Ανακεφαλαίωση: Οι εξισώσεις τάσης και έντασης για τον πυκνωτή είναι dv V = I d I =, d για το πηνίο οι σχετικές εξισώσεις είναι di V = I = V d d Και για την ωµική αντίσταση V = I Στα ac κυκλώµατα που ηλεκτροδοτούνται από πηγή τάσης/έντασης µέγιστης τιµής Χ και κυκλικής συχνότητας ω, τότε η ένταση/τάση στο κύκλωµα θα είναι σήµα συχνότητας ω, µε µέγιστη τιµή ανάλογη της Χ και της ολικής εµπέδησης του κυκλώµατος και γωνίας φάσης εξαρτώµενης της εµπέδησης του κυκλώµατος. Στον πυκνωτή η ένταση προηγείται της τάσης ενώ στο πηνίο η ένταση υστερεί της τάσης. Οι σχετικοί υπολογισµοί απλοποιούνται µεταφέροντας το µοντέλο του κυκλώµατος από το τοµέα χρόνου (ime domain) στον οποίο έχει τη µορφή διαφορικής εξίσωσης στο τοµέα συχνότητας (frequency domain) στον οποίο εργαζόµαστε µε αλγεβρικές εξισώσεις στους φάσορες. Στη συνέχεια θα µελετήσουµε στο τοµέα χρόνου µερικά από τα βασικά κυκλώµατα. Συγκεκριµένα θα µελετήσουµε τη λειτουργία τους στο µεταβατικό στάδιο (ransien response), το σταθερό στάδιο (seady sae) µε ή χωρίς πηγές. Πρωτοβάθµια κυκλώµατα Σειριακό κύκλωµα αντίστασης πυκνωτή χωρίς πηγές ( circui) Αφού δεν υπάρχουν πηγές στο κύκλωµα ο µόνος τρόπος παραγωγής ηλεκτρικού ρεύµατος είναι η αποφόρτιση του φορτισµένου πυκνωτή τάσης V. Εποµένως εδώ δεν µπορεί να υπάρξει σταθερό στάδιο αλλά µόνο µεταβατικό.
S Υποθέστε ότι το φορτίο του πυκνωτή είναι τέτοιο που το ρεύµα του κυκλώµατος είναι δεξιόστροφο (κάτω πλάκα φορτισµένη θετικά). Από το νόµο έντασης του Kirchhoff V V = έτσι που αντικαθιστώντας το νόµ του Ohm δίνει i = - i d Παραγοντοποιώντας ως προς την ένταση παίρνουµε τη πρωτοβάθµια διαφορική που περιγράφει την ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα ως di i = d ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές και ολοκληρώνοντας από = ως έχουµε i di = i d i Από όπου η ένταση υπολογίζεται ως () V i = i e = e, δηλαδή ξεκινώντας από αρχική τιµή i αυτή φθίνει µέχρι το µηδέν. Ο ρυθµός µε την οποία µειώνεται εξαρτάται από τη σταθερά η οποία λέγεται σταθερά χρόνου (ime consan). Σε χρονικό διάστηµα =, το ρεύµα είναι το.368 του αρχικού. Σειριακό κύκλωµα αντίστασης πηνίου χωρίς πηγές ( circui) Όπως και στο προηγούµενο κύκλωµα, η απουσία ηλεκτροκινητήριας δύναµης (πηγής) στο κύκλωµα δεν µπορεί να υπάρξει σταθερό στάδιο, αλλά µόνο µεταβατικό (µέχρι να καταναλωθεί η ενέργεια που προϋπάρχει στο πηνίο ). Από το νόµο τάσης του Kirchhoff V V = γράφουµε τη διαφορική εξίσωση i di d =
S Με διαχωρισµό µεταβλητών και ολοκλήρωση η ένταση γράφεται ως V () i = i e = e Η σταθερά χρόνου του κυκλώµατος είναι /. Ερωτήσεις κατανόησης ) Περιγράψετε τη συµπεριφορά ως προς το ρεύµα και την τάση στα πιο κάτω: Αρχικές συνθήκες (= ) µε αφόρτιστο πυκνωτή σε κύκλωµα ac Τελικές συνθήκες µετά από πάροδο µεγάλου διαστήµατος στο κύκλωµα πυκνωτή Επαναλάβετε για το πηνίο υποθέτοντας ότι αρχικά το κύκλωµα ήταν ανοικτό για µεγάλο χρονικό διάστηµα. ) Σε κύκλωµα βρείτε την εξίσωση της έντασης για το µεταβατικό και σταθερό στάδιο όταν ο πυκνωτής =3F έχει αρχικό φορτίο Q= και η αντίσταση έχει τιµή =Ω. Υποθέστε ότι το κύκλωµα είναι ενωµένο σε πηγή συνεχούς τάσης E=V µε πολικότητα δικής σας επιλογής. 3) Σε κύκλωµα βρείτε την εξίσωση της έντασης για το µεταβατικό και σταθερό στάδιο όταν το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής =3H και η αντίσταση έχει τιµή =Ω. Υποθέστε ότι το κύκλωµα είναι ενωµένο σε πηγή συνεχούς τάσης E=V µε πολικότητα δικής σας επιλογής. 3
ευτεροβάθµια κυκλώµατα Μηχανικά και Ηλεκτρικά όµοια συστήµατα. Το σύστηµα µάζας- ελατηρίου- επιβραδυντή θεωρείται όµοιο µε το ac κύκλωµα αντίστασης- πυκνωτή- πηνίου, ως προς τις ενεργειακές µεταβολές που παρατηρούνται. είξετε ότι η διαφορική εξίσωση που διέπει την µετακίνηση µάζας m> σε σύστηµα ελατηρίου-µάζας-επιβραδυντή στην επιρροή εξωτερικής δύναµης F έχει την ίδια µορφή µε την εξίσωση που διέπει το ηλεκτρικό φορτίο σε σειριακό κύκλωµα µε πηγή εναλλασσόµενης τάσης E. Από την ανάλυση της διαφορικής εξίσωσης προκύπτουν Η φυσική συχνότητα των συστηµάτων. (naural frequency) Ο συντελεστής απόσβεσης. (damping coefficien) Ερώτηση κατανόησης: ) Σχολιάστε τα όµοια ηλεκτροµηχανικά στοιχεία. Σειριακό κύκλωµα αντίστασης πυκνωτή πηνίου χωρίς πηγές ( circui) Στο σειριακό κύκλωµα υποθέστε αρχικές συνθήκες ενέργειας για τον πυκνωτή και το πηνίο όπως φαίνονται στο σχήµα όπου ζητείται το ρεύµα i του βρόχου (δηλαδή η διαφορική εξίσωση του ρεύµατος!) () I V - Εφαρµόζοντας το νόµο τάσης του Kirchhoff στο βρόχο έχουµε V V V =. Αντικαθιστώντας τις τάσεις γράφουµε 4
di i i d = d - Και παραγοντοποιώντας ως προς το ρεύµα καταλήγουµε στη δευτεροβάθµια d i di i = d d Από τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος έχουµε: = = Vd = i i κατεύθυνση του i() µε το αρχικό ρεύµα να ρέει δεξιόστροφα στην, και V ( = ) = id = V. Με αντικατάσταση στη διαφορική για = παίρνουµε di i V = d = Από όπου µπορούµε να γράψουµε την πρωτοβάθµια εξίσωση di = ( i V ) και να υπολογίσουµε το µεταβατικό ρεύµα. d = Quiz: Ποιος συνδυασµός ηλεκτρικών στοιχείων συµβάλει στη δηµιουργία διαφορικής εξίσωσης δευτέρου βαθµού; Παράλληλο κύκλωµα αντίστασης πυκνωτή πηνίου χωρίς πηγές ( circui) Στο παράλληλο κύκλωµα υποθέστε αρχικές συνθήκες ενέργειας για τον πυκνωτή και το πηνίο όπως φαίνονται στο σχήµα όπου ζητείται η τάση V στα άκρα των στοιχείων. () Εφαρµόζοντας το νόµο έντασης του Kirchhoff στον κόµβο πάνω από τον πυκνωτή έχουµε I I I =. Αντικαθιστώντας τις εντάσεις γράφουµε dv Vd d V = 5
I V - Τα στοιχεία είναι παράλληλα έτσι V = V = V = V, ενώ παραγοντοποιώντας ως προς την τάση έχουµε τη δευτεροβάθµια d V dv V = d d Συντονισµός στο σειριακό κύκλωµα Υποθέστε συνθήκες σταθερού σταδίου σε σειριακό κύκλωµα µε πηγή = Vm sin ω. τάσης V () ( ) Γραφικές παραστάσεις συντονισµού: ένταση-συχνότητα για = και >. Ανάλυση κόµβων και σηµείων στα κυκλώµατα ac. Οι νόµοι των Ohm και Kirchhoff ισχύουν πάντα σε κάθε είδος κυκλώµατος. Εποµένως η ανάλυση είναι η ίδια, µόνο που στα ac κυκλώµατα προκύπτουν διαφορικές αντί για αλγεβρικές εξισώσεις. a c I s 6
Εφαρµόζοντας τον νόµο έντασης του Kirchhoff για τους κόµβους a, και c έχουµε αντίστοιχα τις εξισώσεις Va d( Va V ) Is = d d ( V V ) d V c ( V V ) d = c a dv d ( V V ) c d = Τις οποίες και µετατρέπουµε σε διαφορικές µε σταθερούς συντελεστές αφού παραγοντοποιήσουµε ως προς το χρόνο αυτές που περιέχουν ολοκληρώµατα. - V s V s - Στο πιο πάνω κύκλωµα υποθέστε ότι τα ρεύµατα των βρόχων είναι όλα δεξιόστροφα. Εφαρµόζοντας το νόµο τάσης του Kirchhoff έχουµε το σύστηµα εξισώσεων Id ( I I ) Vs = ( I I) ( I I3) 3 ( I I ) d V = 3 di d di d s d = Ερωτήσεις κατανόησης ) Με τη µέθοδο της ανάλυσης κόµβων γράψετε τη διαφορική εξίσωση που διέπει την τάση στο σηµείο του κυκλώµατος ως προς την εφαρµοζόµενη ένταση. (σταθερό στάδιο). 7
Ω Α F 4 F 3 Ω ) Σε σειριακό κύκλωµα που είναι ενωµένο σε π πηγή τάσης V =.sin(4π ) οι τιµές των στοιχείων 6 είναι = Ω, =3 H και =F. Βρείτε τη συχνότητα συντονισµού και την εξίσωση της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα για το σταθερό στάδιο. 3) Σε παράλληλο κύκλωµα χωρίς πηγές βρείτε την εξίσωση του ηλεκτρικού φορτίου στο µεταβατικό στάδιο υποθέτοντας αρχικές συνθήκες ενέργειας Ι για το πηνίο και V για τον πυκνωτή. 4) Σειριακό είναι ενωµένο σε ηµιτονοειδή πηγή τάσης κυκλικής συχνότητας ω και µέγιστης τιµής σήµατος Α. Υποθέστε αρχικές συνθήκες ενέργειας q για τον πυκνωτή και i για το πηνίο και βρείτε την ένταση του ρεύµατος, µέγεθος και φάση, στο µεταβατικό και σταθερό στάδιο. 5) Για το σύστηµα της άσκησης 4 σχεδιάστε και σχολιάστε τις γραφικές παραστάσεις του µεγέθους της έντασης και της φάσης της έντασης σε συνάρτηση µε την κυκλική συχνότητα ω. Πως θα διαφοροποιηθούν εάν η αντίσταση του κυκλώµατος µηδενιστεί; 6) Στο σειριακό κύκλωµα δώστε τις συνθήκες ως προς τις τιµές, και, υπό τις οποίες το κύκλωµα στο µεταβατικό στάδιο είναι (i)υπο-αποσβενώµενο (underdamped),(ii) κρίσιµα αποσβενώµενο (criically damped) και (iii) υπερ-αποσβενόµενο (overdamped). 8