Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1"

Ιάνθη Μαυρίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα i

3 Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε µία διαµέριση του ορθογωνίου R, ως εξής : P α, ξ, ξ,..., ξ n, β}, P γ, n, n,..., n n, δ}, µε α ξ < ξ <... < ξ n < ξ n β µε γ n < n <... < n n < n n δ διαµερίσεις των διαστηµάτων α, β], γ, δ], αντίστοιχα, δηλαδή α, β] Το σύνολο δ n m ξ i, ξ i ], γ, δ] n j, n j ] i j η j η j γ α ξ i ξ i β R ij : i n, j m},

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα όπου R ij ξ i, ξ i ] n j, n j ] είναι µία διαµέριση του ορθογωνίου R. Εστω και A(R ij ) : το εµβαδόν του R ij (ξ i, ξ i )(n j, n j ) M ij sup R ij f(, ), m ij inf R ij f(, ) Αν P µία τυχούσα διαµέριση του R, ορίζουµε : n m U(f, P ) : M ij A(R ij ) : άνω άθροισµα L(f, P ) : i j n i j m m ij A(R ij ) : κάτω άθροισµα Επίσης ορίζουµε (αποδεικνύεται ότι υπάρχουν) fd(a) : inf U(f, P ) : άνω ολοκλήρωµα της fστο R. R P fd(a) : sup L(f, P ) : κάτω ολοκλήρωµα της fστο R. R P Ορισµός Η f ϑα λέγεται ολοκληρώσιµη στο ορθογώνιο R, όταν fd(a) fd(a) R R Ο αριθµός R fd(a) R fd(a) λέγεται διπλό ολοκλήρωµα της f στο R και συµβολίζεται fd(a) ή f(, )dd R R Ιδιότητες του διπλού ολοκληρώµατος Εχει τις ίδιες ιδιότητες µε το (απλό) ορισµένο ολοκλήρωµα. π.χ. i. (λ f (, ) + λ f (, )) dd λ f (, )dd + λ f (, )dd

5 . ιπλό Ολοκλήρωµα 3 ii. f(, )dd f(, ) dd Αν l k k, k : κλ. ορθ., ανά δύο δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία, τότε f(, )dd ιαδοχικά ολοκληρώµατα Ορίζονται ως l k k f(, )dd β δ α γ δ β γ α f(, )dd f(, )dd β ] δ α γ f(, )d d δ ] β γ α f(, )d d µε την υπόθεση ότι υπάρχουν τα επιµέρους (απλά) ορισµένα ολοκλη- ϱώµατα. Θεώρηµα... Εστω f : α, β] γ, δ] R συνεχής τότε υπάρχουν : f(, )dd, β δ α γ f(, )dd, δ β γ α f(, )dd και είναι ίσα. ΙΙ. Σε ϕραγµένο υποσύνολο του R Εστω f : R R ϕραγµένη συνάρτηση, ορισµένη στο ϕραγµένο σύνολο R. Εστω R κλειστό ορθογώνιο του R τέτοιο ώστε R (το R υπάρχει, αφού ϕραγµένο). Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R όπου f(, ) f(, ), (, ), (, ) R δηλαδή η f είναι µία επέκταση της f στο R, προφανώς ϕραγµένη.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα R Ορισµός Η συνάρτηση f λέγεται ολοκληρώσιµη στο όταν η f είναι ολοκλη- ϱώσιµη στο R και ορίζουµε f(, )dd R f(, )dd Αποδεικνύεται ότι το ολοκλήρωµα f(, )dd είναι ανεξάρτητο από το ορθογώνιο R. Θεώρηµα... Αν η f : R R είναι συνεχής, τότε είναι ολοκληρώσιµη στο R. Το διπλό ολοκλήρωµα παριστάνει γεωµετρικά τα εξής : (i) dd εµβαδόν του R R (ii) R f(, )dd όγκος του στερεού Σ(f, R), όπου Σ(f, R) είναι το στερεό : Παραδείγµατα ), ], 3], f(, ) + cos(π)

7 . ιπλό Ολοκλήρωµα 5 z f(, ) f(, )dd ( + 3 cos(π) ) dd + cos(π) ] 3 d ( ) cos(π) d ] π cos(π) ) Να ϐρεθεί ο όγκος του στερεού Σ(f, R), όπου, ], ], f(, ) + V f(, )dd ( + )d + ] 3. ( + )dd ] + d

8 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Πολικές Συντεταγµένες Εστω O ο πόλος. Με αφετηρία το O σχεδιάζουµε τον πολικό άξονα, κατά αντιστοιχία µε τον ϑετικό ηµιάξονα στις Καρτεσιανές συντεταγµένες. Ενα τυχαίο σηµείο P του επιπέδου µπορεί να περιγραφεί απο ένα Ϲεύγος πολικών συντεταγµένων (r, θ), όπου το r δείχνει την κατευθυνόµενη απόσταση του P απο το O και το θ δείχνει την κατευθυνόµενη γωνία του OP µε τον πολικό άξονα (θ > όταν διαγράφεται αριστερόστροφα και θ < όταν διαγράφεται δεξιόστροφα). Συσχετισµός πολικών και καρτεσιανών συντεταγµένων r cos θ, r sin θ, + r, tan θ Ασκήσεις ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I ( + )dd :,

9 . ιπλό Ολοκλήρωµα 7 Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : T : r cos θ, θ π r sin θ, r. I r rdrdθ r ] dθ dθ π 8. ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I + dd :, Αν ( ) + θ π T G r Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : T : r cos θ r sin θ Η εξίσωση του ηµικυκλίου σε πολικές συντεταγµένες είναι : r r cos θ, δηλαδή r cos θ. Άρα θ π και r cos θ.

10 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα I 8 3 cos θ 8 3 sin θ rrdrdθ cos θ( sin θ)dθ 8 3 ] π 8 sin 3 ] π θ 3 3 r 3 ] cos θ dθ 8 3 cos θdθ cos 3 θdθ sin θd sin θ 3) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωµα : dd, όπου (, ) :,, + } R που ϐρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο και περιέχεται µεταξύ των αξόνων O, O και της περιφέρειας του κύκλου +. Παρατηρούµε ότι το είναι απλό σύνολο, δηλαδή (, ) :, ] και } (, ) :, ] και } Ετσι έχουµε : dd dd Το πρώτο διαδοχικό ολοκλήρωµα υπολογίζεται ευκολότερα ως εξής : dd dd ] d 3 ] 3. ( )d

11 . ιπλό Ολοκλήρωµα 9 Σηµείωση: Ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος d µπορεί να γίνει εάν ε- ϕαρµόσουµε το µετασχηµατισµό : t, t (, ) t ή sin t. + Θεώρηµα..3. Εστω f : R R συνεχής στο ( απλό) ή υπάρχουν πεπερασµένα σηµεία ασυνέχειας, τότε υπάρχουν τα : f(, )dd, β α Εφαρµογή φ () φ () f(, )dd και είναι ίσα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα cos dd, όπου είναι το υποσύνολο του R που ϐρίσκεται µεταξύ της παραβολής και της ευθείας +. Το είναι - απλό : (, ) :, ] και + } cos dd + sin( cos dd + ) sin sin ] + d ] d Ασκήσεις ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I + + dd, όπου (, ) R : + α, + β, } Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ T : r sin θ

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Από + α r α r α + β r β r β Άρα α r β. Από r sin θ θ π. θ T π r cos θ r sin θ (r, θ) (, ) α β r α β + π + dd β α β α r cos θ + r sin θ r rdrdθ (cos θ + sin θ)drdθ (β α) ) Να ϐρεθεί το εµβαδόν A() του συνόλου που περικλείεται από την παραβολή και τις ευθείες,. Επίσης, να υπολογισθεί ο όγκος του στερεού Σ(f, ) όπου f(, ) (, )

13 . ιπλό Ολοκλήρωµα z Το σύνολο είναι -απλό : (, ) :, ] και } V A() dd 3 3 ] 3. ] 3 + dd 6 3 ( ] d dd ) ( ( ) d ) 3 + dd 6 d ) Να υπολογιστεί το εµβαδόν του συνόλου R που περιβάλλεται από τις καµπύλες µε εξισώσεις : e,,,. Επίσης, να υπολογιστεί και ο όγκος του στερεού Σ(f, ), όπου f : R R µε f(, ) + +. Το σύνολο είναι -απλό : (, ) :, e }.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα A() e dd ] e e e 3 dd (e )d z f(, ) z ++ e V ( + + )dd e + 7e ] e e 5 d e ( + + )dd (e + e + e 3 )d ) Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωµα I dd όπου : (, ) :,, + 5, 3 + }.

15 . ιπλό Ολοκλήρωµα Το σύνολο είναι -απλό : (, ) : 3, 3 5 }. dd Αλλος τρόπος dd 3 (5 6 9 )d (75 5) 5. ] 5 d ] 3 3 Το είναι και στοιχειώδες σύνολο :, όπου (, ) :, 3 }, (, ) : 5, 5 } και απλό. Ετσι : dd dd + dd 3 dd dd 5) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα I dd όπου είναι η καρδιοειδής (, ) R : + + }.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Για : + ± ( + ) ή Για : ± ( + ) ( ) ή ή Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ, θ 3 π r sin θ, r ( cos θ) 3 π ( cos θ) 3 π I r sin θdrdθ 8 ( cos θ) 3 d( cos θ) 3 8 ] 3 ( ( cos θ) π 8 ) ( + ) Ληµνίσκος: ( + ) ( ) Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ r sin θ

17 . ιπλό Ολοκλήρωµα 5 r r(cos θ sin θ) r cos θ Για : ± A() A( ) A( ) A() cos θ rdrdθ tan θ θ π cos θdθ sin θ] π. 6) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I ( + + ) 3 dd όπου είναι το τετράγωνο : (, ) :, }. r

18 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα I I + I ( + + ) 3 dd + ( + + ) 3 dd I cos θ π : ( + cos θ r cos θ, θ π r sin θ, r cos θ ( + r ) 3 rdrdθ ) ] dθ d sin θ sin θ π arcsin sin θ ] π π arcsin + arcsin π π 6 π I π π sin θ ( + r ) 3 rdrdθ π ] sin θ dθ π ( + sin θ) + π + arcsin cos θ ] π Άρα π π π 6 π π I I + I π + π I π 6 ( + r ) ] cos θ dθ cos θ sin θ dθ ] ( + r ) d cos θ cos θ ] sin θ dθ 7) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I e ( + ) dd Είναι + Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ r sin θ

19 . ιπλό Ολοκλήρωµα 7 Άρα + r και θ π I e r rdrdθ e r ] dθ (e )dθ e π π( e ) 8) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα : I e dd Είναι +

20 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα Άρα I e dd e ( ) ( ) d e e ] (e8 ) ] d 9) Υπολογίστε το εµβαδόν του επιπέδου χωρίου που ϐρίσκεται στο ε- σωτερικό του Ληµνίσκου : ( + ) α( ) Εφαρµόζουµε τον πολικό µετασχηµατισµό : r cos θ r sin θ r α r cos θ r α cos θ Είναι α cos θ A() rdrdθ α cos θdθ α sin θ] π α. ) Να αποδείξετε ότι ισχύει : 3 e dd 3 e, όπου (, ) :, + }. Είναι + + e e e + e e e e e Είναι + e dd + dd + dd ( + )d + 3 ] + d ] 3

21 . ιπλό Ολοκλήρωµα 9 Και + e dd + e dd + e dd e ] + d e ( + )d ] e + 3 e 3 ηλαδή 3 e dd 3 e ) Να υπολογίσετε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα : I α α ( α ) 3 dd α Υπολογίζεται µε αλλαγή τάξης ολοκλήρωσης Αν απλό τότε υπολογίζεται δύσκολα. Αν απλό τότε : (, ) : α, α }.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ολοκληρώµατα I Είναι α α ( α ) 3 α dd α α ( α ) ] 3 α d ( α ) d (α + α )d α α 3 α 5 + α5 5 3 α5 8α5 5. ] α

Σχετικά έγγραφα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση