ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΑ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΙΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΑ ΚΑΙ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ. Π. Κααδήµου, Ν.Χ Μακάτος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή Χηµικών Μηχανικών, Τοµέας ΙΙ, Πολυτεχνειούπολη Ζωγάφου 15780 Αθήνα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η διαπίστωση ότι η παουσία σωµατιδίων στον αέα (αεόλυµα) των εσωτεικών χώων µποεί να έχει σοβαές συνέπειες στην υγεία των ενοίκων έχει ποκαλέσει το ενδιαφέον της επιστηµονικής κοινότητας. Το γεγονός ότι στους εσωτεικούς χώους η συγκέντωση των σωµατιδίων είναι πολύ µεγαλύτεη από ότι στο εξωτεικό πειβάλλον κάνει πεισσότεο επιτακτική την ανάγκη για διεεύνηση της κίνησης και κατανοµής των σωµατιδίων στον αέα των εσωτεικών χώων. Στην παούσα εγασία ποσοµοιώνεται η οή αέα-σωµατιδίων µε µεθόδους υπολογιστικής ευστοδυναµικής (CFD). Αναπτύσσεται ένα τιών-διαστάσεων (3D) µαθηµατικό µοντέλο ποσοµοίωσης δύο φάσεων τύπου Euler-Euler, το οποίο εφαµόζεται στην πείπτωση του ατµοσφαιικού αεολύµατος ενός δωµατίου υπό κλίµακα. Στη συνέχεια γίνεται σύγκιση των αποτελεσµάτων της αιθµητικής ποσοµοίωσης µε τις αντίστοιχες πειαµατικές µετήσεις [1], η οποία δείχνει πολύ ικανοποιητική συµφωνία, καθώς και µε τα αιθµητικά αποτελέσµατα ενός µοντέλου οής µίας φάσης. Η µελέτη επικεντώθηκε σε σωµατίδια µέσης αεοδυναµικής διαµέτου 10 µm, αλλά η µέθοδος είναι γενική και µποεί να εφαµοστεί για ευύτεη πειοχή τιµών αεοδυναµικής διαµέτου, καθώς και για συνύπαξη σωµατιδίων διαφόων µεγεθών. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο ατµοσφαιικός αέας πειλαµβάνει µικά αιωούµενα σωµατίδια, τα οποία είτε εκλύονται από διάφοες ανθώπινες δαστηιότητες είτε είναι δευτεογενή ποιόντα κάποιας χηµικής αντίδασης στον αέα. Σύµφωνα µε τα διεθνή πότυπα [2] η µάζα των σωµατιδίων ανά m 3 αέα, τα οποία έχουν αεοδυναµική διάµετο µέχι 10 µm λέγεται σωµατιδιακή ύλη-10 (PM- 10). Αντίστοιχα η µάζα των σωµατιδίων ανά m 3 αέα, που έχουν αεοδυναµική διάµετο µέχι 2.5 µm λέγεται σωµατιδιακή ύλη-2.5 (PM-2.5). Η αιθµητική ποσοµοίωση της µεταφοάς των σωµατιδίων από τον αέα απαιτεί τη µαθηµατική µοντελοποίηση της συνεχούς φάσης (αέας) και της διακιτής φάσης (σωµατίδια). Η συνεχής φάση µοντελοποιείται µαθηµατικά χησιµοποιώντας µία µέθοδο τύπου Euler. Για τη διακιτή φάση χησιµοποιούνται από τους εευνητές είτε µέθοδοι τύπου Euler είτε µέθοδοι τύπου Lagrange. Στην πώτη πείπτωση η δεύτεη φάση αντιµετωπίζεται ως συνεχής φάση, ενώ στη δεύτεη πείπτωση µοντελοποιείται µαθηµατικά η τοχιά κάθε σωµατιδίου. Στη µαθηµατική ποσέγγιση τύπου Euler η µέθοδος µποεί να πειλαµβάνει τη µοντελοποίηση της µίας φάσης (µέθοδος οής µίας φάσης) ή και των δύο φάσεων (µέθοδος οής δύο φάσεων). Στη µέθοδο οής µίας φάσης, η οποία χησιµοποιείται µέχι τώα από τους εευνητές στο εσωτεικό πειβάλλον, ο αέας και τα σωµατίδια θεωούνται σαν ένα σύνολο, στο οποίο η δεύτεη φάση (σωµατίδια) πειγάφεται από µία εξίσωση για τη µεταβολή της συγκέντωσης, και στην οποία η ταχύτητα των σωµατιδίων δεν υπολογίζεται από τη διαφοική εξίσωση

οµής, αλλά ποσδιοίζεται µέσα από µία αλγεβική σχέση που πειγάφει τη διαφοά ταχύτητας µεταξύ αέα και σωµατιδίων. Στη µέθοδο οής δύο φάσεων, ο αέας και τα σωµατίδια αντιµετωπίζονται ως δύο διακιτές συνεχείς φάσεις που αλληλεπιδούν πλήως µεταξύ τους, και µποεί να κατέχουν διαφοετικές ιδιότητες (θεµοκασίες, ταχύτητες, πιέσεις). ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Η µέθοδος που εφαµόζεται στην παούσα εγασία είναι αυτή του "όγκου ελέγχου" [3-10], σύµφωνα µε την οποία οι µαθηµατικές εξισώσεις που διέπουν το φαινόµενο αναπτύσσονται στη βάση ότι το ισοζύγιο για τη οής της µάζας και της οµής εφαµόζεται σε έναν όγκο ελέγχου, ο οποίος καταλαµβάνεται και από τις δύο φάσεις µε τη µοφή διασκοπισµένης οής συνεχών µέσων που µοιάζονται τον ίδιο χώο. Κάθε φάση είναι διακιτή µέσα στο χώο και το µείδιο του χώου που καταλαµβάνει κάθε φάση υπολογίζεται ως κλάσµα του όγκου [10]. H γενική µοφή της εξίσωσης που διέπει το φαινόµενο πειγάφεται ως εξής [11]: ( a φ ) + dv ( a u φ a Γφ, grad φ ) = S (1) φ, t όπου α είναι το κλάσµα του όγκου που καταλαµβάνει κάθε φάση, είναι η πυκνότητα κάθε φάσης, u η ταχύτητα κάθε φάσης, Γ φ, ο συντελεστής διάχυσης της φάσης, και S φ, είναι ο όος πηγής της φάσης, ανά µονάδα όγκου. Οι εξατηµένες µεταβλητές φ του ποβλήµατος είναι: α) η πίεση p κοινή και για τις δύο φάσεις, β) το κλάσµα όγκου για κάθε φάση (αέια-στεεή) α, γ) οι τεις συνιστώσες της ταχύτητας u, v και w για κάθε φάση, δ) η τυβώδης κινητική ενέγεια k και ο τυβώδης υθµός αποόφησης ε για την αέια φάση. Το κλάσµα όγκου ικανοποιεί ποφανώς την εξίσωση: α α = 1 (2) g + p Το κλάσµα όγκου υπολογίζεται µε κατάλληλο χειισµό της εξίσωσης συνέχειας [10, 11]: ( α ) + dv ( a u ) = S (3) φ, t Η διαφασική τιβή ανά µονάδα όγκου µεταξύ των δύο φάσεων δίνεται από την παακάτω σχέση [3, 12]: F 0.5C A u u u u C u u (4) ( ) ( ) = D pr g g p g p f, p όπου A pr είναι η ποβολή της επιφάνειας των σωµατιδίων στο επίπεδο ανά µονάδα όγκου, u g η ταχύτητα της αέιας φάσης, u p η ταχύτητα της στεεής φάσης και C f,p ο συντελεστής της διαφασικής τιβής. Η εµπειική σχέση για το συντελεστή της διαφασικής τιβής C f,p ποκύπτει από το νόµο του Stokes [13]: 24 C f, p = (5) Re p όπου R ep είναι ο αιθµός Reynolds των σωµατιδίων [14]: d p p Re p = u g u p (6) µ g Η τυβώδης οή του αέα µοντελοποιείται µε την εφαµογή του RNG (Renormalzaton Group) k-ε µοντέλου [15]. Η οή της στεεής φάσης θεωείται εδώ στωτή και η κίνηση των σωµατιδίων δεν επηεάζει την τυβώδη οή του αέα (one-way couplng). Οι πααδοχές που έγιναν κατά την επίλυση του υπολογιστικού ποβλήµατος είναι: g p

1) ύο συνεχείς φάσεις, διασκοπισµένες η µία µέσα στην άλλη, που αλληλεπιδούν πλήως µεταξύ τους 2) Ασυµπίεστο νευτωνικό ευστό (αέας) 3) Ααιή οή µε µικό κλάσµα όγκου για τη στεεή φάση 4) Σταθεές ιδιότητες για την αέια και τη στεεή φάση στους 293 Ο Κ 5) ε συµβαίνει αλλαγή φάσης 6) Σφαιικά σωµατίδια µίας διαµέτου (µέση αεοδυναµική διάµετος 10µm) µε πυκνότητα =1400kg/m 3 7) Συγκούσεις µεταξύ των σωµατιδίων αµελητέες 8) Η κίνηση κάθε σωµατιδίου δεν επηεάζεται από τον ολκό των γειτονικών σωµατιδίων ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Είσοδος αέια φάση: σταθεή τιµή ταχύτητας εισόδου 0.225m/sec. Η τυβώδης κινητική ενέγεια δίνεται από τη σχέση [16]: 3 2 k n = ( U avg I ) (7) 2 U avg η µέση τιµή της ταχύτητας εισόδου και Ι η ένταση της τύβης ίση µε 6% [17]. Ο τυβώδης υθµός αποόφησης δίνεται από τη σχέση [16]: / 4 ε = C µ (8) l όπου l είναι η κλίµακα µήκους της τύβης l = 0.07d h (d h η υδαυλική διάµετος) και C = µ 0.0845 µία εµπειική σταθεά του ιξώδους. στεεή φάση: σταθεή τιµή ταχύτητας εισόδου 0.225 m/sec πολλαπλασιασµένη µε το κλάσµα του όγκου της στεεής φάσης. Η τιµή του κλάσµατος όγκου είναι κανονικοποιηµένη ως εξής: 3 k 3 / 2 + R R = (9) R εισόδου Εποµένως η τιµή του κλάσµατος όγκου στη είσοδο είναι R = 1. Έξοδος Μηδενική κλίση για όλες τις µεταβλητές, ώστε να ικανοποιεί το συνολικό ισοζύγιο. Τοίχος Και για τις δύο φάσεις: Οι τοίχοι θεωούνται αδιαβατικοί. Εφαµόζεται η συνθήκη µη ολίσθησης και η συνθήκη µη διαπέασης. Οι διατµητικές τάσεις υπολογίζονται µε εφαµογή των λογαιθµικών συνατήσεων τοίχου [5,6,18]. Οι εξισώσεις του πααπάνω µαθηµατικού µοντέλου διακιτοποιήθηκαν µε τη µέθοδο των πεπεασµένων όγκων ελέγχου, ενώ για την αιθµητική επίλυση χησιµοποιήθηκε µία πλήως έµµεση µέθοδος σε συνδυασµό µε τον αλγόιθµο SIMPLE [3,5,6,11]. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Το πααπάνω µαθηµατικό µοντέλο χησιµοποιήθηκε για τη µελέτη της οής του αεολύµατος (µίγµα αέα και σωµατιδίων) στο εσωτεικό ενός δωµατίου υπό κλίµακα και έγινε η επιβεβαίωση των αποτελεσµάτων µε τις αντίστοιχες πειαµατικές µετήσεις [1]. Για την αιθµητική επίλυση του ποβλήµατος κατασκευάστηκαν τέσσεα δοµηµένα πλέγµατα µε διαφοετικό αιθµό κελιών 40Χ20Χ20 80Χ40Χ40 120Χ60Χ60 140X80Χ80, ώστε να

εξεταστεί η ανεξατησία της λύσης. Από τη σύγκιση των αποτελεσµάτων ποέκυψε ότι το βέλτιστο πλέγµα είναι το τίτο 120Χ60Χ60 (432.000 κελιά). ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ-ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στο Σχήµα 1 παουσιάζεται το πεδίο οής σε όους κατανοµής της ταχύτητας της αέιας φάσης του διφασικού µοντέλου στη διεύθυνση της οής, σε διαµήκη τοµή. Σχήµα 1. Κατανοµή της x-συνιστώσας της ταχύτητας της αέιας φάσης σε διαµήκη τοµή, όπως ποκύπτει µε την εφαµογή του διφασικού µοντέλου. Παατηείται ότι η ταχύτητα εισόδου του αέα είναι µεγαλύτεη από ότι στις γειτονικές πειοχές µε αποτέλεσµα τη δηµιουγία ανακυκλοφοίας στο δωµάτιο. Το πεδίο οής σε όους κατανοµής της ταχύτητας της στεεής φάσης λόγω της µεγάλης τιµής του συντελεστή διαφασικής οής εµφανίζει όµοια εικόνα, για αυτό δεν παουσιάζεται. Στο Σχήµα 2 παουσιάζεται το πεδίο οής σε όους κατανοµής ταχύτητας του µονοφασικού µοντέλου στη διεύθυνση της οής σε διαµήκη τοµή.

Σχήµα 2. Κατανοµή της x-συνιστώσας της ταχύτητας της αέιας φάσης σε διαµήκη τοµή, όπως ποκύπτει µε την εφαµογή του µοντέλου οής µίας φάσης. Από τη σύγκιση του πεδίου οής των δύο µαθηµατικών µοντέλων ποκύπτει ότι η παουσία της δεύτεης φάσης οδηγεί σε πειοισµό της πειοχής ανακυκλοφοίας του αέα. Η σύγκιση των πειαµατικών και αιθµητικών αποτελεσµάτων, που ποκύπτουν µε την εφαµογή του µοντέλου οής δύο φάσεων σε τεις διαφοετικές πειοχές του δωµατίου παουσιάζεται στο Σχήµα 3.

Σχήµα 3. Σύγκιση πειαµατικών και αιθµητικών αποτελεσµάτων του µοντέλου οής δύο φάσεων σε απόσταση α) x=0.2m, β) x=0.4m και γ) x=0.6m από την είσοδο. Παατηείται ότι τα αιθµητικά αποτελέσµατα του µοντέλου οής δύο φάσεων παουσιάζουν πολύ καλή συµφωνία µε τις πειαµατικές τιµές.

Σχήµα 4. Σύγκιση αιθµητικών αποτελεσµάτων του µοντέλου οής µίας φάσης και µοντέλου οής δύο φάσεων ως πος τη συµφωνία µε τις πειαµατικές τιµές σε απόσταση x=0.2m από την είσοδο.

Σχήµα 5. Σύγκιση αιθµητικών αποτελεσµάτων του µοντέλου οής µίας φάσης και του µοντέλου οής δύο φάσεων ως πος τη συµφωνία µε τις πειαµατικές τιµές σε απόσταση x=0.4m από την είσοδο.

Σχήµα 6. Σύγκιση αιθµητικών αποτελεσµάτων του µοντέλου οής µίας φάσης και του µοντέλου οής δύο φάσεων ως πος τη συµφωνία µε τις πειαµατικές τιµές σε απόσταση x=0.6m από την είσοδο. Στα Σχήµατα 4-6 γίνεται η σύγκιση µεικών από τα αιθµητικά αποτελέσµατα που ελήφθησαν από την εφαµογή του µοντέλου οής µίας φάσης µε τα αντίστοιχα αιθµητικά αποτελέσµατα του µοντέλου οής δύο φάσεων. Η σύγκιση αυτή, καθώς και η γενικότεη σύγκιση όλων των αποτελεσµάτων, δείχνει ότι το µοντέλο οής δύο φάσεων ποβλέπει τις τιµές της ταχύτητας καλύτεα, κυίως στην πειοχή κοντά στο δάπεδο. Όµως οι διαφοές είναι µικές και ίσως δε δικαιολογούν το «κόστος» των πολύπλοκων υπολογισµών του διφασικού µοντέλου. Αυτό οφείλεται στο ότι η οή είναι πολύ «ααιή» σε σωµατίδια, και δε θα ισχύει όταν τα σωµατίδια πυκνώσουν. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παούσα εγασία διαµοφώθηκε ένα µοντέλο τιών διαστάσεων για την αιθµητική ποσοµοίωση του αεισµού ενός δωµατίου υπό κλίµακα, το οποίο λαµβάνει υπόψη του την παουσία δύο διακιτών φάσεων οι οποίες αλληλεπιδούν πλήως µεταξύ τους. Στη συνέχεια έγινε σύγκιση των αιθµητικών αποτελεσµάτων µε τις αντίστοιχες πειαµατικές µετήσεις, καθώς και µε τα αιθµητικά αποτελέσµατα ενός µοντέλου οής µίας φάσης. Τα αιθµητικά αποτελέσµατα του µοντέλου οής δύο φάσεων παουσιάζουν πολύ καλή συµφωνία µε τις πειαµατικές µετήσεις και επίσης εµφανίζονται ελαφά βελτιωµένα σε σύγκιση µε το µοντέλο οής µίας φάσης κυίως στη πειοχή κοντά στο δάπεδο. Συµπεαίνεται ότι τέτοιοι

υπολογισµοί είναι εξαιετικά χήσιµοι στο σχεδιασµό βιοκλιµατικών συνθηκών, ώστε να ελαχιστοποιείται η ανάγκη για πολυδάπανα φυσικά πειάµατα. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η εγασία ενισχύθηκε οικονοµικά από το Ίδυµα Κατικών Υποτοφιών (Ι.Κ.Υ). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Fangh Chen, Smon C.M. Yu, Alvn C.K. La, Modelng partcle dstrbuton and deposton n ndoor envronments wth a new drft-flux model, Atmospherc Envronment 40 (2006) 357-367. [2] Robert F. Phalen, Uncertantes relatng to the health effects of partculate ar polluton: The US EPA's partcle standard, Toxcology Letters 96,97 (1998) 263-267. [3] D B Spaldng, 'Mathematcal Modellng of Flud Mechancs, Heat-transfer and Chemcal Reacton Processes: A Lecture Course', Imperal College CFDU Report HTS/80/1, 1980. [4] Nkolay I. Kolev, Multphase Flow Dynamcs 1, 1st edn. (Sprnger-Verlag, Berln Hedelberg New York, 2002). [5] Markatos, N.C., Computatonal flud flow capabltes and software, Ironmakng and Steelmakng 16 4 1989 266-273. [6] Markatos, N.C., Mathematcal Modellng of Sngle- and Two-Phase Flow Problems n the Process Industres, Revue de I Insttute Francas du Petrole 48 6 (1993) 631-662. [7] Papakonstantnou, K.A, Kranouds, C.T., Markatos, N.C., Numercal Smulaton of ar flow feld n sngle-sded ventlated buldngs, Energy and Buldngs 33 1 (2001) 41-48. [8] G.M Stavrakaks, N.C. Markatos, Smulaton of arflow n one- and two- room enclosures contanng a fre source, Internatonal Journal of Heat and Mass Transfer 52 (2009) 2690-2703. [9] Karadmou, D.P., Stavrakaks, G.M., Markatos, N.C., Computatonal predcton of arflow and thermal comfort n naturally ventlated real-scale buldngs, n Buldngs and the Envronment, ed. by Nemecek, J., Schulz, P. (Nova Scence Publshers Inc., 2009), pp. 181-200. [10] N.C. Markatos, Modellng of two-phase transent flow and combuston of granular propellants, Int. J. Multphase Flow 12 6 (1986) 913-933. [11] D.B Spaldng, A general purpose computer program for mult-dmensonal one or two-phase flow, Mathematcs and Computers n Smulaton XII (1981) 267-276. [12] H.H. Lakos, K.N. Theologos, A.G. Boudouvs, N.C. Markatos, Pulverzed coal char combuston: the effect of partcle sze on burner performance, Appled Thermal Engneerng 18 (1998) 981-989. [13] S.L. Lee, Partcle drag n a dlute turbulent two-phase suspenson flow, Int. J. Multphase Flow 13 2 (1987) 247-256. [14] G. Hetsron, Partcles-Turbulence nteracton, Int. J. Multphase Flow 15 5 (1989) 735-746. [15] Yakhot, V., Orszag, S.A., Thangam, S., Gatsk, T.B. & Spezale, C.G., "Development of turbulence models for shear flows by a double expanson technque", Physcs of Fluds A 4 7 (1992) 1510-1520. [16] Versteeg, H.K., Malalasekera, W. An ntroducton to Computatonal Flud Dynamcs The fnte volume method, 1st edn. (Longman Group Ltd, Essex, England, 1995). [17] Chng-Jen Chen, Shenq-Yuh Jaw, Combuston: An Internatonal Seres, Fundamentals of Turbulence Modelng, ed. by Norman Chger (Taylor & Francs, 1998). [18] Markatos, N.C., The mathematcal modellng of turbulent flows, Appled Mathematcal Modellng 10 (1986) 190-220.