Απεικονίσεις καµπυλόγραµµων επιφανειών και εικόνων µνηµειακού ενδιαφέροντος: Μια ψηφιακή επαναπροσέγγιση

Απεικονίσεις καµπυλόγραµµων επιφανειών και εικόνων µνηµειακού ενδιαφέροντος: Μια ψηφιακή επαναπροσέγγιση Ευάγγελος Λιβιεράτος Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Εθνικό Κέντρο Χαρτών και Χαρτογραφικής Κληρονοµιάς Εθνική Χαρτοθήκη Περίληψη. Στο σηµείωµα αυτό επανασυζητείται έ- να θέµα απεικόνισης καµπυλόγραµµων επιφανειών µνηµειακού ενδιαφέροντος 1, αφενός µε την εφαρµογή κλασικών γεωδαιτικών µεθόδων προσδιορισµού αναλυτικών επιφανειών βέλτιστα προσαρµοζόµενων στις τρισδιάστατες τοπογραφικές µετρήσεις φυσικών σηµείων της «µνηµειακής» επιφάνειας και α- φετέρου µε τη χρήση χαρτογραφικών µεθόδων απεικόνισης του εικαστικού τους περιεχοµένου, κατά κανόνα αγιογραφικού, στις ευρύτατα διαδεδοµένες στη χώρα µας σφαιρικές «µνηµειακές» επιφάνειες ή τους σφαιρικούς τοµείς τους. Χρησιµοποιώντας ως αφετηρία της συζήτησης ένα παράδειγµα γεωδαιτικής διαδικασίας προσδιορισµού των παραµέτρων ορισµού των διαστάσεων µιας καµπυλόγραµµης επιφάνειας στην οποία φέρεται αγιογραφική ψηφιδωτή εικόνα, παρουσιάζονται συγκριτικά οι εναλλακτικές χαρτογραφικές απεικονίσεις οι οποίες µπορούν να χρησιµοποιηθούν αναλόγως των ιδιοτήτων τους. Το ζήτηµα αυτό αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον σε συνδυασµό µε τις ψηφιακές φωτογραµµετρικές αποτυπώσεις των καµπυλόγραµµων επιφανειών και τις νέες δυνατότητες που προσφέρουν οι σύγχρονες ψηφιακές επεξεργασίες εικόνας. Λέξεις κλειδιά. Μνηµειακές αποτυπώσεις, απεικονίσεις καµπυλόγραµµων επιφανειών, χαρτογραφικές προβολές, ψηφιακή επεξεργασία εικόνας. 1. Εισαγωγή Η µετρική αποτύπωση των καµπυλόγραµµων ε- πιφανειών και των εικόνων (ζωγραφικών ή ψηφιδωτών) που αναπτύσσονται πάνω σ αυτές και η στη συνέχεια απεικόνισή τους σε αναπτυκτή επιφάνεια είναι µια κλασική διαδικάσια εφαρµογής µεθόδων και τεχνικών των γεωδαιτικών επιστηµών στην ευρεία τους έννοια 2. Από τα συστήµατα των µετρήσεων (τοπογραφικά, φωτογραµµετρικά, ηλεκτροµαγνητικής σάρωσης) µέχρι τους υπολογισµούς γεωδαιτικού τύ- 1 Απασχoλεί έρευνες στο Τµήµα Τοπογράφων του ΑΠΘ από τις αρχές τις δεκαετίας του 80. 2 Αποτελούν το «κύκλωµα» της γεωδαισίας, χαρτογραφίας, τοπογραφίας και φωτογραµµετρίας. που και τις χαρτογραφικές απεικονίσεις, έχουµε ένα µεθοδολογικά ενιαίο σύνολο διαδικασιών, το οποίο µπορεί θαυµάσια να εφαρµοστεί σε ευρύτατο φάσµα αποτυπώσεων και απεικονίσεων µνηµειακής και καλλιτεχνικής σηµασίας. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι περιπτώσεις των καµπυλόγραµµων επιφανειών, οι οποίες α- ποτελούν την διαδεδοµένη περίπτωση στα βυζαντινά µνηµεία και τα στοιχεία τους, µε έµφαση στις σφαιρικές επιφάνειες, κυρίαρχες σε αυτή τη συγκεκριµένη κτηριολογική τυπολογία. Έχουν περάσει περισσότερα από είκοσι χρόνια από τότε που Έλληνες τοπογράφοι µηχανικοί έχουν προτείνει τεχνικές αυτού του τύπου 3 ενώ η µεταφορά κλασικών γεωδαιτικών µεθόδων στην αντιµετώπιση των προβληµάτων αποτύπωσης και απεικόνισης καµπυλόγραµµων επιφανειών γενίκευσε τη διαδικασία δίνοντας ταυτόχρονα ένα ευρύτερο πεδίο ε- φαρµογών στο φάσµα των γεωδαιτικών επιστηµών 4. Αργότερα, µε την εξέλιξη των φωτογραµµετρικών τεχνικών στις εφαρµογές αυτές και ιδιαίτερα µε την εισαγωγή των νέων ψηφιακών µέσων αποτύπωσης και των δυνατοτήτων που προσφέρουν οι σηµερινές ψηφιακές επεξεργασίες εικόνας, ο τοµέας αυτός των αποτυπώσεων και των απεικονίσεων των καµπυλόγραµµων επιφανειών, αποκτά νέο ενδιαφέρον 5. Iδιαίτερo ενδιαφέρον παρουσιάζει το µέρος της χαρτογραφικής επεξεργασίας της απεικόνισης, περνώντας από τις τρισδιάστατες µετρήσεις σηµείων της καµπυλόγραµµης επιφάνειας κατευθείαν στην χαρτογραφική απεικόνιση, µέσα από τις αναλυτικά προσδιορισµένες επιφάνειες που ορίζουν βέλτιστα οι µετρήσεις 6. 3 Βλ. Vozikis (1979), για έναν φωτογραµµετρικό διαφορικό µετασχηµατισµό καµπύλων επιφανειών σε αρχιτεκτονικές εφαρµογές. 4 Με βάση µια ιδέα του γράφοντος έγινε το 1980 µια πρώτη πλήρης γεωδαιτική διαδικασία για την απεικόνιση µνηµειακών καµπυλόγραµµων επιφανειών. Βλ. Βλάχος, ερµάνης, Λιβιεράτος, (1981) και Βλάχος, ερµάνης, Λιβιεράτος, Παρασχάκης (1983). 5 Από τους Κarras, Patias, Petsa, Ketipis, (1997) εφαρµόζονται τεχνικές εικονοψηφιδωτών προβολών και αναπτυγµάτων εικόνων καµπύλων επιφανειών. 6 Για απεικονίσεις θόλων χρησιµοποιώντας φωτογραµµετρικά προσδιορισµένες τρισδιάστατες συντεταγµένες και τεχνικές βέλτιστης προσαρµογής βλ. Fotiou, Livieratos, Lombardini, Paraschakis (1991). Ì Ì ÁÚÔÓfiÌˆÓ Î È ÔappleÔÁÚ ÊˆÓ ªË ÓÈÎÒÓ,..., 2003 applefi Ù ÛÙÚ ÛÙË ÁË Î È ÙÔÓ appleôïèùèûìfi ÊÈ ÚˆÌ ÛÙË ÌÓ ÌË ÙÔ ıëáëù Ï Í Ó ÚÔ ÛÈÔ ÌË ÛÂÏ. 1-6

Συνακόλουθο της διαδικασίας αυτής είναι και ο άµεσος προσδιορισµός των παραµορφώσεων 7 των επιφανειών αυτών και η απεικόνισή τους σε κατάλληλες χαρτογραφικές απεικονίσεις (ή χαρτογραφικές προβολές). Η έµφαση που δίνεται στις χαρτογραφικές απεικονίσεις των καµπυλόγραµµων επιφανειών, των εικόνων τους και των παραµορφώσεών τους οφείλεται στην αυστηρότητα µε την οποία οι απεικονίσεις αυτές διατηρούν (ή όχι) ορισµένες συγκεκριµένες γεωµετρικές ιδιότητες που σχετίζονται κυρίως µε τη γεωµετρία των αποτυπούµενων και απεικονιζόµενων µορφών στις καµπυλόγραµµες επιφάνειες, ως προς τα σχήµατα, τα εµβαδά και τις αποστάσεις τους. της φυσικής επιφάνειας ως προς τις αντίστοιχες στην απεικόνιση, µε πόλο το σηµείο επαφής του προβολικού επιπέδου, όπως επίσης και οι πολικές διευθύνσεις. 3. Οι συµπληρωµατικές απεικονίσεις Οι εξέλιξεις των νέων ψηφιακών επεξεργασιών εικόνων και η δυνατότητες γεωαναφοράς τους 11 άνοιξαν νέους ορίζοντες σε εφαρµογές του τύπου που περιγράφονται στο σηµείωµα αυτό. 2. Το αρχικό παράδειγµα Στις αρχές της δεκαετίας του 80, µετά το σεισ- µό της Θεσσαλονίκης, στα πλαίσια προγραµµάτων αποκατάστασης µνηµείων της πόλης, έγινε µια σειρά από τοπογραφικές, κυρίως, αποτυπώσεις µνηµείων. Τότε, και για τον ιερό ναό της του Θεού Σοφίας, επιχειρήθηκε µια πειραµατική εφαρµογή της γεωδαιτικής µεθόδου της βέλτιστης προσαρµογής 8 συγκεκριµένης καµπυλόγραµµης επιφάνειας -εδώ σφαιρικής- σε σηµεία της φυσικής επιφάνειας του σφαιρικού τοµέα µε το ψηφιδωτό της Πλατυτέρας, πάνω από το Ιερό 9. Τα σηµεία ελέγχου της επιφάνειας προσδιορίστηκαν µε τις τρισδιάστατες καρτεσιανές συντεταγ- µένες τους στις οποίες ακολούθως υπολογίστηκε η ακτίνα της βέλτιστης σφαίρας µήκους 3.97 µέτρων, µε 3.0 εκατοστά απόκλιση του κέντρου της από τον άξονα συµµετρίας του δαπέδου του ναού. Οι αποκλίσεις των φυσικών σηµείων ελέγχου, από τη βέλτιστη σφαιρική επιφάνεια, κυµάνθηκαν από 4.1 έως -2.7 εκατοστά, µε µέση τιµή τα 0.4 εκατοστά. Μετά από τον µετασχηµατισµό των καρτεσιανών συντεταγµένων των σηµείων ελέγχου σε αντίστοιχες σφαιρικές συντεταγµένες (κατά σφαιρικό πλάτος και κατά σφαιρικό µήκος) η επιφάνεια της βέλτιστης σφαίρας απεικονίστηκε σε µία αζιµουθιακή ισαπέχουσα προβολή, µε σηµείο επαφής του προβολικού επιπέδου στις 45 µοίρες. Στην προβολή αυτή σχεδιάστηκε σκαριφηµατικά το περίγραµµα της Πλατυτέρας, όπως φαίνεται στην α- πεικόνιση της πρώτης εκείνης εφαρµογής του 1981, επεξεργασµένης τώρα κατάλληλα εδώ, ώστε να δίνονται επιπλέον και οι σχετικές ελλείψεις Tissot 10 (Σχ. 1) που αντιστοιχούν στη συγκεκριµένη προβολή. Κατά την απεικόνιση αυτή, διατηρούνται αναλλοίωτες, κατ αναλογία, οι αποστάσεις των σηµείων 7 Για εφαρµογή «αναλλοίωτων» κριτηρίων παραµόρφωσης χαρτογραφικών απεικονίσεων Βλ. Dermanis, Livieratos (1983), Dermanis, Livieratos, Paraschakis (1983) και Boutoura, Livieratos (1986). 8 Βλ. Λιβιεράτος (1982), 9 Βλ. υποσηµ. 2. 10 Βλ. Λιβιεράτος (1979, 1985). Σχ. 1. Η διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε αζιµουθιακή ισαπέχουσα προβολή. Το σηµείο επαφής στο πλάτος των 45 µοιρών. Έτσι, εάν έχει προηγηθεί το γεωδαιτικό, τοπογραφικό και φωτογραµµετρικό µέρος της όλης επιχείρησης αποτύπωσης της καµπυλόγραµµης επιφάνειας 12, η χαρτογραφική απεικόνιση σε προβολικό επίπεδο µπορεί να γίνει συµπληρωµατικά, επιλέγοντας τις κατάλληλες κάθε φορά απεικονίσεις µε τις οποίες να τηρούνται οι κατάλληλες προβολικές ιδιότητες, όπως είναι η συµµορφία, η ισοδυναµία και η ισαποχή. Με τον τρόπο αυτό είναι δυνατόν πλέον, µε µεγαλύτερη ευκολία από ότι στο παρελθόν, να απεικονίζονται σωστά από προβολική άποψη όχι µόνον οι αγιογραφικές εικόνες που κοσµούν τις καµπυλόγραµµες επιφάνειες, αλλά και οι επιφανειακές παραµορφώσεις της φυσικής επιφάνειας, όπως προκύπτουν από τη διαδικασία της βέλτιστης προσαρµογής σ αυτήν, µιας αντίστοιχης αναλυτικής επιφάνειας. Στα επόµενα σχήµατα φαίνονται οι συµπληρω- µατικές απεικονίσεις της αρχικής ισαπέχουσας του Σχ. 1. Στα Σχ. 2 και 3 έχουµε δύο επιπλέον επίπεδες απεικονίσεις, µε σηµείο επαφής επίσης στο πλάτος των 45 µοιρών, αλλά µε διαφορετικές ιδιότητες: Την αζιµουθιακή ισοδύναµη Lambert (Σχ. 2) και τη 11 Ονοµάζεται γεωαναφορά, η ένα-προς-ένα αντιστοίχηση ψηφιακών συντεταγµένων σηµείων της εικόνας µε τα οµόλογα ση- µεία της γήινης επιφάνειας αναφοράς (σφαίρες ή ελλειψοειδή εκ περιστροφής) και η µε τον τρόπο αυτό παραµετροποίησή της ψηφιακής εικόνας µε σφαιρικές ή ελλειψοειδείς συντεταγµένες (πλάτος, µήκος). 12 Στο παράδειγµα εδώ, η επιφάνεια αναφοράς είναι σφαίρα. 2

σύµµορφη στερεογραφική (Σχ. 3). Η πρώτη διατηρεί, κατ αναλογία, αναλλοίωτα τα εµβαδά των επιφανειακών σχηµάτων, ενώ η δεύτερη τις µορφές των σχηµάτων. Με βάση τα της θεωρίας των απεικονίσεων των µη αναπτυκτών επιφανειών σε αναπτυκτές (κύλινδρος, κώνος, επίπεδο) είναι δυνατή η διατήρηση µιας και µόνο µιας από τις τρεις παραπάνω ιδιότητες της ισαποχής, της ισοδυναµίας και της συµµορφίας. Ε- ποµένως εναπόκειται, κάθε φορά, στις απαιτήσεις της απεικόνισης η επιλογή της ιδιότητας εκείνης που ενδιαφέρει τη συγκεκριµένη εφαρµογή της. Από το περιοριστικό αυτό γεγονός προκύπτει ότι, τις περισσότερες φορές, απαιτείται η χρήση περισσότερων της µιας απεικονίσεων, τουλάχιστον τρεις, ώστε να καλύπτονται οι τρεις παραπάνω βασικές ιδιότητες. Ο συνδυασµός των τριών επίπεδων απεικονίσεων (Σχ. 1, 2 και 3) που πληρουν και τις τρεις βασικές ιδιότητες, προσδίδει µια πλήρη εικόνα στην α- πεικόνιση και επιτρέπει τη συναγωγή χρήσιµων συµπερασµάτων και για τη µορφή του σχήµατος, για τις επιφανειακές διαστάσεις του και για τα µήκη των α- ποστάσεων των σηµείων του σχήµατος από τον «πόλο» της προβολής που δεν είναι άλλο από το σηµείο επαφής του επιπέδου στη σφαίρα (εδώ, στο πλάτος των 45 µοιρών). Αντίστοιχα µε τις παραπάνω επίπεδες προβολές, µπορούν να χρησιµοποιηθούν κωνικές και κυλινδρικές µε τις κατάλληλες πάντα ιδιότητες, όπως π.χ. οι κωνικές απεικονίσεις των Σχ. 4 και 5 οι οποίες διατηρούν τις ιδιότητες της συµµορφίας η πρώτη και της ισοδυναµίας η δεύτερη. Σχ. 4. Η διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε σύµµορφη κωνική προβολή Lambert. Οι παράλληλοι τοµής κώνου και σφαίρας είναι στα πλάτη των 45 και 60 µοιρών. Σχ. 2. Η διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε αζιµουθιακή ισοδύναµη προβολή Lambert. Το σηµείο επαφής στο πλάτος των 45 µοιρών. Σχ. 5. Η διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε ισοδύναµη κωνική προβολή Albers. Οι παράλληλοι τοµής κώνου και σφαίρας είναι στα πλάτη των 45 και 60 µοιρών. Σχ. 3. Η διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε στερεογραφική προβολή. Το σηµείο επαφής στο πλάτος των 45 µοιρών. Στην κατηγορία των κυλινδρικών προβολών υπάγεται η κλασική σύµµορφη και ευρύτατα διαδεδοµένη στη Χαρτογραφία εγκάρσια Μερκατορική (Σχ. 6) στην οποία ο άξονας του περιβάλλοντος κυλίνδρου είναι κάθετος στον άξονα της σφαίρας. Τέλος, σε ειδικές περιπτώσεις, µπορούν να χρησιµοποιηθούν και κάποιες από τις µη-συµβατικές χαρτογραφικές προβολές, µια σηµαντική κατηγορία εκτός των τριών κυρίων (επίπεδων, κωνικών, κυλινδρικών). Οι απεικονίσεις αυτές ορίζονται περισσότερο από τις ιδιαίτερές τους εκφράσεις παρά από τους «στερεότυπους» γεωµετρικούς ορισµούς που χαρακτηρίζουν τους τύπους των τριών κλασικών προβολών. 3

Σχ. 5. Η διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας στη σύµµορφη εγκάρσια Μερκατορική προβολή. Ο κεντρικός παράλληλος της προβολής είναι στο πλάτος των 45 µοιρών. Στο Σχ. 6, η ισοδύναµη προβολή Mollweide, (λέγεται και ελλειπτική ή οµολογραφική) προσδίδει στην απεικόνιση την οπτική «φυσικότητα» που έχει η εικόνα της Πλατυτέρας στην πραγµατική της θέση στον σφαιρικό θόλο του Ιερού. Η µορφή όµως των ελλείψεων Tissot µας ανακαλεί στην «τάξη» των ιδιοτήτων των παραµορφώσεων που ενυπάρχουν στη συγκεκριµένη απεικόνιση. Στη συνέχεια, οι συγκρίσιµες πλέον λεπτοµέρειες βαθµονοµούνται µε ένα λειτουργικά µετρικό σύστηµα αναφοράς, κατά δύο ορθογώνιους άξονες και το εικονογραφικό περιεχόµενο της απεικόνισης µπορεί να µελετηθεί ως προς τις ιδιότητές του, είτε µεµονωµένα είτε σε ενιαίο υπόβαθρο, µετά από κατάλληλη επικάλυψη. Στο Σχ. 7 απεικονίζεται το βαθµονοµηµένο, κατά ι- σοµετρικούς ορθογώνιους άξονες, σχηµατικό περίγραµ- µα της Πλατυτέρας στην αζιµουθιακή ισαπέχουσα προβολή, µε σηµείο επαφής στο πλάτος των 45 µοιρών. Στην απεικόνιση, µπορούν να µετρηθούν τα µήκη γραµ- µών που συνδέουν όλα τα σηµεία της εικόνας µε τον πόλο (σηµείο επαφής) της προβολής και µετά την α- ναγωγή της κλίµακας να έχουµε το αντίστοιχο µήκος που έχει η γραµµή πάνω στη «φυσική» επιφάνεια του σφαιρικού θόλου. Σχ. 6. Η διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας στη µη-συµβατική προβολή Mollweide. 4. Η συγκριτική διαδικασία Οι λεπτοµέρειες των απεικονίσεων, π.χ. οι καµπυλόγραµµες εικονογραφήσεις όπως έχουν προβληθεί, είναι δυνατόν, στη συνέχεια, να µελετηθούν ιδιαίτερα, ως προς τις βασικές τους ιδιότητες, της ισαποχής, της ισοδυναµίας και της συµµορφίας. Αυτό γίνεται, σε ψηφιακό πλέον περιβάλλον, µε την αποκοπή της λεπτοµέρειας στις διαφόρων ιδιοτήτων απεικονίσεις και στη συνέχεια µε τη σύγκρισή τους, αφού έχουν εξαληφθεί προηγουµένως ενδεχόµενες µικρές διαφορές κατά κλίµακα και συνολική στροφή των εικόνων. Αυτό γίνεται, π.χ., µε την εφαρµογή ένός µετασχηµατισµού οµοιότητας για να µην αλλοιωθούν µορφικά οι εικόνες στις διάφορες προς σύγκριση απεικονίσεις. Σχ. 7. Η βαθµονοµηµένη διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε αζιµουθιακή ισαπέχουσα προβολή. Το σηµείο επαφής στο πλάτος των 45 µοιρών. Στην ισαπέχουσα προβολή (Σχ. 7), αποτελέσµατα, συµπεράσµατα και ερµηνείες ποσοτικού χαρακτήρα σχετικά µε τη µορφή των σχηµάτων, όπως ε- πίσης και µε τα εµβαδά συγκεκριµένων επιφανειών της εικονογράφησης, δεν είναι δυνατόν να εξαχθούν. Όπως φαίνεται από τη µορφή των ελλείψεων Tissot, η γραµµική κλίµακα της απεικόνισης δεν είναι σταθερή στην επιφάνεια της Πλατυτέρας ούτε κατά µέγεθος ούτε κατά διεύθυνση. Στο Σχ. 8 απεικονίζεται το βαθµονοµηµένο, κατά ισοµετρικούς ορθογώνιους άξονες, περίγραµµα της 4

Πλατυτέρας στην αζιµουθιακή ισοδύναµη προβολή Lambert, µε σηµείο επαφής στο πλάτος των 45 µοιρών. Στην απεικόνιση αυτή, η οποία είναι συγκρίσι- µη 13 µε την προηγούµενη ισαπέχουσα του Σχ. 7 είναι δυνατόν να υπολογιστούν τα εµβαδά οποιασδήποτε επιφάνειας της εικόνας, όπως π.χ. µπορούν να είναι ψηφίδες, επιφανειακές φθορές ή συγκεκριµένες άλλες επιφάνεις ιδιαίτερου ενδιαφέροντος για τον συντηρητή και για τις οποίες είναι σηµαντική η γνώση του εµβαδού τους. των στην απεικόνιση, των σχηµατικών µορφών της «φυσικής» καµπυλόγραµµης επιφάνειας. Όπως φαίνεται στο Σχ. 9, από τη µορφή των ελλείψεων Tissot, εδώ κύκλων λόγω της συµµορφίας, η κλίµακα της απεικόνισης διατηρείται σταθερή σε όλη την επιφάνεια της Πλατυτέρας και σε όλες τις διευθύνσεις, γεγονός ιδιαίτερα σηµαντικό για τη µορφική µελέτη και την ανάλυση της εικονογράφησης. Σχ. 8. Η βαθµονοµηµένη διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε αζιµουθιακή ισοδύναµη προβολή Lambert µετά από βέλτιστη προσαρµογή οµοιότητας στην απεικόνιση του Σχ. 7, για την απαλειφή µικρών διαφορών κλίµακας και στροφής. Και εδώ, άλλη ιδιότητα από τις υπόλοιπες δύο βασικές, την ισαποχή και την συµµορφία, δεν είναι δυνατόν να ικανοποιηθεί. Όπως φαίνεται από τη µορφή των ελλείψεων Tissot, η γραµµική κλίµακα της απεικόνισης δεν είναι σταθερή στην επιφάνεια της Πλατυτέρας. Στο Σχ. 9 απεικονίζεται το βαθµονοµηµένο, κατά ισοµετρικούς ορθογώνιους άξονες, περίγραµµα της Πλατυτέρας στην σύµµορφη στερεογραφική προβολή και εδώ µε σηµείο επαφής στο πλάτος των 45 µοιρών. Στην απεικόνιση αυτή, η οποία είναι επίσης συγκρίσιµη 14 µε την ισαπέχουσα του Σχ. 7, ισχύει η ιδιότητα της διατήρησης, µορφικά αναλλοίω- 13 Έχει προηγηθεί µια βέλτιστη προσαρµογή οµοιότητας για την απαλειφή τυχόν µικρών διαφορών κλίµακας και στροφής. 14 Βλ. προηγ. υποσηµ. Σχ. 9. Η βαθµονοµηµένη διαγραµµατική απεικόνιση της Πλατυτέρας σε στερεογραφική προβολή µετά από βέλτιστη προσαρµογή οµοιότητας στην απεικόνιση του Σχ. 7, για την απαλειφή µικρών διαφορών κλίµακας και στροφής. Μια σύνθεση των παραπάνω φαίνεται στην ακριβή «επίθεση» των τριών προηγούµενων επίπεδων απεικονίσεων, µε τις τρεις διαφορετικές βασικές ιδιότητες (Σχ. 10). Οι µορφικές και διαστασιακές διαφορές είναι σαφείς, συγκρίσιµες και ιδιαίτερα χρήσιµες στις περιπτώσεις αποτυπώσεων και απεικονίσεων υψηλών προδιαγραφών ακριβείας. 5. Επιλεγόµενα Στο σηµείωµα αυτό, επαναπροσεγγίστηκε, υπό το φως των δυνατοτήτων επεξεργασίας και γραφικής απόδοσης που προσφέρουν οι νέες ψηφικές εξελίξεις, µια παλαιότερη εφαρµογή, αλλά ακόµη επίκαιρη και µε ανανεωµένο ενδιαφέρον στη σύνθεση µεθόδων και τεχνικών των γεωδαιτικών επιστηµών στον τοµέα της αποτύπωσης και απεικόνισης καµπυλόγραµµων επιφανειών µνηµειακού χαρακτήρα και των εικονογραφικών τους παρακολουθηµάτων. 5

Εδώ, σε ένα ενιαίο ψηφιακό περιβάλλον υπολογιστικής και εικονογραφικής επεξεργασίας και µε βάση τα γεωδαιτικά στοιχεία που είχαν προσδιοριστεί, έγινε µια λεπτοµερής επέκταση του παραδείγ- µατος της χαρτογραφικής απεικόνισης, µε πεδίο εφαρ- µογής την Πλατυτέρα του ιερού ναού της του Θεού Σοφίας, µε στόχο την υπογράµµιση της σπουδαιότητας που έχει η επιλογή της κατάλληλης προβολής. Σχ. 10. Η βαθµονοµηµένη τριπλή επικάλυψη της διαγραµµατικής απεικόνισης της Πλατυτέρας στις τρεις επίπεδες προβολές των Σχ. 7, 8 και 9. Το περίγραµµα (α) αναφέρεται στην αζιµουθιακή ισαπέχουσα, το (β) στην αζιµουθιακή ισοδύναµη Lambert και το (γ) στην σύµµορφη στερεογραφική. Από τη συζήτηση προκύπτει, νοµίζω µε σαφήνεια, ότι ο πληρέστερος τρόπος, για µια χρηστική α- ξιοποίηση της χαρτογραφικής προβολής, είναι η παραγωγή συµπληρωµατικών απεικονίσεων που ι- κανοποιούν και τις τρεις βασικές ιδιότητες των χαρτογραφικών απεικονίσεων ισαποχή, ισοδυναµία, συµ- µορφία κατά προτίµηση του ίδιου γενικού τύπου προβολής, ως προς το είδος της αναπτυκτής επιφάνειας. Εδώ, η λεπτοµερής µελέτη (βλ. Εικ. 7, 8, 9 και 10) έγινε µε τρεις επίπεδες προβολές συµπληρωµατικών ιδιοτήτων: Με την αζιµουθιακή ισαπέχουσα, την αζιµουθιακή ισοδύναµη Lambert, και την στερεογραφική (σύµµορφη). Βιβλιογραφικές αναφορές Bλάχος,., A. ερµάνης, E. Λιβιεράτος (1981). Aποκλίσεις θόλων µνηµείων από ιδανικές µαθηµατικές επιφάνειες. Γεωδαιτικά Tετράδια, τοµ. 2, τχ. 2, 131-148. Bλάχος,, A. ερµάνης, E. Λιβιεράτος, I. Παρασχάκης (1983). Aποτύπωση θόλου της Aγίας Σοφίας Θεσσαλονίκης. Γεωδαιτικά Tετράδια, τοµ. 4, τχ. 1, 87-98. Boutoura, C. and E. Livieratos (1986). Strain analysis for geometric comparisons of maps. The Cartographic Journal, 23, 27-34. Dermanis, A. and E. Livieratos (1983). Dilatation, shear, rotation and energy analysis of map projections. Bollettino di Geodesia e Scienze Affini, 42, (1), 53-68. Dermanis, A., E. Livieratos, I. Paraschakis (1983). Applications of strain criteria in cartography. Bulletin Geodesique, 57, 215-225. Fotiou A., E. Livieratos, G. Lombardini, I. Paraschakis (1991). Dome representation using photogrammetrically derived data and best fitting techniques. ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, vol. 46, 231-246. Κarras, G., P. Patias, E. Petsa, K. Ketipis, (1997). Raster projection and development of curved surfaces, Intern. Archives of Photogrammetry & Remote Sensing, Vol. XXXII, Part 5C1B, Göteborg, pp. 179-185. Λιβιεράτος, E. (1979): Mαθηµατική χαρτογραφία, Πανεπ. Σηµειώσεις, TATM-AΠΘ, Θεσσαλονίκη. Λιβιεράτος, E. (1982). ίκτυα ανωτέρας γεωδαισίας, Θεσσαλονίκη. Λιβιεράτος, Ε. (1985). Γενική χαρτογραφία, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. Vozikis, E. (1979). Die photogrammetrische Differenzialumbildung gekrümmter Flächen mit Beispielen aus der Architekturbildmessung. Geowissenschaftliche Mitteilungen, Nr. 17, Institut für Photogrammetrie, Tech. Univ. Wien. 6