ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 3. Τι ονομάζουμε συνημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 4. Μια ευθεία έχει εξίσωση. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον θετικό ημιάξονα Οx. Επειδή και στην συγκεκριμένη ποερίπτωση η κλίση της ευθείας είναι 2, θα έχουμε 2. Από τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών βρίσκουμε ότι 63 περίπου.
5. Να βρείτε του τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών φ και θ του παρακάτω τριγώνου. 6. Στο εικονιζόμενο τρίγωνο είναι ΑΒ = 4cm και ΒΓ = 5cm. Να βρείτε τους τριγωνομετρικού αριθμούς της γωνίας ω. Βρίσκουμε πρώτα την ΑΓ με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος. 4 5 1625 2516 9 9 3 cm Οπότε
7. Να σχεδιάσετε μια γωνία ω με εφω =. Να σχεδιάσετε μια γωνία φ με ημφ =. Τέλος, να σχεδιάσετε μια γωνία θ με συνθ =. Για να κατασκευάσουμε γωνία ω με εφω = κατασκευάζουμε μια ορθή γωνία και πάνω στις πλευρές της και παίρνουμε σημεία Α και Β αντιστοίχως, ώστε ΟΑ = 2 cm και ΟΒ = 3 cm. Τότε η ζητούμενη γωνία ω είναι η γωνία ΟΒΑ. Πράγματι,. Α 2 cm O ω 3 cm Β 8. Να υπολογίσετε το ημίτονο των 25 ο φτιάχνοντας μόνοι σας το κατάλληλο τρίγωνο και μετρώντας τα κατάλληλα μεγέθη, χωρίς να καταφύγετε στον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών ή το επιστημονικό κομπιουτεράκι. y A O B x Φτιάχνουμε μια γωνία xoy = 25 ο. Στην πλευρά της Οy παίρνουμε ένα σημείο Α και από το Α φέρνουμε κάθετη στην πλευρά Ox η οποία τέμνει την Ox στο Β. Μετράμε το μήκος της απέναντι πλευράς ΑΒ και το μήκος της υποτείνουσας ΟΑ (εσείς θα έχετε τις δικές σας μετρήσεις) και διαιρούμε τους δυο αριθμούς.
9. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε το ύψος του πύργου Βρίσκουμε πρώτα την ΕΒ από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΒ. Έχουμε λοιπόν, 32. Χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό πίνακα έχουμε 0,6248, οπότε ΕΒ = 0,6248 45 28. Άρα, ΕΔ = ΕΒ + ΒΔ = ΕΒ +ΑΓ = 28 cm + 1,80 cm = 29,80 cm. 10. Να εξηγήσετε γιατί η μέθοδος της προηγούμενης άσκησης δεν είναι πάντοτε εφαρμόσιμη για τη μέτρηση του ύψους οποιουδήποτε απομακρυσμένου αντικειμένου. Η μέθοδος της προηγούμενης άσκησης δεν είναι εφαρμόσιμη όταν είναι αδύνατη η μέτρηση τής ΓΔ. Αυτό συμβαίνει όταν δεν έχουμε πρόσβαση στο σημείο Δ (π.χ στην περίπτωση ενός βουνού), ή όταν η ΓΔ είναι πολύ μεγάλη και δύσβατη για να μετρηθεί. 11. Να εξηγήσετε γιατί το ημίτονο παίρνει πάντοτε τιμές από το 0 έως το 1. Αλλά κάθε κάθετη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι μικρότερη από την υποτείνουσα άρα ημω<1. 12. Να εξηγήσετε γιατί το συνημίτονο παίρνει πάντοτε τιμές από το 0 έως το 1. Αλλά κάθε κάθετη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι μικρότερη από την υποτείνουσα άρα ημω<1. 13. Υπάρχει γωνία της οποίας το ημίτονο ισούται με το συνημίτονο; Εξηγήστε. Για να είναι τα δύο κλάσματα ίσα πρέπει οι δυο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου να είναι ίσες. Αυτό συμβαίνει όταν έχουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο οι οξείες γωνίες είναι αμφότερες ίσες με 45 ο.
14. Να υπολογίσετε το x σε κάθε ένα από τα παρακάτω τρίγωνα 28, οπότε 0,4694, άρα 0,4694 15 7. 68, οπότε 0,3746 άρα 0,4694 1, επομένως 50, οπότε 1,1917, άρα 1,1917 5, επομένως,, ή 2,13. ή 4,2. 15. Αν κάθε τετραγωνάκι του παρακάτω σχήματος έχει μήκος πλευράς ίσο με 1 cm (α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = ημθ +2συνφ (β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Β = εφθ ημφ (γ) Να εξετάσετε αν ισχύει η σχέση συνθ > Α 2Β Φέρνουμε από το Α την κάθετη ΑΔ προς την ΒΓ. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε Οπότε, ημθ, συνθ =, εφθ =,συνφ = Τότε, Α = ημθ +2συνφ = 2 Β = εφθ ημφ = [Χρησιμοποιήστε το κομπιουτεράκι 20 4,5 ] και ημφ =. Α 2Β = κ.ο.κ
16. Να βρείτε το ύψος h του πύργου. Είναι η παρακάτω μέθοδος εφαρμόσιμη για τη μέτρηση του ύψους οποιουδήποτε απομακρυσμένου αντικειμένου; ΟΧΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 17. Στη σελίδα 151, άσκηση 8 του σχολικού εγχειριδίου σας, οι συγγραφείς προτείνουν μια μέθοδο υπολογισμού της απόστασης γης σελήνης. Δίνουν λοιπόν την ακτίνα της γης R = 6371 km και τη γωνία ΑΓΣ = 89,05. ΟΧΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γιατί αυτή η μέθοδος δεν είναι πρακτικά εφαρμόσιμη; Ή μήπως είναι με τη χρήση κινητών τηλεφώνων; Η γωνία ΑΓΣ δεν μπορεί να μετρηθεί από το σημείο Α. Αν όμως ξέρουμε πόσο απέχει το σημείο τομής Β της ΣΓ με τον κύκλο (στο σχήμα) από το Α ή καλύτερα πόσες μοίρες είναι το τόξο ΑΒ, τότε η γωνία ΑΓΣ μπορεί να υπολογιστεί (θα είναι ίση σε μοίρες με τόξο). Στο σημείο Β η σελήνη μεσουρανεί, δηλαδή φαίνεται πάνω από το κεφάλι του παρατηρητή που βρίσκεται στο Β. Θα μπορούσαμε λοιπόν να βάλουμε μια αγγελία στο διαδίκτυο «όταν μεσουρανήσει η σελήνη στον τόπο σας τηλεφωνήστε μας στο τηλέφωνο και ενημερώστε μας για τη γεωγραφική σας θέση». Επίσης, το πρόβλημα θα μπορούσε να λυθεί αν τηλεφωνούσαμε σε κάποιον κάτοικο της σελήνης για να μας ενημερώσει για το μέτρο της γωνίας ΑΣΓ = ω. Τότε θα εφαρμόζαμε τον τύπο με γνωστά τα ω και R. Ατυχώς, οι επισκέπτες της σελήνης είναι αρκετά αραιοί!
18. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τραπέζιο με τα παρακάτω στοιχεία. ΟΧΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α 5 Β 4 6 Δ 60 Ε Ζ 45 Γ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ έχουμε 60, οπότε. Άρα 2 4 3 και επομένως 2 3. Από την άλλη μεριά, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΖΓ έχουμε 45, οπότε. Άρα 2 6 2 και επομένως 3 2. Αλλά ΑΕ = ΒΖ, άρα τα δεδομένα είναι αντιφατικά. 19. Γύπας βρίσκεται σε ύψος 70 m από το έδαφος και κατευθύνεται σχηματίζοντας γωνία 60 ο με την κατακόρυφη, έτοιμος να κατασπαράζει ένα ζωάκι που βρίσκεται στη θέση Ρ. Αν ένα ελικόπτερο βρίσκεται σε ύψος 800 m από το έδαφος και σχηματίζει γωνία 30 ο με την κατακόρυφη, προλαβαίνει ο βοηθός πιλότου να σώσει το παιδάκι από τον αιμοδιψή γύπα; (Η άσκηση ηθελημένα έχει ελλιπή δεδομένα και απαιτεί από τον λύτη να ψάξει και να τα βρει μόνος του). ΟΧΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ε(ελικόπτερο) 30 Γ(γύπας) 60 800 m 70 m Α Ρ Γ Βρίσκουμε πρώτα τις αποστάσεις που πρέπει να διανύσουν ο γύπας και το ελικόπτερο. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΑΡ έχουμε 60, οπότε, δηλαδή ΓΡ = 140 m. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΓΕΡ έχουμε 30, οπότε 0,866, δηλαδή 0,866ΕΡ = 70. Άρα ΕΡ =, οπότε ΕΡ = 924 m., Το παγκόσμιο ρεκόρ ταχύτητας ελικοπτέρου κατέχει το Westland Lynx (402 km/h). Άρα ο χρόνος που θα χρειαστεί to ελικόπτερο για να καλύψει τα 924 m δίνεται από το τύπο. Δηλαδή 402000, επομένως 402000 800 και άρα 0,002 7,16 sec. Για να καλύψει τα 140 m ο γύπας σε 7,16 χρειάζεται ταχύτητα 70 /. Τέτοια ταχύτητα μάλλον θα είναι εφικτή για το γύπα αν λάβουμε υπόψη μας ότι το ταχύτερο πούλι, ο πετρίτης (είδος γερακιού), όταν,,
εφορμά εναντίον του θύματός του αναπτύσσει ταχύτητα η οποία ξεπερνά τα 325 /. Δείτε το βίντεο στη διεύθυνση http://www.youtube.com/watch?v=j3mtpeufcwk 20. Να βρείτε το εμβαδόν του παρακάτω τριγώνου Βρίσκουμε το ύψος ΑΓ με τριγωνομετρία από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. 20 0,3639 5 0,3639ΑΓ = 5 ΑΓ = = 13,74 cm, Βρίσκουμε το ΓΔ (για να βρούμε μετά την ΒΔ) από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ. 50 50, 1,1917 13,74 ΓΔ = 1,1917 13,74 = 16,4 cm οπότε ΒΔ = 5 cm + 16,4 cm = 21,4 cm Άρα (ΑΒΓ) =,, = 21. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε το ύψος χ της κεραίας 22. Αν οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου είναι 3 cm και 4 cm, να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιοί του. 23. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου έχουν μήκος 10 cm εκάστη. Αν σχηματίζουν μια γωνία 30 ο, να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου. 24. Αν ξέρουμε τις πλευρές ενός παραλληλογράμμου και τη μια γωνία του, μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΟΧΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
25. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α γωνία ορθή), οι πλευρές του διαφέρουν κατά 2 cm. Αν γωνία Β = 30 ο, να βρείτε τις πλευρές του τριγώνου, το εμβαδόν του και το ύψος ΑΔ. ΟΧΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 26. Ένα αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 60 km/h κατά μήκος της ευθείας ημιευθείας ΒΑ του σχήματος. Ένα άλλο αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 80 km/h κατά μήκος της ευθείας ημιευθείας ΓΔ του σχήματος. Αν ξεκίνησαν από τα Β και Γ την ίδια χρονική στιγμή, πρόκειται να συγκρουστούν τα δυο αυτοκίνητα; ΟΧΙ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Δ 30 50 Β Γ 27. Στο παρακάτω τραπέζιο, ΑΒ = 2 cm, ΑΔ = 4 cm και ΔΓ = 7 cm, και οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Να βρείτε τις γωνίες Β και Γ του τραπεζίου. Α 2 cm Β 4 cm Δ 7 cm Γ