1 ο ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Ερευνητική εργασία. Εφαρμογές του «Φ» 1 ο τετράμηνο

1 ο ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Ερευνητική εργασία Εφαρμογές του «Φ» 1 ο τετράμηνο 2012-13 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΟΡΟΝΤΖΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΕ03

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Ιστορική αναδρομή 2. Αλγεβρικές ιδιότητες 3. Γεωμετρικές Ιδιότητες 4. Αρχιτεκτονική 5. Γλυπτική-Διακοσμητική 6. Ζωγραφική 7. Ελληνική Γλώσσα 8. Μουσική 9. Ιατρική 10. Ανθρώπινο Σώμα 11. Φυτά-Ζώα 12. Σύμπαν-Φυσικά φαινόμενα

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ Ο χρυσός αριθμός φ ανιχνεύτηκε για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες οι οποίοι παρατήρησαν ότι όλα πάνω στη γη από τα φυτά μέχρι και τον ίδιο τον άνθρωπο αναπτύσσονται βάση μιας αναλογίας. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ Η πρώτη αναφορά στον αριθμό φ έγινε από τον Ευκλείδη γύρω στο 300πχ.Επισης με την διατύπωση του αριθμού φ ασχολήθηκε και ο Πυθαγόρας, ο οποίος διατύπωσε το μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας 2 ευθύγραμμα τμήματα.μια ακόμα αναφορά στη χρήση του αριθμού έγινε από τον Λεονάρντο ντα Βίντσι, ο οποίος είχε παθιαστεί με την αναζήτηση μοτίβων που συνέδεαν την ανατομία και την αρχιτεκτονική, με την αρμονία της μουσικής ακόμη και με την ιδία την φύση.το 1202 ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι ανακάλυψε την ακολουθία των αριθμών Φιμπονάτσι η οποία είναι 1,2,3,5,8,13,21,34,55. Σύμφωνα με την οποία αν διαιρέσουμε 2 διαδοχικούς αριθμούς έχουμε πάντα το ίδιο αποτέλεσμα αριθμό φ=1.618 Τέλος ο Πλατών ερεύνησε την έννοια της ιδέας και διατύπωσε την θεωρία των ιδεών. Η ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ Το 15 ο αιώνα ο μοναχός Λουκά Πατσιολη επηρεασμένος από τις τότε θρησκευτικές αντιλήψεις ότι κάθε επιστημονική γνώση έπρεπε να ενταχθεί στο εκκλησιαστικό δόγμα, τον ονόμασε Θεία Αναλογία. Έπειτα ο Λεονάρντο ντα Βίτσι του επέδωσε την ονομασία Χρυσός Αριθμός. Αιώνες αργότερα Αμερικάνος μαθηματικός Μαρκ Μπαρ του έδωσε την ονομασία Φ προς τιμήν του γλύπτη Φειδία. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΚΑΙ Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Η ελληνική γλωσσά έχει 27 γράμματα εκ των οποίων τα 24 είναι τα γνωστά και τα χρησιμοποιούμε ως και σήμερα. Τα άλλα 3 δε χρησιμοποιούνται στο σύγχρονο ελληνικό αλφάβητο. Αν προσθέσουμε το σύνολο των 27 γραμμάτων θα έχουμε στο λεξαριθμητικο σύστημα: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+20+30+40+50+60+70+80+90+100+200+300+400+500+ 600+700+800+900=4995.Αν προσθέσουμε τα ψηφία του αποτελέσματος 4995 θα έχουμε 4+9+9+5=27 όσο και οι αριθμοί του αρχαίου ελληνικού αλφαβήτου. Έπειτα πολλαπλασιάζουμε τα στοιχειά του αρχικού αποτελέσματος:4*9*9*5=1620.όμως 1620=1000 φ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ Επίσης παρατηρείται ότι ο αριθμός φ χρησιμοποιείται σε διάφορες επιστήμες όπως : τα μαθηματικά, στις καλές τέχνες για παράδειγμα την αρχιτεκτονική, τη μουσική και

άλλα.. Επιπλέον, παρατηρούμε εφαρμογή του αριθμός φ στη φύση, στα ζώα και τέλος στον άνθρωπο. Οι αλγεβρικές ιδιότητες του Φ Πρώτη ιδιότητα 1)Από την χρυσή τομή έχουμε ότι ο Φ ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών α, β όταν ισχύει ότι 2)Αν από την ισότητα, προσπαθήσουμε να λύσουμε ως προς τότε προκύπτει 1 (1) Από την (1) προκύπτει η εξίσωση 2 (1) 1 0 Άρα ο αριθμός φ είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης 2 1 2 1 Παρατηρούμε ότι το 1 1.Άρα το φ ισαπέχει από τα σημεία και κατά 1 δηλαδή όταν το φ αυξηθεί κατά 1 βρίσκουμε το τετράγωνο του,ενώ αν το μειώσουμε κατά 1 βρίσκουμε τον αντίστροφο του. Δεύτερη ιδιότητα

Αν προσπαθήσουμε να βρούμε την τιμή της αόριστης ακολουθίας των τετραγωνικών ριζών Α=... 1)μπορούμε να συνεχίσουμε να βρίσκουμε τιμές προσθέτοντας διαδοχικές ρίζες και ας βρούμε τις διαδοχικές αξίες των δεκαδικών που προσεγγίζουν τον Α 1 1,4142 1 1,5538 1 1,6180 Παρατηρούμε ότι όσο συνεχίζεται αυτή η ακολουθία το αποτέλεσμα της πλησιάζει τον αριθμό φ Αν προσπαθήσουμε να το επιβεβαιώσουμε θα πρέπει να κάνουμε το εξής Ανεβάζουμε την Α=... στο τετράγωνο 2 2... A A 1 0 Που είναι η ίδια εξίσωση που προσδιορίζει τον αριθμό φ. Αρα... Τρίτη ιδιότητα

1 1 1 Από την εξίσωση +... 1 1 1 1... Κατά συνέπεια έχουμε βρει δυο νέες παραστάσεις για τον φ Τέταρτη ιδιότητα Ακολουθία Φιμπονατσι Κάθε όρος είναι το άθροισμα των δυο όρων που προηγούνται.με αυτόν τον τρόπο προκύπτει η ακολουθία : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 51422 Παρατηρούμε ότι αν πάρουμε δυο διαδοχικούς αριθμούς από αυτούς και διαιρέσουμε το μικρότερο από τον μεγαλύτερο, βλέπουμε ότι όσο πιο μεγάλοι είναι οι αριθμοί αυτοί τόσο πιο κοντά βρίσκεται το πηλίκο στον αριθμό φ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ Μια τόσο ιδιόμορφη ακολουθία όπως αυτή του Φιμπονάτσι εκδηλώνεται με πολλούς και διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, μπορούμε να παρατηρήσουμε πως οι όροι α της ακολουθίας Φιμπονάτσι που είναι πρώτοι μπορούν να καταλάβουν μόνο θέσεις n που ανήκουν σε πρώτους αριθμούς, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει. Για παράδειγμα. ο όρος n=19 ( θέση πρώτου αριθμού ), είναι α = 4.181 = 37*113 (άρα δεν είναι πρώτος αριθμός ) ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΤΟΥ ΠΑΣΚΑΛ

Το τρίγωνο του Πασκάλ δημιουργείται ως εξής : Η πρώτη σειρά είναι μονάδες και στην συνέχεια κάθε σειρά έχει έναν αριθμό περισσότερο από την προηγούμενη για καθένα από τα στοιχεία της είναι ίσα με το άθροισμα των δύο όρων που βρίσκονται ακριβώς από πάνω της, στην προηγούμενη σειρά. Ο ίδιος ο ορισμός δηλώνει την σχέση του με την ακολουθία Φιμπονάτσι, που προσδιορίζεται κατά παρόμοιο τρόπο: Το άθροισμα των διαγώνιων μας δίνει τους ορούς της ακολουθίας Φιμποντσι OI ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ Υπέροχοι και μυστήριοι χαρακτηρίζονται αυτοί οι αριθμοί και απαντώνται παντού και σε διάφορες επιστήμες. Εκπληκτικός όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται στη φύση. Είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Τους συναντάς παντού, στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού, στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο άνθος της αγκινάρα, σε ένα κουκουνάρι ή στο φλοιό ενός ανανά. Ισχύουν για την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός κόκκου σιταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμη και για όλη την ανθρωπότητα. Ένα άλλο παράδειγμα είναι το ίδιο το ανθρώπινο χέρι : κάθε άνθρωπος έχει 2 χέρια,καθένα από τα οποία έχει 5 δάχτυλα, κάθε δάχτυλο αποτελείτε από 2 αρθρώσεις. Όλοι αυτοί οι αριθμοί ανήκουν στην ακολουθία Φιμπονατσι.!

Μπορούμε να μετρήσουμε στις μαργαρίτες 13, 21, 34, 55, ή και 89 πέταλα. Οι κοινές μαργαρίτες του αγρού έχουν συνήθως 34 πέταλα γεγονός που σίγουρα επηρεάζει το αποτέλεσμα του παιχνιδιού «μ αγαπά δεν μ αγαπά». Ο κρίνος έχει τρία πέταλα, η νεραγκούλα έχει πέντε, κ.λ.π.

Γεωμετρικές ιδιότητες του Φ Έστω τμήμα ΑΒ. Τέμνοντας το σε δυο μέρη τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους στο σημείο Γ δημιουργούνται δυο ευθύγραμμα τμήματα. Έστω ότι ΑΓ μεγαλύτερο του AB ΒΓ, τότε Το σημείο τομής Γ δίνει την χρυσή αναλογία γιατί ο λόγος των A και δίνει αποτέλεσμα 1,618 που είναι ο χρυσός αριθμός Φ. Διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο (κλασική μέθοδος με την εσωτερική διαίρεση, η οποία είναι δημοφιλής λόγο της απλότητας της) 1. Κατασκευάζουμε στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο σημείο Β κάθετα το μισό μήκος του ΑΒ με το τελικό σημείο Γ. 2. Ο κύκλος γύρω από το σημείο Γ ακτίνας ΓΒ κόβει την σύνδεση ΑΓ στο σημείο Δ. 3. Ο κύκλος γύρο από το σημείο Α με ακτίνα ΑΔ χωρίζει το τμήμα ΑΒ σε αναλογία χρυσής τομής. Εσωτερική διαίρεση του Ευκλείδη o o κατασκευάζουμε για το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο σημείο Α μια κάθετη γραμμή με το μισό μήκος του ΑΒ και τελικό σημείο Γ. Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Γ και ακτίνα ΓΒ τέμνει την προέκταση του ΑΓ στο σημείο Δ..

o ο κύκλος με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα ΑΔ χωρίζει το τμήμα ΑΒ σε αναλογία χρυσής τομής Κατασκευή σύμφωνα με τον αυστριακό καλλιτέχνη Κurt Hopsteller o o o μειώνουμε κατά μισό το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο Μ με ακτίνα ΑΒ και έτσι κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με την γωνία Γ κάτω από την πλευρά ΑΒ. Κατασκευάζουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο (με πλευρά μήκους ΑΒ) ΜΒΔ πάνω από τη γραμμή βάσης ΜΒ. Το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ διαιρεί το τμήμα ΑΒ σε αναλογία Χρυσής τομής.

ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Κλασική μέθοδος με εξωτερική διαίρεση 1. Κατασκευάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑS μια κάθετη στο σημείο S μήκους ΑS με τελικό σημείο C. 2. Κατασκευάζουμε το σημείο Μ (μέσο) στο τμήμα ΑS. 3. Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Μ και ακτίνα το τμήμα ΜΓ τέμνει την προέκταση της ΑS στο σημείο Β. Το σημείο S διαιρεί το τμήμα ΑΒ σε αναλογία χρυσής τομής. Κατασκευή σύμφωνα με τον Αμερικάνο καλλιτέχνη George Odom. 1. κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο 2. Κατασκευάζουμε έναν κύκλο που διέρχεται από κάθε κορυφή του τριγώνου. 3. Διχοτομούμε δυο πλευρές του τριγώνου στα σημεία Α και Σ. 4. Η επέκταση της ΑΣ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Β. Το σημείο Σ διαιρεί της ΑΒ σε αναλογία χρυσής τομής. ΤΟ ΧΡΥΣΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

Χρυσό ονομάζεται το ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης του πλευράς προς την μικρή είναι ίσο με το λόγο της μικρής προς τη διαφορά των πλευρών. Το χρυσό ορθογώνιο έχει λόγο πλευρών του ίσο με Φ,α/β = Φ.Αν του αποκόψουμε ένα τετράγωνο με πλευρά β, το ορθογώνιο με πλευρές β, γ που θα απομείνει θα είναι και πάλι χρυσό, δηλαδή β/γ = Φ και αυτό θα συνεχιστεί επ απείρων. Η ΧΡΥΣΗ ΣΠΕΙΡΑ Κάθε χρυσή σπείρα βασίζεται σε διαδοχικά χρυσά ορθογώνια που το ένα περιέχεται μέσα σε άλλο. Αν σε καθένα από τα τετράγωνα που αφαιρούμε, σχεδιάσουμε τεταρτημόριο περιφέρειας με ακτίνα την πλευρά του τετραγώνου και κέντρο την κορυφή του καθενός από αυτά και συνεχίσουμε επ απείρων προκύπτει η χρυσή ή λογαριθμική σπείρα. ΠΕΝΤΑΛΦΑ

Η πεντάλφα ήταν ένα μυστικό σύμβολο των Πυθαγορείων στο οποίο εμφανίζεται ο χρυσός αριθμός Φ ως εξής : ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΠΕΝΤΑΓΩΝΟ Αν θεωρήσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο στο οποίο έχουν σχεδιαστεί διαγώνιοι.

Ας θεωρήσουμε τρίγωνο BED ένα έκτων τριών τύπων ισοσκελών που εμφανίζονται στο σχήμα. Οι ίσες πλευρές ΒΕ=ΒΔ είναι το μέτρο e της διαγωνίου του πεντάγωνου (που ισούνται με την πλευρά του πενταγώνου αστεριού ή πεντάλφα).επίσης η πλευρά ΕΔ είναι η πλευρά ρ του πεντάγωνου,που παίρνουμε ως μονάδα. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι εκπληρώνεται η σχέση που είναι η χρυσή. Δηλαδή το τρίγωνο Φτιάχνοντας τη διχοτόμο της γωνιάς D,προκύπτει το τρίγωνο DEF.Το τρίγωνο αυτό έχει τις ίδιες γωνίες με το αρχικό ΒΕD κατά την συνέπεια είναι όμοια. EB ED Ακολου8ως έχουμε : (1) ED EF 1 EB 1 Επειδή ED FD EB 1 και αντικαθιστώντας στο(1) έχουμε: EF 1 EB 1 2 1 2 1 0 EB Έτσι Κατορθώνουμε να αποδείξουμε αυτό που επιδιώξαμε :πως η σχέση ανάμεσα στη διαγώνιο και στην πλευρά του κανονικοί είναι το φ. ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΔΕΚΑΓΩΝΟ

Αν στο δεκάγωνο σχεδιάσουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο που η βάση να είναι η πλευρά ΑΒ και κορυφή η Ο. δημιουργείται με μία πλευρά (L)=AB του δεκάγωνου και δύο ακτίνες (R) στα άκρα της είναι ισοσκελές με γωνία κορυφής 36 0., οπότε οι δύο άλλες γωνίες του είναι 72 0. Φέρνοντας τη διχοτόμο της ΟΑΒ είδε η γωνία ΟΑΔ θα είναι 36 0 και η ΑΔΒ= 72 0 άρα τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΔΑΒ θα είναι όμοια και ισχύει ΟΑ/ΑΒ = ΑΔ/ΔΒ Αλλά ΟΑ =R ΟΔ=ΑΔ=ΑΒ=L και ΔΒ= R-L, οπότε R L L R R L 2 RL L 2 0 L( R = 2 5) ( Η ακτίνα του κύκλου είναι 2 5) φορές μεγαλύτερη από την πλευρά του κανονικού Εφαρμογή του φ στην αρχιτεκτονική Ο χρυσός αριθμός θεωρείται ως θεϊκή αναλογία όπου η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα και κατασκευές οδηγούσε σε άριστα και ωραία αποτελέσματα. Πυραμίδες Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στην τέχνη. Χρησιμοποίησαν την αναλογία της Χρυσής Τομής στο κτίσιμο των πυραμίδων. Όταν οι βασικές σχέσεις του φ χρησιμοποιούνται για να δημιουργήσουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο (από τη βάση της πυραμίδας μέχρι την κορυφή) διαμορφώνονται οι διαστάσεις των Μεγάλων

πυραμίδων της Αιγύπτου (π.χ. Η πυραμίδα του Χέοπα). Η αναλογία της διαγωνίου της πυραμίδας (υποτείνουσα του τριγώνου προς την απόσταση από το κέντρο του εδάφους (το μισό μέγεθος της βάσης) ισούται με 1,61804... ο οποίος αριθμός διαφέρει από το φ μόνο κατά 0,00003. Παρθενώνας Οι αρχαίοι Έλληνες αρχιτέκτονες φαίνεται πως γνώριζαν τις διάφορες αναλογίες που τείνουν να ισούνται με φ. Έτσι λοιπόν, η βάση και το ύψος του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη χρυσή τομή. Ο Παρθενώνας γι αυτούς του λόγους είναι γνωστός ως τέλειο κτίριο. Σε κάθε μέρος του ναού επικρατούσε ένα σύστημα αναλογίας σύμφωνα με τον κανόνα του Πολυγνώτου* και όλες οι διαστάσεις είχαν μια δεδομένη σχέση με τη διάμετρο του κίονα. Επιπρόσθετα, η χρυσή τομή φ δηλώνει την αναλογία που ισούται περίπου με 1: 1,618. Επειδή ακριβώς τα χρυσά ορθογώνια είναι όμοια μεταξύ τους, πάντα ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή πλευρά, θα είναι ο αριθμός ( 5 + 1 /2) που διεθνώς συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ, το αρχικό του ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα. Κανόνας του Πολυγνώτου *

Σε κάθε μέρος του Παρθενώνα επικρατούσε ένα σύστημα αναλογίας σύμφωνα με τον κανόνα του Πολυγνώτου και όλες οι διαστάσεις είχαν μια δεδομένη σχέση με την διάμετρο του κίονα. Κάθε κίονας είχε ελάχιστα μεγαλύτερη διάμετρο από τη βάση μέχρι τη μέση, λέπταινε προς την κορυφή και έκλινε προς το κέντρο της κιονοστοιχίας στην οποία ανήκε. Έτσι οι κίονες του Παρθενώνα δεν είναι κάθετοι, αλλά αν προεκταθούν νοητά προς τα επάνω, συναντούνται στα 1852 μέτρα, σχηματίζοντας μια νοητή πυραμίδα, η κορυφή της οποίας βρίσκεται ακριβώς πάνω από το σημείο που ήταν τοποθετημένο το κεφάλι του αγάλματος της Αθηνάς. Κατά περίεργο επίσης τρόπο, ο όγκος της πυραμίδας αυτής είναι ο μισός της μεγάλης πυραμίδας της Αιγύπτου, 45.000.000 ελληνικά κυβικά πόδια. Η Παναγία των Παρισίων Ο αριθμός φ και η χρήση της χρυσής αναλογίας έχει βρεθεί και στο σχέδιο της Παναγίας των Παρισίων. Η δυτική πρόσοψη της εκκλησίας είναι η μεριά όπου η παρουσία των χρυσών ευθύγραμμων τμημάτων είναι ιδιαίτερα αισθητή.

Το κτίριο των Ηνωμένων Εθνών Η χρυσή αναλογία φαίνεται και στο κτίριο των Ηνωμένων Εθνών (UN Building). Στο συγκεκριμένο κτίριο, ο λόγος του πλάτους και του κτιρίου προς το ύψος κάθε 10 ορόφων ισούται με φ.

Ο Πύργος των Τηλεπικοινωνιών CN Ο τριγωνισμός μια άλλη μέθοδος συγκρότησης ρυθμικών καμβάδων με βάση ορισμένα προνομιούχα τρίγωνα, δώρισε τη μεγαλύτερη διάδοσή του τον περασμένο αιώνα. Ο Πύργος των Τηλεπικοινωνιών (CN Tower) στο Τορόντο, ο ψηλότερος πύργος στον κόσμο, περιλαμβάνει τη χρυσή τομή στο σχεδιασμό του. Ο λόγος του συνολικού ύψους του 553,33 μέτρα, προς το ύψος καταστρώματος παρατήρησης (observation deck), 342 μέτρα είναι 1,618... δηλαδή ο αριθμός φ.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Κάθε λόγος στην αρχιτεκτονική μπορεί να περιγραφεί κάτω από ένα συναίσθημα. Ένα μόνο είναι αυτό που δημιουργεί το συναίσθημα του τέλειου το χρυσό ορθογώνιο, αυτό δηλαδή που ο λόγος των πλευρών του είναι φ. Ορισμένοι μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν στην αρχιτεκτονική είναι : α) το πυθαγόρειο, το ορθογώνιο με σχέση πλευρών 3:4:5, β) το αιγυπτιακό δηλαδή το ισοσκελές με αναλογία βάσης προς ύψος 8:5, γ) το ισοσκελές με γωνία κορυφής 36, που αποτελεί τη μονάδα του κανονικού δεκάγωνου, και έχει σχέση πλευράς προς βάση φ (1,618... ο γνωστός αριθμός) και τέλος δ) το ισόπλευρο που αποτελεί τη μονάδα του εξαγώνου. Τέτοιες μεθόδους επαλήθευσης συναντά κανείς στα αρχιτεκτονικά έργα του μοντέρνου κινήματος, Le Corbusier Bauhaus. «Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Φ ΣΤΗΝ ΓΛΥΠΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΔΙΑΚΟΣΜΗΣΗ» Οπως είδαμε ο αριθμός «Φ» χρησιμοποιήθηκε πολύ έντονα στην αρχιτεκτονική. Ανάλογη εφαρμογή είχε και στη γλυπτική και στη διακοσμητική. ΤΟ «Φ» ΣΤΗΝ ΓΛΥΠΤΙΚΗ Ο χρυσός αριθμός «φ» χρησιμοποιήθηκε πρώτα από τους Αιγύπτιους τεχνίτες οι οποίοι έφτιαχναν πάνω στη λεία επιφάνεια του ορθογώνιου όγκου του μαρμάρου ένα προκαταρκτικό σχέδιο της μορφής με τη βοήθεια σχάρας με 21 τετράγωνα από τη γραμμή των ματιών μέχρι τις πατούσες. κάποια έργα των Αιγυπτίων είναι : Ο Φαραώ Τουταχαμών και η γυναίκα του, Το Άγαλμα του Ράναφερ, Το Άγαλμα του Μυκερινού κ.α..οι Έλληνες καλλιτέχνες ξεκίνησαν από εκεί που είχαν σταματήσει οι Αιγύπτιοι. ΔΑΒΙΔ Στο άγαλμα «Δαβίδ» του Μιχαήλ Άγγελου η απόσταση απο την κορυφή του κεφαλιού μέχρι και τον αφαλό (38εκ.) προς την απόσταση από τον αφαλό μέχρι και τα δάχτυλα των ποδιών (62εκ.) παρουσιέζει μια χρυσή αναλογία.

ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΗΣ ΜΥΛΟΥ Μετρώντας την απόσταση από τον ομφαλό εώς την κορυφή του κεφαλιού έχουμε 0,382. Ενώ μετρώντας από τον ομφαλο και κάτω έχουμε 0,618. απο τη διαίρεση συμπεραίνουμε ότι εφαρμόστηκε κι εδώ ο αριθμός «φ».

ΤΟ «Φ» ΣΤΗ ΔΙΑΚΟΣΜΗΣΗ Τα μαθηματικά στην έννοια τους περιλαμβάνουν πολλές φορές αρμονίες και συμμετρίες, το αξιοσημείωτο είναι ότι αυτές οι αρμονίες υπάρχουν και στη φύση, στον άνθρωπο αλλά ακάμα και σε έννοιες που πολλες φορές δεν ξέρουμε ότι έχουν την οποιαδήποτε σχέση με τα μαθηματικά (Χρυσή Τομή).Π.χ. στη διακόσμηση η αναλογια 1:1,618 θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες. Αναλογίες δηλαδή που το μάτι μας, σαν να ήταν προγραμματισμένο εξ αρχής έτσι, θεωρεί αρμονικές και όμορφες. Με αυτό τον τρόπο υπολογίζεται το ύψος στο οποίο τοποθετούνται τα πόμολα στις πόρτες. Ένα άλλο παράδειγμα είναι τα λουλούδια που τοποθετούμε στα βάζα. Συνήθως βγαίνουν κοντά η ψηλά και στέκονται περίεργα. Αν λοιπόν μετρήσεις το βάζο και κόψεις το λουλούδι όσο το βάζο +1/3 θα έχεις το τέλειο βάζο με λουλούδια.

Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ «Φ» ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Ο αριθμός «φ» όπως είδαμε χρησιμοποιήθηκε πολύ έντονα στην αρχιτεκτονική. Ανάλογη εφαρμογή είχε και στην τέχνη καθώς πάρα πολλοί πίνακες ζωγραφικής φέρουν την Χρυσή Αναλογία. Τον 16ο αιώνα ο Luca Paciali γεωμέτρης και φίλος ενός μεγάλου αναγεννησιακού ζωγράφου «ξαναανακάλυψε» τη Χρυσή Τομή. Το βιβλίο του όπου μελετούσε τον αριθμό «φ» εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη

Leonardo DaVinci. Την περίοδο της αναγέννησης οι καλλιτέχνες άρχισαν να επιστρέφουν στα κλασικά θέματα της αρχαιότητας για τις εμπνεέσεις τους και τις τεχνικές τους. Ας δούμε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα. Αξιοσημείωτοι είναι Michelengelo (1475 1564) και Raphael (1483 1530) οι οποίοι επανέφεραν στις συνθέσεις τους την Χρυσή Τομή. Η ΜΟΝΑ ΛΙΖΑ Το δημοφιλέστερο έργο του DaVinci, η Μόνα Λίζα δημιουργήθηκε βάση της Χρυσής Αναλογίας. Όπως παρατηρούμε ο πίνακας περιλαμβάνει πολλά Χρυσά Ορθογώνια. Μπορούμε να βγάλουμε ένα ορθογώνιο του οποίου η βάση εκτείνεται από το δεξιό καρπό της γυναίκας στον αριστερό και το μήκος του να φτάνει στην κορυφή του κεφαλιού. Επιπλέον, αν σχεδιάζαμε κι άλλα ορθογώνια στο κεντρικό, τότε βλέπουμε πως τα άκρα τους καταλήγουν σε σημαντικά στοιχεία του προσώπου της : στο πηγούνι, στη μύτη, στο μάτι και στην γωνία απο το μυστιριώδες της στόμα. Ο ΑΝΘΡΩΠΟΣ ΤΟΥ ΒΕΤΡΟΥΒΙΟΥ Ο Leonardo DaVinci είχε θείξει ένα ένθερμο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά της τέχνης και της φύσης. Γι αυτό άλλωστε και έκανε μια έρευνα πάνω στην ανθρώπινη φιγούρα και έθειξε πως τα διαφορετικά της μέρη σχετίζονται με τη Χρυσή Αναλογία. Η πιο φημισμένη πεντάλφα είναι αυτή Henry Cornelius Agrippa που απεικονίζει έναν άνθρωπο στο κέντρο να εκτείνει τα πόδια και τα χέρια

του στον κύκλο που περικλύει το πεντάλφα. Τα άκρα του φέρουν πλανητικά σύμβολα και στο κέντρο το συμβολο της σελήνης, φέρει τη θεϊκή αναλογία «φ». Η ΣΤΑΥΡΩΣΗ Ο Raffaello Sanzio Da Urbino, περισσότερο γνωστός ως Raphael, ήταν ο δημιουργός ενός άλλου αξιοσημείωτου παραδείγματος πίνακα, που παρουσιάζει τη Χρυσή Αναλογία. Στη σταύρωση οι φιγούρες σκιαγράφουν ένα Χρυσό Τρίγωνο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εντοπίσουμε ένα από τα Χρυσά Αστέρια ή Πεντάγραμμα

ΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΤΟΥ ΜΥΣΤΙΚΟΥ ΔΕΙΠΝΟΥ Τον 20 ο αιώνα το έργο του Dali «Το Μυστήριο του Μυστικού Δείπνου» είναι πλαισιομένο σε ένα Χρυσό Ορθογώνιο. Παρατηρούμε πως το τραπέζι έχει τοποθετηθεί ακριβώς στην Χρυσή Τομή του πλάτους του πίνακα. Επιπλέον τα παράθυρα στο βάθος του πίνακα φαίνεται να αποτελούν μέρος ενός Χρυσού Δωδεκάεδρου. Υπάρχουν πολλά άλλα έργα που έχει χρησιμοποιήθει το «φ» όπως : Ο Άγιος Ιερώνυμος, Η Αγία Οικογένεια, Η Αυτοπροσωπογραφία του Rembrandt και Οι Λουόμενοι «Εφαρμογές του «Φ» στην Ελληνική Γλώσσα» Αρχικά πρέπει να εξηγήσουμε ότι ως λεξαριθμητικό σύστημα εννοείται η αντιστοιχία και η ταύτιση των αριθμών με τα γράμματα του ελληνικού

αλφαβήτου.έτσι η κάθε λέξη περιέχει ή σημαίνει έναν αριθμό ή και το αντίθετο,οδηγώντας μας σε πληροφορίες ή γνωσιολογικές σχέσεις που δεν ήταν εμφανείς στην απλή «κατά γράμμα» ανάγνωση. Ακολουθεί πίνακας αντιστοίχησης από αρχαιοελληνικά γράμματα σ αραβικά ψηφία. Α=1 Ι=10 Ρ=100 Β=2 Κ=20 Σ=200 Γ=3 Λ=30 Τ=300 Δ=4 Μ=40 Υ=400 Ε=5 Ν=50 Φ=500 άγνωστο =6 Ξ=60 Χ=600 Ζ=7 Ο=70 Ψ=700 Η=8 Π=80 Ω=800 Θ=9 (κόππα)=90 (σαμπί)=900 Έχουμε δηλαδή 27 γράμματα εκ των οποίων τα 24 είναι τα γνωστά και τα χρησιμοποιούμε εώς σήμερα ενώ τα άλλα 3 δε χρησιμοποιούνται στο σύγχρονο ελληνικό αλφάβητο.αν προσθέσουμε το σύνολο των 27 γραμμάτων στο λεξαριθμητικό σύστημα: (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+20+30+40+50+60+70+80+90+ 100+200+300+400+500+600+700+800+900) βγαίνει ο αριθμός 4.995.Αν προσθέσουμε τα ψηφία του αποτελέσματος «4.995» θα έχουμε 4+9+9+5=27 όσοι και οι αριθμοί. Ας δούμε όμως και κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα.. 1)Το αποτέλεσμα της διαίρεσης του Μέσου Βάρους της λέξης «Θεός» με τον αριθμό «φ» είναι 4,0, πράγμα που σημαίνει ότι με τον δικό μου τρόπο αριθμολογικής ανάλυσης η λέξη Θεός είναι ακριβές πολλαπλάσιο του χρυσού αριθμού «φ» και κατά συνέπεια αποτελεί μια τέλεια λέξη. 2) Η γεωμετρία ήταν η αγαπημένη επιστήμη των Ελλήνων και με αυτή μπορούσαν να θέσουν τάξη στο χάος γύρω τους. Η Γεωμετρία και η Σοφία ήταν αλληλένδετες. Ποιος ήταν ο καλύτερος τρόπος για να δείξουν αυτή τη σχέση αρμονίας; Μα η χρυσή τομή βέβαια. ΣΟΦΙΑ=200+70+500+10+1=781 781χΦ(1,618)=1.264 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ=3+5+800+40+5+300+100+10+1=1.264 ΣΟΦΙΑχΦ(1,618)=ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ=1.264 3) Η σημασία του αίματος για την καρδιά τονίζεται ιδιαίτερα από την σχέση διπλής χρυσής τομής που υπάρχει μεταξύ τους: ΑΙΜΑ=1+10+40+1=52 52χΦ(1,618)χΦ(1,618)=136 ΚΑΡΔΙΑ=20+1+100+4+10+1=136

4) Το αίμα και η καρδιά είναι απαραίτητa για τη ζωή. Το ανθρώπινο ΠΝΕΥΜΑ (η σκέψη) είναι ακόμα πιο σημαντικό για την καρδιά από ότι το αίμα. Αυτό μας το λέει η Ελληνική γλώσσα, πολλαπλασιάζοντας την καρδιά τρεις φορές με την χρυσή τομή: ΚΑΡΔΙΑ=20+1+100+4+10+1=136 136ΧΦ(1,618)χΦ(1,618)χΦ(1,618)=576 ΠΝΕΥΜΑ=80+50+5+400+40+1=576 ΚΑΡΔΙΑχΦ(1,618)χΦ(1,618)χΦ(1,618)=ΠΝΕΥΜΑ=576 5) Ο μεγάλος μαθηματικός Πυθαγόρας έχει διαμορφώσει τα γράμματα όπως τα γνωρίζουμε σήμερα. Στη σχολή του είχε τοποθετήσει σε κύκλο τα αγάλματα των 9 μουσών. Οι μούσες συμβολίζουν τις 9 μορφές της τέχνης: ΤΕΧΝΗ=300+5+600+50+8=963=>18=>9 ΜΟΥΣΑ=40+70+400+200+1=711=>9 ΜΟΥΣΙΚΗ Ο Πυθαγόρας είχε παρατηρήσει ότι οι περισσότερες αναλογίες στην φύση τείνουν να ακολουθούν μια συγκεκριμένη αναλογία στην χρυσή τομή «φ». Ο αριθμός «φ» χρησιμοποιήθηκε αλλά και χρησιμοποιείται ακόμη στην κατασκευή μουσικών οργάνων. Το βιολί είναι ένα από τα όργανα στο οποίο ο χρυσός λόγος παρουσιάζεται συχνά. Συγκεκριμένα, το ηχείο του βιολιού περιέχει 12 ή περισσότερα τόξα καμπυλότητας σε κάθε πλευρά. Το επίπεδο στην βάση συχνά επικεντρώνεται στο σημείο χρυσής τομής που βρίσκεται στην κάθετο προς το κεντρικό ευθύγραμμο τμήμα. Το πιάνο έχει σχέση με την ακολουθία Fibonnaci. Η οκτάβα του πληκτρολογίου αποτελείται από 13 πλήκτρα εκ των οποίων τα 8 είναι λευκά και τα άλλα 5 είναι μαύρα. Τα μαύρα πλήκτρα αποτελούν μία ομάδα δύο πλήκτρα και άλλη μία των τριών. Οι αριθμοί 2,3,5,8 και 13 τυχαίνει να είναι διαδοχικοί αριθμοί Fibonnaci.

ΙΑΤΡΙΚΗ Οι περισσότεροι πλαστικοί χειρουργοί στις επεμβάσεις τους χρησιμοποιούν το Χρυσό Αριθμό και επιδιώκουν να επιτύχουν αναλογίες βασισμένες στο Θεώρημα της Χρυσής Τομής. Τέλος υπάρχουν πολλές καταγραφές που μιλούν για την ύπαρξη του αριθμού «φ» στην δομή του DNA. Ομάδα Β Παύλος Πολίτης Ουρανία Ζησημοπούλου Ελένη Αντωνοπούλου Μαριάννα Γραμματικοπούλου Χριστίνα Βλάχου Γιώργος Κανελλόπουλος

Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Φ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ O Ιταλός μαθηματικός Fibonacci βρήκε ότι το κλειδί της ομορφιάς είναι ο λόγος φ. Το ανθρώπινο σώμα έχει δομηθεί και αναπτύσσεται σε αναλογίες φ. Ο αριθμός φ βρίσκεται στις διαστάσεις του σώματος, του προσώπου, των δοντιών, του στόματος, των χειλιών και ακόμη και στο χαμόγελο μας. Επίσης η απόσταση ζωτικών οργάνων (π.χ. εγκέφαλος, καρδιά, στομάχι, γεννητικά όργανα κ.τ.λ. εμπεριέχει αναλογίες φ. Δεν είναι τυχαίο ότι πολλές ανατολίτικες θρησκείες και κινήματα στα πλαίσια της διδασκαλίας τους για διαλογισμό και αυτοσυγκέντρωση και σε εκείνες τις προσπάθειες για διαλογισμό ή στο λεγόμενο γιόγκα η στάση του ανθρώπινου σώματος ( οκλαδόν ) γίνεται κατά αυτό τον τρόπο έτσι ώστε τα κεντρικά σημεία του σώματος να βρίσκονται σε μια αναλογία μεταξύ τους ΧΡΥΣΗ, σε αναλογίες φ (το φ υψωμένο σε δυνάμεις 2,3,4 και το αντίστροφο 1/φ υψωμένο σε δυνάμεις 2,3,4) ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΟ Το ανθρώπινο πρόσωπο παρουσιάζει πολλές χρυσές αναλογίες. Το κεφάλι αποτελεί ένα χρυσό ορθογώνιο με την ευθεία που ορίζουν τα μάτια να το χωρίζει στην μέση. Το στόμα και η μύτη είναι το καθένα τοποθετημένο στη χρυσή τομή του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζεται ανάμεσα στα μάτια και στην άκρη του πηγουνιού. Εκτός όμως από τα χρυσά ευθύγραμμα τμήματα δημιουργούνται, εμφανίζονται και πολλά χρυσά ορθογώνια. Επιπλέον παρατηρώντας το ανθρώπινο αυτί, θα δούμε πως η σπείρα που δημιουργείται μας θυμίζει την χρυσή σπείρα. Επίσης αναφορικά με τις διαστάσεις των δοντιών, παρατηρείται ότι τα δύο μπροστινά είναι εγγεγραμμένα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, με μια χρυσή αναλογία του ύψους προς το πλάτος του. Επιπλέον, η αναλογία του πλάτους από το πρώτο δόντι προς το πλάτος του δεύτερου είναι επίσης χρυσή τομή. Τέλος αν χαμογελάσουμε θα παρατηρήσουμε πως το πλάτος του χαμόγελου προς το πλάτος που υπάρχει μέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση με φ.

ΤΟ ΧΕΡΙ Αν μετρήσουμε τα εκατοστά των οστών του χεριού θα δούμε πως αντιστοιχούν στους όρους της ακολουθίας Fibonacci. Έχοντας αυτό ως δεδομένο το νύχι του μεσαίου δαχτύλου ισούται με ένα. Επιπλέον η παλάμη δημιούργει τη χρυσή αναλογία σε σχέση με το υπόλοιπο χέρι. Τέλος αν η απόσταση από τον ώμο μέχρι τις άκρες των δακτύλων διαιρεθεί με την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων προκύπτει πάντα ο αριθμός φ. Επίσης κάθε φάλαγγα του ανθρωπίνου δείκτη από το ακροδάχτυλο μέχρι την βάση του στον καρπό είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη της κατά περίπου 1,618 ΤΟ ΣΩΜΑ Το ύψος ενός ανθρώπου προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και την άκρη του μεσαίου δαχτύλου του αποτελεί ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και την άκρη του μεσαίου δαχτύλου, προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους αγκώνες, αποτελεί ένα χρυσό ορθογώνιο τμήμα. ΚΕΦΑΛΙ Από το κεφάλι μέχρι και τους αγκώνες προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους ώμους αποτελεί επίσης ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι τους ώμους προς την απόσταση από τη κορυφή του κεφαλιού μέχρι και την άκρη του πιγουνιού, αποτελεί επίσης ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Επίσης αν η απόσταση από τη μια

μεριά των γοφών ως την άλλη διαιρεθεί με την απόσταση από την μια μεριά της μέσης ως την άλλη προκύπτει πάντα ο αριθμός φ Εφαρμογές Αν διαιρέσουμε το μήκος των χειλιών με το πλάτος της μύτης προκύπτει ο αριθμός φ. Στη συνέχεια ακολουθεί διάγραμμα με τις παραπάνω μετρήσεις Μήκος χειλιών Πλάτος Μύτης Φ Δείγμα 1 7cm 4cm 1,75 Δείγμα 2 6cm 4cm 1.5 Δείγμα 3 5,9cm 4cm 1,475 Δείγμα 4 8cm 5cm 1,6 Δείγμα 5 7cm 4,5cm 1,5 Δείγμα 6 7cm 3,5cm 2 Δείγμα 7 6cm 3,5cm 1,714 Δείγμα 8 7cm 5cm 1,4 Δείγμα 9 7cm 3cm 2,3 Δείγμα 10 8cm 5,5cm 1,454 Συνεπώς ας αναρωτηθούμε γιατί ο μέσος άνθρωπος με κέντρο το φ προσεγγίζει την τιμή 1,6693 Αν διαιρέσουμε την απόσταση του κεφαλιού μέχρι το μεσαίο δάκτυλο με την απόσταση του κεφαλιού μέχρι τους αγκώνες προκύπτει ο αριθμός φ Αγκώνες Μεσαίο Φ Μέση τιμή Δάκτυλο Δείγμα 1 56cm 99cm 1,76 Δείγμα 2 58cm 96cm 1,65 Δείγμα 3 62cm 102cm 1,64 Δείγμα 4 60cm 102cm 1,7 Δείγμα 5 62cm 100cm 1,612 1,657cm Δείγμα 6 65cm 105cm 1,615 Δείγμα 7 63cm 108cm 1,71 Δείγμα 8 63cm 105cm 1,666 Δείγμα 9 62cm 100cm 1,612 Δείγμα 10 71cm 114cm 1,605

Αν διαιρέσουμε το ύψος του ανθρώπου με την απόσταση του αφαλού με το πάτωμα προκύπτει ο αριθμός φ κατά προσέγγιση. Ύψος Ύψος αφαλού Φ Μέση Τιμή Δείγμα 1 1,67cm 1,02m 1,637 Δείγμα 2 1,80m 1,09m 1,651 Δείγμα 3 1,65m 0,99m 1,666 Δείγμα 4 1,61m 0,95m 1,694 Δείγμα 5 1,73m 1,08m 1,601 1,645 Δείγμα 6 1,87m 1,14m 1,640 Δείγμα 7 1,64m 1,015m 1,615 Δείγμα 8 1,82m 1,09m 1,669 Δείγμα 9 1,67m 1m 1,67 Δείγμα 10 1,60m 0,99m 1,616 Έπειτα από τις παραπάνω έρευνες συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός φ υπάρχει στο DNA του ανθρώπου. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Φ ΣΤΑ ΦΥΤΑ ΚΑΙ ΣΤΑ ΖΩΑ ΖΩΑ Ο Πυθαγόρας πρώτος παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες. Έτσι ο αριθμός Φ συναντάται στα ζώα για παράδειγμα: ΣΤΟ ΔΕΛΦΙΝΙ Οι διαστάσεις του ραχιαίου πτερυγίου είναι χρυσά τμήματα. Το πάχος του τμήματος της ουράς του δελφινιού αντιστοιχεί στην ίδια χρυσή τομή της γραμμής από το κεφάλι μέχρι την ουρά.

Εικόνα 1: Χρυσά ευθύγραμμα τμήματα στο σώμα του δελφινιού ΣΤΟ ΜΥΡΜΗΓΚΙ Το σώμα ενός μυρμηγκιού χωρίζεται και αυτό σε ευθύγραμμα τμήματα σύμφωνα με την αναλογία του Φ. ΣΤΗΝ ΠΕΤΑΛΟΥΔΑ Σε μία πεταλούδα τα σημεία εκείνα που μοιάζουν με μάτι συσχετίζονται με τα ευθύγραμμα τμήματα που απεικονίζουν το μήκος και το πλάτος της με χρυσή τομή. Εικόνα 2: Χρυσά ευθύγραμμα τμήματα στην πεταλούδα ΣΤΗΝ ΤΙΓΡΗ Τα χαρακτηριστικά του προσώπου μίας τίγρης δημιουργούν ευθύγραμμα τμήματα που συμπίπτουν με την αναλογία του Fibonacci.

Εικόνα 3: Χρυσά ευθύγραμμα τμήματα στο πρόσωπο της τίγρης ΣΤΟ ΨΑΡΙ ΑΓΓΕΛΟΣ Κάθε βασικό χαρακτηριστικό του σώματος του ψαριού άγγελος πέφτει στη χρυσή τομή όπως το πλάτος και το μήκος του. Η μύτη, το τμήμα της ουράς και τα κέντρα των πτερυγίων της πτώσης του ψαριού άγγελος βρίσκονται σε χρυσές τομές. Η χρυσή τομή ορίζει τις εσοχές στην ραχιαία και στην ουρά όπως επίσης βρίσκεται και στην κορυφή του σώματος. ΣΤΟ ΚΟΑΛΑ Τα χαρακτηριστικά του προσώπου ενός κοάλα εμφανίζουν χρυσή αναλογία με τις διαστάσεις και τις θέσεις των οφθαλμών, της μύτης και του στόματος σε σχέση με τις διαστάσεις της επιφάνειας. ΣΤΙΣ ΜΕΛΙΣΣΕΣ Στο γενεαλογικό δέντρο κάθε κηφήνα σε ένα μελίσσι συναντάμε τη χρυσή αναλογία. Το εν λόγω έντομο γεννιέται από ένα μη γονιμοποιημένο αυγό της βασίλισσας, δηλαδή έχει μητέρα αλλά όχι πατέρα. Αντιθέτως τόσο η βασίλισσα (η μοναδική που μπορεί να κάνει αυγά) όσο και οι εργάτριες γεννιούνται αυγά που έχουν γονιμοποιηθεί από αρσενικό. Αυτές λοιπόν έχουν και πατέρα και μητέρα. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα λοιπόν έχει μία μητέρα, δύο παππούδες (αρσενικό και θηλυκό), τρεις προπαππούδες (δύο από την οικογένεια της γιαγιάς και ένα του παππού), πέντε προ-προπαππούδες, οχτώ προ-προπροπαππούδες κ.ο.κ. το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα επομένως είναι μία ακολουθία Fibonacci. Επίσης η αναλογία που υφίσταται ανάμεσα σε

εργάτριες μέλισσες και κηφήνες σε ένα μελίσσι προσεγγίζει το χρυσό αριθμό. Εικόνα 4: Γενεαλογικό δέντρο μελισσών ΣΤΑ ΚΟΥΝΕΛΙΑ Ο Fibonacci έγινε γνωστός για τους υπολογισμούς του σχετικά με τον πολλαπλασιασμό των κουνελιών. Έτσι υπέθεσε ότι δύο κουνέλια είναι σε θέση να αρχίσουν να ζευγαρώνουν σε ηλικία δύο μηνών και στο εξής φέρνουν στον κόσμο άλλα δύο κουνέλια κάθε μήνα. Με βάση αυτή την υπόθεση μπόρεσε να αποδείξει ότι το σύνολο των σεξουαλικά ώριμων κουνελιών αυξανόταν κάθε μήνα με μία άπειρη ακολουθία που αρχίζει ως εξής: 1,1,2,3,5,8,13,21,34 Κάθε αριθμός της ακολουθίας ισούται με το άθροισμα των προηγούμενων. Άρα, μας είναι φανερό ότι ο αριθμός Φ είναι πολύ σημαντικός για να κατανοήσουμε πολλά και ιδιαίτερα στοιχεία τόσο για τα φυτά όσο και τα ζώα.

Εικόνα 5: Ρυθμός αναπαραγωγής κουνελιών ΦΥΤΑ Τα φυτά δεν γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τρόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών τους. Επιπλέον ο αριθμός φ συναντάται στην διάταξη των φύλλων ή των λουλουδιών ενός φυτού. Για παράδειγμα η κυκλική διάταξη της στεφάνης του τριαντάφυλλου, τα πέταλα διατάσσονται όπως τα σκαλοπάτια μιας ελικοειδούς σκάλας. Η γωνία ανάμεσα σε δύο πέταλα είναι περίπου 222,5 μοίρες. Αν διαιρέσουμε τις 360 μοίρες ενός κύκλου με τις 222,5 μοίρες προκύπτει κατά μεγάλη προσέγγιση ο αριθμός φ. Επίσης σύμφωνα με μετρήσεις σε αυτή ακριβώς την γωνία των 222,5 μοιρών, τα φύλλα των φυτών ρίχνουν δυνατή σκιά το ένα στο άλλο. Επιπλέον τα πέταλα των λουλουδιών αντιστοιχούν πάντα σε ένα όρο της ακολουθίας Fibonacci. Υπάρχουν λοιπόν λουλούδια που αποδεικνύουν τον παραπάνω ισχυρισμό όπως οι κρίνοι και τα αγριόκρινα με τρία πέταλα, οι καπουτσίνοι με οχτώ πέταλα, οι καλεντούλες με πέντε πέταλα και διάφοροι τύποι μαργαριτών με 34 αλλά και 55 ακόμα και 89 πέταλα. Όπως έχει προαναφερθεί η ακολουθία Fibonacci συναντάται στη διάταξη των φύλλων πάνω στους βλαστούς. Αυτή η εφαρμογή του αριθμού φ στην φύση μελετάται από τον κλάδο της φυσικής που ονομάζεται φυλλοταξία. Όπως μας πληροφορεί η φυλλοταξία λοιπόν ο φυσικός σχεδιασμός της έκπτυξης των φύλλων στους βλαστούς των φυτών, ακολουθεί γεωμετρικά και αριθμητικά πρότυπα αναπτύσσονται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μην σκιάζει ένα φύλλο τα κατώτερα του, για την άριστη εκμετάλλευση του ηλιακού φωτός. Το ίδιο συμβαίνει και στον τρόπο έκπτυξης των φύλλων και κερασιάς πάνω στους βλαστούς στους οποίους παρατηρήθηκαν τα εξής :

Α) Το πρώτο φύλλο αναπτύσσεται στην ίδια θέση και γωνία με το έκτο, το δεύτερο με το έβδομο, το τρίτο με το όγδοο κοκ, αλλά με μια διαφορά όπως μεταξύ τους της τάξης των 20-25 εκατοστών. Β) Η κίνηση σε αριστερόστροφη σπείρα, σε σχέση με τα σημεία έκπτυξης των φύλλων συμπληρώνει τρείς πλήρεις κύκλους κάθε πέμπτο φύλλο στη σειρά, δηλαδή συμπληρώνοντας τρεις αριστερόστροφοι κύκλοι από την θέση του πρώτου φύλλου έως αυτή του σκοπού που αναπτύσσονται στην ίδια θέση και γωνία του δεύτερου φύλλου έως αυτή του έβδομου, του τρίτου φύλλου έως αυτή του όγδοου κοκ. Γ) Η κίνηση σε δεξιόστροφη σπείρα όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού σε σχέση με τα σημεία έκπτυξης φύλλων, συμπληρώνει 2 πλήρης κύκλους, κάθε πέμπτο φύλλο στη σειρά. Δηλαδή συμπληρώνονται δύο πλήρεις δεξιόστροφοι κύκλοι από την θέση του πρώτου φύλλου έως αυτή του έκτου που εκπτύσσονται στην ίδια θέση και γωνία, του δεύτερου φύλλου έως αυτή του έβδομου, του τρίτου έως του όγδοου κοκ.

Ο ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΤΟ ΣΥΜΠΑΝ ΚΑΙ ΣΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Ο αριθμός Φ στα φυσικά φαινόμενα Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη χρυσή τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για την φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως, για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος, στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων. Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα; Τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. Η ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. Η δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα. Τέλος οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία

όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση. Ο αριθμός Φ στο σύμπαν Η χρυσή αναλογία προϋπήρχε στο σύμπαν πολύ πριν από τη γέννηση του ανθρώπου. Πολλές ερευνητικές ομάδες ενδιαφέρθηκαν για τις ιδιότητες αυτού του αριθμού, όπως επίσης και για τις δυνατότητες που έχει. Ποια είναι όμως πραγματικά η αλήθεια για αυτόν τον αριθμό και πώς σχετίζεται με αυτό το σύμπαν; Επίσης η κατανομή της ύλης στους γαλαξίες και το σύμπαν ακολουθεί τον νόμο της χρυσής τομής. Νέα συμπεράσματα αποκαλύπτουν ότι το σχήμα του σύμπαντος είναι ένα δωδεκάεδρο με πλευρές σε σχήμα πενταγώνου, όλες βασισμένες στη χρυσή αναλογία. Ακόμη και οι σχετικές αποστάσεις των δέκα πλανητών και των μεγαλύτερων αστεροειδών προσεγγίζουν τον φ. Επιπρόσθετα η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις μαύρες τρύπες της θεωρίας της σχετικότητας. Οι μαύρες τρύπες εναλλάσσονται μεταξύ δύο καταστάσεων. Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται μια μαύρη τρύπα κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την ταχύτητα περιστροφής. Στην εξίσωση για τον υπολογισμό της ταχύτητας αυτής περιέχεται και κάποια σταθερά, ο αριθμός του σύμπαντος φ. Επιπλέον, ο αριθμός φ συναντάται στους διάφορους πλανήτες. Η διάμετρος του Κρόνου είναι σε σχέση φ με τη διάμετρο των δακτυλίων του. Η εσωτερική διαίρεση δακτυλίδι είναι σε σχέση φ με τη διάμετρο των δακτυλίων έξω από τη σφαίρα του πλανήτη. Η διαίρεση Cassini στους δακτυλίους του Κρόνου, πέφτει στο χρυσό τμήμα του πλάτους της θέσπισης λιγότερο αυστηρών μέτρων έξω από το τμήμα των δακτυλίων. Μια πιο προσεκτική ματιά των δακτυλίων του Κρόνου, αποκαλύπτει ένα σκοτεινότερο εσωτερικό δακτύλιο, ο οποίος παρουσιάζει την ίδια χρυσή αναλογία σημείου, όπως ο φωτεινότερος εξωτερικός δακτύλιος. Εκτός του Κρόνου, η Αφροδίτη και η Γη είναι συνδεδεμένες με μία ασυνήθιστη σχέση που αφορά το φ. Ξεκίνησε αφήνοντας τον Ερμή να αντιπροσωπεύει τη μονάδα βάσης της τροχιακής απόσταση και του διαστήματος του ηλιακού συστήματος. Όλος περιέργως βρίσκουμε: Πλανήτες Απόσταση από τον ήλιο σε km Απόσταση όπου ο Ερμής ισούται με 1 Ερμής 57,910 1.0000 10000 Αφροδίτη 108,200 1,8684 2,5490 Γη 149,600 2,5833 4.1521 Περίοδος περιφοράς όπου ο Ερμής ισούται με 1

Η περίοδος περιφοράς της Αφροδίτης * φ = η απόσταση της Γης 2,5490 * 1,6180339 = 1,5966 * 1,6180339 = 2,5833 Επιπλέον, η Αφροδίτη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε 224,695 ημέρες, ενώ η Γη περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε 365,242 ημέρες, δημιουργώντας μία αναλογία 8/13 (οι δύο αριθμοί Fibonacci) ή 0,615 (περίπου Φ). Έτσι οι 5 σύνοδοι της Γης και της Αφροδίτης συμβαίνουν κάθε 8 τροχιές της Γης γύρω από τον Ήλιο και κάθε 13 τροχιές της Αφροδίτης. Ο Ερμής, από την άλλη πλευρά, περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε 87,968 ημέρες, δημιουργώντας ένα συνδυασμό με τη Γη κάθε 115,88 ημέρες. Έτσι υπάρχουν 365,24/115,88 σύνοδοι σε ένα χρόνο, ή 22 σύνοδοι σε 7 χρόνια, οι οποίοι βρίσκονται πολύ κοντά στο φ. Σχετικές αποστάσεις των πλανήτων από το μέσο όρο σε Φ Μέση απόσταση σε εκατό km σύμφωνα με την NASA Σχετική μέση απόσταση όπου ο Ερμής = 1 57.91 1.00000 108.21 1.86859 149.60 1.38250 229.92 1.52353 413.79 1.81552 778.57 1.88154 1,433.53 1.84123 2,872.46 2.00377 4,495.06 1.56488 5,869.66 1.30580 16.18736 1.61874 1.61803 (0.00043) Γ ομάδα Α Λυκείου 1 ο ΓΕΛ Πατρών Καμηλάρη Μάχη, Γκούντα Ηρώ, Θεολογίτη Τατιάνα Τάσιου Δήμητρα, Σαξώνη Μαρία, Ανδρωνά Ειρήνη Σχολικό έτος 2012-2013