ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης

2 Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα Κύριο Επίπεδο (osculating plane) Καµπυλότητα Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) x 3 s Q x x 3 (t) e 3 x e 1 e x 1 (t) x (t) x 1

3 3 1) Καµπύλη στο χώρο (παραµετρική διατύπωση) x = x ( t) e + x ( t) e + x ( t) e (1.1) ) Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα dx dx dx dx = + + ds ds ds ds 1 3 e1 e e3 1 dx dx dx dx dx3 = + + ds ds ds ds ds (1.) Ισχύει: ( ds) ( dx ) ( dx ) ( dx ) = + + (1.3) 1 3 Άρα: δηλαδή dx ds είναι µοναδιαίο διάνυσµα. dx dx = 1 (1.4) ds ds dx t= = ds lim s 0 x s (1.5) Επίσης: dx dx ds x = = (1.6) dt ds dt είναι εφαπτοµενικό διάνυσµα, αλλά όχι κατ ανάγκη µοναδιαίο.

4 4 x 3 x x s + x x s e 3 x dx ds e 1 e x x 1 3) Κύριο Επίπεδο (osculating plane) Η οριακή θέση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία συνεχόµενα σηµεία της καµπύλης, καθώς τα δύο πλησιάζουν το τρίτο, ορίζουν το κύριο επίπεδο στη συγκεκριµένη θέση Κάθε σηµείο του κυρίου επιπέδου ορίζει µε ένα σηµείο x της καµπύλης ένα διάνυσµα (X-x), το οποίο βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο µε το εφαπτοµενικό διάνυσµα και το διάνυσµα της µεταβολής του Tο κύριο επίπεδο ορίζεται ως:

5 5 ( ) ( ) ( X x) x x = 0 (1.7) Έτσι, µπορεί να οριστεί το κύριο κάθετο διάνυσµα σε ένα σηµείο της καµπύλης ως το διάνυσµα που βρίσκεται στο κύριο επίπεδο και είναι κάθετο στο εφαπτοµενικό διάνυσµα t. 4) Καµπυλότητα d t t= 1και άρα ( t t ) = t t = 0 ds όπου ( ) δηλώνει την παράγωγο ως προς s. Προκύπτει έτσι ότι το t είναι κάθετο στο t. Επίσης: dx dx dt t= = = xt ds dt ds ( ) t = xt + x t (1.8) που δηλώνει ότι το διάνυσµα t κείται στο επίπεδο των διανυσµάτων ẋ και ẋ δηλαδή στο κύριο επίπεδο. Εφόσον το διάνυσµα t είναι κάθετο του t είναι και παράλληλο στην κάθετη διεύθυνση και στο αντίστοιχο µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα N, δηλαδή: t = k = kn (1.9) όπου k ορίζεται ως το διάνυσµα της καµπυλότητας και k=1/r η καµπυλότητα που αντιστοιχεί στην ακτίνα καµπυλότητας R, που είναι η ακτίνα ενός κύκλου στο κύριο επίπεδο που διέρχεται από τρία γειτονικά σηµεία της καµπύλης. Η κατεύθυνση του κάθετου µοναδιαίου διανύσµατος µπορεί να είναι οποιαδήποτε. Επιλέγεται ως θετική η δεξιόστροφη.

6 6 k N t k < o s N t k > o k

7 7 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Κάθε επιφάνεια S µπορεί να οριστεί σε ένα καρτεσιανό σύστηµα αξόνων ως: x 1 = f 1 (α 1,α ), x = f (α 1,α ), x 3 = f 3 (α 1,α ) (1.10) όπου f i, i = 1,,3 συναρτήσεις (µονότιµες) των παραµέτρων α 1 και α x 3 n α 1 =d 5 α 1 =d 4 α 1 =d 3 D r, r,1 α 1 =d α 1 =d 1 α =c 5 e 1 e 3 r r e α =c 1 α =c α =c 4 α =c 3 + dr, dr ds x x 1 r ( a a ) = f ( a, a ) e + f ( a, a ) e + f ( a, a ) e (1.11) 1, dr= r,1 da1 + r, da (1.1) r όπου r, i =, i= 1, a i

8 8 1 η Θεµελιώδης Μορφή: ( ds) = dr dr= E( da ) + F da da + G( da ) οπου 1 1 E= r r, F = r r, G= r r,1,1,1,,, (1.13) Κατά µήκος των παραµετρικών καµπυλών ισχύει: ds = E da καµπύλεςµεσταθερόa 1 1 ds = G da καµπύλεςµεσταθερόa 1 (1.14) Όταν οι παραµετρικές καµπύλες τέµνονται κάθετα, τότε F=0. Άρα: ( ds) = A ( da ) + A ( da ) όπου 1 1 A = E, A = G, και F = 0 1 (1.15) Κάθετο ιάνυσµα Σε κάθε σηµείο P αντιστοιχεί ένα µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα n(α1,α) που είναι κάθετο στα διανύσµατα r,1 και r,, τα οποία ορίζουν το εφαπτόµενο επίπεδο στο σηµείο P n( a a ) = 1, ( r,1 r,) r r,1, (1.16) Από τον διανυσµατικό λογισµό είναι γνωστό ότι: r r = r r,1,,1, και r r = r r,1,,1, sinθ cosθ (1.17) όπου θ η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων r,1 και r,

9 9 cos F sin EG θ = και θ = F (1.18) EG EG υπό την προϋπόθεση ότι H 0. r,1 r, άρα n( a1, a) =, H = EG F (1.19) H Παρατήρηση: Το κάθετο διάνυσµα µίας καµπύλης της επιφάνειας δεν συµπίπτει απαραίτητα µε το κάθετο διάνυσµα της επιφάνειας στο ίδιο σηµείο, δηλαδή: γενικά N n 1 Σύµβαση: Το κάθετο διάνυσµα n θεωρείται θετικό, όταν δείχνει από το κοίλο προς το κυρτό χωρίο. Αυτό βεβαίως απαιτεί τον κατάλληλο προσανατολισµό των παραµετρικών καµπύλων. εύτερη Θεµελιώδης Μορφή Το διάνυσµα της καµπυλότητας δίδεται ως dt K = = Kn+ Kt (1.0) ds και διαχωρίζεται σε δύο συνιστώσες: την κάθετη και την εφαπτοµενική Kn και K t, αντίστοιχα Το κάθετο διάνυσµα παρουσιάζει το κύριο ενδιαφέρον: K n = K n (1.1) n τα διανύσµατα n και t είναι κάθετα, δηλαδή n* t =0.

10 10 dn dt t= n ds ds K n = K ( ) n n dt n = n Kn ds dr dn Kn = ds = dr dr dr dr (( ) ) (1.) Επίσης: dn = n da + n da,1 1, dr = r da + r da,1 1, (1.3) Έτσι: K n ( 1) ( ) ( ) + + ( ) II L da Mda da N da = = I E da Fda da G da 1 1 (1.4) όπου οι επόµενες ποσότητες ορίζουν την δεύτερη θεµελιώδη µορφή ( ) L= r n, M = r n + r n, N = r n (1.5),1,1,1,,,1,, Παραγωγίζοντας τις εκφράσεις r,1 n= 0 και r, n= 0 λαµβάνουµε: L= r n, M = r n, N = r n (1.6),11,1, όπου r, ij καθώς επίσης r r =, i, j= 1, a a i j = r,1,1

11 11 Επειδή οι ποσότητες E, F, G, L, M, N ορίζονται ως εκφράσεις των α και α 1 και είναι σταθερές σε κάθε σηµείο προκύπτει ότι η κάθετη καµπυλότητα εξαρτάται dα1 µόνο από την διεύθυνση dα. Κύριες Καµπυλότητες Αναζητούµε τις διευθύνσεις που καθιστούν την κάθετη καµπυλότητα µέγιστη και da ελάχιστη λ= da 1 K( λ) = L+ Mλ+ Nλ E+ Fλ+ Gλ (1.7) Θέτοντας dk ( λ) 0 dλ = λαµβάνουµε ( E Fλ Gλ )( M Nλ) ( L Mλ Nλ )( F Gλ) Παρατηρώντας ότι: = 0 (1.8) ( ) ( ) ( ) ( ) E+ Fλ+ Gλ = E+ Fλ + λ F+ Gλ L+ Mλ+ Nλ = L+ Mλ + λ M + Nλ (1.9) Βρίσκουµε ότι: ( E Fλ)( M Nλ) ( F Gλ)( L Mλ) + + = + + (1.30) Έτσι : M + Nλ L+ Mλ K( λ) = = F+ Gλ E+ Fλ (1.31)

12 Η χαρακτηριστική εξίσωση που προκύπτει είναι: 1 ( MG NF) λ + ( LG NE) λ+ ( LF ME) = 0 (1.3) από όπου προκύπτει: λ 1, ( LG NE) ± ( LG NE) 4( MG NF)( LF ME) = ( MG NF) (1.33) Αποδεικνύεται ότι οι δύο καµπυλότητες είναι ορθογώνιες και οι οικογένειες των καµπυλών που αντιστοιχούν σε αυτές είναι και αυτές ορθογώνιες. Αυτές αντιστοιχούν: da da da = 0 και = 0 (1.34) da 1 1 οπότε LF ME= 0 και MG NF = 0 (1.35) όµως για ορθογώνιες καµπύλες ισχύει F = 0. Αποδεικνύεται, επίσης ότι, γενικά: EG-F > 0, οπότε για τις ορθογώνιες, ούτε το Ε, ούτε το G µπορούν να µηδενίζονται. Έτσι, το Μ πρέπει να είναι µηδέν. F = M = 0 (1.36) 1 L 1 N οπότε K = =, K = = (1.37) R E R G 1 1 Έτσι, όταν οι καµπύλες κύριας καµπυλότητας χρησιµοποιούνται ως παραµετρικές καµπύλες, απλοποιούνται σηµαντικά οι εξισώσεις των κελυφών.