!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα

Transcript

1 Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί αυτό? Ø Έστω σύστηµα µε Ν βαθµούς ελευθερίας q i Ø H Lagrangian του συστήµατος εν γένει θα έχει την µορφή: L = 1 2 ij T ij ( q) q i q j U ( q) Ø Υποθέτω ότι η κινητική ενέργεια είναι ένας συµµετρικός πίνακας T ij = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα Ø Υποθέτω ότι ο πίνακας Τ ij είναι αντιστρέψιµος διαφορετικά υπάρχει µια τουλάχιστον διεύθυνση στον χώρο των καταστάσεων που είναι ανεξάρτητη της q i Δηλαδή δεν θα υπάρχει όρος ταχύτητας στην Lagrangian στην διεύθυνση αυτή και εποµένως δεν υπάρχει δυναµική

2 Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας Ø Οι εξισώσεις κίνησης εποµένως θα είναι: 0 = L d dt 1 2 ij T T ik q i + i q i q j ij L q k 1 2 U T ik q j 1 2 ij i T ij T T ik q i Ø Ορίζω τον αντίστροφο πίνακα T 1 ( ) kl Ø Πολ/ζω την (1) µε T 1 q i q j L = 1 2 ij U d dt T ik T ij q j q i = 0 ij q j q j q i + U = 0 ( q) q i q j i ΦΥΣ Διαλ.25 2 U ( q) T ik q i = 0 ( ) kl για τον οποίο: ( T 1 ) lk T ki = δ li q l = ( T 1 ) kl T ik 1 T ij q j 2 q q j q i T 1 ijk k k Ø Θα επικεντρωθούµε σε κατάσταση ισορροπίας: k κανόνας της αλυσίδας (1) = ( ) kl U Αλλά στην κατάσταση αυτή: q i = σταθ. = q i 0 και q i = q i = 0 (2) 0 l i 1 l = i

3 Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας Ø Στην κατάσταση ισορροπίας, η (2) γίνεται: Ø Δηλαδή: U q i 0 q i Ø Για µικρές διαταραχές από την θέση ισορροπίας Το ανάπτυγµα Taylor ως προς Ο(η) θα δώσει ( T 1 ) kl U = 0 k = 0 για όλα τα i = 1,, N q i 0 θα έχουµε: ΦΥΣ Διαλ.25 3 q i = q i 0 + η i Ø Αναπτύσουµε τις εξισώσεις κίνησης κρατώντας µόνο τους γραµµικούς όρους Ο(η ι ): η i q l = ( T 1 ) kl T ik 1 T ij q j 2 q q j q i T 1 ijk k k Ø Η εξίσωση κίνησης θα γίνει: Ο η 2 i ( ) kl U ( ) Ανάπτυγµα Taylor ως προς q l 0 η l = kj ( T 1 ) 2 U kl U = U + q 0 q j q 0 η j 0 j 2 U q j q 0 Ø Η εξίσωση κίνησης γράφεται όπως έχουµε δει σε µορφή εξίσωσης πινάκων: η j

4 Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας η l = kj ( T 1 ) 2 U kl q j q 0 η j ΦΥΣ Διαλ.25 4 Ø Η εξίσωση κίνησης γράφεται όπως έχουµε δει σε µορφή εξίσωσης πινάκων: Ø Θεωρώντας: U = N N πίνακας µε στοιχεία: Ø Αλλά Τ ij και (Τ ij ) -1 είναι επίσης Ν Ν πίνακες Πίνακας Hess ή hessian πίνακας 2 U q j µε i, j = 1,, N Ø Η εξίσωση κίνησης θα γίνει εποµένως: "" η = ( T 1 ) U η "" η = F η όπου F = ( T 1 ) U γινόµενο πινάκων Τ και U q H διαταραχή γύρω από την θέση ισορροπίας δίνεται από µια διαφορική εξίσωση πινάκων: Ø Πώς βρίσκουµε την λύση αυτής της εξίσωσης όπου η είναι διάνυσµα και F πίνακας? q Εύρεση ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα F Ø Αφού έχουµε N N πίνακα θα υπάρχουν N ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές Ø Έστω τα ιδιοδιανύσµατα περιγράφονται από όπου a = 1,, N Ø Εποµένως η διαφορική εξίσωση του πίνακα γράφεται: F = ω a 2 µa ιδιοτιµή

5 Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ Διαλ.25 5 Ø Οι ιδιοτιµές ορίζονται ω 2 για να µοιάζουν τις συχνότητες ενός αρµονικού ταλαντωτή F 2 Ø Επειδή F = ( T 1 ) U πολ/ζω την = ω aµa (Α) µε Τ T T 1 U 2 = Tω aµa U = ω 2 a T (B) Ø H εξίσωση: F 2 + ω aµa = 0 ( F + ω 2 a I ) = 0 έχει µη τετριµένες λύσεις όταν det( F + ω 2 a I) = 0 ή ισοδύναµα από την (Β): χαρακτηριστική εξίσωση ιδιοτιµών του πίνακα F ( ) = 0 det U ω 2 a T Ø Βρίσκοντας τις ιδιοτιµές µπορούµε να βρούµε τα ιδιοδιανύσµατα αντικαθιστώντας για κάθε ιδιοτιµή στην εξίσωση (Α) ή (Β) q Ενώ οι πίνακες U και Τ είναι συµµετρικοί (π.χ. T ij =T ji ή διαφορετικά T = T ), ο πίνακας F δεν είναι απαραίτητα συµµετρικός Ø Οι ιδιοτιµές ενός συµµετρικού πίνακα είναι πραγµατικές Ø Δεν είναι εποµένως προφανές ότι οι ιδιοτιµές, ω α, του F είναι πραγµατικές. Ø Αλλά είναι

6 Παρένθεση στοιχεία από γραμμική άλγεβρα Ø Σηµειώστε ότι για ένα πίνακα Π: a Π c = c Π a a Π c = c Π a αν ο Π είναι συµµετρικός τότε ΦΥΣ Διαλ.25 6 Ø Αν ένας πίνακας είναι συµµετρικός, οι ιδιοτιµές του είναι πραγµατικοί αριθµοί ² Ας το αποδείξουµε αυτό: Έστω ω είναι µια µιγαδική ιδιοτιµή ενός συµµετρικού πίνακα Π µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα α οι συνιστώσες του οποίου µπορεί να είναι µιγαδικές. Τα α και ω ικανοποιούν την εξίσωση: Π a = ω a πολ/ζω µε a Παίρνουµε τον συζυγή µιγαδικό έχουµε: Π a = ω * a πολ/ζω µε a Θα έχουµε: a Π a = ω a a a Π a = ω * a a και Επειδή ο Π συµµετρικός, τα αριστερά µέλη είναι ίσα οπότε ω a a = ω * a a Αλλά a a = a a = a x + a y + az και εποµένως: ω = ω ω

7 ΦΥΣ Διαλ.25 7 Πραγματικές ιδιοτιμές του πίνακα F Ø Θυµηθείτε ότι: U = ω 2 a T µ ω 2 a = a U µ a µ a T µε µ τον συζυγή του µa a Ø Αλλά U και Τ είναι συµµετρικοί και πραγµατικοί πίνακες και υπάρχει Τ -1, οπότε: µ a U " και µ a T " οπότε: ω 2 a Ø Θα υποθέσουµε από το σηµείο αυτό ότι οι ιδιοτιµές ω a 2 Ø Γράφουµε το διάνυσµα της διαταραχής η συναρτήσει των είναι ξεχωριστές η = η a µa Ø Οι εξισώσεις κίνησης γίνονται: 0 = "" η F η 0 = η a + ω 2 a η a a Ø Αλλά τα ιδιοδιανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα, οπότε: 0 = η a + ω 2 a η a a ( ) " q Το σύστηµα κοντά σε µια κατάσταση ισορροπίας είναι Ν αρµονικοί ταλαντωτές q Δυο διαφορετικές περιπτώσεις: (1) Αν όλα τα ω a 2 > 0 τότε έχουµε Ν ευσταθείς αρµονικούς ταλαντωτές Οι λύσεις θα είναι: η a = C a e iω at έχουµε Ν ω a συχνότητες ταλάντωσης (2) Αν υπάρχει κάποιο ω a 2 < 0 τότε έχουµε 1 ασταθής ταλαντωτής το πλάτος του οποίου αυξάνει εκθετικά µε τον χρόνο η a e ± ω a t

8 Απεικόνιση Lagrange ΦΥΣ Διαλ.25 8 Ø Θυµηθείτε ότι γράψαµε την Lagrangian µε την µορφή: L = 1 T ij ( q 0 ) η i η j 2 U η i η j 2 ij q i q j q 0 L = 1 2 η " Τ T η " 1 η Τ U η 2 Ø Tο διάνυσµα της διαταραχής η συναρτήσει των ιδιοδιανυσµάτων: η = η a µa a Ø όπου µ τα ιδιοδιανύσµατα του U = ω 2 a T a Ø Εποµένως η (1) γράφεται: L = 1 µ T a T µ "ηa T "ηb b T U T ( µ b ηaηb ) 2 ab L = 1 µ T a T µ "ηa T "ηb b µ T a ω 2 b T T ( µ b ηa ηb ) L = 1 µ T a T µ "ηa T "ηb 2 T b ω bηa ηb 2 ab 2 ab µ T a T µ b = 0 Ø Αυτό που ισχύει είναi: εκτός και αν α=b (1) ( ) ( ) ω 2 b T µ b = U 2 µ b ανάστροφη της εξίσωσης αυτής είναι: ω aµa T = U 2 ω b µa T µ b = U µ b 2 µ b ω aµa T µ b = ω U 2 2 b ω a µ b L = 1 2 ( ) T µ b = 0 a ( µ a T ) ηa " ( ω aηa )

9 Πραγματικά ιδιοδιανύσματα ΦΥΣ Διαλ.25 9 Ø Είδαµε ότι οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές. Μπορούµε να δείξουµε ότι και τα ιδιοδιανύσµατα είναι πραγµατικά: Ø Έστω οτι = α + i β Ø Τότε µπορούµε να γράψουµε: U a + i β ( ) = ω a 2 T a + iω a 2 T b U = ω a 2 T όπου α και b ικανοποιούν την ίδια εξίσωση ιδιοτιµών Ø Εφόσον οι ιδιοτιµές δεν είναι εκφυλισµένες: ω k ω j Ø Κάθε ιδιοτιµή αντιστοιχεί σε διαφορετικό ιδιοδιάνυσµα k j Ø Τα α και b είναι ανάλογα οπότε µπορούµε να γράψουµε: = a + i β = γ a Ø Όπου γ µιγαδικός που µπορεί να απορροφηθεί στο πλάτος του: η = C = C a i e iωt

10 Μετασχηματισμός κύριου άξονα ΦΥΣ Διαλ Ø Υπάρχουν Ν ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές. Έστω α j τα ιδιοδιανύσµατα: U a j = ω 2 j T a j j = 1,", N Ø Παίρνοντας την ανάστροφη εξίσωση θα έχουµε: Ø Πολ/ζοντας την 1 η εξίσωση από αριστερά µε α Τ και την 2 η από δεξιά µε α: a T k U a 2 j = ω T j ak T a j Οπότε ω j 2 ω k 2 και a T k U a T k U a 2 j = ω T kak T a j = ω k 2 ak T T ( ) a k T T a j = 0 a k T T a j = δ jk και: a k T U a j = ω j 2 δ jk Ø Κατασκευάζουµε τον πίνακα Α µε στήλες τα στοιχεία των ιδιοδιανυσµάτων: A = [ a 1,a 2,,a N ] A = a 11 a 1N " a N1 # a NN modular πίνακας Ø Οπότε οι 2 προηγούµενες εξισώσεις ορθοκανονικότητας γίνονται: A T T A = 1 και A T U A = ω 2 = ω ω N 2 Οι πίνακες Τ και U διαγωνοποιήθηκαν µε το µετασχηµατισµό του κύριου άξονα

11 Κανονικές συντεταγμένες Ø Η Lagrangian είχε γραφεί µε την µορφή: L = 1 2 η " Τ T η " 1 η Τ U η 2 ΦΥΣ Διαλ Ø Από την στιγµή που έχουµε κατασκευάσει τον πίνακα Α, µπορούµε να κάνουµε αλλαγή συντεταγµένων: ζ Α 1 η όπου ο πίνακας Α -1 υπάρχει εφόσον Α Τ ΤΑ = 1: Ø Αντικαθιστώντας στην Lagrangian θα έχουµε: ( η Α ζ η Τ ζ Τ Α Τ ) L = 1 ζ Τ Α Τ T Α ζ ζ Τ Α Τ U Α ζ L = 1 ζ Τ ζ ζ Τ ω 2 ζ L = 1 2 k ζ k ζ k ω 2 k ζ k ζ k δεν υπάρχουν µη διαγώνιοι όροι Ø Οι λύσεις είναι της µορφής: ζ k = ω k 2 ζ k ζ k = C k e iω kt ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές

12 Λύσεις ζ k = C k e iω kt ΦΥΣ Διαλ Ø Οι σταθερές C k καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος: ( ) = η και η ( t = 0) = η Ø Τότε: η( 0) = Α ζ ( 0) η j ( 0) = a jk ( C k ) η ( 0) = Α ζ ( 0) η j ( 0) = a jk " iω k C k Ø Έστω για t=0: η t = 0 ( ) = a jk ω k Im C k Ø Χρησιµοποιώντας την συνθήκη ορθοκανονικόττας: Α Τ ΤΑ = 1 η j ( 0) = a jk C k ( ) το οποίο σε µορφή πίνακα γράφεται: η 0 Πολ/ζουµε την τελευταία από αριστερά µε Α Τ Τ: A T η 0 Παίρνοντας την l-συνιστώσα της τελευταίας εξίσωσης: Ανάλογα για την ταχύτητα: Im( C k ) = 1 a lk T lj η j ( 0) ω k ( ) ( ) = A ( C) ( ) = ( C) ( C k ) = a lk T lj η j ( 0) (όπου δεν υπάρχει άθροισµα ως προς k):

13 Τριατομικό μόριο ΦΥΣ Διαλ Ø Θεωρήστε ένα µόριο όπως CO 2 : Ø H κινητική ενέργεια είναι: ( ) T = m 2 x x x 3 Ø H δυναµική ενέργεια είναι: U = k ( 2 x x 1 2 ) 2 + k ( 2 x x 2 3) 2 Ø O πίνακας των µαζών είναι: T = m m m k k 0 Ø O πίνακας του δυναµικού είναι: U = k 2k k 0 k k Ø Λύνουµε την εξίσωση των ιδιοτιµών: ( U ω 2 T)a = 0 det U ω 2 T ( ) = 0 det k ω 2 m k 0 k 2k ω 2 m k 0 k k ω 2 m = 0 ω 2 ( k ω 2 m) ( 3k ω 2 m) = 0 ω 1 = 0 ω 2 = k m ω = 3k 3 m

14 Τριατομικό μόριο ΦΥΣ Διαλ Ø Αντικαθιστώντας κάθε µια ιδιοτιµή στην εξίσωση των ιδιοτιµών βρίσκουµε τα ιδιοδιανύσµατα: k ω 2 m k 0 k 2k ω 2 m k 0 k k ω 2 m a 11 a 21 a 31 k k 0 = 0 k 2k k 0 k k a 11 a 21 a 31 = 0 ka 11 ka 21 = 0 a 11 = a 1 21 ka 31 ka 21 = 0 a 21 = a a 1 = k k m m k 0 k 2k k a 12 0 k 0 m m k a 22 = 0 k k k 0 k k k a 32 0 k 0 m m 1 ka 22 = 0 a 22 = 0 a 2 = 0 ka 12 ka 22 ka 32 = 0 a 12 = a 32 1 a 12 a 22 a 32 = 0

15 Τριατομικό μόριο k 3k m m k 0 k 2k 3k m m k 0 k k 3k m m a 13 a 23 a 33 2k k 0 = 0 k k k 0 k 2k ΦΥΣ Διαλ a 13 a 23 a 33 = 0 1 2ka 13 ka 23 = 0 a 23 = 2a 13 ka 23 2ka 33 = 0 a 23 = 2a 33 } a 13 = a 33 = a 23 2 a 3 = 2 1 Ø Αλλά η συνθήκη ορθοκανονικότητας δίνει: a T Ta = 1 m ω 1 = 0 a ( ) 0 m 0 1 = 1 a 2 ( 11 m m m ) 1 = m 1 1 a m = 1 a 11 = 1 3m ω 2 = k m m a 2 ( ) 0 m 0 0 = 1 a m = 1 a 12 = 1 2m 0 0 m 1

16 ΦΥΣ Διαλ Τριατομικό μόριο ω 3 = 3k m a 2 13 ( ) m m m 1 2 = 1 a 2 136m = 1 a 13 = 1 6m 1 Ø Εποµένως τα ιδιοδιανύσµατα γράφονται: a 1 = 1 3m a 2 = 1 2m a 3 = 1 6m Ø Οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης προκύπτουν από τον modal πίνακα Α a 1 a 2 a 3 Α = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 1 6m

17 Τριατομικό μόριο Ø Ο αντίστροφος του πίνακα Α θα είναι: A 1 = m 6 ΦΥΣ Διαλ Ø Οι κανονικές συντεταγµένες θα είναι εποµένως: ζ = A 1 η x 1 ζ = A 1 x 2 = m 6 x x 1 x 2 x 3 ( ) ζ 1 = m 3 x 1 + x 2 + x 3 ζ 2 = m ( 2 x x 1 3) ζ 3 = m ( 6 x 1 2x 2 + x 3 ) Ø H Lagrangian του συστήµατος µε βάση τις κανονικές συντεταγµένες είναι: L = 1 ζ Τ 1 ζ 2 2 ζ Τ ω 2 ζ L = 1 2 ( ) ( ζ ζ ζ 2 ) 3 k 2m ζ ζ 3

18 Εκφυλισμένες ιδιοτιμές Ø Υποθέσαµε ότι : ω k ω j j k ΦΥΣ Διαλ Ø Τι ακριβώς συµβαίνει όταν έχουµε εκφυλισµών των ιδιοτιµών? Ø Στην περίπτωση αυτή πολλαπλές ιδιοτιµές αντιστοιχούν σε πολλαπλά ιδιοδιανύσµατα Ø Η χαρακτηριστική εξίσωση των ιδιοτιµών γράφεται στην περίπτωση αυτή: det U ω 2 Τ = ( ω 2 κ 2 ) m f ( ω 2 ) = 0 όπου: ω = κ µε m-εκφυλισµό Ø Η εξίσωση ιδιοδιανυσµάτων : ( U κ 2 Τ)a j = 0 όπου j=1,,m ιδιοδιανύσµατα Ø Αλλά ο γραµµικός συνδυασµός ιδιοδιανυσµάτων είναι επίσης ιδιοδιάνυσµα: c j a j Ø Είναι επίσης δυνατόν να βρεθεί µια οµάδα από m ορθογώνιων διανυσµάτων

19 Εκφυλισμένες ιδιοτιμές Η συνταγή ΦΥΣ Διαλ Ø Για µια m-εκφυλισµένως ιδιοτιµή µε m-ιδιοδιανύσµατα Ø Αρχικά κανονικοποιούµε ένα ιδιοδιάνυσµα χρησιµοποιώντας: a 1 T T a 1 Ø Κατόπιν χρησιµοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 2 και το µετασχηµατίζουµε ως: a 2 = a 2 ( a T 1 T a 2 ) a 1 Ø Έτσι ικανοποιείται η συνθήκη ορθοκανονικότητας: a T 1 T a 2 = 0 Ø Κανονικοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 2 : a 2 T T a 2 Ø Κατόπιν χρησιµοποιούµε το ιδιοδιάνυσµα α 3 και το µετασχηµατίζουµε ως: a 3 = a 3 ( a T 1 T a 3 ) a 1 ( a 2 T T a 3 ) a 2 Ø Ο µετασχηµατισµός ικανοποιεί τις συνθήκες: Ø Συνεχίζουµε την διαδικασία για τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσµατα a T 2 T a 3 = 0 και a T 1 T a 3 = 0 Ø Η διαδικασία αυτή οδηγεί σίγουρα στον σχηµατισµό του πίνακα Α: A Τ T A = 1