није подударан 1 1 1 5 За подударност два троугла потребно је и довољно да је испуњена једнакост одговарајућих страница, и једнакост свих одговарајућих углова За подударност два троугла постоје четири правила Прво правило: Два троугла су подударна ако су им подударне (једнаке) по две одговарајуће странице и подударни (једнаки) одговарајући углови који те странице граде * Ако су два унутрашња угла једног троугла једнаки одговарајућим угловима другог троугла, онда су и остали углови једнаки (теорема о збиру унутрашњих углова троугла) 52 математика за 6 разред основне школе
Уочи одговарајуће странице и одговарајуће углове троуглова и 1 1 1 (сл 6) 1 1 1 1 1 1 1 Нека су одговарајуће странице: и 1, и 1 и одговарајући углови и 1, и нека је: = 1, = 1, = 1, онда је 1 1 1 Објашњење: Кретањем, темена и 1 се могу довести до поклапања Такође, страница поклапа се са страницом 1 1, страница са 1 и угао са углом 1 Тим кретањем, темена и 1 ће се поклопити, па су одговарајуће странице и 1 подударне (једнаке) Даље, углови код темена и 1, ће се поклопити, као и углови код темена и 1 Према договору (дефиницији) подударности две фигуре (троугла), следи да су троуглови и 1 1 1 подударни 6 1) Дат је правоугаоник (сл 7) Нека су тачке E, F и T средишта страница Да ли је EF FT? Сл 6 F E T Сл 7 Решење: Углови и су прави (90 ) Такође, E = T, F = F По правилу подударности (СУС) *, троугао EF подударан је троуглу FT, тј EF FT 2) Дат је квадрат (сл 8) Докажи да су подударни троуглови и Види решење под 1) Сл 8 * Прво правило се краће пише (СУС), тј страница, угао, страница Троугао (II део) 53
3)* Код правоугаоника (сл 9) дужи и су подударне (једнаке) Да ли је то тачно? Образложи Сл 9 7 Дате су праве p и q (сл 10) Ако је = и = : Сл 10 p q 1) Да ли је =? 2)* Какав је однос дужи и? 3)* Да ли су тачна тврђења: ;? Тачна су Образложи 7а Дати су троуглови (сл 11) Да ли су ти троуглови подударни? 1) С 2) γ 1 30º 1 6m 1 70º 1 Сл 11 70º 6m 30º γ 1 1 Да ли се може применити прво правило о подударности троуглова? Решење: Све углове троуглова можемо одредити Израчунај их Такође, није познато да су подударне по две одговарајуће странице и угао који оне граде Значи, то правило се не може применити за решавање овог задатка Упознајемо друго правило о подударности два троугла Друго правило Два троугла су подударна ако имају једнаку по једну одговарајућу страницу и једнаке углове који припадају тим страницама 54 математика за 6 разред основне школе
Кретањем, троугао 1 1 1 (сл 11) се може довести из положаја 2) у положај 1) Углови и 1 су једнаки (теорема о угловима троугла) Угао се поклопио са углом 1, угао са 1, а теме са теменом 1 На тај начин се страница поклапа са страницом 1 1 и страница 1 1 са страницом По дефиницији о подударности фигура, ти троуглови су подударни, тј 1 1 1 У овом случају једнакост задатих елемената (по једна страница и углови који њима припадају) је довољна за подударност троуглова (сл 12) С= 1 γ = 70º 1 = 1 30º = 1 с =с = 1 1 =6m = 1 УСУ = * 1 = 1 1 1 1 Сл 12 8 Дати су троуглови (сл 13), при чему је = 1 1 Докажи да су они подударни Види решење претходног задатка 1 40º 50º 1 1 Сл 13 9*1) Праве p и q су паралелне, = (сл 14) Да ли је тачно тврђење: =? (Нацртај праву Користи правило (УСУ)) 2) Да ли су праве и паралелне? q p Сл 14 * Угао, страница, угао Троугао (II део) 55
10 1) Код једнакостраничних троуглова познато је: = 1 1 (сл 15) Да ли су ти троуглови подударни? Користи правила о подударности и одговор образложи 1 1 Сл 15 1 2) Два троугла имају једнаке одговарајуће странице Да ли су ти троуглови подударни (сл 16)? Дато: = 1 = 1 = 1 Тражи се: 1 1 1 1 1 Сл 16 1 1 1 1 1 На основу досадашњих правила о подударности троуглова не може се утврдити њихова подударност Није позната једнакост неких одговарајућих углова! Решење: Троугао кретањем доводимо у положај приказан на слици 17 На тај начин темена и 1 се поклапају и и 1 ( = 1 ) Темена и 1 одређују праву s Како је: = 1 и = 1 (по претпоставци), то су троуглови 1 и 1 једнакокраки На основу њихових својстава (којих?), следи: да је = 1 (Састављени од једнаких делова) Према првом правилу о подударности (СУС), биће: = 1, = 1, = 1 Следи да је: 1 1 1 1 1 y x 1 1 = 1 С=С 1 1 Сл 17 y x 56 математика за 6 разред основне школе
Троуглови на слици 16 су подударни Тиме је одређено треће правило о подударности троуглова које гласи: Треће правило Два троугла су подударна ако су странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог троугла * Да ли се ово правило о подударности може применити и за решавање задатка 10 1)? 11 Ако су следеће дужи једнаке: = и =, покажи да је (сл 18) Користи правило ССС = Сл 18 Сл 19 12*Дат је једнакокраки троугао Врх и средиште основице одређују праву (сл 19) 1) Доказати да је 2) Какав је однос правих и? 3) Уради исти задатак за једнакостранични Четврто правило Два троугла су подударна ако су им једнаке по две странице, и једнаки углови наспрам већих страница 13 На слици 20 су приказани троуглови Дато: = 1, = 1, = 1, > Тражи се: 1 1 1 Правило (ССУ) користи без образложења * Краће се пише (ССС), тј страница, страница, страница Троугао (II део) 57
> 1 1 1 1 1 1 Сл 20 1 14* Дата је кружница k(, r) и тачка M ван ње Праве M и M су тангенте кружнице (сл 21) Испитај: 1) Једнакост дужи M и M 2) Својство праве M и углова M и Користи правило ССУ M Сл 21 k 15*1) Дат је једнакокраки троугао Права Да ли права полови основицу? 2) Уради исти задатак за једнакостраничан и једнакокрако-правоугли троугао На тај начин се откривају нека својства тих троуглова Која? Напомена: Подударност троуглова нам користи за откривање нових особина геометријских објеката 16 Дат је правоугаоник (сл 22) Да ли су троуглови и подударни? Сл 22 Сл 23 58 математика за 6 разред основне школе
17 Дат је правоугаоник (сл 23) Да ли постоје неки парови подударних троуглова? 18* Дат је правоугаоник (сл 24) Ако је F и E, докажи да је F E 19*1) Дат је једнакокраки троугао Ако је =, E, E, и F, F А да ли је E = F? Образложи 2) Да ли твој закључак важи и за једнакостранични под истим условима? 20* Дат је правоугли троугао (сл 25) Да ли је мања катета троугла једнака половини хипотенузе? (Користи подударност троуглова и осну симетрију) F Сл 24 E 30º Сл 25 21* Одреди растојање између два места и између којих се налази препрека (сл 26) Сл 26 22*Како одредити ширину реке тј растојање између тачака и (сл 27) Сл 27 У оба случаја користи подударност одговарајућих троуглова Троугао (II део) 59
23*Средишта страница једнакостраничног троугла су темена новог троугла Одреди врсту тог троугла? 24*Дат је квадрат Тачке E, F, T, S су средишта његових страница (сл 28) 1) Да ли на слици 28 постоје неки подударни троуглови? 2) Да ли је четвороугао EFTS квадрат? S T E F Сл 28 25* Дата је кружница k(, r) Да ли постоји троугао подударан троуглу, чије је једно теме центар кружнице а друга два су на кружници (сл 29)? 26*1) Тачке P и Q су средишта кракова једнакокраког троугла (сл 30) Да ли су дужи P и Q подударне? 2) Да ли то важи и за једнакостранични троугао *? r r r Q P k Сл 29 Сл 30 * Поменимо и то: Свака фигура F је подударна сама себи, тј F F 60 математика за 6 разред основне школе