Η ΜΕΘΟ ΟΣ "ΛΟΦΟΣ-ΤΡΙΒΗ" ( Friction-Hill Metod, Slab Analysis) Α. Προβλήµατα επίπεδης παραµορφωσιακής κατάστασης A. ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου (Σχ. ). Σχήµα : Σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου. Βήµα : Περιγραφή/Συνθήκες προβλήµατος Επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση. ιπλή συµµετρία γεωµετρίας και φόρτισης ως προς οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα. Συνθήκες τριβής κατά Coulomb στη διεπιφάνεια ΕΡ/ΤΕ: τ = µ p () Η ροή του υλικού γίνεται προς τα ΑΡ και Ε, επίσης µε διπλή συµµετρία. Επιλέγεται ως σύστηµα αναφοράς το καρτεσιανό σύστηµα αξόνων (x, y) του Σχ.. Λόγω της διπλής συµµετρίας, µελετάται η µισή µπιγέτα (έστω αυτή που αντιστοιχεί σε ροή Ε) και τα αποτελέσµατα θα ισχύουν καθ' όµοιο τρόπο και για την άλλη µισή. Βήµα 2: Μελέτη της ισορροπίας στοιχειώδους λωρίδας Αποκόπτεται λωρίδα του ΤΕ σε θέση x µε στοιχειώδες πάχος dx και ύψος (Σχ. ). Για να ισορροπήσει η στοιχειώδης λωρίδα θα αναπτυχθούν επιπλέον σε κάθε επιφάνεια αποκοπής εσωτερικές τάσεις. Έτσι, στη στοιχειώδη λωρίδα θα ασκούνται (Σχ. 2): p : κάθετη φόρτιση από το ΕΡ τ : τάση τριβής µε φορά αντίθετη της ροής σ x : τάση οµοιόµορφα κατανεµηµένη στην επιφάνεια αποκοπής στη θέση x, η οποία λαµβάνεται κατά σύµβαση εφελκυστική σ x + dσ x : τάση οµοιόµορφα κατανεµηµένη στην επιφάνεια αποκοπής στη θέση x+dx, επίσης κατά σύµβαση εφελκυστική
Σχήµα 2: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας Ισορροπία της στοιχειώδους λωρίδας κατά τον άξονα x δίνει ( σ x + dσx )( b) σx ( b) 2τ(b dx) = 0 ή µε απαλοιφή του πλάτους b της µπιγέτας και αντικατάσταση από την εξ. () σ x + dσx σx 2µ p dx = 0 ή τελικά µετά την εκτέλεση των πράξεων 2µ dσ x = p dx (2) Βήµα 3: Εισαγωγή κριτηρίου διαρροής Στην επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση τα κριτήρια Mises και Tresca εκφράζονται µε την ίδια µαθηµατική σχέση ως: σ σ 2k, όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση του υλικού ΤΕ. 3 = Θεωρώντας ως κύριες διευθύνσεις τις x και y, αντίστοιχα (δηλ. σ = σx και σ 3 = σ y ), µία τοµή της στοιχειώδους λωρίδας όπως φαίνεται στο Σχ. 3 ελευθερώνει εσωτερικές τάσεις σ y Σχήµα 3: Ισορροπία κατά τη διεύθυνση y Από την ισορροπία κατά τη διεύθυνση y προκύπτει σ (b dx) p(b dx) 0 ή τελικά σy = p. Με αντικατάσταση στο κριτήριο διαρροής παίρνουµε: p = 2k σx (3) Βήµα 4: Επίλυση του προβλήµατος 2 y = σ x ( p) = 2k ή τελικά
Συνδυασµός των εξ. (2) και (3) δίνει 2µ dσx 2µ dσ x = (2k σx )dx ή = dx ή 2k σx d(2k σx ) 2µ 2µ = dx ή µε ολοκλήρωση l n (2k σx ) = x + c ή (2k σx ) 2µ x / 2k σ x = c e ή τελικά x 2µ x / σ = 2k c e (4) όπου c σταθερά ολοκλήρωσης. Οριακές συνθήκες: Στο άκρο x=a του ΕΡ η ροή του υλικού είναι ελεύθερη. Συνεπώς, θα ισχύει σ x = 0. Με αντικατάσταση στην εξ. (4) προκύπτει για τη σταθερά c c 2µ a / = 2k e (5) Και, τελικά, από τις εξ. (4) και (5) 2µ (ax)/ σ = 2k[ e ] (6) x Βήµα 5: Κατανοµή πίεσης p και τριβής τα Από τις εξ. (3) και (6) προκύπτει p 2µ (ax)/ = 2ke (7) και 2µ (ax)/ τ = 2µ ke (8) Η γραφική παράσταση των p και τ παρουσιάζεται στο Σχ. 4. Βήµα 6: Υπολογισµός του φορτίου κατεργασίας Ρ Προφανώς θα είναι a a P = p(2ab) = p(x) dx (2ab) = 2b p(x) dx (9) a 0 0 όπου b το πλάτος επαφής ΕΡ/ΤΕ κατά την εγκάρσια διεύθυνση. 3
Σχήµα 4: Κατανοµές p και τ Α.2 ιπλή συµµετρία γεωµετρίας/απλή συµµετρία φόρτισης Θεωρούµε τη σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου και σύγχρονη άσκηση εφελκυστικών τάσεων στα άκρα του ΤΕ (Σχ. 5). Σχήµα 5: Σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο επίπεδου άκρου και σύγχρονη άσκηση εφελκυστικών τάσεων στα άκρα του ΤΕ Βήµα : Περιγραφή/Συνθήκες προβλήµατος Επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση. Συνθήκες τριβής sticking στη διεπιφάνεια ΕΡ/ΤΕ: τ = k (0) Η ροή του υλικού ασύµµετρη Ε και ΑΡ. Ως σύστηµα αναφοράς επιλέγεται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων (x, y) στο ένα άκρο του ΕΡ. Θεωρούµε δύο στοιχειώδεις λωρίδες που περιγράφουν ροή Ε και ΑΡ, αντίστοιχα ή µια ισοδύναµη ενιαία στοιχειώδη λωρίδα µε διπλή προσήµανση της τριβής (Σχ. 6). 4
Σχήµα 6: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας Βήµα 2: Μελέτη της ισορροπίας στοιχειώδους λωρίδας Ισχύουν οι ίδιες παρατηρήσεις που έγιναν στην προηγούµενη περίπτωση. Ισορροπία της στοιχειώδους ισοδύναµης λωρίδας κατά τον άξονα x ( σ x + dσx )( b) σx ( b) ± 2τ(b dx) = 0 ή µε απαλοιφή του πλάτους b της µπιγέτας και αντικατάσταση από την εξ. (0) σ x + dσx σx ± 2k dx = 0 ή τελικά µετά την εκτέλεση των πράξεων 2k dσ x = m dx () Σηµείωση: Στις παραπάνω σχέσεις το πάνω πρόσηµο αναφέρεται σε ροή ΑΡ, ενώ το κάτω πρόσηµο σε ροή Ε. Βήµα 3: Εισαγωγή κριτηρίου διαρροής Σύµφωνα µε όσα έχουν εκτεθεί στην προηγούµενη περίπτωση, θα ισχύει σ σ 3 = 2k, όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση του υλικού ΤΕ, σ = σx και σ 3 = σ y = p. Με αντικατάσταση στο κριτήριο διαρροής προκύπτει πάλι σ x ( p) = p = 2k σx (2) 2k ή τελικά 5
Βήµα 4: Επίλυση του προβλήµατος Ολοκλήρωση της εξ. () παρέχει 2k σx = m x + c (3) η οποία αναλυόµενη σε κάθε ροή δίνει αντίστοιχα 2k Ροή ΑΡ: σx α = x + cα (3α) 2k Ροή Ε: σx δ = x + cδ (3β) Οριακές συνθήκες για τον προσδιορισµό των σταθερών ολοκλήρωσης c και c. Στο άκρο x=0 είναι σx α = s (διότι είναι εφελκυστική). Με αντικατάσταση στην εξ. (3α) προκύπτει για τη σταθερά c α : c α = s. Οπότε η εξ. (3α) γράφεται 2k Ροή ΑΡ: σ xα = s x (4α) Στο άκρο x=2a είναι σ x δ = 4ka σταθερά c δ : cδ = t. Οπότε η εξ. (3β) γράφεται 2k Ροή Ε: σx δ = t (2a x) (4β) Βήµα 5: Προσδιορισµός ουδετέρου επιπέδου t (εφελκυστική). Με αντικατάσταση στην εξ. (3β) προκύπτει για τη Στη θέση του ουδετέρου επιπέδου (ο. ε.) υφίσταται ακινησία του υλικού, ενώ εκατέρωθεν αυτού η φορά της ροής αλλάζει. Αν το ουδέτερο επίπεδο βρίσκεται στη θέση x = xn, εκεί θα πρέπει να πληρούται η σχέση: σx α = σxδ ή λόγω των (4α) και (4β) 2k 2k s xn = t (2a xn ) ή τελικά x n = a + (s t) (5) 4k ιερεύνηση Αν s=t, τότε x n = a (ο.ε. στο µέσο του ΕΡ). Αν s>t, τότε x n > a (ο.ε. προς το µέρος της t). Αν s<t, τότε x n < a (ο.ε. προς το µέρος της s). α δ Βήµα 6: Κατανοµή πίεσης p και τριβής τα Ροή ΑΡ: x [ 0, xn ] Από τις εξ. (2) και (4α) προκύπτουν 6
x pα = 2k + s (6α) τ α = k (6β) Ροή Ε: x [x,2a] Οµοίως, από τις εξ. (2) και (4β) n 2a x pδ = 2k + t (7α) τ δ = k (7β) Η γραφική παράσταση των p και τ παρουσιάζεται στο Σχ. 7. Σχήµα 7: Κατανοµές p και τ Βήµα 7: Υπολογισµός του φορτίου κατεργασίας Ρ Προφανώς θα είναι xn 2a xn 2a P = p(2ab) = pα (x) dx + pδ (x) dx (2ab) = b pα (x) dx + pδ (x) dx (8) 2a 0 xn 0 xn όπου b το πλάτος επαφής ΕΡ/ΤΕ κατά την εγκάρσια διεύθυνση. 7
Α.3 Απλή συµµετρία γεωµετρίας ΤΕ και φόρτισης Σφυρηλάτηση ορθογωνικής µπιγέτας µε εργαλείο κεκλιµένου άκρου (Σχ. 8) Σχήµα 8: Σφυρηλάτηση µπιγέτας µε ΕΡ κεκλιµένου άκρου Βήµα : Περιγραφή/Συνθήκες προβλήµατος Επίπεδη παραµορφωσιακή κατάσταση. Γωνία α<2 ο. Συνθήκες τριβής κατά Coulomb Η ροή του υλικού ασύµµετρη Ε και ΑΡ. Ως σύστηµα αναφοράς επιλέγεται καρτεσιανό σύστηµα αξόνων (x, y) µε αρχή την κορυφή Ο της γωνίας (Σχ. 8). Η ροή του υλικού ασύµµετρη λαµβάνει χώρα προς τα Ε και ΑΡ συγχρόνως. Θεωρούµε δύο στοιχειώδεις λωρίδες που περιγράφουν ροή Ε και ΑΡ, αντίστοιχα ή µια ισοδύναµη ενιαία στοιχειώδη λωρίδα µε διπλή προσήµανση της τριβής (Σχ. 9). Σχήµα 9: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας 8
Βήµα 2: Μελέτη ισορροπίας της ενιαίας στοιχειώδους λωρίδας Ισχύουν οι ίδιες παρατηρήσεις που έγιναν στην προηγούµενη περίπτωση. Από την υφιστάµενη γεωµετρία προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις = 2x tan α (9α) d = 2 dx tan α (9β) dx ds = (9γ) cosα Ισορροπία της στοιχειώδους ισοδύναµης λωρίδας κατά τον άξονα x (Σχ. 9) Οι συνιστώσες δυνάµεις, ανά µονάδα πλάτους, είναι: ( σx + dσx )( + d) σ x dx 2p ds sin α = 2p sin α = 2p tanα dx cosα dx ± 2τ ds cosα = ± 2µ p cosα = ± 2µ p dx cosα Σηµείωση: Στις παραπάνω σχέσεις το πάνω πρόσηµο αναφέρεται σε ροή Ε, ενώ το κάτω πρόσηµο σε ροή ΑΡ. Η εξίσωση ισορροπίας γράφεται ( σ x + dσx )( + d) σx + 2p tan α dx ± 2µ p dx = 0 ή λόγω των εξ. (9) και απαλοιφή του x dσ + [ σ + p( ± µ cot α)] d 0 (20) x x = Βήµα 3: Εισαγωγή κριτηρίου διαρροής Κατά τα γνωστά, ισχύει σ σ 3 = 2k, όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση του υλικού ΤΕ. Θεωρώντας ως κύριες διευθύνσεις τις x και y, αντίστοιχα (δηλ. σ = σ x και σ 3 = σ y ), µε µία τοµή της στοιχειώδους λωρίδας όπως φαίνεται στο Σχ. 0 ελευθερώνονται εσωτερικές τάσεις σ y Σχήµα 0: Ισορροπία κατά διεύθυνση y Από την ισορροπία κατά τη διεύθυνση y προκύπτει dx dx σy dx p ds cosα ± µ p ds sin α = 0 ή σy dx p cosα ± µ p sin α = 0 ή cosα cosα σ y = p ± µ p tan α και επειδή µ tan α 0, τελικά θα είναι σ y = p. Με αντικατάσταση στο κριτήριο διαρροής παίρνουµε σ x ( p) = 2k ή τελικά p = 2k σ (2) x 9
Βήµα 4: Επίλυση του προβλήµατος Η εξ. (20) γίνεται λόγω της (2) dσx + [ σx + (2k σx )( ± µ cot α)] d = 0 ή θέτοντας = µ cot α dσ x d dσ x d d[ ± σ x 2k( ± )] = ή = ή = σ x + (2k σ x )( ± ) ± σ x k( ± ) ± [ ± σ x 2k( ± )] ή l n[ ± σ x 2k( ± )] = ln + c ή τελικά ± ± σ 2k( ± ) = c (22) x η οποία αναλυόµενη σε κάθε ροή δίνει αντίστοιχα d Ροή Ε: Ροή ΑΡ: σ σ xδ 2k( + ) = xα 2k( ) = c c δ α (23α) (23β) Οριακές συνθήκες για τον προσδιορισµό των σταθερών ολοκλήρωσης cα και c δ. Ροή Ε: Στο άκρο = a είναι σx δ = 0 (ελεύθερη ροή). Με αντικατάσταση στην εξ. (23α) προκύπτει για τη σταθερά c δ Β c δ = 2k( + )a (24α) Ροή ΑΡ: Στο άκρο = b είναι σx α = 0 (ελεύθερη ροή). Με αντικατάσταση στην εξ. (23β) προκύπτει για τη σταθερά c α Β c α = 2k( + )b (24β) Με αντικατάσταση των εξ. (24) στις αντίστοιχες εξ. (23), προκύπτει η κατανοµή της ροή + Ροή Ε: σ x = 2 k (25α) a Ροή ΑΡ: b σ x = 2k (25β) σ x για κάθε Βήµα 5: Προσδιορισµός ουδετέρου επιπέδου Στη θέση του ουδετέρου επιπέδου (ο. ε.) λόγω των (25α) και (25β) = σ = n θα πρέπει να πληρούται η σχέση x α xδ ή σ 0
= + n b a n και µετά την εκτέλεση των πράξεων ( ) 0 ) ( 2 b a a n 2 n = + + + (26) από την επίλυση της οποίας προκύπτει η θέση του ουδετέρου επιπέδου. Βήµα 6: Κατανοµή πίεσης p και τριβής τ Ροή Ε: : Από το συνδυασµό των εξ. (2) και (25α) προκύπτουν ], [ n a Β + Β = δ a 2k p (27α) Β + Β µ = τ δ a k 2 (27β) Ροή ΑΡ: : Οµοίως, από το συνδυασµό των εξ. (2) και (25β) ], [ b n Β Β = α 2k p b (28α) Β Β µ = τ α k 2 b (28β) Η γραφική παράσταση των p και τ παρουσιάζεται στο Σχ.. Σχήµα : Κατανοµή πίεσης p και τριβής τ
Β. Αξονοσυµµετρικά προβλήµατα Β. Συµπαγείς κυλινδρικές µπιγέτες Σφυρηλάτηση κυλινδρικής µπιγέτας (Σχ. 2) Σχήµα 2: Σφυρηλάτηση κυλινδρικής µπιγέτας Πρόοψη Κάτοψη Σχήµα 3: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας 2
Β.. Συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp) Βήµα : Αναγνώριση του προβλήµατος Σφυρηλάτηση ανοικτής µήτρας κυλινδρικής µπιγέτας διαµέτρου 2a και ύψους, βλ. Σχ. 2. Συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp) στη διεπιφάνεια ΤΕ/ΕΡ. Ροή του υλικού προς τα έξω. Θεωρούµε ως σύστηµα αναφοράς το κυλινδρικό σύστηµα αξόνων (r, θ, z) µε άξονα z τον άξονα συµµετρίας της µπιγέτας. Θα µελετηθεί η ισορροπία στοιχειώδους κυλινδρικής λωρίδας σε απόσταση r από τον άξονα, πάχους dr, η οποία βαίνει σε τόξο dθ, βλ. Σχ. 3. Βήµα 2: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας Αναπτυσσόµενες τάσεις σr στην επιφάνεια ΑΒΒ Α = ( r dθ) σ + στην επιφάνεια Γ Γ = [( r + dr) dθ] r dσ r σθ στις επιφάνειες Α Α και ΒΓΓ Β = dr τ και p στις επιφάνειες ΑΒΓ και Α Β Γ που είναι καµπυλόγραµµα τραπέζια µε βάσεις r dθ και ( r + dr) dθ και ύψος dr, που αποδίδουν εµβαδόν επιφανείας r dr dθ. Συνιστώσες φορτίων κατά την ακτινική διεύθυνση Με θετική φορά προς τα έξω και αρνητική προς τα µέσα θεωρούµε τις ακτινικές συνιστώσες όλων των αναπτυσσοµένων φορτίων κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας dθ, βλ. Σχ. 2. η σr δίνει συνιστώσα: - σr r dθ η σ r + dσ r : + ( σ r + dσ r ) ( r + dr) dθ οι σ θ δίνουν κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου συνιστώσα: -2 σθ dr sin(dθ / 2) ή αντικαθιστώντας το sin µε το αντίστοιχο τόξο του: σ θ dr dθ οι τ δίνουν 2 τ r dr dθ = 2µ pr dr dθ. Από την απαίτηση η συνισταµένη των φορτίων αυτών να είναι µηδέν και δεδοµένου ότι σ r =σ θ (βλ. απόδειξη στο τέλος), µετά την εκτέλεση των πράξεων και την απαλοιφή των διαφορικών ανώτερης τάξης, προκύπτει η ακόλουθη διαφορική εξίσωση 2 µ p dσ r = dr (29) Βήµα 3: Εισαγωγή του κριτηρίου διαρροής Σε αξονοσυµµετρικά προβλήµατα και τα δύο κριτήρια Mises και Τresca εκφράζονται µε τη σχέση: σ σ3 = Y (30α) Θεωρώντας ως κύριες τάσεις τις σ =σ r, σ 2 =σ θ και σ 3 =σ z = -p, η εξ. (30α) γίνεται ισοδύναµα σ r + p = Y ή p = Y σr (30β) και dp = dσr (30γ) 3
Βήµα 4: Επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Από το συνδυασµό των εξ. (29) και (30β) έχουµε: dσr 2 µ d( Y σr ) 2 µ = dr ή = dr ( Y σr ) ( Y σr ) (3) η οποία µε ολοκλήρωση δίνει τελικά γενική λύση 2 µ r 2 µ r / 2 µ r / ln ( Y σr ) = + C ή Y σr = C e ή σr = Y C e (32α) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης. Οριακή συνθήκη: Στη θέση r=a είναι σ r =0 (ελεύθερη ροή). Με αντικατάσταση στην εξ. (32α) προκύπτει για τη σταθερά ολοκλήρωσης C 2 µ a / = Y e (32β) και τελικά από τον συνδυασµό των εξ. (32α) και (32β) 2 µ Y[ e ( ar) / σ = ] (32γ) r Βήµα 5: Κατασκευή του λόφου-τριβής Με αντικατάσταση από την εξ. (32γ) στην εξ. (30β) προκύπτει για την πυκνότητα p του φορτίου σφυρηλάτησης 2 µ ( ar) / p = Y e (33) και για την τριβή τ 2 µ ( ar) / τ = µ Y e (34) Η τριβή θα έχει το ίδιο πρόσηµο παντού διότι κατευθύνεται προς τα µέσα σε κάθε θέση στη µπιγέτα. Οι κατανοµές των p και τ παρουσιάζονται στα Σχ. 4 και 5, αντίστοιχα. Σχήµα 4: Κατανοµή της κάθετης πίεσης p Σχήµα 5: Κατανοµή της τριβής 4
Β..2 Συνθήκες διάτµησης (τ=k) Η διαδικασία που ακολουθείται είναι ακριβώς η ίδια µε τις εξής διαφοροποιήσεις κατά βήµα: Βήµα : Ισχύει για την τριβή: τ=k, όπου k το όριο διαρροής σε διάτµηση. Βήµα 2: Οι τριβές δίνουν ακτινική συνιστώσα ίση προς 2 τ r dr dθ = 2 k r dr dθ. 2 k Η διαφορική εξίσωση γράφεται: d σr = dr (35) Βήµα 3: εν υπάρχει καµία αλλαγή. Βήµα 4: Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης (35) δίνει 2 k σ r = r + A (36) Με την ίδια οριακή συνθήκη, προκύπτει για την σταθερά ολοκλήρωσης η σχέση 2 k a A = (37) και σε συνδυασµό µε την εξ. (36) 2 k σ r = ( a r) (38) Βήµα 5: Με αντικατάσταση από την εξ. (38) στην εξ. (30β) προκύπτει για την κατανοµή του φορτίου κατεργασίας 2 k p = Y + ( a r) (39) Ο «λόφος τριβής» που περιγράφεται από την εξ. (39) παρουσιάζεται στο Σχ. 6. Σχήµα 6: Κατανοµή της κάθετης πίεσης p 5
Β..3 Μικτές συνθήκες τριβής Βήµα : Στο κεντρικό τµήµα της µπιγέτας (κύλινδρος ακτίνας x) επικρατούν συνθήκες διάτµησης (τ=k), ενώ στον περιβάλλοντα δακτύλιο (x r a) επικρατούν συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp). Προφανώς απαιτείται η µελέτη στοιχειώδους λωρίδας σε κάθε περιοχή. Για την διαµόρφωση της διαφορικής εξίσωσης σε κάθε περιοχή θα χρησιµοποιηθεί η ενιαία λωρίδα και η διαφοροποίηση θα γίνει κατά την επίλυση των προκυπτουσών διαφορικών εξισώσεων. Στο πρόβληµα υπεισέρχεται ένας επιπλέον άγνωστος, η ακτίνα x. Βήµα 2: Οι τριβές δίνουν ακτινική συνιστώσα ίση προς 2 τ r dr dθ. 2 τ Η διαφορική εξίσωση γράφεται: d σr = dr (40) Και σε κάθε περιοχή παίρνει αντίστοιχα τη µορφή: 2 k Περιοχή [0, x]: d σr = dr (4) 2 µ p Περιοχή [x, a]: dσ r = dr (42) Βήµα 3: Παραµένουν όλα ως έχουν στην περίπτωση Β... Βήµα 4: H επίλυση των διαφορικών εξισώσεων (4) και (42) δίνει αντίστοιχα: 2 k Περιοχή [0, x]: σ r = r + A (43) 2 µ r / Περιοχή [x, a]: σ r2 = Y A2 e (44) Οι οριακές συνθήκες γράφονται: Στη θέση r=a είναι σ r2 =0, οπότε από την εξ. (44) προκύπτει 2 µ a / A2 = Y e (45) 2 µ Y[ e ( ar) / σ r2 = ] (46) Στη θέση r=x είναι: σ r=σ r2 και k=µp 2=µ(Υ-σ r2) ή ισοδύναµα 2 k x 2 µ [ ( a= x) / + A = Y e ] (47) 2 µ ( ax) / k = µ Y e (48) Από το σύστηµα των εξ. (47) και (48) προκύπτουν k x = a ln (49) 2 µ µ Y 2 k a k k A = Y + ln (50) µ µ Y 6
2 k k k σr = Y ( a r) + ln (5) µ µ Y Βήµα 5: Οι κατανοµές της πίεσης σε κάθε περιοχή προκύπτουν από τον συνδυασµό της εξ. (30α) µε τις εξ. (46) και (5), αντίστοιχα 2 k k k Περιοχή[0, x]: p = ( a r) ln (52) µ µ Y 2 µ Περιοχή [x, a]: ( ar) / p2 = Y e (53) Γραφική παράσταση του «λόφου τριβής» παρουσιάζεται στο Σχ. 7. Σχήµα 7: Κατανοµή της κάθετης πίεσης p Β.2 Κυλινδρικές µπιγέτες µε κεντρική οπή Βήµα : Αναγνώριση του προβλήµατος Σφυρηλάτηση ανοικτής µήτρας κυλινδρικού δακτυλίου εξωτερικής διαµέτρου 2a, εσωτερικής διαµέτρου 2b και ύψους, βλ. Σχ. 8. Σχήµα 8: Σφυρηλάτηση µπιγέτας µε κεντρική οπή 7
Συνθήκες τριβής κατά Coulomb (τ=µp) στη διεπιφάνεια ΤΕ/ΕΡ. Ροή του υλικού προς τα έξω και προς τα µέσα. Θεωρούµε κυλινδρικό σύστηµα αξόνων (r, θ, z) µε άξονα z τον άξονα συµµετρίας της µπιγέτας. Θα µελετηθεί η ισορροπία µιας ενιαίας στοιχειώδους κυλινδρικής λωρίδας σε απόσταση r από τον άξονα, πάχους dr, η οποία βαίνει σε τόξο dθ, βλ. Σχ. 9, όπου η τριβή κατά γνωστά θα έχει διπλό πρόσηµο, καθένα από τα οποία θα αντιστοιχεί σε διαφορετική ροή του υλικού. Βήµα 2: Ισορροπία στοιχειώδους λωρίδας Αναπτυσσόµενες τάσεις σ r στην επιφάνεια ΑΒΒ Α = ( r dθ) σ r + dσ r στην επιφάνεια Γ Γ = [( r + dr) dθ] σθ στις επιφάνειες Α Α και ΒΓΓ Β =dr τ και p στις επιφάνειες ΑΒΓ και Α Β Γ που είναι καµπυλόγραµµα τραπέζια µε βάσεις r dθ, ( r + dr) dθ και ύψος dr, και έχουν εµβαδόν r dr dθ. Συνιστώσες φορτίων κατά την ακτινική διεύθυνση Θεωρούµε τις ακτινικές συνιστώσες όλων των αναπτυσσοµένων φορτίων κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου της γωνίας dθ, µε θετική φορά προς τα έξω και αρνητική προς τα µέσα, βλ. Σχ. 9 η σr δίνει συνιστώσα: - σr r dθ η σ r + dσ r : + ( σ r + dσ r ) ( r + dr) dθ οι σ θ δίνουν κατά τη διεύθυνση της διχοτόµου συνιστώσα: -2 σθ dr sin(dθ / 2) ή αντικαθιστώντας το sinθ µε το αντίστοιχο τόξο του θ: σ θ.dr..dθ οι τ οµοίως δίνουν: ± 2 µ p r dr dθ, όπου το πάνω πρόσηµο αντιστοιχεί σε ροή προς τα µέσα και το κάτω σε ροή προς τα έξω (σύµβαση που θα τηρηθεί στα επόµενα). Από την απαίτηση η συνισταµένη των φορτίων αυτών να είναι µηδέν και δεδοµένου ότι σ r =σ θ, µετά την εκτέλεση των πράξεων και την απαλοιφή των διαφορικών ανώτερης τάξης προκύπτει η ακόλουθη διαφορική εξίσωση 2 µ p dσ r = m dr (54) 8
Τρισδιάστατη απεικόνιση ενιαία λωρίδας Κάτοψη Σχήµα 9: Ενιαία στοιχειώδης λωρίδα