Ο ΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕ ΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕ ΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούµε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους µαθητές.. Οι επιτηρητές των αιθουσών θα διανείµουν πρώτα κόλλες αναφοράς, στις οποίες οι µαθητές θα πρέπει απαραίτητα να γράψουν ΕΠΩΝΥΜΟ, ΟΝΟΜΑ, ΣΧΟΛΕΙΟ, ΤΑΞΗ, ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑΣ και ΤΗΛΕΦΩΝΟ, τα οποία θα ελεγχθούν σε αντιπαραβολή µε την ταυτότητα που θα έχουν οι εξεταζόµενοι, πριν καλυφθούν και µετά θα γίνει η υπαγόρευση ή διανοµή φωτοτυπιών των θεµάτων στους µαθητές. 3. Η εξέταση πρέπει να διαρκέσει ακριβώς τρεις (3) ώρες από τη στιγµή που θα γίνει η εκφώνηση των θεµάτων (9-1 περίπου). ε θα επιτρέπεται σε κανένα µαθητή ν' αποχωρήσει πριν παρέλθει µία ώρα από την έναρξη της εξέτασης. 4. Οι επιτηρητές των αιθουσών έχουν το δικαίωµα ν' ακυρώσουν τη συµµετοχή µαθητών, αν αποδειχθεί ότι αυτοί έχουν χρησιµοποιήσει αθέµιτα µέσα, σηµειώνοντας τούτο στις κόλλες των µαθητών. Η επιτροπή ιαγωνισµών της Ε.Μ.Ε. έχει δικαίωµα να επανεξετάσει µαθητή αν έχει λόγους να υποπτεύεται ότι το γραπτό του είναι αποτέλεσµα χρήσης αθέµιτου µέσου. 5. Υπολογιστές οποιουδήποτε τύπου απαγορεύονται. 6. Αµέσως µετά το πέρας της εξέτασης, οι κόλλες των µαθητών πρέπει να σφραγιστούν εντός φακέλου ή φακέλων, που θα έχουν την υπογραφή του υπεύθυνου του εξεταστικού κέντρου και ν' αποσταλούν στην Επιτροπή ιαγωνισµών της Ε.Μ.Ε., Πανεπιστηµίου 34, 106 79 Αθήνα, αφού πρώτα στα παραρτήµατα, εφόσον είναι εφικτό, γίνει µία πρώτη βαθµολόγηση, σύµφωνα µε το σχέδιο βαθµολόγησης της επιτροπής διαγωνισµών. 7. Τα αποτελέσµατα του διαγωνισµού θα σταλούν στους Προέδρους των Τοπικών Νοµαρχιακών Επιτροπών (ΤΝΕ) και τα Παραρτήµατα της Ε.Μ.Ε. και δεν προβλέπεται Αναβαθµολόγηση (διότι γίνεται εσωτερικά). 8. Η Εθνική Ολυµπιάδα Μαθηµατικών «ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ» θα γίνει στις 5 Φεβρουαρίου 006 στην Αθήνα. Από τους διαγωνισµούς αυτούς και επί πλέον από ένα τελικό διαγωνισµό στην Ε.Μ.Ε. και µια προφορική εξέταση µε προκαθορισµένη διαδικασία θα επιλεγεί η εθνική οµάδα, που θα συµµετάσχει στη 3 η Βαλκανική Μαθηµατική Ολυµπιάδα (Κύπρος, Μάιος 006), στην 10 η Βαλκανική Μαθηµατική Ολυµπιάδα Νέων (Μολδαβία, Ιούνιος 006) και στην 47η ιεθνή Μαθηµατική Ολυµπιάδα (Σλοβενία, Ιούλιος 006). 9. Με την ευκαιρία αυτή, το.σ. της Ε.Μ.Ε. ευχαριστεί όλους τους συναδέλφους που συµβάλλουν στην επιτυχία των Πανελληνίων Μαθητικών ιαγωνισµών της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας. Παρακαλούνται οι Πρόεδρου των ΤΝΕ να επιδώσουν σε κάθε συνάδελφο επιτηρητή ένα αντίγραφο της συνηµµένης ευχαριστήριας επιστολής, αφού πρώτα αναγράψουν το όνοµά του. ΓΙΑ ΤΟ.Σ. ΤΗΣ Ε.Μ.Ε. Ο Πρόεδρος Καθηγητής Θεόδωρος Εξαρχάκος Ο Γενικός Γραµµατέας Ιωάννης Τυρλής
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Οι αριθµοί α και β είναι ακέραιοι και ισχύει α + β = 1000. Είναι δυνατόν να ισχύει 3α + 5β = 3005; ικαιολογείστε την απάντησή σας.. Σε ένα δοχείο υπάρχουν 6 λευκά, 9 κίτρινα, 1 κόκκινα και 15 πράσινα σφαιρίδια. Να προσδιορισθεί ο ελάχιστος αριθµός σφαιριδίων που πρέπει να πάρουµε τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλισθεί η παρουσία στο δείγµα τουλάχιστον Α) 3 λευκών Β) 5 κίτρινων Γ) 6 κόκκινων ) 10 πράσινων σφαιριδίων (τέσσερα διαφορετικά ερωτήµατα). 3. έκα σηµεία είναι τοποθετηµένα σε σχήµα ισοπλεύρου τριγώνου όπως στο σχήµα Να διαγραφεί ο ελάχιστος αριθµός σηµείων έτσι ώστε τα υπόλοιπα να µη σχηµατίζουν κανένα ισόπλευρο τρίγωνο. 4. Ποιος από τους αριθµούς A = (1 + + +... + ) 1 1 1 1 99 3 99 και 1 1 1 1 = + + + + 100 3 100 είναι µεγαλύτερος και γιατί; B (1... ) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να λυθεί η εξίσωση x + x + 3x + + 100x = 5 3 101.. Ποιο από τα κλάσµατα και κ = λ = 33333333331 33333333334 1 3 είναι µεγαλύτερο και γιατί; 3. ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ, όπου Α = α, ΒΓ = β, ΑΒ = α + β και η πλευρά ΑΒ είναι κάθετος προς τις πλευρές ΒΓ και Α. Να υπολογισθεί η απόσταση της κορυφής Α από το µέσο της πλευράς Γ συναρτήσει των α και β. 4. Αν οι αριθµοί α, β, γ, δ και ε είναι διαφορετικοί και καθένας παίρνει µια από τις τιµές 1,, 3, 4 και 5, είναι δυνατόν να έχουµε τη σχέση (α + β)(β + γ)(γ + δ)(δ + ε)(ε + α)=(α +γ)(γ + ε)(ε +β)(β +δ)(δ + α); ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι οι ακέραιοι αριθµοί α και α + είναι πρώτοι µε α > 3. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α + 4 είναι σύνθετος.. Οι αριθµοί α και β είναι θετικοί και ισχύει α + β = λ. Να δεχθεί ότι 4 1 + 1 < 3. 3λ α+ λ β+ λ λ 3. Έστω ΑΒΓ ένα σκαληνό τρίγωνο. Πόσα σηµεία υπάρχουν στο επίπεδο του τριγώνου τέτοια ώστε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ, να έχει άξονα συµµετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου; 4. Έστω Α και Β δύο µη κενά και ξένα µεταξύ τους σύνολα των οποίων η ένωση είναι το σύνολο {1,, 3, 4, 5}. Να αποδειχθεί ότι ένα τουλάχιστον από τα Α και Β περιέχει τουλάχιστον τη διαφορά δύο στοιχείων του. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Υπάρχει θετικός ακέραιος ν τέτοιος ώστε: Α) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη και ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη; Β) Ο 3ν είναι τέλειος κύβος, ο 4ν τέλεια τέταρτη δύναµη, ο 5ν τέλεια πέµπτη δύναµη και ο 6ν τέλεια έκτη δύναµη;. Να βρεθούν πραγµατικοί αριθµοί x, y, z, w για τους οποίους ισχύει x y + y z + z w + x + w = x +. 3. Οι κορυφές Α, Β, Γ,, Ε µιας τεθλασµένης γραµµής βρίσκονται πάνω σε ένα κύκλο όπως στο σχήµα και οι γωνίες ΑΒΓ, ΒΓ, Γ Ε έχουν µέτρο 45 0. Να αποδειχτεί ότι ΑΒ + Γ = ΒΓ + Ε. 4. Μια πραγµατική συνάρτηση f είναι ορισµένη στο R και για κάθε x R ισχύει Να δεχθεί ότι για κάθε x f(x + 1)f(x) + f(x + 1) + 1 = f(x). R ισχύουν: 1) f(x) 1, ) f(x) 0, 3) f(x + 4) = f(x). ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
1. Για µια συνάρτηση f:r R ισχύει για κάθε x R. Α) Να βρεθεί το f(1). Β) Να εξετασθεί αν η συνάρτηση είναι 1-1.. Έστω α, β θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε Να αποδειχθεί ότι Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 f(f(x)) = x x + 3x 1, 3 g(x) = x + x f(x) xf (x) + 3 α < 5. β α 1 5 >. β 4αβ 3. Έστω ΑΒΓ κυρτό τετράπλευρο τέτοιο ώστε Α = ΒΓ, Α µη παράλληλη προς τη ΒΓ και Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων ΑΓ και Β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σηµείο Ρ διάφορο του Ο τέτοιο ώστε ο λόγος των εµβαδών των τριγώνων ΡΒ και ΡΑΓ να ισούται µε το τετράγωνο του λόγου των πλευρών ΡΒ και ΡΑ αντίστοιχα. 4. Έστω ν > κ και έστω ότι οι ακέραιοι αριθµοί α 1, α,, α ν αφήνουν διαφορετικά υπόλοιπα όταν διαιρεθούν δια του κ. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο αριθµό λ υπάρχουν δείκτες i, j από το σύνολο {1,,, ν} τέτοιοι ώστε κ α i + α j λ. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Αδύνατο (άρτια περιττά).. Α) 3 + 9 + 1 + 15 = 39, Β) 5 + 6 + 1 + 15 = 38, Γ) 6 + 6 + 9 + 15 = 36, ) 10 + 6 + 9 + 1 = 37. 3. ιαγραφή πρώτης σειράς (1 σφαιρίδιο), του µεσαίου της τρίτης σειράς και των δύο µεσαίων της τέταρτης σειράς. 4. Έστω Τότε Γ = 1 + + +... + 1 1 1 3 99 Α = Γ/99, και Β = Γ/100 + 1/10000 Α Β = (Γ 1)/9900 + 1/990000 > 0. 1
Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. x = 10. Έστω α = 33333333334 και β = 3. Τότε κ = 1 3/α και λ = 1 /β και κ λ = /β 3/α = (α 3β)/αβ = - 1/αβ. Άρα κ < λ. 3. (α + β)/. 4. Αν ήταν δυνατόν, τότε ο αριθµός (α + β)(β + γ)(γ + δ)(δ + ε)(ε + α)(α +γ)(γ + ε)(ε +β)(β +δ)(δ + α) θα ήταν τέλειο τετράγωνο. Λόγω συµµετρίας µπορούµε να υποθέσουµε ότι α = 1, β =, γ = 3, δ = 4, ε = 5, οπότε το γινόµενο αυτό παίρνει την τιµή 7 3 5 5 7 που δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ένας από τους αριθµούς α, α +1, α + διαιρείται µε τον 3 και αυτός πρέπει να είναι ο α + 1. Άρα ο αριθµός α + 4 = α + 1 + 3 διαιρείται µε τον 3.. Έχουµε 1 1 3λ + =. α+ λ β+ λ αβ+ λ Η πρώτη ανισότητα είναι ισοδύναµη µε 4αβ (α+ β), και η δεύτερη µε 3αβ > 0. 3. Το πρέπει να είναι συµµετρικό κορυφής του τριγώνου ως προς τη µεσοκάθετο της απέναντι πλευράς. Άρα υπάρχουν 3 τέτοια σηµεία. 4. Έστω ότι κανένα από τα δύο σύνολα δεν περιέχει τη διαφορά δύο στοιχείων του. Τότε προφανώς το δεν µπορεί να ανήκει στο ίδιο σύνολο µε το 1 ούτε µε το 4 γιατί 1 = 1 και 4 =. Έστω λοιπόν Α, οπότε 1 Β και 4 Β. Επειδή 4 1 = 3, έπεται ότι 3 Β και εποµένως 3 Α. Επειδή 5 = 3, έπεται ότι 5 Α και επειδή 5 1 = 4, έπεται 5 Β. Άτοπο επειδή Α Β = {1,, 3, 4, 5}. 3
Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Α) Ναι, π.χ. ν = 30 3 30 5 4. Β) Όχι., διότι, αν υπήρχε, τότε ν. Έστω α ο µεγαλύτερος εκθέτης τέτοιος ώστε α ν. Τότε 4 α + (λόγω του ότι ο 4ν είναι τέλεια τετάρτη δύναµη) και α + 1 (λόγω του ότι ο 6ν είναι τέλεια έκτη δύναµη) και άρα 1, δηλ. άτοπο.. Η σχέση είναι ισοδύναµη µε ( x y 1) + ( y z 1) + ( z w 1) + ( x + w 1) = 0 και άρα x =, y = 1, z = 0, w = -1. 3. Προφανώς ΑΒ Γ και ΒΓ Ε και άρα ΑΓ = Β = ΕΓ. Επίσης έχουµε ΒΓ = Α, Γ = ΒΕ και <ΑΒΕ = <Α Ε = 90 0. Άρα ΑΒ + Γ = ΑΒ + Γ = ΑΕ = Α + Ε = ΒΓ + Ε. 4. 1) Αν f(a) = -1, τότε = 0. ) Aν f(β) = 0, τότε f(β + 1) = -1. Άτοπο λόγω 1). 3) Έχουµε f(x + 1) = (f(x) 1)/(f(x) + 1), f(x + ) = -1/f(x) και εποµένως f(x + 4) = -1/f(x + ) = f(x). 4
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ισχύει f(f(1)) = 1 και εποµένως f(1) = f(f(f(1))) =(f(1)) 3 (f(1)) + 3f(1) 1. Λύνοντας ως προς f(1) έχουµε f(1) = 1. Επίσης, g(0) = g(1) = 3.. Έχουµε 5 α / β = ( β 5 a ) / β = (5β a ) / β ( β 5 + a) 1/ β ( β 5 + a) > 1/ 4αβ αν 3α > β 5. Αν 3α < β 5, τότε 5 α / β > 5 5 / 3 = 5 / 3 > 1 > 1/ 4αβ. 3. Θεωρούµε τους περιγεγραµµένους Κ 1 και Κ στα τρίγωνα ΟΑ και ΟΒΓ µε διαφορετικά σηµεία τοµής Ο και Ρ λογω του ότι η πλευρά Α δεν είναι παράλληλη προς την πλευρά ΒΓ. Λόγω του ότι οι γωνίες ΑΟ και ΒΟΓ είναι ίσες ως κατά κορυφήν καθώς και οι πλευρές Α, ΒΓ από την υπόθεση, οι κύκλοι Κ 1 και Κ είναι ίσοι και τα τρίγωνα ΡΒ, ΡΑΓ όµοια. 4. Οι αριθµοί λ α 1, λ α,, λ α ν αφήνουν διαφορετικά υπόλοιπα όταν διαιρεθούν δια του κ. Ο µέγιστος αριθµός αυτών των υπολοίπων είναι κ. Επειδή ν > κ, δύο από τους ν αριθµούς α 1, α,, α ν, λ α 1, λ α,, λ α ν θα αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν δια του κ και δεν µπορούν να ανήκουν στο ίδιο σύνολο {λ α 1, λ α,, λ α ν } ή {α 1, α,, α ν }, δηλ. ο ένας θα είναι κάποιος α i και ο άλλος κάποιος λ - α j. Η διαφορά τους διαιρείται µε τον κ. 5