Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης Τμήμα Φυσικής (ΕΚΠΑ) Τομέας Αστρονομίας, Αστροφυσικής και Μηχανικής Συμμετρίες Lie και Noether Διαφορικών Εξισώσεων Ανδρόνικος Παλιαθανάσης Επιβλέπων Μ. Τσαμπαρλής Αθήνα, Οκτώβριος 2010
Διαφορικές Εξισώσεις Οι διαφορικές εξισώσεις εργαλείο για την μελέτη των φυσικών συστημάτων. Συμμετρίες διαφορικών εξισώσεων: Διακριτές και Συνεχείς. Sophus Lie, 1872, θεωρία συνεχών συμμετριών Lie και Ομάδων Lie. Emmy Noether, 1918, σημειακές συμμετρίες των συναρτήσεων Lagrange. Μελέτη των Διαφορικών Εξισώσεων Γεωδαισιακών εξισώσεων χώρου Riemann. Εξισώσεων κίνησης σε χώρο Riemann υπό την επίδραση συντηρητικού δυναμικού/δύναμης. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 2
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Υπολογισμός των συμμετριών Lie και Noether Με χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή Reduce (Lie, Dimsym κ.α) Maple (LieSym, CLaws), Mathematica (Dsolve) κ.α. Συμμετρίες Lie και Noether στην Βιβλιογραφία Aminova A.V., (2000) Sbornik Mathematics 186 (12), 1711 1726 Σύνδεση συμμετριών με το PG. για γεωδαισιακές εξισώσεις με παραμετροποίηση Cartan. Feroze T., Mahomed, F.M., Qadir, A. (2006) Nonlinear Dynamics 45 (2006), 65 74. Σύνδεση συμμετριών με τα KVs γεωδαισιακών εξισώσεων χώρων σταθερής καμπυλότητας. Hussain I. (2010), Gen. Relativ. Gravit. 42, 8, 1791 1794 Σύνδεση συμμετριών Noether των γεωδαισιακών εξισώσεων με τα KVs της μετρικής. Leach PG P.G.L. (1980), J. Phys. A: Math. Gen. 13, 1991 2000 Οι συμμετρίες Lie του ταλαντωτή με δύναμη και ομάδα SL(2,R). Cotsakis S., Leach P.G.L., Pantazi H. (1998), Grav. Cosm. 4, 314 325. Οι συμμετρίες Lie και Noether των Ομογενών κοσμολογιών Bianchi Class A. Και συμμετρίες FRW Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 3
Στόχος της Έρευνας Η σύνδεση ημεταξύ των συμμετριών του χώρου Riemann που πραγματοποιείται η κίνηση και των σημειακών συμμετριών Lie και Noether των εξισώσεων κίνησης. Ο στόχος επιτυγχάνεται. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 4
Δομή τη παρουσίασης Συμμετρίες χώρου Riemann Συμμετρίες διαφορικών εξισώσεων Ειδική Προβολική Ομάδα Συμμετρίες Lie γ.ε και εξ. κίνησης Ομοθετική Ομάδα Συμμετρίες Noether γ.ε και εξ. κίνησης Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 5
Συμμετρίες και Ολοκληρώματα χώρων Riemann Συμμετρίες της μετρικής και των συντελεστών συνοχής Έστω ένας χώρος Riemann V τέτοιος ώστε dimv nκαι είναι ένα διανυσματικό πεδίο a στο χώρο. Τότε λέμε ότι το διανυσματικό πεδίο είναι: Ισομορφισμός (KV) εάν 0. Lg ab a Ομοθετική συμμετρία (HKV) εάν L g ab 2 gab,, a 0. a Σύμμορφη συμμετρία (CKV) εάν Lg 2 g, ( x). a Αφινική συμμετρία (AC) εάν L 0. a a a Προβολική συμμετρία (PC) εάν L. bc ab ab bc, b c, c b a a a Ειδική Προβολική Συμμετρία (sp.pc) εάν L, 0. bc, b c, c b, ab Ορισμός: Ένα διανυσματικό πεδίο χαρακτηρίζεται Gradient εάν ισχύει. ab ; ; 0 a a Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 6
Συμμετρίες και Ολοκληρώματα χώρων Riemann Προτάσεις Πρόταση 1 Εάν ένας χώρος διάστασης n επιδέχεται gradient KV τότε ο χώρος διασπάται σε 1+(n 1). 1). Πρόταση 2 Εάν ένας χώρος διάστασης n επιδέχεται n gradient KVs τότε ο χώρος είναι επίπεδος. Πρόταση 3 Εάν ένας Riemann χώρος επιδέχεται n(n+1) ανεξάρτητες αφινικές συμμετρίες τότε ο χώρος είναι επίπεδος. Πρόταση 4 Εάν ένας χώρος Riemann επιδέχεται n(n+2) ανεξάρτητες PC τότε ο χώρος είναι σταθερής καμπυλότητας ή επίπεδος. Πρόταση 5 Εάν ένας χώρος επιδέχεται sp.pc τότε ο χώρος επιδέχεται gradient ΗKV και gradient ΚVs όσα και ο αριθμός των sp.pc. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 7
Συμμετρίες και Ολοκληρώματα χώρων Riemann Ομάδες συμμετριών χώρου Riemann Προβολική Ομάδα (PG.) Αποτελείται από τα PC, sp.pc, AC, HKV, KVs. Ειδική Προβολική Ομάδα (sp.pg.) Υποομάδα του PG. Αποτελείται από τα sp.pc, AC, HKV, KVs. Αφινική Ομάδα (ΑG.) Υποομάδα του sp.pg. Αποτελείται από τα AC, HKV, KVs. Ομοθετική Ομάδα (HG.) Υποομάδα του AG. Αποτελείται από τα HKV, KVs. Ομάδα των Ισομορφισμών (KG.) Υποομάδα του ΗG. Αποτελείται από τα KVs. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 8
Συμμετρίες και Ολοκληρώματα χώρων Riemann Ολοκληρώματα χώρων Riemann Ορισμός Για κάθε συμμετρία των γεωδαισιακών εξισώσεων της μετρικής g ab υπάρχει μία τανυστική ποσότητα τέτοια ώστε να ισχύει A rr r 12.. m A x x x const r1 r2 r...... m r 12 m rr Η ποσότητα ονομάζεται m τάξης ολοκλήρωμα των γεωδαισιακών εξισώσεων. Για τα διανύσματα που αποτελούν την Προβολική Ομάδα έχουμε τον πίνακα Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 9
Συμμετρίες και Ολοκληρώματα χώρων Riemann Ολοκληρώματα της Ευκλείδειας σφαίρας δύο διαστάσεων H μετρική της Ευκλείδειας σφαίρας δύο διαστάσεων είναι Το PG αποτελείται από τα διανύσματα Δεξιά δίνονται τα ολοκληρώματα των γεωδαισιακών εξισώσεων. Τα I είναι αυτά που αντιστοιχούν στα KVs και τα Q αυτά που παράγονται από τα PC. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 10
Παραγώγιση δέλτα Συνθήκες συμμετρίας Lie r Η δράση του τελεστή δ σε μία συνάρτηση G t, x, x,..., x δίνεται από την σχέση G G G t x ra t x r ra a Οι συναρτήσεις t, x είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους είναι απειροστές συμπεριφέρονται σαν διαφορικά. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 11
Συνθήκες συμμετρίας Lie a ra Υπολογισμός των ποσοτήτων t x x. Ορίζουμε τον απειροστό μονοπαραμετρικό μετασχηματισμό b b,,,,,, tt tx a t tx a a a a b a a b x x t x a x t x a a Η διάδοση της δράσης του τελεστή δ από τον χώρο βάσης tx, στον εφαπτόμενο χώρο γίνεται σύμφωνα με τον ορισμό Η διακύμανση ισούται με την διαφορά των παραγώγων πριν και μετά την δράση του μετασχηματισμού. ra x t, a Καταλήγουμε πώς οι ποσότητες εκφράζονται συνάρτηση των x σύμφωνα με την σχέση ra d r 1 a ra d x x x t dt dt Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 12
Συμμετρίες Lie και Noether Συνθήκες συμμετρίας Lie 1 Έστω η διαφορική εξίσωση x a b b t, x, x,..., x έναν μετασχηματισμό αν ισχύει ra r b ra a b b r 1b x t, x, x,..., x 0 τότε αυτή είναι αναλλοίωτη κάτω από Ο γεννήτορας του μετασχηματισμού ονομάζεται συμμετρία Lie της διαφορικής εξίσωσης. Έστω, a a L L t x, x μία συνάρτηση Lagrange, τότε λέμε ότι ένας γεννήτορας a μετασχηματισμού είναι συμμετρία Noether εάν υπάρχει συνάρτηση f tx, τέτοια ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη d df L L t a dt dt a L a H ποσότητα I x L a a x f είναι ολοκλήρωμα. x Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 13
Συνθήκες συμμετρίας Lie Συνθήκες συμμετρίας Lie για Σ.Δ.Ε δεύτερης τάξης Για ένα σύστημα μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης της μορφής Οι συνθήκες συμμετρίας Lie είναι Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 14
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Συνθήκες συμμετρίες Lie γεωδαισιακών εξισώσεων Οι συνθήκες συμμετρίας Lie για τις γεωδαισιακές εξισώσεις χώρου Riemann x x x i i j k jk 0 Είναι το ακόλουθο σύστημα Οι συμμετρίες Lie των γεωδαισιακών εξισώσεων χώρου Riemann κάτω από αφινική παράμετρο κατασκευάζονται από την ειδική προβολική ομάδα του χώρου σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 15
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Συμμετρίες Lie γεωδαισιακών εξισώσεων και sp.pg. Θεώρημα (Tsamparlis M., Paliathanasis A., (2010), Nonlinear Dynamics, 62, 203 214.) Οι συμμετρίες Lie X t, x b a, b των γεωδαισιακών εξισώσεων σε ένα χώρο t t x b Riemann είναι οι ακόλουθες b Η συνάρτηση tx, είναι της μορφής a b και το άνυσμα tx, είναι a Όπου, E a J, K, L, το A είναι gradient HKV/KV και το B είναι sp.pc. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 16
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Συνθήκες συμμετρίες Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Οι συνθήκες συμμετρίας Noether για την Lagrangian των γεωδαισιακών εξισώσεων χώρου Riemann Είναι το ακόλουθο σύστημα L 1 2 i j gij xx Οι συμμετρίες Noether της Lagrangian των γεωδαισιακών εξισώσεων χώρου Riemann κατασκευάζονται από την ομοθετική ομάδα του χώρου σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 17
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Συμμετρίες Noether γεωδαισιακών εξισώσεων και HG. Θεώρημα (Tsamparlis M., Paliathanasis A., (2010), Gen. Rel. Grav. Online first) Οι συμμετρίες Noether X t, x b a, b t t x b εξισώσεων σε ένα χώρο Riemann είναι οι ακόλουθες της Lagrangian των γεωδαισιακών Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 18
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Ολοκληρώματα Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Τα ολοκληρώματα Noether σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα είναι τα ακόλουθα Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 19
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Τι καταφέραμε; Να συνδέσουμε τις συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων με την γεωμετρία. Να αναγάγουμε το πρόβλημα από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων στην γεωμετρία. Να παραγάγουμε απευθείας τις συμμετρίες Lie και Noether από την ειδική προβολική ομάδα (ομοθετική ομάδα) και το αντίστροφο. Να λύσουμε το πρόβλημα αναλυτικά. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 20
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Επίπεδος χώρος διάστασης n 2 i j Για επίπεδο χώρο σε Καρτεσιανές συντεταγμένες με μετρική ds n Lagrangian των η g ijdx dx 1 i j i γ.ε. είναι L nxx και οι γ.ε. ij x 0 2 Η ειδική προβολική ομάδα για την επίπεδη μετρική αποτελείται από τα διανύσματα Συμμετρίες Lie Συμμετρίες Noether Στην ειδική περίπτωση που ο χώρος είναι τριών διαστάσεων τότε οι συμμετρίες Lie είναι συνολικά ά24 ανεξάρτητες και οι Noether συμμετρίες είναι 12 ανεξάρτητες Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 21
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Χώρος de Sitter H μετρική de Sitter σε Καρτεσιανές συντεταγμένες Η ειδική προβολική ομάδα για την μετρική de Sitter Συμμετρίες Lie Συμμετρίες Noether Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 22
Συμμετρίες Lie και Noether γεωδαισιακών εξισώσεων Χωρόχρονος FRW Ημετρική FRW είναι Η ειδική προβολική ομάδα αποτελείται από τα έξη KVs της 3 Ευκλείδιας μετρικής. Συμμετρίες Lie Συμμετρίες Noether Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 23
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Εξισώσεις κίνησης υπό την επίδραση δύναμης Οι εξισώσεις κίνησης που θα μελετήσουμε είναι της μορφής x x x V 0, V V x i i i j, i j jk Με Lagrangian 1 i j L gijxx V 2 Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 24
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συνθήκες συμμετρίας Lie των εξισώσεων κίνησης Οι συνθήκες συμμετρίας των εξισώσεις κίνησης σε χώρο Riemann υπό την επίδραση δύναμης που εξαρτάται από τον χρόνο και την θέση. Είναι οι κάτωθι Οι συμμετρίες Lie των εξισώσεων κίνησης σε χώρο Riemann υπό την επίδραση ενός συντηρητικού δυναμικού κατασκευάζονται από την ειδική προβολική ομάδα του χώρου σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 25
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie εξισώσεων κίνησης και sp.pg. Θεώρημα (Tsamparlis M., Paliathanasis A., J. Math. Phys., May 2010, submitted) Οι συμμετρίες Lie X t, x b a, b των εξισώσεων κίνησης σε χώρο Riemann υπό t t x b την επίδραση δυναμικού παράγονται από την ειδική προβολική ομάδα σύμφωνα με τις ακόλουθες περιπτώσεις Περίπτωση Α. Η συμμετρία Lie t υπάρχει για όλα τα συντηρητικά συστήματα Περίπτωση Β. Οι συμμετρίες Lie είναι d i X tt Y 2 όπου το Υ ανήκει στο AG. και ικανοποιείται η συνθήκη i LV Y i dv, i, i 0 Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 26
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie εξισώσεων κίνησης και sp.pg. Θεώρημα (συνέχεια) Περίπτωση Γ. Οι συμμετρίες Lie είναι i,, X 2 T t dt t T t Y i, T tt mt Όπου το Y είναι gradient HKV/KV και ικανοποιείται η συνθήκη Περίπτωση Δ. Οι συμμετρίες Lie είναι, i, i i LV 4 V my 0 Y i i X D t T t Y Όπου Y είναι gradient HKV και ισχύει Y=κV, όπου D(t), T(t) δίνονται από το σύστημα D t 2 T 0, tt, t 2D 0, tt, t i Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 27
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie εξισώσεων κίνησης και sp.pg. Θεώρημα (συνέχεια) Περίπτωση Ε. Οι συμμετρίες Lie είναι Όπου το Y είναι sp.pc και ικανοποιούνται οι συνθήκες και το σύστημα Περίπτωση ΣΤ. Οι συμμετρίες Lie είναι Όπου το Y είναι sp.pc και V=λΗ, H είναι gradient HKV ικανοποιούνται οι συνθήκες και το σύστημα Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 28
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συνθήκες συμμετρίες Noether των εξισώσεων κίνησης Οι συνθήκες συμμετρίας Noether για την Lagrangian 1 i j L gxx ij V 2 Είναι το ακόλουθο σύστημα Οι συμμετρίες Noether κατασκευάζονται από την ομοθετική ομάδα του χώρου σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 29
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Noether των εξισώσεων κίνησης Θεώρημα (Tsamparlis M., Paliathanasis A., J. Math. Phys., May 2010, submitted) Η Lagrangian 1 i j L g ενός συντηρητικού συστήματος σε Riemann χώρο έχει τις ijx x V 2 ακόλουθες Noether συμμετρίες. Περίπτωση Α. Η συμμετρία Noether, f=const. υπάρχει για όλα τα συντηρητικά συστήματα Περίπτωση Β. Οι συμμετρίες Noether όπου Y είναι HKV/KV και ικανοποιείται η συνθήκη t Περίπτωση Γ. Οι συμμετρίες Noether Όπου S είναι gradient HKV/KV και ικανοποιούνται Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 30
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Ολοκληρώματα Noether των εξισώσεων κίνησης Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα τα ολοκληρώματα της Noether είναι Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 31
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Τι καταφέραμε; Να συνδέσουμε τις συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης υπό την επίδραση συντηρητικού δυναμικού με την ειδική προβολική ομάδα. Να παραγάγουμε την γενική έκφραση των συμμετριών Lie και Noether. Να λύσουμε το πρόβλημα αναλυτικά. Εφαρμογές Στην η Νευτώνεια Μηχανική. Στην Ε.Θ.Σ. και Γ.Θ.Σ. Στην Κοσμολογία, μοντέλα Bianchi, κοσμολογία f(r), κ.α. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 32
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie και Noether κεντρικών δυναμικών 1 m Για όλα τα κεντρικά δυναμικά της μορφής m V r οι συμμετρίες Lie και Noether είναι m Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 33
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie και Noether κεντρικών δυναμικών Όλα τα κεντρικά δυναμικά επιδέχονται ένα νόμο αντίστοιχο του Kepler. r 2m const. 2 Για m=1 έχουμε τον γνωστό νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα. t Το δυναμικό Ermakov Piney έχει τις ίδιες συμμετρίες Lie και Noether. Ο Αρμονικός ταλαντωτής, έχει τις μέγιστες συμμετρίες. Η ιδιότητα που τον κάνει χαρακτηριστικό είναι ότι το δυναμικό του ταλαντωτή είναι το HKV της επίπεδη μετρικής. Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 34
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie και Noether του δυναμικού Henon Helles Η γενική μορφή του δυναμικού Henon Helles είναι 1 V x y Ax Bx y Cxy Dy 2 2 2 3 2 2 3 Το δυναμικό επιδέχεται Lie και Noether συμμετρίες πέραν της t όταν οι σταθερές A,B,C,D είναι οι εξής Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 35
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie και Noether του δυναμικού Henon Helles Εύκολα πλέον με χρήση των θεωρημάτων έχω πώς οι συμμετρίες Lie είναι Οι συμμετρίες Noether και τα Ολοκληρώματα Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 36
Συμμετρίες Lie και Noether εξισώσεων κίνησης Συμμετρίες Lie και Noether δυναμικών σε Ευκλείδεια σφαίρα Η μετρική της Ευκλείδειας σφαίρας (Κ=+1) είναι Τα δυναμικά που δίνουν κλειστές καμπύλες είναι Όπου το πρώτο αντιστοιχεί στον νόμο του Kepler και το δεύτερο στον αρμονικό ταλαντωτή. Η Lagrangian του συστήματος είναι και οι εξισώσεις κίνησης Η ειδική προβολική ομάδα του χώρου αποτελείται από τα τρία KVs Συμμετρίες Lie και Noether Ολοκληρώματα Noether Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 37
Ευχαριστώ Ανδρόνικος Παλιαθανάσης 38