Ονοµατεπώνυµο: ιάρκεια: 3 ώρες ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Έστω ένα σωµα που εκτελεί Α.Α.Τ. και όταν βρίσκεται στη θέση x 1 η δυναµική του x1 ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια. Σε αποµάκρυνση θα ισχύει: 2 α. Η δυναµική ενέργεια είναι διπλάσια της κινητικής. β. Η κινητική ενέργεια είναι επταπλάσια της δυναµικής. γ. Η κινητική ενέργεια είναι τετραπλάσια της δυναµικής. δ. Η δυναµική ενέργεια είναι ίση µε το 4 1 της ολικής ενέργειας. 2. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται το διάγραµµα επιτάχυνσης χρόνου σε µια ταλάντωση, της οποίας ταλάντωση, της οποίας το πλάτος είναι Α=20 cm α. Τη στιγµή t=1s το µέτρο της ταχύτητας είναι µηδέν. β. Τη στιγµή t=2s το σώµα φτάνει στη θέση x=-20 cm. γ. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ=10πηµ 2 t π cm/s. δ. Τη στιγµή t=3,5s το σώµα περνάει από τη θέση χ=-10 cm. 3. Στη διάταξη του διπλανού σχήµατος τα σώµατα Α, Β, Γ εκτελούν εξαναγκασµένη ταλάντωση δεµένα στα άκρα τριών ιδανικών ελατηρίων των οποίων τα άλλα άκρα είναι συνδεδεµένα σε µια ράβδο που εκτελεί ταλάντωση σταθερού πλάτους αλλά µεταβλητής συχνότητας που αρχίζει να αυξάνεται από πολύ m 2m m µικρές τιµές. Η σειρά µε την οποία τα σώµατα θα συντονιστούν είναι: (A) (B) (Γ) α. Α-Β-Γ β. Β-Α-Γ γ. Γ-Α-Β δ. Γ-Β-Α Κ K 2K
4. 21 διαπασών είναι έτσι ταξινοµηµένα, ώστε το καθένα να παράγει 5 διακροτήµατα ανά δευτερόλεπτο, όταν πάλλεται µε το διπλανό του. Αν η συχνότητα του τελευταίου διαπασών είναι τριπλάσια από τη συχνότητα του πρώτου, τότε οι συχνότητες του πρώτου και του τελευταίου διαπασών είναι αντίστοιχα: α. 100, 300 β. 50, 150 γ. 45, 135 δ. 100, 200 5. Ένα υλικό σηµείο αναγκάζεται να εκτελέσει ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση και γύρα από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις έχουν ίδιο πλάτος Α και ίδια συχνότητα. Στη στήλη (Ι) αναγράφεται η διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων και στη στήλη (ΙΙ) το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης (Ι) µε τα στοιχεία της στήλης (ΙΙ). ΣΤΗΛΗ (Ι) ΣΤΗΛΗ (ΙΙ) 1. 0 α. Α 2. π β. 2Α 3. 4. π 2 π 3 γ. Α 2 δ. 0 ε. A 3 A 6. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σας τις προτάσεις που ακολουθούν µε το γράµµα Σ, αν είναι σωστές, και µε το γράµµα Λ αν είναι λανθασµένες. α. Η δύναµη απόσβεσης σε µια φθίνουσα ταλάντωση κατευθύνεται πάντα προς τη θέση ισορροπίας. β. Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση κατά το συντονισµό, η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή είναι µέγιστη.
γ. Αν διπλασιάσουµε το πλάτος µιας ελεύθερης Α.Α.Τ, τότε διπλασιάζεται και ο χρόνος που χρειάζεται το σώµα για να πάει από τη µία ακραία θέση στην άλλη. δ. Η δύναµη που δέχεται το σώµα όταν διέρχεται από τη θέση x 1 =Α/2 έχει διπλάσιο µέτρο από τη δύναµη που δέχεται το σώµα όταν διέρχεται από τη θέση x 2 =-Α. ε. Αν τη χρονική στιγµή t=0 ένα σώµα που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση κινείται κατά την αρνητική φορά, τότε η ταλάντωση έχει αρχική φάση. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 2 1. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται η γραφική K(J) παράσταση της κινητικής ενέργειας Κ 4 ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε συνάρτη ση µε την αποµάνση x από τη θέση ισορροπίας του. α. Στη θέση αποµάκρυνσης x 1 =0,1 m -0,2 +0,2 x(m) η κινητική ενέργεια Κ και η δυναµική ενέργεια U ικανοποιούν τη σχέση: i) K=U ii) K=3U iii) K=2U Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. β. Η δύναµη επαναφοράς F επ και η αποµάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας ικανοποιούν τη σχέση: i) F επ =-200x (S.I) ii) F επ =-100x (S.I) iii) F επ =-400x (S.I) Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 2. Ο πυκνωτής του διπλανού σχήµατος έχει φορτιστεί µε φορτίο Q. Τη χρονική στιγµή t 0 =0 o µεταγωγός µ µεταφέρεται στη θέση (1) και το κύκλωµα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση µε περίοδο Τ 1. Τη χρονική στιγµή t 1 =2T 1 o µεταγωγός µεταφέρεται ακαριαία στη θέση (2). 4L (1) µ (2) +Q C -Q A L
Για το χρονικό διάστηµα από t 0 =0 έως t 2 =4T 1 να σχεδιαστούν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση µε το χρόνο: α. του φορτίου του πυκνωτή β. της έντασης του ρεύµατος που περνά από το αµπερόµετρο Α. 3. Κύκλωµα περιλαµβάνει συνδεδεµένα σε σειρά αντιστάτη αντίστασης R, µεταβλητό πυκνωτή χωρητικότητας C και πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L. Το κύκλωµα διεγείρεται σε εξαναγκασµένη ταλάντωση συχνότητας f. Μεταβάλλοντας τη χωρητικότητα C R του πυκνωτή, το πλάτος της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα είναι µέγιστο όταν C=C 0. Χαρακτηρίστε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή η Λάθος. α. Η χωρητικότητα C 0 του πυκνωτή είναι ίση µε: 1 C0 = 2 2 4π f L β. Αν η χωρητικότητα του πυκνωτή γίνει ίση µε C=4C 0, η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώµατος υποδιπλασιάζεται. Να αιτιολογήσετε τον χαρακτηρισµό που δώσατε. 4. Ένα σώµα µάζας m=0,2 Kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις µε ίσες συχνότητες και µε εξισώσεις x 1 =0,2ηµω 1 t και x 2 =A 2 ηµω 2 t (x 1, x 2 σε m), οι οποίες εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Η δυναµική ενέργεια της συνιστα- µένης ταλάντωσης αποκτά τη µέγιστη τιµή της U max =160 J κάθε 0,01π s. α. Η εξίσωση της συνιστώσας ταλάντωσης x 2 =f(t) είναι η: i) x 2 =0,2ηµ100t (S.I) ii) x 2 =0,4ηµ200t (S.I) iii) x 2 =0,6ηµ100t (S.I) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. C ~ L β. Αυξάνοντας λίγο τη γωνιακή συχνότητα ω 2 της συνιστώσας ταλάντωσης x 2 =f(t), χωρίς να αλλάξουµε τη γωνιακή συχνότητα της x 1 =f(t),
παρατηρείται αυξοµείωση του πλάτους της συνισταµένης ταλάντωσης µε συχνότητα π 2 Hz. Η εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης είναι τώρα: i) x=0,4ηµ2tσυν104t (S.I) ii) x=0,2συν2tηµ100t (S.I) iii) x=0,4συν2tηµ102t (S.I) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. ΘΕΜΑ 3 Στο κύκλωµα του σχήµατος η πηγή έχει ΗΕ Ε=10 V και εσωτερική αντίσταση r=2 Ω. Οι αντιστάτες του κυκλώµατος εµφανίζουν αντίσταση R 1 =8 Ω και R 2 = 10 Ω, το πηνίο είναι ιδανικό µε συντελεστή αυτεπαγωγής L και ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=4µF. Αρχικά ο διακόπτης δ 1 είναι κλειστός και δ 2 ανοικτός. Ανοίγουµε τον διακόπτη δ 1 και τη χρονική στιγµή t=0 κλείνουµε τον διακόπτη δ 2, ενώ ο µεταγωγός είναι στη θέση (1), µε αποτέλεσµα να έχουµε ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη χρονική στιγµή t 1 = 10 3 π s µετά την έναρξη της ταλάντωσης, ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί για πρώτη φορά. R 1 δ 1 δ 2 E,r R 2 C A B L R 2 1 µ α. Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. β. Να υπολογίσετε τον συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου και τη µέγιστη τιµή I της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο. Μονάδες 6 γ. Να βρεθεί η χρονική στιγµή t 1 κατά την οποία η ενέργεια του µαγνητικού
πεδίου του πηνίου γίνεται για πρώτη φορά τριπλάσια της ηλεκτρικής ενέργειας του πυκνωτή. Μονάδες 7 δ. Τη χρονική στιγµή t 2 =0,2π s µεταφέρουµε ακαριαία το µεταγωγό (µ) από τη θέση (1) στη θέση (2) χωρίς να σχηµατιστεί σπινθήρας, δηµιουργώντας το κύκλωµα RLC. Εάν η σταθερά της φθίνουσας ταλάντωσης είναι Λ= ln 2 s 1 π να υπολογίσετε: i) τον αριθµό των ταλαντώσεων του κυκλώµατος από τη χρονική στιγµή t=0 έως 5 τη στιγµή που το µέγιστο φορτίο του οπλισµού Α είναι Q 1 = 10 C. ii) το ποσοστό της ενέργειας που µετατράπηκε σε θερµότητα εξαιτίας του φαινοµένου Τζάουλ στον αντιστάτη R από τη χρονική στιγµή t=0 έως 5 τη στιγµή που είναι Q 1 = 10 C. Na θεωρήσετε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω ακτινοβολίας και ότι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίση µε την περίοδο Τ της αµείωτης ηλεκτρικής ταλάντωσης. ΘΕΜΑ 4 ύο σώµατα Σ 1 και Σ 2 µε µάζες m 1 και m 2 αντίστοιχα ισορροπoύν µε τη βοήθεια ενός αβαρούς νήµατος µήκους α στα άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων µε σταθερές Κ 1 και Κ 2 όπως φαίνεται στο σχήµα 1. Το σώµα m 1 αποτελείται από δύο συγκολληµένα κοµµάτια συγκολληµένα κοµµάτια Σ Α και Σ Β. Στη θέση αυτή η τάση του νήµατος είναι Κ 1 m 1 + α m 2 Κ 2 F=10 N ενώ το ελατήριο σταθεράς Κ 2 έχει το φυσικό του µήκος. Τη χρονική στιγµή t=0 κόβουµε το νήµα οπότε τα σώµατα ξεκινούν να ταλαντώνονται. Θεωρήστε ως θετική φορά και για τις δύο ταλαντώσεις τη φορά προς τα κάτω. Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας για το σώµα µάζας m 1 φαίνεται στο σχήµα 2. Σχήµα 1
2 α(m/ s ) 2,5-0,1 0,1 x(m) Σχήµα 2 α. Να υπολογίσετε τη µάζα του σώµατος m 1 και να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσής του σε συνάρτηση µε το χρόνο. Μονάδες 5 β. Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της ορµής τη στιγµή που το σώµα µάζας m 1 ακινητοποιείται στιγµιαία για πρώτη φορά. Πόσο είναι το πηλίκο του µέτρου της δύναµης που ασκεί το ελατήριο σταθεράς Κ 1 στο σώµα µάζας m 1 προς το µέτρο της δύνα- µης επαναφοράς που δέχεται το σώµα εκείνη τη στιγµή; Μονάδες 5 γ. Η κινητική ενέργεια του σώµατος m 2 σε συνάρτηση µε το χρόνο φαίνεται στο σχήµα 3. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δυναµικής ενέργειας για την ταλάντωση του σώµατος m 2 και να υπολογίσετε το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της κινητικής ενέργειας τις στιγµές που η κινητική του ενέργεια είναι Κ=0,25 J. K π/20 Σχήµα 3 t(s) Μονάδες 6 δ. Κάποια χρονική στιγµή και ενώ το σώµα µάζας m 1 έχει διανύσει διάστηµα S=4 m µε κατάλληλο τρόπο αποσπάται το κατώτερο κοµµάτι Σ Β µε µάζα m B = 4 3 m1 και πέφτει ελεύθερα, ενώ το άλλο κοµµάτι Σ Α κάνει απλή αρµονική ταλάντωση. Το Σ Β συναντά το σώµα µάζας m 2 και συγκρούεται πλαστικά µε αυτό τη στιγµή που το m 2 έχει κάνει µια πλήρη ταλάντωση από τη στιγµή της απόσπασης. Την ίδια χρονική στιγµή, την οποία θεωρούµε εκ νέου ως t=0, ένα βλήµα µάζας m 0 =1 Kg που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω σφηνώνεται στο σώµα m 2 µε ταχύτητα υ=6π m/s. i) Na υπολογίσετε το µήκος α του νήµατος.
ii) Ένα σώµα Σ 3 εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις πάνω στην ίδια διεύθυνση και γύρω από το ίδιο σηµείο. Η πρώτη ταλάντωση x 1 =f(t) συµπίπτει µε αυτή που εκτελεί το σώµα Σ Α, ενώ η εξίσωση της δεύτερης ταλάντωσης είναι x 2 =Α 2 ηµ(ω 3 t+φ 0 ), όπου Α 2 είναι το πλάτος ταλάντωσης του συσσωµατώµατος m 2, m B και m 0, φ 0 η αρχική του φάση και ω 3 = 5 ω 2, όπου ω 2 είναι η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης των τριών σωµάτων του συσσωµατώµατος. Να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης. Μονάδες 5 ίνoνται: g=10 m/ s 2, 2 π =10 n.arabatzis@yahoo.gr