Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα"

Transcript

1 Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε το άθροισμα: Δ A =ΔΔ με κέντρο το n S = f(, ) ΔA n = Καθώς πυκνώνουμε το πλέγμα ώστε τα Δ, Δ να τείνουν στο, το παραπάνω άθροισμα τείνει σε όριο το οποίο καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε Οπότε ή και (, ) f ( da, ) Δ A = f dd n f ( da, ) = lim f(, ) ΔA Ιδιότητες Διπλών Ολοκληρωμάτων. Ισχύουν: f( da, ) = f( da, ) όπου ( f (, ) ± g (, )) da= f( da, ) ± gda (, )

2 f ( da, ) αν f(, ) στο f ( da, ) gda (, ) αν f(, ) g (, ) στο f (, ) da = f (, ) da + f (, ) da Διπλά Ολοκληρώματα για τον υπολογισμό του όγκου. z f (, ) (, ) n Όγκος = lim S = lim f(, ) Δ A = f(, ) da n ΔA = Θεώρημα Fubini. Έστω ότι η f ( είναι, ) συνεχής παντού σε ένα ορθογώνιο χωρίο Τότε Παράδειγμα: : a b, c d d b b d f (, ) da = f (, ) dd = f (, ) dd c a a c Υπολογισμός του όγκου της συνάρτησης :,. ( ) ( ) V = f (, ) da = 6 dd = d = f (, ) = 6στο χωρίο = = ( ) ( ) d ( ) d [ ] = 6d= 8 = 8 ( 8) = 4 κυβικές μονάδες V f (, ) da 6 dd = = = = d = = ( ) ( ) = = = 4 κυβικές μονάδες =

3 Διπλά Ολοκληρώματα σε ένα φραγμένο μη ορθογώνιο χωρίο. Έστω ότι η (, ) f είναι ορισμένη σε ένα φραγμένο μη ορθογώνιο χωρίο. Το οποίο διαμερίζουμε σε κυψελίδες το άθροισμα: Δ με κέντρο το (, ). Σχηματίζουμε A Sn = f(, ) ΔA d ΔA (, ) Δ c Δ a b Καθώς πυκνώνουμε τον αριθμό των κυψελίδων μικραίνοντάς τις, το παραπάνω άθροισμα τείνει σε όριο το οποίο καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε Οπότε ή και (, ) (, ) f da Δ A = f dd n f ( da, ) = lim f(, ) ΔA f (, ) da = f (, ) da + f (, ) da Θεώρημα Fubini. (ισχυρό) Έστω ότι η f ( είναι, ) συνεχής παντού σε ένα χωρίο

4 Αν το ορίζεται από τις σχέσεις a b, g ( ) g( ) και οι g( ), g() είναι συνεχείς στο [ ab, ] τότε g ( ) f ( da, ) = f( dd, ) a g( ) b Αν το ορίζεται από τις σχέσεις c d, h ( ) h( ) και οι h( ), h ( ) είναι συνεχείς στο [, ] cd τότε d h ( ) f ( da, ) = f( dd, ) c h ( ) Ο όγκος σε μη ορθογώνιο χωρίο. Το εμβαδό της διατομής g ( ) A ( ) = f (, ) d g( ) z g ( ) A ( ) = f (, ) d g( ) z = f(, ) a g ( ) b g ( ) Οπότε ο όγκος είναι V b = f (, ) da = A ( ) d a Το εμβαδό της διατομής h ( ) A( ) = f(, ) d h ( ) 4

5 z h ( ) A( ) = f(, ) d h ( ) z = f(, ) c d h ( ) h ( ) Οπότε ο όγκος είναι V d = f (, ) da = A ( ) d c Διαδικασία εύρεσης ορίων ολοκλήρωσης. Α. Για τον υπολογισμό του f ( da, ) σε χωρίο, με ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Βήμα : Σχεδιάζουμε το χωρίο και ονομάζουμε τις καμπύλες. + = + = Βήμα : Για να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης στον άξονα θεωρούμε κατακόρυφη ευθεία που τέμνει το χωρίο στην κατεύθυνσης αύξησης του. Σημειώνουμε τις τιμές του που αντιστοιχούν στα τυπικά σημεία εισόδου και εξόδου της ευθείας από το χωρία. Οι τιμές αυτές είναι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς και είναι συνήθως συναρτήσεις του. 5

6 + = Έξοδος = + = Είσοδος = Βήμα : Επιλέγουμε τα όρια ολοκλήρωσης ως προς που περιέχουν όλες τις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από το. + = Έξοδος = + = Είσοδος = Ελάχιστο = Μέγιστο = = = f ( da, ) = f( dd, ) = = Β. Για τον υπολογισμό του f ( da, ) σε χωρίο, με ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Η αντίστοιχη διαδικασία με παραπάνω όπου αντί για κατακόρυφες ευθείες χρησιμοποιούμε οριζόντιες. 6

7 Μέγιστο = + = Έξοδος = + = Είσοδος = Ελάχιστο = = = f ( da, ) = f( dd, ) = = Παράδειγμα: Υπολογισμός του όγκου πρίσματος του οποίου η βάση είναι το τριγωνικό χωρίο στο επίπεδο που φράσσεται από τον άξονα και από τις ευθείες = και = και του οποίου η πάνω πλευρά ανήκει στο επίπεδο z = f(, ) =. Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. = = Έξοδος = Είσοδος = Ελάχιστο = Μέγιστο = = V = ( ) dd = d = d = = = = = κυβική μονάδα = 7

8 Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. = = Μέγιστο = Έξοδος = Ελάχιστο = Είσοδος = = V = ( ) dd = d d = + + = 5 5 = 4 d κυβική μονάδα + = + = = = Παράδειγμα: sin Υπολογισμός του da σε χωρίο που φράσσεται από τον άξονα και από τις ευθείες = και =. = sin sin dd = d sin d cos.46 = = + = Όμως sin dd =? Όπου το sin d δεν υπολογίζεται με απλές παραγούσες συναρτήσεις. = Εμβαδά φραγμένων χωρίων στο επίπεδο. Το εμβαδόν κλειστού και φραγμένου χωρίου στο επίπεδο είναι A= da Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από τις καμπύλες = στο πρώτο τεταρτημόριο. = και ( ) τετραγωνικές μονάδες 6 [ ] A = da = dd = d = d = = 8

9 Έξοδος = (,) = Ελάχιστο = Είσοδος = Μέγιστο = Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από τις καμπύλες =. Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. = + και = = + (,4) = + (,) = + 8 ( ) 4 ( ) = A= da= dd= + d= + = = 8 = τετραγωνικές μονάδες Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. 9

10 = = (,4) = + (,) = = 4 ( ) = d + + d =... 4 A = da = da = da + da = dd + dd = Υπολογισμοί όγκων με διπλά Ολοκληρώματα. Όπως έχουμε δει όγκοι μπορούν να υπολογισθούν είτε με τη χρήση διπλών είτε με τη χρήση τριπλών ολοκληρωμάτων. Παράδειγμα: Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία μικρή πίστα για sateboard από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο που κείται (βρίσκεται) μεταξύ του κυλίνδρου z = και του επιπέδου, και φράσσεται από τα επίπεδα =,=,=-,=. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. Το σχήμα της πίστας είναι το ακόλουθο: z z = Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο:

11 = Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = = = = f (, ) da = dd = d = d = d = = = = = = μονάδες όγκου. Παράδειγμα: Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο του πρώτου οκτημόριου που φράσσεται από τα επίπεδα που ανα δύο ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, από το επίπεδο +z=, και από τον κύλινδρο =4-. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. = z + z= 4 = 4 Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο:

12 = 4 = 4 = = 4 Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το ( ) ( ) 4 = 4 = 4 = 4 = 4 4 f (, ) da = ( ) dd = d = 4 d = = = = = 4 4 = = 4 = μονάδες όγκου 4 Εναλλακτικά, ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς : = = 4 = = 4 = 4 (, ) = ( ) = ( ) = ( )[ ] f da dd dd d = = = = = = = = = ( )( 4 ) ( 8 4 ) ( 8 4 ) = = = = d = + d = + d = 4 6 = μονάδες όγκου 4 = + = Μέση τιμή συνάρτησης δύο μεταβλητών. Αν f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο τότε η μέση τιμή της συνάρτησης στο χωρίο ισούται όπου Α το εμβαδόν του χωρίου. f ( da, ) f( da, ) M = = A da Αν η f είναι η επιφανειακή πυκνότητα ενός λεπτού στρώματος που καλύπτει το χωρίο τότε το M είναι η μέση πυκνότητα του σώματος σε μονάδες μάζας ανά μονάδα εμβαδού. Αν f ( είναι, ) η απόσταση ενός σημείου (, ) από σταθερό σημείο P τότε η μέση τιμή της συνάρτησης είναι η μέση απόσταση των σημείων του από το P.

13 Παράδειγμα: Βρείτε τη μέση τιμή της συνάρτησης f (, ) = cosστο ορθογώνιο χωρίο : π, π A = da = dd = d =π π π π [ ] π = = = = = [ ] = = + = cos da cos dd sin d sin d cos π M f(, ) da f(, ) da = = = A da π Ροπές και κέντρα μάζας. Τρεις μάζες προσδένονται σε άκαμπτο άξονα που στηρίζεται σε υπομόχλιο τοποθετημένο στην αρχή των αξόνων m m m Κάθε μάζα m ασκεί μία δύναμη mg προς τα κάτω και η δύναμη αυτή έχει την τάση να στρέψει τον άξονα ως προς την αρχή. Αυτή η επίδραση ονομάζεται ροπή βαρύτητας και υπολογίζεται από το mg όπου η προσημασμένη απόσταση από την αρχή των αξόνων. Η ροπή βαρύτητας του συστήματος είναι ίση με gm Η ποσότητα M = m ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς την αρχή. Όταν το σύστημα ισορροπεί τότε η ροπή βαρύτητας του συστήματος ισούται με. Εάν η θέση ισορροπίας αυτή απέχει από την αρχή των αξόνων τότε από η σχέση m m m Εάν η θέση αυτή απέχει από την αρχή των αξόνων τότε από η σχέση όπου M m M mg ( ) = = = m M = m η μάζα του συστήματος.

14 Εάν θεωρήσουμε πεπερασμένο αριθμό μαζών στο επίπεδο. Τώρα θεωρούμε τις πρώτες ροπές μάζας ως προς τον κάθε άξονα. m (, ) M m = ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς τον άξονα M m = άξονα ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς τον Οι συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος είναι m = = m M M m M, = = m M = = Έχουμε ως ισορροπία ως προς την δοκό ισορροπίας = και τη δοκό ισορροπίας =. Και το σώμα συμπεριφέρεται σαν όλη η μάζα του να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του. Έστω ότι έχουμε να βρούμε το κέντρο μάζας ενός λεπτού επίπεδου στρώματος (π.χ. δίσκος από αλουμίνιο ή ατσάλινο πλακίδιο) με πυκνότητα δ (, ) (μάζα ανά μονάδα επιφανείας, επιφανειακή πυκνότητα). Κόβουμε το στρώμα σε λωρίδες παράλληλες με τον άξονα. Παίρνοντας όλο και στενότερες λωρίδες των οποίων το πλάτος τείνει στο μηδέν και τότε αντί για άθροισμα παίρνουμε διπλά ολοκληρώματα. 4

15 Λωρίδα μάζας Δm % Κέντρο μάζας λωρίδας Δm % Οπότε: Η μάζα του στρώματος είναι M δ ( da, ) = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι M δ (, ) da = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι M δ (, ) da = Οι συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος είναι M M =, = M M Παράδειγμα: Έστω λεπτό στρώμα καλύπτει την τριγωνική περιοχή που φράσσεται από τον άξονα και τις ευθείες = και = στο πρώτο τεταρτημόριο. Η πυκνότητα του στρώματος στο σημείο (, ) είναι δ (, ) = Βρείτε τη μάζα του στρώματος, τις πρώτες ροπές του ως προς τους άξονες συντεταγμένων και το κέντρο μάζας του. = = Έξοδος = Ελάχιστο = Η μάζα Είσοδος = Μέγιστο = 5

16 = = M = δ (, ) da = ( ) dd = d = = (4 + ) d= = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι = = δ (, ) = ( ) = + + = 4 (8 ) d 7 4 M da dd d= = + = + = Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι = = δ (, ) = 6 ) ( d = = 4 ( ) d M da d d= = + + = = Οι συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος είναι M M 5 = =, = =. M 7 M 4 Διπλά Ολοκληρώματα σε πολική μορφή. r = a θ = β ( r, θ) Δr Δr Δr Δθ ΔA α + Δθ α + Δθ θ = α = ( ) = g( θ ) r g θ r Πολική ημιευθεία: ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων. θ = π θ = Έστω ότι μία συνάρτηση f (, r θ ) είναι ορισμένη σε ένα χωρίο που φράσσεται από τις πολικές ημιευθείες θ=α και θ=β και από τις συνεχείς καμπύλες r =g (θ) και r =g (θ). Έστω ότι g( θ) g( θ) a για κάθε θ μεταξύ των α και β. Δημιουργούμε ένα πλέγμα κυκλικών τόξων και πολικών ημιευθειών όπως στο σχήμα. Έτσι δημιουργούνται στοιχειώδη χωρία (πολικά ορθογώνια) με κέντρα (r κ,θ κ ) και εμβαδά ΔΑ κ. Σχηματίζουμε το άθροισμα Sn = f( r, θ) ΔA 6

17 lim S f( r, θ ) da Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα Α η f είναι συνεχής παντού στο, το άθροισμα αυτό θα τείνει σε κάποιο όριο καθώς πυκνώνουμε το πλέγμα ώστε τα Δr και Δθ να τείνουν στο. Το όριο αυτό το καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε n n = Μια εκδοχή του θεωρήματος Fubini μας λέει ότι: θ= β θ r=g( ) f (, r θ ) da= f(, r θ ) drd θ θ= α θ r=g( ) Ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες πρώτα ως προς r και κατόπιν ως προς θ. Βήμα : Σχεδιάζουμε το χωρίο και ονομάζουμε τις συνοριακές του καμπύλες. + = 4 = (, ) Βήμα : Για να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης στον άξονα r θεωρούμε πολική ημιευθεία L που τέμνει το χωρίο στην κατεύθυνσης αύξησης του r. Σημειώνουμε τις τιμές του r που αντιστοιχούν στα τυπικά σημεία εισόδου και εξόδου της ευθείας από το χωρία. Οι τιμές αυτές είναι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς r και είναι συνήθως συναρτήσεις του θ. + = 4 rsin( θ ) = = = L Έξοδος r = Είσοδος r= /sin( θ) 7

18 Βήμα : Επιλέγουμε τα όρια ολοκλήρωσης ως προς θ βρίσκοντας την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή που παίρνει το θ εντός του. Μέγιστο θ = π / L + = 4 = = Ελάχιστο θ = π /4 θ= π / r= f (, r θ ) da= f(, r θ ) drd θ θ= π /4 r= /sin( θ) Εμβαδά φραγμένων χωρίων στο πολικό επίπεδο. Το εμβαδόν κλειστού και φραγμένου χωρίου στο πολικό επίπεδο είναι Παράδειγμα: A = rdr dθ Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τον λημνίσκο Μέγιστο θ = π / r = 4cosθ Έξοδος r = 4cosθ Είσοδος r = Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 4 φορές το εμβαδόν που περικλείεται στο πρώτο τεταρτημόριο. r= 4cosθ π /4 4cos θ π /4 r π /4 π /4 θ θ θ θ r= 4 A= 4 rdr d = 4 d = 4 cos d = 4sinθ = Μετατροπή καρτεσιανών ολοκληρωμάτων σε πολικά. Αν G είναι το χωρίο ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες και σε καρτεσιανές τότε: f (, ) dd = f ( r cos θ, r sin θ) r drdθ G 8

19 Παράδειγμα: Βρείτε το ολοκλήρωμα e + dd Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα όπου το ημικυκλικό χωρίο που φράσσεται από τον άξονα και από την καμπύλη =. r = θ = π θ = r, θ π π r π r π π + + e dd = e d d = e rdr dθ = e dθ = ( e ) dθ = ( e ) Σε καρτεσιανές συντεταγμένες δεν ήταν δυνατό να υπολογισθεί άμεσα το ολοκλήρωμα ενώ σε πολικές είναι άμεσο με στοιχειώδεις υπολογισμούς. Τριπλά Ολοκληρώματα. Τα τριπλά ολοκληρώματα μας χρησιμεύουν στον υπολογισμό όγκων τρισδιάστατων σχημάτων, μαζών και ροπών στερεών σωμάτων και μέσων τιμών συναρτήσεων τριών μεταβλητών. Οι ιδιότητές τους είναι ανάλογες με αυτές των διπλών ολοκληρωμάτων και η επιλογή των ορίων ολοκλήρωσης είναι μια διαδικασία ανάλογη η οποία όμως προϋποθέτει καλή γνώση και χειρισμό των επιφανειών στον χώρο. Έστω ότι η F(,, z) είναι ορισμένη σε ένα φραγμένο κλειστό χωρίο D του χώρου. Τότε ο όγκος του χωρίου είναι V = και η μέση τιμή της συνάρτησης σε αυτό M D dv F(,, z) dv F(,, z) dv D = = V D D dv 9

20 Παράδειγμα: Βρείτε τη μέση τιμή της F(,, z) = zστο κυβικό χωρίο που ανήκει στο πρώτο οκτημόριο και φράσσεται από τα επίπεδα που ορίζουν ανά δύο οι άξονες συντεταγμένων και από τα επίπεδα =, = και z=. z 8 V = dv = dddz = ddz = ddz = dz = 4 dz = D F(,, z) dv D M = = zdddz = zddz = zddz V z = zdz = zdz = 4 = = Αντίστοιχα, ορίζονται και τα ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες όπου για την μετατροπή των ολοκληρωμάτων χρησιμοποιούμε τις γνωστές σχέσεις: r = ρ sinϕ = rcosθ = ρsinϕcosθ z = ρ cosϕ = rsinθ = ρsinϕsinθ = z = z z = cos θ θ ρ ρ = + + z = r + z ϕ Και dv = dddz = dz r drdθ = ρ sin ϕ dρ dϕ dθ Αντικαταστάσεις σε πολλαπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι ένα χωρίο G του επιπέδου uv μετασχηματίζεται ένα προς ένα σε χωρίο του επιπέδου μέσω εξισώσεων της μορφής:

21 =g(u,v), =h(u,v) Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα Καλούμε το είδωλο του G. Κάθε συνάρτηση f(,) ορισμένη στο μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση f(g(u,v),h(u,v)) ορισμένη στο G. Av οι g,h και f έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους και η ποσότητα J(u,v) μηδενίζεται μόνο σε μεμονωμένα σημεία ή πουθενά τότε f (, ) dd = f ( g( u, v), h( u, v)) J ( u, v) dudv όπου J(u,v) ονομάζεται Ιακωβιανή (ορίζουσα) και ισούται με G u v Juv (, ) = = u v v u u v Παράδειγμα: Αν θεωρήσουμε τον μετασχηματισμό των πολικών συντεταγμένων στις καρτεσιανές = rcos θ, = rsinθ, τότε r θ cosθ r sinθ Juv (, ) = = = r(cos θ + sin θ) = r sinθ rcosθ r θ και εφόσον r είναι θετικό, έχουμε τον τύπο που είδαμε παραπάνω f (, ) dd = f ( r cos θ, r sin θ ) r drd θ = f ( r cos θ, r sin θ ) rdrdθ G G Παράδειγμα: Υπολογίστε το 4 /+ dd εφαρμόζοντας / το μετασχηματισμό u =, v= και ολοκληρώνοντας στο κατάλληλο χωρίο του επιπέδου uv. Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. Φανερά, =, v= u+ v. Οπότε αφού το 4τότε v. Επίσης u Εναλλακτικά από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα του G. = 4 v= = v= = v= ( u+ v) u = = v= ( u+ v) u =

22 = 4 = 4 v v = = u = u ( u+ v) ( u+ v) u v u v Juv (, ) = = = = ( v) ( v) u v u v Οπότε το ολοκλήρωμα ισούται + ( u v) v dd = + J ( u, v) dudv = u dudv = u dv dv = = 4 / / Παράδειγμα: Υπολογίστε το + ( ) dd Από τη μορφή του ολοκληρώματος οδηγούμαστε στο να εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό u = +, v= Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u v u = + = u Οπότε, v= u = και τελικά Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα του G. u v Από = + = v= u u v Από = = v= u u v u v Από = + = + u = u v = +

23 v v = u = = u = u = v = u u v u v ( ) ( ) u v u v Juv (, ) = = = = = u v u v 9 ( + ) ( + ) u v u v u ( ) ( ) + dd = u v J ( u, v) dvdu = u u 7 9 ( ) u v ( ) = u v dvdu = u du = u( u + 8 u ) du = u du = u u 9 Λυμένες Ασκήσεις:. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Λύση Παρατηρώ ότι το ολοκλήρωμα u e dd. = 9 e dδεν υπολογίζεται με τις γνωστές τεχνικές. Για αυτό θα αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. Όταν ολοκληρώνω πρώτα ως προς το χωρίο ολοκλήρωσης είναι D= {(, ), } = = Μέγιστο = Έξοδος = Ελάχιστο = Είσοδος =

24 Όταν ολοκληρώνω πρώτα ως προς το χωρίο ολοκλήρωσης είναι {(, ), } D= = = Έξοδος = Είσοδος = Ελάχιστο = Οπότε I = e dd = e dd = e d = e d = 9 ' e ( ) e d e d e = = = = Μέγιστο =. Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο του πρώτου οκτημόριου που φράσσεται από τα επίπεδα που ανα δύο ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, από το επίπεδο =-, και από την επιφάνεια z=cos(π/),. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. Λύση z π z = cos = 4

25 Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: = Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = π = π = = π f (, ) da = cos dd = cos dd = ( )cos d = = = = = = = = = ' = = π = π π π = cos d cos d = sin sin d π π = ' = = π π = (- ) sin d = sin d= π = π π π = π = ' π = sin ( ) sin d = π π = π = π sin = cos d= = = d π π = π π 4 π 4 π 4 = cos = cos cos() = μονάδες όγκου π π π ' '. Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο σφηνοειδούς σχήματος που αποκόπτουν από τον κύλινδρο + = τα επίπεδα z= και z=-. Λύση 5

26 z z = + = Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: = Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = = = = f (, ) da = dd = d = d = = = = = = = = + = μονάδες όγκου - 4. Υπολογίστε το όγκο αμμόλοφου του οποίου η βάση καλύπτει περιοχή του επιπέδου, και φράσσεται από την παραβολή + =6 και την ευθεία =. Το ύψος του αμμόλοφου πάνω από το σημείο (,) είναι. Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: 6

27 6 = = 6 6 Οι τετμημένες των σημείων τομής της ευθείας και της παραβολής βρίσκονται εύκολα λύνοντας την εξίσωση =- +6 και είναι - και. Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το = = 6 = = 6 = f (, ) da = dd = dd = ( 6 ) d = = = = = = = μονάδες όγκου = Σας ζητείται να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd στο χωρίο στο επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες =, =, =. Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει να θεωρήσετε το μετασχηματισμό u =, v= +. Ακολουθήστε τα ακόλουθα: Α) Σχεδιάστε το στο επίπεδο, Β) Λύστε ένα σύστημα για να βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv., Γ) Για κάθε ένα από τα σύνορα του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με την εφαρμογή του μετασχηματισμού. Δηλαδή, βρείτε την εικόνα του στο επίπεδο των uv, με την εφαρμογή του μετασχηματισμού. Δ) Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv,. Ε) Βρείτε την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού. ΣΤ) Τελικά με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. 7

28 u+ v Προσθέτω τις σχέσεις και έχω u+ v= =. Οπότε u+ v u+ v = u = u =. Η ιακωβιανή u v u v ( + ) ( + ) u v u v Juv (, ) = = = = + = u v u v 9 9 ( + ) ( + ) u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. u v Από = + = u+ v = u v u v Από = + = + u = Από u v u v = + = ( + ) v= Οπότε η περιοχή είναι η v (,) (,) u + v = (,) u v v Το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd = uv J ( u, v) dudv = uvdudv v 4 u v v v = (( ) ) v dv= v v dv v v v dv 6 = 6 + = = ( ) 9 = ( 54 + ) = ( 8 + ) = = = 6. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u =, v= Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς u,v. Βρ είτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Βρείτε και σχεδιάστε την εικόνα στο επίπεδο των uvτης, τριγωνικής περιοχής που περικλείεται από τις ευθείες + =, = και = /. Δηλαδή, από τα σύνορα της βρείτε τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd 5 5. Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. 8

29 = 5 u, + = v. Οπότε = 5uκαι + ( 5 u) = v 5= 5u+ v = u+ v και τελικά ( ) = u+ v 5u = u+ 4v. Η ιακωβιανή (u+ ) v (u+ ) v u v u v Juv (, ) = = = = = ( u+ 4 v) ( u+ 4 v) 4 u v u v Διπλά Τριπλά Ολοκληρώματα Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. v Από = / = u+ v= u+ v v= Από = u+ 4v= 6u+ 4v u = Από + = 9u+ 6v+ u+ 4v= u+ v= Οπότε η περιοχή είναι η v = u+ u Το ολοκλήρωμα u+ u+ ( )( + ) dd = uv J ( u, v ) dvdu uvdvdu 5 5 = = u 4 v u u u 4 = u du = 5 u( u) du = 5 u u + u du = = 5 + = 4 7. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u = +, v= + 4. Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv., Βρείτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Σας δίνεται η περιοχή επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες = /+, = /+, = /4 και = /4+. Βρείτε την εικόνα της στο επίπεδο των uv., Δηλαδή, για κάθε ένα από τα σύνορα των του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv., Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( + )( + 4 ) dd. = Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u v + 4 = v + = v. Οπότεu v= + = + και 9

30 u v u v = v 4 + =. 5 5 Η ιακωβιανή u v u v ( ) ( ) u v u v Juv (, ) = = = = = u v u v 5 5 ( + ) ( + ) u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Από Από Από Από u v = + ( u+ v) = + u = 5 5 u v = + ( u+ v) = + u = u v v = ( u+ v) = u+ v= u v 4 v+ = u v= u 7 u v v = + ( u+ v) = + u+ v= u v 4 v+ = u+ v= u v 6 u Οπότε η περιοχή είναι η Το ολοκλήρωμα ( + )( + 4 ) dd = uv J ( u, v) dvdu = uvdvdu u+ 6 u u 7 u 7 = 4 6 u v 4 4 = u du u u u d = + u = u = u u+ u u+ + u du = u u u du u u d = + + = u = = u u = 7 + = (6 8) (6 4) = 7 + 7

31 8. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u =, v= +. Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv,. Βρείτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Σας δίνεται η περιοχή επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες = + 4, = + 7, =, = +. Βρείτε την εικόνα της στο επίπεδο των uv,. Δηλαδή, για κάθε ένα από τα σύνορα των του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv,. Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( )( + ) dd. Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u+ v Προσθέτω τις σχέσεις και έχω u+ v= =. Οπότε u+ v u+ v = u = u =. Η ιακωβιανή u v u v ( + ) ( + ) u v u v Juv (, ) = = = = + = u v u v 9 9 ( + ) ( + ) u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Από Από Από Από u v u v = = v= 4 u v u v = = v= 7 u v u v = + = + u = u v u v = + + = + + u = Οπότε η περιοχή είναι η v 7 4 u Το ολοκλήρωμα 7 7 ( )( + ) dd = uv J ( u, v) dudv = uvdudv 4 4 =

32 7 7 7 u u = v dv vdv = = =. 4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Thomas Calculus th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW. Thomas Απειροστικός Λογισμός, Finne, Hass, Jiordano, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Copright των εκδόσεων αυτών.

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα 5. Διπλά Ολοκληρώματα σε ορθογώνιο χωρίο. 5.. Εισαγωγή Έστω ότι η f (, ) είναι ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d (, ) A c a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα

Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 4, 5 Διπλό ολοκλήρωμα Στο μαθήματα 4 και 5 ( //8, 6 //8 ), μιλήσαμε για το διπλό ολοκλήρωμα.

Διαβάστε περισσότερα

DIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA

DIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Kefˆlio 8 IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ. 8. iplˆ oloklhr mt 8.. iplì olokl rwm se orjog nio Ορίζουμε πρώτα το διπλό ολοκλήρωμα (double integrl), R[,b]X[,d] d f(, ) da R πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις. Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις. Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα

Διαβάστε περισσότερα

x 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5

x 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5 1 Επαναληπτικές Ασκήσεις 19-1-18 Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = x e + z dv όπου = [, ] [,] [,] Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος 3/4/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Έστω το ολοκλήρωμα: I da {(, ) :, } 3 ( + 3 ) Να εκφράσετε το ολοκλήρωμα σε νέες συντεταγμένες, οι οποίες ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στα Ολοκληρώματα, Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Πολλαπλά Ολοκηρώματα για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ, Τμήματος Χημείας Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : menos@cc.uoi.gr Μαρτίου. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n-

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1 Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα...................... i Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Δ Ι Π Λ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Α. Διλά ολοκληρώματα Θεωρούμε τη συνάρτηση z f, ου είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο Τ του ειέδου O. Υοθέτουμε ότι εμβαδόν του χωρίου Τ είναι ίσο με Α. ΔΑ i Διαμερίζουμε το χωρίο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος /4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κέντρο βάρους μάζας

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες

Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Στο μαθήμα 28 (3 /2/28), συνεχίσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V

x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V HY 111, Απειροστικός Λογισμός Εαρινό Εξάμηνο 011 01 Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 8 ο Φροντιστήριο (18/5/01) Τριπλά Ολοκληρώματα Συνοπτική Θεωρία Έστω ένα στερεό, το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Eo! Bookmak not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 7 Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Κεφάλαιο 7 Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα 7. Επικαμπύλια Ολοκληρώματα και εφαρμογές. 7.. Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα. Έστω ότι η βαθμωτή συνάρτηση f(,y,z) είναι ορισμένη πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Β. Αναπτύγματα σε σειρές Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z : a x b, a y b, a z b.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z : a x b, a y b, a z b. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 5.. Ορισμοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω x, y, z R = x,y,z : a x b, a y b, a z b. είναι μια διαμέριση του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη

Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Υποδείξεις - Συχνά Λάθη Διδάσκοντες: Δάλλα - Αλικάκος 6 Ιουλίου 204 Θέμα (α) Από την γνωστή ανισότητα a 2 + b 2 2 ab, όταν (x, y) (0, 0), τότε ισχύει: f(x, y) f(0, 0) x 2 y 2x

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2 η : Εισαγωγικές Ένvοιες Ι Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.. Ορισµοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 9: Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzgiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλέφωνο: 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)

Στην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος) Αν σε σύστημα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουμε Ν παρατηρήσεις και από αυτές στις Ν Α παρατηρήθηκε το γεγονός Α, τότε λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: P

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2 Για τυχόν παρατηρήσεις, απορίες ή λάθη που θα βρείτε, στείλτε μου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] είναι όριο? β) Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [, ] πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.

Διαβάστε περισσότερα

12 Πολλαπλά ολοκληρώματα

12 Πολλαπλά ολοκληρώματα Πολλαπλά ολοκληρώματα ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Tα προβλήματα που επιλύονται με την ολοκλήρωση συναρτήσεων δύο και τριών μεταβλητών αποτελούν γενικεύσεις παρόμοιων προβλημάτων που επιλύονται με την ολοκλήρωση συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017 Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος 9/8/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Να υπολογισθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: y y y y 3 (, ) 3 3 3 Πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4. Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4. Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Παραδείγματα από άλλες αλλαγές. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...23 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΥΘΕΙΕΣ...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...43 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΥΘΕΙΕΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΥΚΛΟΙ...4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Εισαγωγικές Ένvοιες ΙI Λουκάς Βλάχος Καθηγητής Αστροφυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 4. Ασκήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ.

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 4. Ασκήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 4 Ασκήσεις Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 32 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου

Ανασκόπηση-Μάθημα 32 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού πεδίου Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 3 Εύρεση Εμβαδού μέσω του Θεωρήματος Green- -Κυκλοφορία και εξερχόμενη ροή διανυσματικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών :

Διαβάστε περισσότερα

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ( ) 6e ) ( + ) ) 3) ( + ) 3 + + ( 5) 3 5 ) + 3 6) + 3 ( + ) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos sin ) cos ( 3) cos sin

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 9: Τριπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι. Για το 3ο εξάμηνο. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΡΟΣΟΧΗ : Nέα Ύλη για τις Κατατακτήριες από 2012 και μετά στην Φυσική Ι ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Ι - ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1. Κινηματική (ευθύγραμμη και καμπυλόγραμμη κίνηση) 2. Σχετική κίνηση-μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 19/05/2017 8:00 11:00

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα