Μια κινούμενη τροχαλία.

Transcript

1 Μια κινούμενη τροχαλία. Γύρω από µια τροχαλία µάζας Μ0,8kg έχοµε τλίξει ένα αβαρές νήµα, στο άκρο το ο- ποίο έχοµε δέσει ένα σώµα µάζας m0,kg. γκρατούµε τα δο σώµατα µε τα χέρια µας, ώστε το νήµα να είναι τεντωµένο (χωρίς να ασκεί δνάµεις στα σώµατα) και σε µια στιγµή t 0 0, αφήνοµε το σώµα να κινηθεί, ενώ σγκρατούµε σταθερή την τροχαλία. Τη στιγµή t s αξάνοµε το µέτρο της δύναµης στην τιµή F Ν, µέχρι τη στιγµή t πο η τροχαλία αποκτά ταχύτητα m/s. i) Να πολογιστεί το µέτρο της δύναµης την οποία ασκούσαµε στην τροχαλία από 0-t. ii) Να βρεθεί η χρονική στιγµή t. iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας το σώµατος σε σνάρτηση µε το χρόνο από 0-t. iv) Ποιες ενεργειακές µεταβολές εµφανίζονται στο χρονικό διάστηµα tt -t ; Πώς σνδέονται οι µεταβολές ατές µε τα έργα των δνάµεων πο ασκούνται στα σώµατα; Για την τροχαλία ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι ½ Μ, ενώ g0m/s. Απάντηση: i) το διπλανό σχήµα έχον σχεδιαστεί οι δνάµεις πο ασκούνται στα σώµατα, όπο αφού το νήµα είναι αβαρές Τ Τ και F η δύναµη πο ασκούµε στον άξονα της τροχαλίας. Από 0-t σγκρατούµε την τροχαλία, το νήµα ξετλίγεται και το σώµα κατέρχεται. Παίρνοντας το ο νόµο το Νεύτωνα θα έχοµε: ώµα : Fm α mg-τm α () Τροχαλία: τι α γων Τ ½ Μ α γων Τ ½ Μα γων () Αλλά το σώµα έχει κάθε στιγµή την ίδια ταχύτητα µε κάθε σηµείο το νήµατος, σνεπώς και µε το σηµείο Α το νήµατος το οποίο έρχεται σε επαφή µε την τροχαλία: d γρ ω a aγων (3) dt dt Οπότε µε πρόσθεση των () και () λαµβάνοντας πόψη µας και την σχέση (3), παίρνοµε: mg m+ 0, 0 m / s 0,+ 0,4 a m / s Αλλά τότε από την ισορροπία της τροχαλίας, όσον αφορά τη µεταφορική της κίνηση, θα έχοµε: Fw+Τ Μg+ ½ Μ α0,8 0Ν+ ½ 0,8 Ν8,8Ν ii) Μόλις αξήσοµε το µέτρο της ασκούµενης κατακόρφης δύναµης F, η τροχαλία θα επιταχνθεί προς τα πάνω και έστω ότι το σώµα σνεχίζει να επιταχύνεται προς τα κάτω. ολεύοντας µε τα µέτρα των µεγεθών, θα έχοµε: F w T w A

2 Τροχαλία: Μεταφορική κίνηση: F y Μ α cm F-Μg-Τ Μ α cm (4) τροφική κίνηση: τι α γων Τ ½ Μ α γων Τ ½ Μ α γων (5) ώµα : Fm α mg-τm α (6) Ας έρθοµε τώρα στο σηµείο Α, όπο το νήµα εφάπτεται της τροχαλίας. Το σηµείο ατό, σαν σηµείο της περιφέρειας της τροχαλίας έχει µια σνιστώσα ταχύτητα ίση µε cm και µια γρ ω, όπως στο σχήµα, οπότε η σνολική ταχύτητα, ίση µε την ταχύτητα το σώµατος, θα είναι: γρ - cm ω- cm d dcm α aγων (7) dt dt dt Οπότε η (5) γίνεται Τ ½ Μ α γων ή ΤΜα +Μα cm και µε αντικατάσταση στις σχέσεις (4) και (6) παίρνοµε: cm A γρ,5μα cm +0,5mα F-Μg 0,5Μα cm +(m+0,5μ)α mg α 0 και α cm,5m/s Αλλά τότε για την κίνηση το κέντρο µάζας της τροχαλίας έχοµε: α cm t t t s 0,4s t a,5 cm iii) Το σώµα, από 0-s κινείται µε σταθερή επιτάχνση, οπότε αποκτά ταχύτητα α t m/sm/s,,4 s ενώ στη σνέχεια κινείται µε σταθερή ταχύτητα και η ζητούµενη γραφική παράσταση είναι: m / s 0,0,4 t( s ) iv) το χρονικό διάστηµα από s έως,4s, η τροχαλία ανέρχεται κατά: y ½ α cm ( t) ½,5 0,4 m0,m. Αλλά τότε έχει αξηθεί η δναµική της ενέργεια κατά: U τρ Μg y0,8 0 0,J,6J. Τατόχρονα έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ωω + α γων t, όπο ω ενώ λόγω της σχέσης (7) α γων α cm /, οπότε παίρνοµε ω + ( t νεπώς έχει αποκτήσει και κινητική ενέργεια: K I t ),5 0,4 + + ω + ω 3 (S.Ι.)

3 K 0,8 J+ 0,8 4 Ενώ τη στιγµή t είχε κινητική ενέργεια: 3 J 0,4J +,8J,J Κ t Iω 0,8 ω J Έχοµε δηλαδή αύξηση της µηχανικής ενέργειας της τροχαλίας κατά: Ε τρ U+ Κ,6J+(,J-0,8J)3J. το ίδιο χρονικό διάστηµα το σώµα κατεβαίνει κατά y t 0,4m0,8m. 0,8 J Αλλά τότε η δναµική το ενέργεια µειώνεται κατά U mgy 0, 0 0,8J0,8J, ενώ η κινητική το ενέργεια παρέµεινε σταθερή, αφού κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Αν θέλοµε να µιλήσοµε για το σύστηµα, προφανώς έχοµε αύξηση της µηχανικής το ενέργειας κατά: Ε ολ Ε τρ + Ε +3J-0,8J,J. Τα βάρη των σωµάτων είναι δνάµεις τα έργα των οποίων εκφράζον την ενέργεια η οποία µετατρέπεται από δναµική σε κινητική και αντίστροφα. Το έργο επίσης της τάσης το νήµατος, εσωτερική δύναµη, µετράει την ενέργεια πο µεταφέρεται από το ένα σώµα στο άλλο. Έτσι η µόνη δύναµη πο µπορεί να µεταβάλλει την µηχανική ενέργεια το σστήµατος είναι η ασκούµενη δύναµη F. Πράγµατι: W F F y 0,J, J Ε ολ. Ας δούµε τώρα λίγο αναλτικότερα το τι σµβαίνει, µε τη βοήθεια των έργων. Κατά την κίνηση το σώµατος, η δναµική το ενέργεια µειώνεται κατά 0,8J αφού το βάρος παράγει έργο W w +mgy + 0, 0 0,8 J 0,8J. Αλλά πάνω το α- σκείται και η τάση το νήµατος το έργο της οποίας είναι W Τ -Τ y -0,8J, πράγµα πο σηµαίνει ότι αφαιρείται ενέργεια 0,8J από το σώµα η οποία µεταφέρεται µέσω το νήµατος στην τροχαλία. Για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας έχοµε: W F F y 0,J, J, W Τ -Τ y-mg y-0, 0 0,J-0,J και W w -Μgy -0,8 0 0,J -,6J νεπώς η µεταφορική κινητική της ενέργεια µεταβάλλεται κατά: Κ Κ µετ W F +W Τ +W w,j-0,j-,6j0,4j. Κατά την περιστροφική κίνηση της τροχαλίας ατή διαγράφει γωνία: θω ( t)+ αγων ( t) ( t ) + ( t) Οπότε το αντίστοιχο έργο της ροπής πο εθύνεται για την περιστροφή είναι: T w F w A 3

4 W a cm τ τ θ T θ mg ( t ) + ( t) mg( t ) + ( t) W τ mg ( t ) + mg ( t) 0, 0 0,4J +,5 0,4 J J Ίσο µε την αύξηση της κινητικής περιστροφικής ενέργειας της τροχαλίας, αφού: Κ περ K τελ K aρχ ω Κ περ,8j-0,8jj. ω Πόσο είναι το έργο της τάσης το νήµατος; Το έργο της τάσης Τ, η οποία ασκείται στο σώµα πολογίστηκε ίσο µε -0,8J, πράγµα πο σηµαίνει ότι µέσω το νήµατος µεταφέρεται ενέργεια 0,8J στην τροχαλία. Ναι, αλλά πώς γίνεται η περιστροφική κινητική ενέργεια να αξήθηκε κατά J και όχι κατά 0,8J; Όταν µελετήσαµε τη µεταφορική κινητική ενέργεια είχαµε βρει ότι W Τ -0,J, πράγµα πο ση- µαίνει ότι «αφαιρέθηκαν» 0,J µεταφορικής κινητικής ενέργειας από την τροχαλία, τα οποία προστιθέµενα στα 0,8J της ενέργειας πο µεταφέρονται από το σώµα, µας δίνον τη σνολική περιστροφική κινητική ενέργεια της τροχαλίας. χόλια: ) Παρατηρώντας το διπλανό σχήµα όπο έχοµε σχεδιάσει τις ταχύτητες το σηµείο Α, βλέποµε ότι η γραµµική ταχύτητα λόγω περιστροφής γρ > cm αφού το νήµα κινείται προς τα κάτω. Εδώ θα µπορούσε να προκύψει το λάθος, αν κάποιος παραγωγίζοντας ποστηρίξει ότι και α επ α γων > α cm, πράγµα το οποίο, όπως αποδείχτηκε παραπάνω δεν ισχύει. την άσκηση ατή βρήκαµε ότι α γων α cm! Τι σηµαίνει ατό; Ότι µεταβάλλεται και η cm και η γωνιακή ταχύτητα οπότε α cm α γων, αλλά η διαφορά ω- cm κάθε στιγµή παραµένει σταθερή! Ας το δούµε αλλιώς µε βάση τα µαθηµατικά. Το ότι ισχύει C µια σταθερά. d cm dt δεν σηµαίνει ότι cm ω αφού η ολοκλήρωση µας δίνει cm ω+c, όπο dt ) Το παραπάνω βρίσκει εφαρµογή και στην κύλιση. Αν ένας τροχός κλίεται τότε ισχύει ότι α cm α γων, αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο. είτε τι σµβαίνει στα τρία παρακάτω σχήµατα. γρ γρ cm cm cm γρ cm cm A cm + m / s γρ γρ cm A cm m / s γρ a γων a γων a γων cm cm A γρ 4

5 3) Το σύστηµα µελέτης µας ήταν η τροχαλία, το σώµα µε το νήµα πο τα σνδέει, αλλά και η Γη, αρκεί να σκεφτούµε ότι όταν µιλάµε για δναµική ενέργεια, είναι ενέργεια αλληλεπίδρασης και αναφέρεται στο σύστηµα Γη-σώµα και όχι µόνο στο σώµα. Αλλά τότε οι δνάµεις πο ασκούνται στα διάφορα µέλη το σστήµατος µας, µπορούν να χωριστούν σε δο οµάδες: i) Εσωτερικές δνάµεις. Ατές είναι τα βάρη (και οι αντιδράσεις τος πο ασκούνται στη Γη, η οποία όµως λόγω µεγάλης µάζας θεωρείται ακίνητη, οπότε δεν παράγον έργα) και οι δνάµεις πο το νήµα ασκεί στα σώµατα. Τα έργα των δνάµεων ατών εκφράζον την ενέργεια πο µεταφέρεται από το ένα σώµα στο άλλο ή την ενέργεια πο µετατρέπεται από µια µορφή σε άλλη. το παράδειγµά µας, το έργο το βάρος της τροχαλίας, εκφράζει την αύξηση της δναµικής της ενέργειας, ενώ το βάρος το σώµατος τη µείωση της δναµικής το ενέργειας. Αν δεν πήρχε το νήµα, το σώµα θα επιταχνόταν και η µείωση της δναµικής το ενέργειας θα ή- ταν ίση µε την αύξηση της κινητικής το ενέργειας. Εδώ όµως ασκείται και η τάση το νήµατος και η ενέργεια µεταφέρεται από το ένα σώµα (σώµα ), στο άλλο (τροχαλία). Αξίζει να επισηµανθεί ότι αν στα σώµατα ασκούνται και κάποιες µη σντηρητικές δνάµεις, όπως η τριβή, τότε θα έχοµε και κάποια ενέργεια πο θα ποβαθµίζεται σε θερµική, οπότε θα έχοµε ισόποση µείωση της µηχανικής ενέργειας. ii) Εξωτερικές δνάµεις. την περίπτωσή µας, η ασκούµενη από εµάς δύναµη F, η οποία µέσω το έργο της µεταφέρει ενέργεια στο σύστηµα. Έτσι το έργο της πολογίστηκε ίσο µε,j όση θα είναι και η αύξηση της µηχανικής ενέργειας το σστήµατος. Επιµέλεια ιονύσης Μάργαρης 5