Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x + xy y είναι συντηρητικό. Στη συνέχεια να βρεθεί η συνάρτηση δυναμικού του και να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα F dr του επί της καμπύλης του σχήματος: π A, C B( π, ) Το πεδίο ορίζεται σε όλο το Έστω: Mxy (, ) = ycos x+ y N( x, y) = sin x + xy y Επομένως R M N = cos x+ y = x Άρα το πεδίο είναι συντηρητικό. Υπολογίζουμε τη συνάρτηση δυναμικού f του πεδίου: Θέλουμε να ισχύει

2 fx = ycos x+ y () f = F f y = sin x + xy y () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας το y σταθερό, παίρνουμε cos sin (3), όπου f = y x+ y dx= y x+ y x+ h y Για να βρούμε την hy παραγωγίζουμε την (3) ως προς y και παίρνουμε: hy f y = sin x + yx + (4) y Από τις (4) και () παίρνουμε: hy μία συνάρτηση μόνον του y. hy = y (5) Ολοκληρώνοντας την (5) ως προς y έχουμε: (6) hy = ydy hy = y + c Επομένως η (3) λόγω της (6) δίνει: f( xy, ) = ysin x+ yx y + c Χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα των επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων θα έχουμε: π F dr = f ( B) f ( A) = f ( π, ) f (,) = C ( sin( π) π c) ( sin ( π / ) ( π / ) c) = = 9π = Άσκηση (Μονάδες 3.5) Επαληθεύστε την εφαπτομενική μορφή του θεωρήματος Green για περιοχή x, y x κινούμενοι κατά την ορθή φορά. Fxy (, ) = x + y, x y στην

3 Το χωρίο R είναι απλά συνεκτικό και ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Green: R c c Έστω Mxy (, ) = x + y Nxy (, ) = x y Πρέπει να δείξουμε ότι: N M Mdx + Ndy = da () x R R Θα ξεκινήσουμε με το δεξί μέλος της () Είναι N = x x M = y Επίσης θα εφαρμόσουμε ολοκλήρωση πρώτα ως προς y και έπειτα ως προς x καθώς το χωρίο είναι κάθετα απλό: x N M da = x y da = x y dy dx x () R R Το εσωτερικό ολοκλήρωμα δίνει: x y= x y= ( ) = 4x x 4+ 4x x x+ = x x + 4x + x 3 x y dy = xy y = x x ( x ) x + =

4 Επομένως N M 4 3 x x x da = ( x x + 4x + x 3) dx = x 3x = x 5 3 R 8 56 = + 6 = Τώρα θα υπολογίσουμε το αριστερό μέλος της () Παρατηρούμε ότι το σύνορο R αποτελείται από δύο καμπύλες. Την c που είναι τμήμα της παραβολής y = x από το σημείο (,) προς το σημείο (,) και την c που είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το σημείο (,) με το σημείο (,). Η παραμετροποίηση της - c γίνεται αν θέσουμε t = x: - c : r ( t) = t, t, t (3) με r'( t) =, t (4) ενώ για την c θα έχουμε: c : rt = ( t ), + t,, 0 t c: rt = t,, 0 t με r'( t ) =, 0 (6) Έτσι R c c (5) Mdx + Ndy = Mdx + Ndy + Mdx + Ndy (7) To πρώτο ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους της (7) δίνει: Mdx + Ndy = Mdx + Ndy = x + y dx + x y dy = c c c ( ( ) ) ( ) ( ) t + t dt + t t tdt = t + t t t + t + dt = t t 5t t + 4t + 4t = 3 5 5

5 Αντίστοιχα τo δεύτερο ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους της (7) δίνει: c c Mdx + Ndy = x + y dx + x y dy = ( ) 8 8 t + dt = 8t 8t + 4 dt = 4t + 4t = t Τελικώς η (7) δίνει R Mdx + Ndy = + = Άρα η () επαληθεύεται. Άσκηση 3 (Μονάδες.5) Για τις διάφορες τιμές του k R να επιλυθεί το σύστημα: x y + kz = x y+ z = 3x y + 3kz = 3 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο: k Ab = 3 3k 3 Θα έχουμε: k k 0 3 k 0 3 3k 3 3 3k 3 r r r r3 r3 3 r k k 5 r3 r3 r k k ( k ) 0 3

6 Έτσι καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: x y + kz = 3y+ ( k) z = 0 5 ( k) z = 0 3 Επομένως αν 5 ( k) 0 k το σύστημα έχει μοναδική λύση, την οποία βρίσκουμε με προς τα πίσω 3 αντικατάσταση και είναι η (,0,0) 5 = 0 k = το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Σε αυτή την περίπτωση το σύστημά 3 μας γίνεται Ενώ αν ( k) x y+ z = 3y = 0 Έχουμε ελεύθερη μεταβλητή την z. Έτσι οι λύσεις του συστήματος δίνονται ως z,0, z, z R Άσκηση 4 (Μονάδες ) Υπολογίστε τον πίνακα Έστω A 5 = A = AA = = = I Είναι 008 A = A A= A A= I A= I A= A

7 Άσκηση 5 (Μονάδες.5) Αν uvw,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα ενός R-διανυσματικού χώρου, να αποδείξετε ότι και τα u+ v+ 4 w,u+ 5 v+ w,3u+ w είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητα. Έστω k, k, k3 R τέτοια ώστε k u+ v+ 4w + k u+ 5v+ w + k 3 u+ w = (0, 0, 0) () 3 Αρκεί να δείξουμε ότι η () ισχύει μόνον όταν k = k = k3 = 0 Η () γράφεται και ως k + k + 3k u+ k + 5k v+ 4 k + k + k w= (0, 0, 0) () 3 3 Επειδή δίνεται ότι τα uvw,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα η σχέση () δίνει: k+ k + 3k3 = 0 k+ 5k = 0 4k+ k + k3 = 0 To σύστημα που προκύπτει ως προς k, k, k3είναι ομογενές τετραγωνικό και για να έχει την μοναδική λύση (την μηδενική) αρκεί η ορίζουσα του πίνακα συντελεστών να είναι διάφορη του μηδενός. Έτσι έχουμε 3 D = 5 0 Αναπτύσσουμε ως προς την η γραμμή: D = + 5 = ( 3) + 5( ) = 55 = Επομένως είναι τελικά k = k = k3 = 0 και τα ζητούμενα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα Άσκηση 6 (Μονάδες.5) Έστω ένας πίνακας A M n ( ) τέτοιος ώστε το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής του ισούται με x M. Χρησιμοποιώντας την θεωρία των ιδιοτιμών αποδείξτε ότι υπάρχει Ax = x n τέτοιο ώστε

8 Για να υπάρχει x M τέτοιο ώστε Ax = x Ax = x θα πρέπει το λ = να είναι ιδιοτιμή του n πίνακα Α ή ισοδύναμα ότι το λ = είναι ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p( λ) = A λi δηλ. αρκεί να δείξουμε ότι p() = 0 A I = 0 A I = 0 Για τον υπολογισμό της ορίζουσας A I προσθέτουμε στην πρώτη στήλη του πίνακα A I τα στοιχεία όλων των άλλων στηλών. Τότε η πρώτη στήλη θα μηδενιστεί καθώς δίνεται πως το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής του A ισούται με. Έτσι η ορίζουσα A I είναι τελικώς 0 αφού περιέχει μία μηδενική στήλη. Σημείωση: Για να θεωρηθεί κάποιος επιτυχών θα πρέπει α) να γράψει βαθμό μεγαλύτερο ίσο του 5 (προφανώς!) και β) να συγκεντρώσει τουλάχιστον μονάδες από τις ασκήσεις - του Απειροστικού Λογισμού ΚΑΙ τουλάχιστον μονάδες από τις ασκήσεις 3-6 της Γραμμικής Άλγεβρας. Καλή Επιτυχία