o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5) - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. δ.. β. 3. δ. 4. γ. 5. α.λ, β.λ, γ.σ, δ.λ, ε.σ. ΘΕΜΑ B B. Σωστ απάντηση είναι η (γ). Τα παιδιά πριν αρχίζουν να τραβούν το σχοινί είναι ακίνητα, άρα η συνολικ ορμ τους αρχικά είναι μηδέν. Όταν αυτά αγκαλιαστούν, η συνολικ ορμ του συστματος p V (). Το σύστημα παιδιά - πατίνια σχοινί είναι ένα είναι ( ) A B μονωμένο σύστημα, άρα η συνολικ του ορμ διατηρείται σταθερ και ίση με μηδέν. Για να συμβαίνει αυτό, όπως προκύπτει από τη σχέση (), πρέπει V 0. Άρα το συσσωμάτωμα θα παραμείνει ακίνητο. B. Σωστ απάντηση είναι η (α). Έχουμε κεντρικ ελαστικ κρούση δύο σωμάτων από τα οποία το ένα αρχικά είναι ακίνητο, οπότε οι ταχύτητές τους μετά την κρούση δίνονται από τις σχέσεις: - Τα σώματα μετά την κρούση θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις. Όπως προκύπτει από τις πιο πάνω σχέσεις το σώμα Σ θα έχει ίδια φορά με αυτ που είχε πριν την κρούση το Σ. Συνεπώς για τις αλγεβρικές τιμές των ταχυττων θα ισχύει: - - - Σελίδα από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Από όπου προκύπτει: - 4 5 5 Β3. Σωστ απάντηση είναι η (α). Η παραγόμενη θερμότητα είναι ίση με τη μείωση της κινητικς ενέργειας του συστματος: Q ( )V (3 ) ( )V 0 Q V όπου V, η κοιν ταχύτητα του συσσωματώματος, που είναι και το μόνο άγνωστο μέγεθος. Εφαρμόζουμε την διατρηση της ορμς για την κρούση: p p η οποία για τα μέτρα δίνει p p p () Όπου: p, p 3. Αντικαθιστώντας στην () παίρνουμε: p 3 0 0 p V V V,5 Με αντικατάσταση στη σχέση (), προκύπτει: 0 5 Q,5 Q Β4. Σωστ απάντηση είναι η (β). Η δυναμικ ενέργεια ελαστικς παραμόρφωσης μεγιστοποιείται όταν οι δυνάμεις επαφς μεταξύ των δύο σωμάτων έχουν το μέγιστο μέτρο και τα σώματα έχουν ίδιες ταχύτητες. Σε όλη τη διάρκεια της κρούσης οι αναπτυσσόμενες δυνάμεις επαφς είναι εσωτερικές, οπότε το σύστημα των δύο σωμάτων είναι μονωμένο. Εφαρμόζουμε την αρχ διατρησης της ορμς μεταξύ της θέσης ελάχιστα πριν την κρούση και τη θέσης που τα σώματα έχουν ίδιες ταχύτητες. p p Σελίδα από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Παίρνοντας τα θετικά προς τα δεξιά η σχέση αλγεβρικά γράφεται: p p V V V () Επειδ η κρούση είναι ελαστικ, η μηχανικ ενέργεια του συστματος διατηρείται σταθερ στη διάρκεια του φαινομένου. Η διατρηση της Ε ΜΗΧ μεταξύ των δύο θέσεων δίνει: E( ) E( ) ( )V U(ax) () 64 Σύμφωνα με την εκφώνηση U(ax) K 00 Έτσι η () γίνεται: ( )V 64 36 ( )V 00 00 Η τελευταία σχέση σε συνδυασμό με τη σχέση () δίνει: 36 36 ( ) 00 00 9 00 36( ) 6 ΘΕΜΑ Γ Στο θέμα συναντάμε τα εξς φαινόμενα: -Ισορροπία σώματος, του Σ. -Κίνηση του σώματος Σ σε τραχύ πλάγιο επίπεδο. -Κεντρικ ελαστικ κρούση δύο σωμάτων από τα οποία το ένα είναι ακίνητο. Σελίδα 3 από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -Κίνηση του σώματος Σ σε λείο πλάγιο επίπεδο, και κίνηση του σώματος Σ σε τραχύ πλάγιο επίπεδο. Γ. Για την κίνηση του σώματος Σ στο τραχύ πλάγιο επίπεδο εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου ενέργειας από τη θέση (Α) που ελευθερώνεται, μέχρι τη θέση (Β) λίγο πριν την κρούση. Καθώς το Σ κατέρχεται η κινητικ του ενέργεια μεταβάλλεται λόγω του έργου που προκαλούν η συνιστώσα του βάρους gημφ και η τριβ ολίσθησης Τ, η οποία έχει μέτρο Τ=μΝ=μ gσυνφ. K W W W(AB) T(AB) 0 g g g( ) 0 4(0, 6 0,50,8) 4 Γ. Έχουμε κεντρικ ελαστικ κρούση δύο σωμάτων από τα οποία το Σ είναι ακίνητο, επομένως οι ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση δίνονται από τις σχέσεις:, (), () Για την εύρεση της μάζας εφαρμόζουμε τη συνθκη ισορροπίας του Σ, πριν την κρούση, όταν αυτό ισορροπεί με το ελατριο συμπιεσμένο κατά. N 0 0,5 k F 0 g k 0 3kg g 0 0,6 Αντικαθιστώντας στις (), () παίρνουμε Σελίδα 4 από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ kg 3kg 4 kg 3kg kg 4 kg 3kg Γ3. Μετά την κρούση το σώμα Σ κινείται σε πλάγιο επίπεδο υπό την επίδραση των δυνάμεων της συνιστώσας του βάρους gημφ και της F ελ. Εφαρμόζουμε το Θ.Ε.Ε. για το Σ από τη θέση (Γ) μέχρι τη θέση (Ε). g x k k k x kx gx k x kx E K WW( E) WF ( E) 0 g x k k x Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση όπου ισορροπίας του Σ πριν την κρούση) έχουμε: g k (συνθκη 3kg 0 kx x x k N 0 0 Γ4. Μετά την κρούση, το Σ ανέρχεται στο πλάγιο επίπεδο επιβραδυνόμενο μέχρι να σταματσει. Στο σώμα ασκούνται η συνιστώσα του βάρους και η τριβ ολίσθησης, τα μέτρα των οποίων είναι σταθερά, άρα η κίνηση του Σ είναι ομαλά επιβραδυνόμενη. Θα βρούμε το χρόνο κίνησς του στο πλάγιο επίπεδο χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις κινηματικς. Εύρεση του μέτρου της επιτάχυνσης του Σ : F g g g( ) 0 Aπό την εξίσωση της ταχύτητας παίρνουμε: 0 t t t 0, Γ5. O ρυθμός μεταβολς της ορμς ισούται με τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα στο άξονα κίνησης. Όταν το σώμα Σ σταματσει στιγμιαία, προκαλεί τη μέγιστη συμπίεση στο ελατριο και δέχεται αυτό (το σώμα Σ ) στον άξονα κίνησης δύο δυνάμεις, την F ελ και τη συνιστώσα του βάρους του. Σελίδα 5 από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ dp dt F k( x ) g k kx g kx dp N 0 dp 0 0 kg / dt 0 dt ΘΕΜΑ Δ Στο θέμα συναντάμε κατά χρονικ σειρά τα εξς φαινόμενα: -Ισορροπία σώματος που κρέμεται από νμα. -Πλάγια πλαστικ κρούση βλματος με το ακίνητο σώμα. -Διαγραφ κυκλικς τροχιάς στο κατακόρυφο επίπεδο από ένα σώμα που είναι δεμένο σε νμα. Δ. Η αρχικ ορμ του βλματος αναλύεται σε δύο κάθετους άξονες. Η ορμ του συστματος των Μ και διατηρείται μόνο στον οριζόντιο άξονα καθώς στον κατακόρυφο άξονα το νμα δεν επιτρέπει στο συσσωμάτωμα να κινηθεί προς τα κάτω, δηλαδ στον κατακόρυφο άξονα το σύστημα δεν είναι μονωμένο. Η εφαρμογ της αρχς διατρησης της ορμς στον οριζόντιο άξονα για το σύστημα ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την ενσφνωση του βλματος στο ξύλο δίνει: p p (M )V x x o 0,kg 60 0,5 M kg o V V 4 Σελίδα 6 από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Δ. To ποσοστό μετατροπς της αρχικς κινητικς ενέργειας του βλματος σε θερμότητα είναι : o ( M)V Q K( ) K % 00% 00% 00% K K ( ) o 0,kg 60 kg 4 % 00% % 98, 75% 0,kg 60 Δ3. Αφού το βλμα σφηνωθεί στο σώμα δημιουργείται συσσωμάτωμα που εκτελεί κυκλικ τροχιά. Έτσι, σε κάθε θέση της κυκλικς τροχιάς η συνισταμένη των δυνάμεων που βρίσκονται στην διεύθυνση της ακτίνας του κύκλου δημιουργούν την απαραίτητη κεντρομόλο δύναμη. Στη θέση (Α), αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα V, άρα για τη συνισταμένη των δυνάμεων που παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης ισχύει: (M )V (M )V F F T (M )g kg 4 (M )V T (M )g 0N T 00N 0,4 Άρα, στη θέση (Γ) που το νμα σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο, η τάση του νματος είναι Τ =50Ν. Στη θέση (Γ) για τη συνισταμένη των δυνάμεων που παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης ισχύει: (M ) (M ) F F T (M )g 50 0 5 0 4, () Κατά την κίνηση του συσσωματώματος από τη θέση (Α) μέχρι τη θέση (Γ) στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις του βάρους και της τάσης του νματος. Η τάση του νματος επειδ είναι διαρκώς κάθετη στην μετατόπιση δεν παράγει έργο. Εφαρμόζουμε το Θ.Ε.Ε. για το συσσωμάτωμα από τη θέση (Α) μέχρι τη θέση (Γ). Σελίδα 7 από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ K WB W ( ) ( )V ( )gh V g ( ) 6 8( ), () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), () παίρνουμε 0 46 8( ) 6 Δ4. Μετά την κρούση, η μηχανικ ενέργεια του συστματος διατηρείται σταθερ, καθώς η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι η δύναμη του βάρους. Επομένως du dk F dx E K U du dk 0 dt dt dt du F dt x Όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της ΣF x και της ταχύτητας υ Γ στην εφαπτομενικ διεύθυνση της κυκλικς τροχιάς, εδώ ω=80 ο. Tη στιγμ που το νμα σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο, o ρυθμός μεταβολς της βαρυτικς ενέργειας δίνεται από τη σχέση du dt du dt F 80 (M )g 80 x (M )g, (3) Από την () με αντικατάσταση του συνθ βρίσκουμε την ταχύτητα 56 0 4 0 4 6 6. Eπίσης από τη σχέση 35 36 36 βρίσκουμε το ημθ. Αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε Σελίδα 8 από 9
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 06: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ du 35 56 0 980 J (M )g 0 t 36 6 6 3 du J 60 t O ρυθμός μεταβολς της δυναμικς βαρυτικς ενέργειας είναι θετικός. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού το σώμα ανεβαίνοντας αυξάνει τη δυναμικ βαρυτικ του ενέργεια. Η εκπόνηση του διαγωνίσματος έγινε με τη βοθεια Εθελοντών Εκπαιδευτικών: Τα θέματα επιμελθηκαν οι Ιστάπολος Βασίλειος και Ποντικός Ηλίας, Φυσικοί. Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιθηκε από τον Παλόγο Αντώνιο, Φυσικό. Σελίδα 9 από 9