Περιγραφή Περιγράμματος

Περιγραφή Περιγράμματος Σήμερα! Περιγραφή Περιγράμματος Κώδικας Αλύσσου (chain code) Πολυγωνική γραμμή Υπογραφή (signature) περιγράμματος Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος 1

Περιγραφή Περιγράμματος Το περίγραμμα χρησιμοποιείται πολύ συχνά σε αλγόριθμους ταξινόμησης και για την καταμέτρηση γεωμετρικών μεγεθών μιας περιοχής Η περιγραφή του επιτυγχάνεται με τα Σχήματα Αναπαράστασης (Representation Schemes) ή με τα Στοιχεία Περιγραφής (Description Elements). Τα Σχήματα Αναπαράστασης είναι σχήματα λεπτομερούς κωδικοποίησης και από αυτά είναι δυνατή η ανακατασκευή του περιγράμματος. Αντίθετα, τα Στοιχεία Περιγραφής παρέχουν χρήσιμη πληροφορία σχετική με το περίγραμμα αλλά δεν αρκούν για την ανακατασκευή του περιγράμματος. Περιγραφή Περιγράμματος Ένα επιθυμητό χαρακτηριστικό των σχημάτων περιγραφής και στοιχείων αναπαράσταση, είναι να παραμένουν αναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς: παράλληλης μετατόπισης περιστροφής αλλαγής κλίμακας της εικόνας Ένα σύστημα ταξινόμησης, πρέπει να αναγνωρίζει και να ταξινομεί σωστά ένα αντικείμενο, ανεξάρτητα από τη θέση, τον προσανατολισμό και το μέγεθός του 2

Κώδικας Αλύσσου (chain code) Ο Κώδικας Αλύσσου (chain code) είναι ένα σχήμα αναπαράστασης, που κωδικοποιεί σχεδόν όλες τις λεπτομέρειες ενός περιγράμματος Το σχήμα κωδικοποιεί και φυλάσσει την κατεύθυνση ηγειτνίασης των διαδοχικών pixels του περιγράμματος Κώδικας Αλύσσου (chain code) 3

Κώδικας Αλύσσου (chain code) Καθένας από τους αριθμούς που κωδικοποιούν τη διεύθυνση γειτνίασης απαιτεί τρία δυαδικά bits για την καταχώρησή του στον υπολογιστή. Συνολικά, λοιπόν, ένα περίγραμμα που κωδικοποιείται με Ν αριθμούς απαιτεί 3Ν bits για την αποθήκευσή του. Ο αριθμός αυτός μπορεί να ελαττωθεί, μειώνοντας όμως παράλληλα και την ακρίβεια αναπαράστασης του περιγράμματος. Η μεθοδολογία αυτή χρησιμοποιείται και για να μειώσει την επίδραση του θορύβου πάνω στο περίγραμμα. 4

Παράδειγμα Κώδικας Αλύσσου (chain code) Η κωδική λέξη εξαρτάται από το αρχικό σημείο του περιγράμματος, από όπου άρχισε η κωδικοποίηση. Η εξάρτηση αυτή αντιμετωπίζεται αν η κωδική λέξη περιστραφεί, μέχρις να δημιουργηθεί ο μικρότερος δυνατός αριθμός ο οποίος και αντικαθιστά την αρχική λέξη. Για παράδειγμα, αντί της κωδικής λέξης 407300 χρησιμοποιείται η κωδική λέξη 004073. Ο Κ.Α. παραμένει αναλλοίωτος κατά την παράλληλη μεταφορά του σχήματος, αλλά όχι και στην περιστροφή της εικόνας ή στην αλλαγή της κλίμακας των αξόνων. 5

Διαφορικός Κώδικας Αλύσσου Μια τροποποίηση του κωδικού αλύσου είναι ο Διαφορικός Κώδικας Αλύσου (Δ.Κ.Α) Αν D 1 D 2...D N o Κ.Α ο Δ.Κ.Α ορίζεται ως d 1 d 2...d N, d i = mod 8 D i+1 D i, i = 1,2,...,N 1, d N = mod 8 D 1 D N, όπου mod 8 (Α) το υπόλοιπο της ακέραιας διαίρεσης του Α διά οχτώ. Ο Κ.Α. 7654 δίνει ως Δ.Κ.Α. τη λέξη 7775. Με τον Δ.Κ.Α. η λέξη της κωδικοποίησης παραμένει αναλλοίωτη κατά την περιστροφή των αξόνων κατά γωνίες που είναι πολλαπλάσια του π/2. Κώδικας Αλύσσου (chain code) Από τον Κ.Α μπορεί να υπολογιστούν διάφορα στοιχεία περιγραφής όπως το μήκος, το πλάτος, το ύψος κ.α, ως συνάρτηση της πλευράς του πλέγματος δειγματοληψίας d. Το μήκος του περιγράμματος είναι δυνατόν να υπολογιστεί από την κωδική λέξη μετρώντας το πλήθος n A των αρτίων και n Π των περιττών ψηφίων της κωδικής λέξης. Προκύπτει ότι κάθε άρτιο ψηφίο αντιστοιχεί σε μήκος του περιγράμματος ίσο με d, ενώ κάθε περιττό σε μήκος d 2. Έτσι το μήκος L του περιγράμματος ισούται με: 6

Κώδικας Αλύσσου (chain code) Κώδικας Αλύσσου (chain code) Αν D 1 D 2 D N είναι o κώδικας αλύσσου ενός περιγράμματος, τότε τα w και h υπολογίζονται από τις πιο κάτω σχέσεις: όπου το y i = 1 για D i = 7, 0 και 1, y i = 1 για D i = 3, 4 και 5 και y i = 0 για D i = 2 και 6 και όπου το z i = 1 για D i = 1, 2 και 3, z i = 1 για D i = 5, 6 και 7 και z i = 0 για D i = 0 και 4 7

Πολυγωνική γραμμή Πολλές φορές είναι επιθυμητό να υπολογιστεί ένα πολύγωνο με μικρό αριθμό πλευρών, το οποίο με μικρό σφάλμα να προσεγγίζει το δοθέν περίγραμμα Σφάλμα πολυγωνικής προσέγγισης Το σφάλμα ορίζεται ως εξής: Θεωρούμε ότι κάθε pixel P i αντικαθίσταται από το πλησιέστερο προς αυτό σημείο του πολυγώνου, το P i. Το σφάλμα d i δίνεται από τη μικρότερη απόσταση του P i από τις πλευρές π j του πολυγώνου: Ως σφάλμα της προσέγγισης του περιγράμματος από το πολύγωνο ορίζεται το 8

Αλγόριθμος προσδιορισμού πολυγώνου Με την τεχνική αυτή η προσέγγιση επιτυγχάνεται, με σχετικά, λίγα υπολογιστικά βήματα Εξασφαλίζεται ένα πολύγωνο, του οποίου οι κορυφές είναι σημεία του περιγράμματος Το σφάλμα είναι μικρότερο ή ίσο προς μια προκαθορισμένη επιθυμητή τιμή ε 0. Η μέθοδος εξασφαλίζει ότι το πολύγωνο προσέγγισης εμφανίζει κορυφές όπου το περίγραμμα παρουσιάζει σημεία καμπής. Αλγόριθμος προσδιορισμού πολυγώνου 9

Αλγόριθμος προσδιορισμού πολυγώνου Αναλυτικά, τα διαδοχικά βήματα υπολογισμού: 1. Εντοπίζεται η μέγιστη διάμετρος που χωρίζει το περίγραμμα σε δύο τόξα. Εξετάζονται ανά δύο τα σημεία του περιγράμματος υπολογίζεται η μεταξύ τους απόσταση επιλέγεται το ζεύγος με τη μεγαλύτερη απόσταση. 2. Για κάθε τόξο βρίσκουμε τα πιο απομακρυσμένα από τη χορδή pixels του περιγράμματος. 3. Αν οι αποστάσεις των σημείων αυτών είναι μεγαλύτερες από το ε 0, συνεχίζουμε συμπεριλαμβάνομένου τα σημεία αυτά Αλγόριθμος προσδιορισμού πολυγώνου 4. Το περίγραμμα χωρίζεται τώρα από τις πλευρές του πολυγώνου σε τέσσερα τόξα. Ως τόξο ορίζεται το μικρότερο τμήμα του περιγράμματος, που έχει άκρα τα κοινά σημεία με την πλευρά του πολυγώνου. 5. Ακολουθείται ανάλογη διαδικασία με βήμα 2 6. Η διαδικασία τερματίζει όταν η ελάχιστη απόσταση από τις πλευρές του πολυγώνου είναι μικρότερη ρη από ε 0. 10

Υπογραφή (signature) περιγράμματος Η υπογραφή (signature) είναι ένα μονοδιάστατο σχήμα αναπαράστασης του περιγράμματος. Με την τεχνική αυτή το δισδιάστατο περίγραμμα αντικαθίσταται από μια συνάρτηση μιας μεταβλητής. Η συνάρτηση αυτή προσδιορίζεται με τρόπο τέτοιο ώστε να παραμένει αναλλοίωτη σε αλλαγές κλίμακας και περιστροφές του περιγράμματος. θα δούμε δύο τεχνικές δημιουργίας της υπογραφής: Απόδοση σχέσης μεταξύ του μήκους και της γωνίας της επιβατικής ακτίνας κάθε σημείου του περιγράμματος από ένα σταθερό σημείο του εσωτερικού του Ιστόγραμμα κλίσεων των εφαπτομένων στα pixels του περιγράμματος. Με τη γωνίας της επιβατικής ακτίνας 11

Με τη γωνίας της επιβατικής ακτίνας Με τη γωνίας της επιβατικής ακτίνας Ως κέντρο Κ για τον ορισμό της αρχής της επιβατικής ακτίνας χρησιμοποιείται το κεντροειδές C της περιοχής του περιγράμματος. Ως άξονας Ι για τη μέτρηση των γωνιών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο πρωτεύων άξονας της περιοχής όταν αυτή δεν παρουσιάζει συμμετρία ως προς σημείο, ή ένας από τους άξονες συμμετρίας της περιοχής, στην αντίθετη περίπτωση. Στις περισσότερες εφαρμογές είναι διαθέσιμες μόνο οι συντεταγμένες των pixels του περιγράμματος Τότε υπολογίζονται δείγματα της υπογραφής για έναν αριθμό από ισαπέχουσες τιμές της μεταβλητής θ P. 12

Με τη γωνίας της επιβατικής ακτίνας Η επιλογή του βήματος δειγματοληψίας της υπογραφής είναι αυθαίρετη. Η υπογραφή του περιγράμματος παραμένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς μεταφοράς και περιστροφής. Το αναλλοίωτο όμως δεν ισχύει για δράσεις αλλαγής κλίμακας. Αυτό επιτυγχάνεται με την κανονικοποίηση των δειγμάτων της απόστασης, διαιρώντας την τιμή τους με τη μέση τιμή του R(θ P ). Αυτός ο τρόπος κανονικοποίησης δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα ακόμη και σε περιπτώσεις που στο περίγραμμα υπάρχει θόρυβος ή παραμορφώσεις. Ιστόγραμμα κλίσεων Στη μέθοδο αυτή προσεγγίζεται η τιμή της γωνίας θ j που σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα η εφαπτομένη σε καθένα pixel Pj του περιγράμματος. Η τιμή της κλίσης θ j υπολογίζεται με αριθμητικές μεθόδους. Μια τεχνική είναι ο καθορισμός της εξίσωσης της ευθείας ε, η οποία απέχει ελάχιστη συνολική απόσταση από το pixel P j και από τους τέσσερις πλησιέστερους γείτονές του στο περίγραμμα, ανά δύο εκατέρωθεν του P j. Μετά τον προσδιορισμό των συντελεστών της ε υπολογίζεται η κλίση και η γωνία θ j που σχηματίζει η ευθεία αυτή με την οριζόντιο. 13

Ιστόγραμμα κλίσεων εξίσωση ευθείας Ιστόγραμμα κλίσεων Για την ακολουθία θ j, χαράσσεται το ιστόγραμμα κλίσεων, δηλ. το ιστόγραμμα της συχνότητας εμφάνισης των τιμών της θj. Για την παράσταση της υπογραφής του ιστογράμματος των κλίσεων μερικές φορές χρησιμοποιούμε το διάγραμμα των πολικών συντεταγμένων. Στο διάγραμμα αυτό έχουμε αναπαράσταση της γωνίας από το μέτρο των τόξων, ενώ το ύψος των ιστών αποδίδεται με την απόσταση των κορυφών τους από το κέντρο του διαγράμματος. Η υπογραφή του περιγράμματος «κωδικοποιεί» πληροφορία σχετική με τη μορφή του περιγράμματος. 14

Ιστόγραμμα κλίσεων Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος Εστω ένα περίγραμμα με Ν pixels, των οποίων οι συντεταγμένες είναι (x 0,y 0 ),(x 1,y 1 ),,(x N 1,y N 1 ). Ορίζουμε την ακολουθία των μιγαδικών αριθμών s i = x i + jy i, i = 0,1,,N 1 Ορίζουμε, επίσης, το διακριτό μετασχηματισμό Fourier (DFT) της s i, την ακολουθία f k που ορίζεται ως: Από τους όρους της ακολουθία f k (τελεστές Fourier) είναι δυνατό να υπολογιστεί η ακολουθία s i : 15

Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος Οι προηγούμενες σχέσεις, για κατάλληλες τιμές του Ν, υπολογίζονται από τον ταχύ μετασχηματισμό Fourier (FFT) και τον αντίστροφό του. Οι όροι της ακολουθίας s i έχουν σημαντική συσχέτιση μεταξύ τους. Έτσι το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας συγκεντρώνεται σε λίγους από τους όρους της ακολουθίας f k. Με άλλα λόγια, το ανάπτυγμα Fourier έχει την ιδιότητα «συμπύκνωσης» της πληροφορίας σε ένα μικρό αριθμό από τους συντελεστές. Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος 16

Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος Η μεταφορά, η περιστροφή, η αλλαγή στην κλίμακα των αξόνων, καθώς και η αλλαγή στην επιλογή της αρχής της δειγματοληψίας του περιγράμματος, επιφέρει μεταβολές στην ακολουθία f k. Η μεταφορά της ακολουθίας s i κατά Δxy = Δx + jδy επιδρά μόνο στον μηδενικό όρο της f k, στον οποίο προσθέτει το μιγαδικό αριθμό Δxy. Οταν οι συντελεστές Fourier κανονικοποιηθούν κατάλληλα, είναι αναλλοίωτοι σε διάφορους μετασχηματισμούς. Μετασχηματισμός Fourier περιγράμματος 17