Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε ότι το στερεό που δηµιουργείται έχει πεπερασµένο όγκο και άπειρη επιφάνεια (δικαιολογήστε το αποτέλεσµα). Λύση: Για να υπολογίσουµε την επιφάνεια επειδή x Για τον όγκο S = π y +(y ) dx = π + για x >,ϑα έχουµε x x V = π S = π x dx y dx = π x dx + x x dx που σύµφωνα µε όσα έχουµε ήδη συζητήσει για ολοκληρώµατα της µορφής( (/xp )dx) συγκλίνουν όταν p >. Άσκηση : Αν (a,b) σταθερές και a > b >, να υπολογισθεί η επιφάνεια του στερεού που δηµιουργείτε από την περιστροφή του κύκλου (x b) +y = a γύρω από τον άξονα Oy. Λύση: Για να υπολογίσουµε την επιφάνεια ϑα πρέπει να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα S = π x +(x ) dy = π (b+ a y ) dy S = πab a y = π ab a a y dy
Άσκηση 3: (α)υπολογίστε του όγκους των στερεών που σχηµατίζονται από την περιστροφή γύρω από τους άξονες Ox και Oy του τόπου που ορίζεται από την παραβολή y = x και την ευθεία y = x. (ϐ) Υπολογίστε το µήκος της καµπύλης y = ln(secx) για x π/. (γ) Υπολογίστε το εµβαδόν που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και την καµπύλη µε παραµετρική εξίσωση x = 6(θ sinθ), y = 6( cosθ) (κυκλοειδής) για θ π. Λύση: (α) Ο όγκος από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox υπολογίζεται από το ολοκλήρωµα V = π και από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Oy (ϐ) L = (γ)e = 8π secxdx = π + ( ) dy dx = dx V = π secx secx+tanx secx+tanx y(θ) dx(θ) dθ dθ = π (x x )dx = π/5 (y y )dy = π/6 +tan xdx = dx = ln secx+tanx π 36( cosθ) dθ = 36 π sec xdx = = ln( +). ( 3 cosθ+ cos(θ) secx dx = ) dθ = Άσκηση : Το σχήµα µιας δεξαµενής νερού (µορφής µπολ) µπορεί να παραχθεί εάν περιστρέψουµε ως προς τον άξονα Oy το τµήµα της καµπύλης y = x / από y = έως y = 5. (α) Βρείτε την εξίσωση του όγκου της δεξαµενής, (ϐ) ϐρείτε την τιµή του όγκου της σε κυβικές µονάδες, και (γ) ϐρείτε τον ϱυθµό ανόδου της στάθµης του νερού όταν το νερό έχει ϐάθος µονάδες µήκους και γεµίζουµε την δεξαµενή µε σταθερό ϱυθµό 3 κυβικών µονάδων µήκους ανά δευτερόλεπτο (χρησιµοποιήστε συναφές ϱυθµό). Λύση: Ο όγκος της δεξαµενής µπορεί να ϐρεθεί µε την µέθοδο των κυκλικών δίσκων. Στην εικόνα ϕαίνεται η σχετική καµπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον άξονα Oy δίδει τον όγκο της δεξαµενής. Το χωρίο του σχετικού κυκλικού δίσκου (κάθετου στον άξονα περιστροφής) είναι: A(y) = πr (y) µε R(y) την ακτίνα του, που δίδεται από την x = y / και y το ύψος του. Ο όγκος της δεξαµενής δίδεται από την: V = 5 A(y)dy = 5 πydy = πy 5 = 5π Άρα ο όγκος της δεξαµενής δίνεται σαν συνάρτηση του ύψους, y, ως: V = πy και έχει τιµή: 5π
Σχήµα : Στο διάγραµµα ϕαίνεται η καµπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον άξονα Oy σχηµατίζει την δεξαµενή. Ο ϱυθµός µεταβολής του όγκου συναρτήσει του χρόνου είναι: dv dt = d ( ) πy = πy dy dt dt Εχουµε λοιπόν ότι dv/dt = 3 και dv/dt = πydy/dt και Ϲητάµε να ϐρούµε το dy/dt όταν y =. Άρα έχουµε: 8π dy dt = 3 = dy dt = 3 8π Άσκηση 5: Υπολογίστε τον όγκο του στερεού (τόρος) που παράγεται εάν περιστρέψτε τον κυκλικό δίσκο x + y a ως προς την ευθεία x = b (όπου a < b). Ο όγκος να υπολογιστεί χρησιµοποιώντας δύο µεθόδους, αυτή της δακτυλιοειδούς διατοµής αλλά και αυτή των κυλινδρικών ϕλοιών. Λύση: (α) Μέθοδος δακτυλιοειδούς διατοµής: Θεωρούµε ότι η διάµετρος του κυκλικού δίσκου που είναι παράλληλη µε τον άξονα περιστροφής χωρίζει τον δίσκο σε δύο ηµικύκλια. Η ακτίνα που ξεκινά από τον άξονα περιστροφής έως την εξωτερική περίµετρο του κυκλικού δίσκου είναι R(y) = b+ a y ενώ αυτή που r(y) = b a y. Ε- ποµένως σύµφωνα µε την µέθοδο της δακτυλιοειδούς διατοµής ο όγκος του τορου δίδεται από την: [ V = π R(y) r(y) ] a dy = π [(b+ a y ) (b ] a y ) dy = 3
Σχήµα : Το αριστερό διάγραµµα αντιστοιχεί στη χρήση της µεθόδου της δακτυλιοειδούς διατοµής, όπου ϕαίνεται η εξωτερική, R(y), και εσωτερική, r(y), ακτίνα των αντίστοιχων κυκλικών δίσκων. Το δεξί διάγραµµα αντιστοιχεί στη µέθοδο των κυλινδρικών ϕλοιών, όπου ϕαίνονται η ακτίνα και το ύψος του κυλινδρικού ϕλοιού. Στο συγκεκριµένο διάγραµµα, όπως είναι ϕανερό, η τιµές των (a,b) είναι αντίστοιχα (,3). Επίσης ϕαίνεται µε µπλε γραµµές το τρίγωνο µέσω του οποίου υπολογίζουµε το ήµισυ του ύψους του ϕλοιού. Και στα διαγράµµατα η κόκκινη ευθεία αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής. [ V = π b +b a y +(a y ) b dy +b ] a y (a y ) dy = ) πa V = πb a y dy = πb( = π ba το τελευταίο προκύπτει κάνοντας τον µετασχηµατισµό: a y = a sin θ από τον οποίο προκύπτει: y = acosθ και ydy = a sinθcosθdθ dy = sinθdθ εποµένως έχουµε: [ θ a y dy = sin θdθ = a sin θdθ = a π sinθ ] π = πa (α) Μέθοδος κυλινδρικών ϕλοιών: Ξεκινάµε µε το να Ϲωγραφίσουµε ευθύγραµµο τµήµα (πάχους ) παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής το οποίο διατρέχει τον κυκλικό δίσκο. Αυτό είναι το ύψος και ισούται (από ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την ακτίνα κυκλικού δίσκου) µε: a x. Η ακτίνα ισούται µε b+x και εποµένως ο όγκος του στερεού εκ περιστροφής δίδεται από: V = π a x (b+x)dx = π [b a x +x a x ] dx = a V = πb a x dx+πb x a x dx
Το πρώτο εκ των ολοκληρωµάτων το γνωρίζουµε από την προηγούµενη µέθοδο, και ισούται µε π ba, και εποµένως το δεύτερο ολοκλήρωµα ϑα πρέπει να ισούται µε µηδέν. Πράγµατι, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητών a x = y xdx = dy x a x dx = ydy = Άρα και µε αυτή την µέθοδο, όπως ϕυσικά ϑα έπρεπε, ϐρίσκουµε τον όγκο του τόρου να είναι: V = π ba µε b την απόσταση του άξονα περιστροφής από το κέντρο της κυκλικής διατοµής του, και a την ακτίνα της κυκλικής διατοµής του. Άσκηση 6: Βρείτε το µήκος της καµπύλης f(x) = e x στο x [,]. Λύση: Η καµπύλη αυτή έχει παράγωγο συνεχή στο Ϲητούµενο διάστηµα (df/dx = e x ) και άρα είναι λεία. Το µήκος της δίδεται εποµένως από το: ( ) df L = + dx = +e x dx dx Χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό y = +e x e x = y e x dx = ydy, οπότε το µήκος της καµπύλης δίδεται από: L = +e y +e ( y dy = + ) ( dy = +e ) +e + y y dy Το τελευταίο ολοκλήρωµα το λύνουµε, χρησιµοποιώντας την µέθοδο µερικών κλασµάτων, ως εξής: b b a x dx = a (x )(x+) dx = b a x dx b a x+ dx = ln x ln x+ = ln x a x+ = [ ] ln a b a+ ln b b+ = b x dx = ln (a )(b+) (a+)(b ) a Αντικαθιστώντας όπου a = και b = +e και παίρνοντας υπόψιν µας ότι y > έχουµε µετά από αλγεβρικές πράξεις ότι: [ +e e( ] +) dy = ln y +e + 5
Άρα το µήκος της Ϲητούµενης καµπύλης είναι: ( L = +e ) +ln [ e( ] +) +e + 6