Υλικό Φσικής-Χημείας Στροφορμή. Μερικές όψεις Ένα φλλάδιο ερίας και μερικών εφαρμογών. Με βάση το σχολικό μας βιβλίο, ορίζομε τη στροφορμή ενός λικού σημείο το οποίο εκτελεί κκλική κίνηση κέντρο Ο, το διάνσμα το οποίο είναι κάετο στο επίπεδο της κκλικής τροχιάς, στο κέντρο Ο και έχει μέτρο =, ενώ η φορά της προσδιορίζεται με τον κανόνα το δεξιού χεριού. Αλλά η παραπάν τοποέτηση, αφήνει στο μαλό το μαητή την αντίληψη ότι για έχει ένα λικό σημείο στροφορμή, α πρέπει να εκτελεί κκλική κίνηση, πράγμα πο προφανώς δεν είναι σστό. Αρκεί να δούμε την περίπτση το παρακάτ σχήματος: κάτοψη Το λικό σημείο μάζας διαγράφει την οριζόντια κκλική τροχιά το σχήματος και τη στιγμή πο διέρχεται από το σημείο Α, το νήμα κόβεται. Τι α κάνει; Προφανώς α κινηεί εύγραμμα. Πόση είναι η στροφορμή το ς προς το σημείο Ο, ελάχιστα κοπεί το νήμα και πόση αμέσς μετά; Πόση είναι η στροφορμή το ς προς το σημείο Ο, τη στιγμή πο περνά από το σημείο Β; Ασκήηκε κάποια ροπή στο σώμα πο το άλλαξε τη στροφορμή στη έση Α; Προφανώς όχι. Οπότε αν, κοπεί το νήμα το λικό σημείο έχει στροφορμή ς προς το σημείο Ο, κάετη στο επίπεδο το σχήματος με φορά προς τον αναγνώστη και μέτρο =, τότε και μετά το κόψιμο το νήματος και στη έση Β, α έχει την ίδια στροφορμή. Αλλά τότε α ήταν πολύ προτιμότερο, να ορίζαμε τη στροφορμή λικού σημείο ς προς σημείο Ο, με βάση το διπλανό σχήμα, ς το διάνσμα το κάετο στο επίπεδο πο ορίζον το σημείο Ο και ο φορέας της ταχύτητας (εεία ε) και η απόσταση το Ο από την (ε). Αλλά πέρα από ορισμούς και σμβάσεις, ας εξετάσομε και δο περιπτώσεις για δούμε πόσο κατανοούμε την αναγκαιότητα «ανοίγματος» το ορισμού το βιβλίο μας. Στο παρακάτ σχήμα το λικό σημείο () εκτελεί κκλική κίνηση κέντρο Ο, ενώ το () κινείται εύγραμμα από τη έση Α μέχρι τη έση Β. () () (ε ) www.ylikonet.g
Υλικό Φσικής-Χημείας Για έναν παρατηρητή στο Ο και τα δο λικά σημεία στρέφονται γύρ από το Ο, αφού α πρέπει να «στρίψει» το πρόσπό το, για να παρακολοήσει, τόσο την μετακίνηση το κινητού () όσο και το κινητού (). Αλλά ας έρομε τώρα σε μια ράβδο (ένα στερεό) πο εκτελεί μεταφορική κίνηση, κινούμενο εύγραμμα όπς στο σχήμα. c c d c c Για ένα παρατηρητή πο βρίσκεται στο σημείο Ο «βλέπει» τη ράβδο να «στρέφεται» κατά γνία παρότι ατή δεν αλλάζει προσανατολισμό, οπότε πολογίζει στροφορμή οφειλόμενη στη μεταφορική κίνηση με μέτρο ο =Μ c d. Αντίετα για έναν παρατηρητή Κ στον φορέα της ταχύτητας, δεν πάρχει καμιά «στροφή» σνεπώς η στροφορμή είναι μηδενική. Περίεργο να έχομε στροφορμή για τον ένα παρατηρητή και όχι για τον άλλον; Όχι βέβαια, ας μην ξεχνάμε ότι το πρώτο χαρακτηριστικό κάε κίνησης σνδέεται με το σύστημα αναφοράς μας. Απλά αξίζει να τονισεί ότι η στροφορμή ατή εξαρτάται από το σημείο ς προς το οποίο πολογίζεται ενώ η ράβδος αντιμετπίζεται ς λικό σημείο. ) Και η στροφορμή κατά τον άξονα; Παραπάν ορίσαμε τη στροφορμή ενός λικού σημείο ς προς το σημείο Ο. Δηλαδή ορίζομε τη στροφορμή ς προς σημείο και όχι ς προς άξονα! Αλλά ας επιστρέψομε στο λικό σημείο πο κινείται κκλικά σε οριζόντιο κύκλο. Η στροφορμή είναι κατακόρφη, οπότε α μπορούσαμε να σκεφτούμε ότι z έχομε περιστροφή γύρ από τον κατακόρφο άξονα z και να μιλήσομε για τη στροφορμή το λικού σημείο κατά τον άξονα z. Το μέτρο της στροφορμής α ήταν z = = και η κατεύνσή της α ήταν ίδια με την κατεύνση της γνιακής ταχύτητας, όπς στο σχήμα, οπότε α μπορούσαμε να γράψομε για την στροφορμή: Αναγνρίζοντας την ποσότητα ( ) ς την ποσότητα πο αντιστοιχεί στη ροπή αδράνειας! z = ( ) www.ylikonet.g
Υλικό Φσικής-Χημείας Αλλά ας πολογίσομε τη στροφορμή της σημειακής μάζας όχι ς προς το σημείο Ο το άξονα, αλλά ς προς το σημείο Μ, όπς στο διπλανό σχήμα. Η στροφορμή ς προς το σημείο Μ, είναι κάετη στο επίπεδο πο ορίζει το Μ και ο φορέας της ταχύτητας και μέτρο Μ =R. Αν αναλύσομε την παραπάν στροφορμή, η σνιστώσα της πάν στον άξονα z έχει φορά προς τα πάν και μέτρο: z = Μ σν= R R = Ίση δηλαδή με τη στροφορμή όπς πολογίστηκε ς προς το κέντρο το κύκλο Ο. Σμπέρασμα: Ως προς όλα τα σημεία το άξονα, η στροφορμή το λικού σημείο δεν είναι ίδια, αλλά αν πάρομε την εκάστοτε σνιστώσα της πάν στον άξονα, ατή έχει σταερή τιμή ίση με z =. Τη στροφορμή ατή πολογίζομε όταν αναφερόμαστε στη στροφορμή το λικού σημείο κατά (ς προς) τον ά- ξονα. Θα μπορούσε όμς να μας ενδιαφέρει η στροφορμή το λικού σημείο κατά τον άξονα z, ο οποίος δεν είναι κάετος στο επίπεδο της κκλικής τροχιάς αλλά σχηματίζει γνία με την κατακόρφη, όπς στο δεξιό σχήμα. Z M z R M x o z z z z d Τότε, αναφερόμενοι στο σημείο Ο το άξονα z, ς προς το οποίο το λικό σημείο έχει στροφορμή όπς στο πρώτο σχήμα με μέτρο ο =, τότε η στροφορμή κατά τον άξονα z α είναι η σνιστώσα της στροφορμής ο στη διεύνση το άξονα z. Δηλαδή: z = o σν Αλλά, ας πάρομε μια έση το λικού σημείο, τη στιγμή πο βρίσκεται στο επίπεδο πο ορίζον η κάετη στο επίπεδο και ο άξονας z και ας φέρομε την κάετη στον άξονα z από τη έση πο βρίσκεται το λικό σημείο, η γνία πο σχηματίζει με την ακτίνα το κύκλο είναι επίσης (γνίες με πλερές κάετες) και η παραπάν σχέση γίνεται: z d = o σν = ( ) = d Όπο d η απόσταση το λικού σημείο από τον άξονα z. Αξίζει να τονίσομε στο σημείο ατό ότι η στροφορμή κατά τον άξονα z και η γνιακή ταχύτητα, δεν έ- χον την ίδια κατεύνση! Στο βιβλίο την στροφορμή κατά έναν ορισμένο άξονα, την ονομάζει στροφορμή ς προς τον άξονα, έκφραση όχι ιδιαίτερα πετχημένη, αφού η στροφορμή ορίζεται ς προς σημείο (στο παραπάν παράδειγμα ς προς το σημείο Ο ή ς προς το σημείο Κ). www.ylikonet.g 3
Υλικό Φσικής-Χημείας ) Και η στροφορμή ενός στερεού ς προς ένα σημείο, σε μια επίπεδη κίνηση; Ας πάρομε το απλούστερο στερεό S, το οποίο αποτελείται από δο ίσες σημειακές μάζες στα άκρα μιας αβαρούς ράβδο (λέγοντας αβαρούς εννοούμε μιας ράβδο με πολύ-πολύ μικρότερη μάζα, από τις μάζες τν δύο σημειακών σμάτν), μήκος l. Το στερεό μας S στρέφεται όπς στο σχήμα, γύρ από κατακόρφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το μέσον Ο της ράβδο, με γνιακή ταχύτητα. i) Πόση είναι η στροφορμή το στερεού μας ς προς το σημείο Ο; ii) Να βρεεί η στροφορμή το στερεού μας, ς προς τα σημεία Α και Β το σχήματος. Απάντηση: i) Το στερεό S μπορούμε να το δούμε σαν ένα σύστημα αποτελούμενο από δο σημειακές μάζες και μια ράβδο. Σνεπώς η στροφορμή το α είναι ίση με το διανσματικό άροισμα τριών στροφορμών: = s Αλλά αφού η ράβδος είναι αβαρής δεν έχει στροφορμή, οπότε μένον οι στροφορμές τν δύο σημειακών μαζών οι οποίες είναι κατακόρφες με φορά προς τα πάν και η σνολική στροφορμή είναι: s = = ρ l l l l= l = I Παρατηρούμε ότι η στροφορμή το στερεού, ς προς το κέντρο μάζας το Ο, έχει την κατεύνση της γνιακής ταχύτητας και δικαιούμαστε να γράψομε: = s I c ii) Η στροφορμή το στερεού S ς προς το σημείο Α (έση της μιας σημειακής μάζας) α είναι ίση με: = s/ ρ s/α = d= l= l = I Με κατεύνση όπς στο διπλανό σχήμα. c Μπορούμε να επισημάνομε ότι η στροφορμή το στερεού ς προς το ένα άκρο της ράβδο, έχει κατεύνση παράλληλη προς την γνιακή ταχύτητα, κάετη στο επίπεδο πο διαγράφει το στερεό και μέτρο ίσο με το μέτρο της στροφορμής και ς προς το κέντρο μάζας Ο. Ας έρομε τώρα στον πολογισμό της στροφορμής ς προς το σημείο Β, τροποποιώντας το σχήμα μας, προς διεκόλνση. Έστ η στροφορμή ς προς το σημείο Β της z l l c l l s/ l Γ www.ylikonet.g 4
Υλικό Φσικής-Χημείας σημειακής μάζας με ταχύτητα και η αντίστοιχη στροφορμή της σημειακής μάζας. Για τα μέτρα τος α έχομε: = (ΒΓ) = l (ΒΓ) και = (ΒΔ) = l (ΒΔ) Αλλά τότε η σνολική στροφορμή προς το σημείο Β α έχει διεύνση κάετη στο επίπεδο το σχήματος με φορά προς τον αναγνώστη και μέτρο: s/ = = l( ) l( Γ ) s/ = l( Γ ) = l l = l = I s/ c s/ l Σνεπώς αναφερόμενοι στο αρχικό σχήμα μας και για ένα τχαίο σημείο, η στροφορμή το στερεού μας S, ς προς το Β έχει μέτρο ξανά Ι c και κατεύνση ίδια με την γνιακή ταχύτητα! Σμπέρασμα: Ένα επίπεδο στερεό πο στρέφεται γύρ από άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας το με γνιακή ταχύτητα, έχει μια στροφορμή με μέτρο =Ι c την οποία μπορούμε να αποδώσομε στην «ιδιοπεριστροφή» το και η οποία είναι πάντα ίδια, ανεξάρτητα το σημείο πολογισμού της. 3) Και η στροφορμή το στερεού κατά (ς προς) ένα άξονα; Το παραπάν στερεό S στρέφεται όπς και. Να πολογιστεί η στροφορμή το: i) Κατά τον άξονα z τον κάετο στο επίπεδο περιστροφής το. ii) Κατά τον άξονα z ο οποίος σχηματίζει γνία με τον προηγούμενο άξονα z. Απάντηση: i) Η στροφορμή πο προηγούμενα πολογίσαμε ς προς το σημείο Ο, το κέντρο μάζας, είναι κατακόρφη έχοντας την κατεύνση της γνιακής ταχύτητας και μέτρο c = l και σνεπώς έχει την κατεύνση το άξονα z. Θα μπορούσαμε λοιπόν να γράψομε για την στροφορμή το στερεού S κατά τον άξονα z την μαηματική εξίσση: = I s/ z c/ z z z l z z www.ylikonet.g 5
Υλικό Φσικής-Χημείας ii) Στην περίπτση τώρα για την στροφορμή κατά τον άξονα z, με βάση το σχήμα α έχομε ότι η στροφορμή z είναι ίση με την προβολή της στροφορμής z, πάν στην διεύνση το άξονα: z = z σν = Ι c/z σν Βέβαια α μπορούσαμε να πολογίσομε τη στροφορμή κάε σημειακής μάζας ανεξάρτητα, όπς στο παρακάτ σχήμα, όπο η σημειακή μάζα απέχει κατά d από τον άξονα z, ενώ η απέχει αντίστοιχα απόσταση d, τη στιγμή πο οι άξονες z, z και οι δο μάζες βρίσκονται στο ίδιο κατακόρφο επίπεδο, τότε: = d = l lσν=l σν= z d l Λ d l Οι δο ατές στροφορμές έχον την διεύνση το άξονα, σνεπώς: z = l σν= Ι c/z σν Αλλά α μπορούσαμε να αναλύσομε κάε ταχύτητα σε δο σνιστώσες, μια σνιστώσα // παράλληλη στον άξονα z και μια κάετη στην ΑΚ (πάν σε κάετο επίπεδο στον άξονα z πο περνά από το Κ), όπς στο διπλανό σχήμα, οπότε μπορούμε να γράψομε: z = d = d d = d οπότε: ( d d ) = d d = ή z z = I z Όπο Ι z η ροπή αδράνειας το στερεού για την περιστροφή το ς προς τον άξονα z. Όμς προσοχή!!! Η στροφορμή και η γνιακή ταχύτητα δεν έχον την ίδια κατεύνση και η παραπάν σχέση δεν μπορεί να γραφεί με διανσματική μορφή!!! d z // 4) Και κατά την σύνετη επίπεδη κίνηση στερεού; Όταν μιλάμε για σύνετη κίνηση απλά πρέπει να εφαρμόσομε τα προηγούμενα, τόσον όσον αφορά την περιστροφή όσο και την μεταφορά. Έτσι στην περίπτση πο ένας κύλινδρος κλίεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο, όπς στο σχήμα, πόση είναι η στροφορμή το κλίνδρο κατά τος άξονες, τος κάετος στο επίπεδο το σχήματος πο περνούν από τα σημεία Ο, Α, Β, Γ και Δ. Δίνεται Ι c = ½ ΜR. c R Γ www.ylikonet.g 6
Υλικό Φσικής-Χημείας Απάντηση: Θερούμε ετική την γνιακή ταχύτητα το κλίνδρο, κάετη στο επίπεδο της σελίδας με φορά προς τα μέσα. i) Ως προς οριζόντιο άξονα πο περνά από το κέντρο μάζας Ο έχομε: Με φορά προς τα μέσα, όπς στο σχήμα. Ο =Ι c = ½ ΜR o ii) Ως προς οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το Α: c R Γ Γ Α =Μ c R Ι c =ΜR R ½ ΜR = Της ίδια κατεύνσης με την στροφορμή στο Ο. iii) Ως προς τον άξονα στο σημείο Β: Με φορά προς τα έξ. Β = -Μ c R Ι c =- ΜR R ½ ΜR = iv) Ως προς οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το Γ: Α =Μ c d Ι c =ΜR 0 ½ ΜR = 3 MR MR MR Της ίδια κατεύνσης με την στροφορμή στο Ο (αλλά και ίδιο μέτρο) v) Ως προς οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από το Δ: Με φορά προς τα έξ. Α =Μ c d Ι c =-ΜR R ½ ΜR = 3 MR 5) Πώς α εφαρμόσομε την αρχή διατήρηση της στροφορμής σε μια κρούση; Α) Μια κρούση με ελεύερο στερεό. Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί μια ομογενής δοκός μήκος πο ερείται λικό σημείο μάζας =6kg είναι δεμένη στο άκρο νήματος μήκος l=4και μάζας Μ=6kg. Μια σφαίρα l =6και στρέφεται οριζόντια με ταχύτητα =/s, όπς στο σχήμα, όπο (ΟΑ)= η απόσταση το άκρο της δοκού Α από το www.ylikonet.g 7
Υλικό Φσικής-Χημείας κέντρο της κκλικής τροχιάς Ο. l l Σε μια στιγμή η σφαίρα σγκρούεται με τη δοκό στο άκρο της Β, ενώ τατόχρονα το νήμα κόβεται. Αν η κρούση μεταξύ τν σμάτν είναι πλαστική, να βρεεί για το νέο στερεό Σ πο προκύπτει η ταχύτητα το κέντρο μάζας το Κ και η γνιακή το ταχύτητα. Δίνεται η ροπή αδράνειας της δοκού ς προς κάετο ά- ξονα πο περνά από το μέσον της Απάντηση: I c = Ml. Κατά τη διάρκεια της κρούσης η σνισταμένη τν εξτερικών δνάμεν (βάρη και κάετες αντιδράσεις) είναι μηδενική, σνεπώς ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής: P = P =(Μ) c c = ½ = /s όπο το κέντρο μάζας, λόγ ισότητας τν δύο μαζών, είναι το σημείο Κ, στο μέσον της ΒΡ, όπο Ρ το μέσον της δοκού. Για τον πολογισμό της γνιακής ταχύτητας, α χρειαστούμε να εφαρμόσομε και την αρχή διατήρησης της στροφορμής. Ως προς ποιο σημείο; i) Ας εφαρμόσομε την ΑΔΣ ς προς το κέντρο Ο της κκλικής τροχιάς: = l = I ( M ) c () l = Ml M( P ) ( ) ( M ) c ( ) = 6 6 5 ad / s= 0,6 ad / s 6 4 6 6 ii) Ας εφαρμόσομε την ΑΔΣ ς προς το κέντρο μάζας Κ το στερεού: = P P c www.ylikonet.g 8
Υλικό Φσικής-Χημείας l = ( ) I = ( ) = M M( P ) ( ) 6 6 ad / s= 0,6ad / s 4 6 6 iii) Ας εφαρμόσομε την ΑΔΣ ς προς το μέσον Ρ της δοκού: = ( P) = I ( M ) ( P ) c l ( P) = M M( P ) ( ) ( M ) ( P ) = 6 ad / s= 0,6ad / s 6 4 6 6 Σμπέρασμα; Δεν έχει καμιά σημασία ς προς ποιο σημείο α εφαρμόσομε την ΑΔΣ, αρκεί να την εφαρμόσομε σστά. Θα μπορούσαμε να πάρομε ένα οποιοδήποτε σημείο Δ το επιπέδο, το οποίο απέχει κατά d από τον φορέα της c, όπς στο σχήμα. Θα έχομε: = c P c d l ( d ( ) ) = I ( M ) d ( d ( ) ) = M M( P ) ( ) ( M ) d = c 6 ( d ) d ad / s= 0,6ad / s 6 4 6 6 c Β) Μια κρούση με στερεό πο μπορεί να στρέφεται γύρ από σταερό άξονα. Έχομε το παραπάν πρόβλημα κρούσης, αλλά τώρα η δοκός μπορεί να στρέφεται γύρ από κατακόρφο άξονα πο περνά από το άκρο Α της. Να πολογίστε τώρα την ταχύτητα το κέντρο μάζας Κ και τη γνιακή ταχύτητα το στερεού μετά την πλαστική κρούση. Απάντηση: Από τη στιγμή πο η δοκός μπορεί να στρέφεται γύρ από σταερό άξονα, στη διάρκεια της κρούσης δεν www.ylikonet.g 9
Υλικό Φσικής-Χημείας μπορούμε να εφαρμόσομε την διατήρηση της ορμής, αφού το σύστημα δεν είναι μονμένο, δεχόμενο δύναμη από τον άξονα. Οπότε α εφαρμόσομε την αρχή διατήρησης της στροφορμής. Αλλά ς προς ποιο σημείο; Ως προς το σημείο εκείνο πο α μηδενίζεται η ροπή της εξτερικής δύναμης πο α δεχτεί η δοκός από τον άξονα, στη διάρκεια της κρούσης. Επειδή όμς η δοκός α δεχτεί δύναμη στη διεύνση της αρχικής ταχύτητας και η δύναμη από τον άξονα α έχει την ίδια διεύνση. Ο- πότε μπορούμε να πάρομε οποιοδήποτε σημείο της εείας (ε). i) Ας πάρομε την εκολότερη περίπτση. Ας δολέψομε με το σημείο Α, αφού το στερεό μας α περιστραφεί γύρ από τον άξονα στο Α: Αλλά τότε: = = l= I l l = Ml M l 6 6 4 ad / s= 0,375ad / s 4 6 4 6 6 c = Κ = 3 l = 4,5/ s ii) Ας δολέψομε με τις στροφορμές ς προς ένα τχαίο σημείο Τ της εείας (ε): = Αλλά τότε: l= I ( M ) c c d l = Ml M( P ) ( ) ( M ) ( ) ( ) = 6 4 6 4 ad / s= 0,375ad / s 6 6 9 c = Κ = 3 l = 4,5/ s P d T (ε ) P c www.ylikonet.g 0
Υλικό Φσικής-Χημείας 6) Η στροφορμή σε ένα σύστημα σμάτν. F F Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται, αφενός ένας δίσκος μάζας Μ=0kg και ακτίνας R=0,4 ο οποίος έχει ταχύτητα =/s και γνιακή ταχύτητα =ad/s, κατακόρφη με φορά προς τα κάτ, αφετέρο μια ομογενής ράβδος μήκος l= μάζας =3kg, η οποία δέχεται μια σταερή οριζόντια δύναμη F=0Ν στη διεύνση της ταχύτητας το δίσκο. Σε μια στιγμή τα σώματα σγκρούονται ελαστικά. Τη στιγμή της κρούσης (δεύτερο σχήμα) η ράβδος έχει ταχύτητα κέντρο μάζας c = =/s κάετη στην ταχύτητα και γνιακή ταχύτητα =αd/s, κατακόρφη με φορά προς τα πάν, ενώ και το σημείο σύγκροσης Α απέχει 0,5 από το μέσον Κ της ράβδο. Α) Ποια η σνολική στροφορμή το σστήματος ελάχιστα την κρούση; Β) Για τη στιγμή ελάχιστα την κρούση και για το σύστημα τν δύο σμάτν να βρεούν: i) Η σνολική στροφορμή ς προς το κέντρο Ο το δίσκο. ii) Η σνολική στροφορμή ς προς το μέσον Κ της ράβδο. iii) Η σνολική στροφορμή ς προς το σημείο κρούσης Α. iv) Η σνολική στροφορμή ς προς το σημείο Β το οποίο απέχει κατά,5 από το κέντρο το δίσκο και κατά 0,4 από τη ράβδο. v) Ο ρμός μεταβολής της στροφορμής το σστήματος ς προς το σημείο Β. Γ) Αν στη διάρκεια της κρούσης δεν αναπτύσσονται δνάμεις τριβής μεταξύ τν δύο σμάτν ενώ η ώ- ηση της δύναμης F ερηεί αμελητέα, να πολογιστούν οι ταχύτητες τν κέντρν μάζας και οι γνιακές ταχύτητες τν δύο στερεών, αμέσς μετά την κρούση. Δίνονται οι ροπές αδράνειας ς προς κατακόρφος άξονας πο περνάνε από το κέντρο μάζας κάε στερεού Ι = ½ ΜR και Ι = / Μl. Απάντηση: Α) Η ερώτηση ατή δεν επιδέχεται απάντηση. Δεν πάρχει στροφορμή έτσι γενικώς, αλλά στροφορμή ς προς ένα σημείο ή κατά (ς προς) έναν άξονα. Β) Η σνολική στροφορμή πολογιζόμενη για το σύστημα ς προς το ίδιο σημείο, α προκύπτει από το διανσματικό άροισμα τν στροφορμών τν επιμέρος σμάτν, ς προς το σημείο ατό. = oλ Έτσι ερώντας ς ετική την κατεύνση την κάετη στο επίπεδο το σχήματος με φορά προς τον αναγνώστη: iii) Ως προς το κέντρο Ο το δίσκο α έχομε: www.ylikonet.g
Υλικό Φσικής-Χημείας oλ / = ολ = -I I d = MR l R o λ / 0 0,4 iv) Ως προς το μέσον Κ της ράβδο: oλ / = 3 3 0,4 kg / s=,4kg ολ/κ = -I d I MR M ( ) oλ / = l 0 0,4 v) Ως προς το σημείο κρούσης Α: vi) Ως προς το σημείο Β: oλ / = 0 0,5 = 0 0,4 3 ολ/α = -I I MR oλ / = l 3 kg / s= 3,8kg kg / s=,kg / s oλ /. ολ/β = -I d I d = MR M() l R o λ / 0 0,4 0,5 3 / s / s. 3 0,4 kg / s=,6kg vii) Ο ρμός μεταβολής της στροφορμής το σστήματος, ς προς ένα σημείο, είναι ίσος με την αντίστοιχη ροπή τν εξτερικών δνάμεν ς προς το ίδιο σημείο. Αλλά για κάε σώμα στην κατακόρφη διεύνση η σνισταμένη τν εξτερικών δνάμεν w και Ν (και ροπών ς προς οποιοδήποτε σημείο) είναι μηδενική, οπότε: d dt oλ Ας δούμε τι ακριβώς πολογίζομε. = Fd = F( ) = 0 kg / s = 0kg Στον δίσκο δεν ασκείται καμιά δύναμη, οπότε δεν μεταβάλλεται ούτε η ταχύτητα το κέντρο μάζα το, ούτε η γνιακή το ταχύτητα. Αλλά ούτε στην ράβδο ασκείται ροπή ς προς το κέντρο μάζας της, σνεπώς η γνιακή της ταχύτητα παραμένει σταερή. Όμς η ασκούμενη δύναμη στο μέσον της προκαλεί επιτάχνση στην κατεύνση της δύναμης σύμφνα με τον ο νόμο το Νεύτνα. Η κίνηση το κέντρο μάζας, μπορεί να μελετηεί σε δο άξονες. Έναν στη διεύνση της δύναμης, ας τον / s / s. www.ylikonet.g
Υλικό Φσικής-Χημείας πούμε άξονα x και ένα σε κάετη διεύνση, έστ άξονας y. Αλλά τότε η κίνηση στον άξονα y είναι εύγραμμη ομαλή και η στροφορμή ς προς το σημείο Β, η οποία οφείλεται στην ταχύτητα y α παραμένει σταερή. Αλλά η στροφορμή ς προς Β η οποία οφείλεται στην κίνηση κατά τον άξονα x είναι: Β/x = x d= x l d x dx l l l = = a F 0kg / s x = =. dt dt Γ) Στο παρακάτ σχήμα, αριστερά έχον σχεδιαστεί οι ταχύτητες στην διεύνση x, όπο το σημείο Α της ράβδο έχει γραμμική ταχύτητα Α = (ΑΚ) =/s, ενώ δεξιά οι δνάμεις πο ασκηούν στα σώματα στη διάρκεια της κρούσεις (κροστικές δνάμεις) πο αναπτύσσονται εξαιτίας της κρούσης και οι οποίες α μεταβάλλον την κίνησή τος στην διεύνση x, ενώ η ροπή της F ς προς το κέντρο μάζας της ράβδο, α έχει ς αποτέλεσμα την μεταβολή της γνιακής της ταχύτητας. y F F x. viii) Από τη στιγμή πο η ώηση της δύναμης F, στη διάρκεια της κρούσης ερείται αμελητέα, η ορμή το σστήματος παραμένει σταερή, οπότε παίρνομε: y x P = P Ρ x/ =Ρ x/μετά Μ 0= M x x Ρ y/ =Ρ y/μετά 0 = M () y y Αλλά με βάση τις δνάμεις πο αναφέραμε προηγούμενα, αλλαγή α έχομε στις ταχύτητες στη διεύνση τν δνάμεν (διεύνση x), σνεπώς y =0 και y =. ix) Εφαρμόζομε τώρα την διατήρηση της στροφορμής ς προς κάποιο σημείο. Το παραπάν ερώτημα νομίζ μας απέδειξε ότι μπορούμε να το κάνομε, ς προς οποιοδήποτε σημείο έλομε. Ας επιλέξομε το σημείο σύγκροσης Α, για να έχομε πιο λιτές εξισώσεις λοιπόν. = / / MR l = MR l x( ) Όπο όμς ο δίσκος, δεν δέχτηκε κάποια ροπή στη διάρκεια της κρούσης, οπότε δεν άλλαξε και η γνιακή το ταχύτητα, ενώ x είναι η σνιστώσα ταχύτητας το κέντρο μάζας της ράβδο στην διεύνση x, μετά την κρούση. Έτσι η παραπάν εξίσση παίρνει τη μορφή: www.ylikonet.g 3
Υλικό Φσικής-Χημείας www.ylikonet.g 4 ) ( x = l l (3) x) Αλλά αφού η κρούση είναι ελαστική η κινητική ενέργεια το σστήματος και μετά την κρούση α είναι ίδια: Κ Κ =Κ Κ = I I M I I M Λαμβάνοντας δε πόψη μας ότι y =0, y = και = παίρνομε: ( ) = y x x M M l l = x x M M l l (4) Επιλύοντας το σύστημα τν εξισώσεν (), (), (3) και (4) και με την προϋπόεση ότι δεν κάναμε λάος!!! στις πράξεις, βρίσκομε τα μέτρα τν μεγεών (οι κατεύνσεις είναι σημειμένες στο προηγούμενο σχήμα): s, 0,3/ s / =ad s. /,4ad s,,5/ s, / s,,3/ y x = dagais@sch.g