1 Αβεβαιότητα
Αβεβαιότητα Σε πολλές εφαρμογές θα πρέπει να λυθούν προβλήματα χρησιμοποιώντας όχι πλήρη, λεπτομερή και επακριβή δεδομένα Η Αβεβαιότητα μπορεί να θεωρηθεί ως έλλειψη ικανοποιητικής πληροφορίας να φθάσουμε σε μια απόφαση Η αβεβαιότητα αυξάνει σε μια βάση γεγονότων ή σε μια βάση κανόνων MYCIN & PROSPECTOR είναι παραδείγματα έμπειρων συστημάτων που χειρίζονται αβεβαιότητα 2
Τύποι σφαλμάτων Σφάλματα Πολυσημα ντικότητα Ελλιπή Λάθος Μέτρηση Τυχαιότητα Συστηματικά Συλλογισμός νθρώπινο λάθος Σφάλματα Εξοπλισμού ψευδώς Αρνητική Ψευδώς θετική Ακρίβεια λανθασ μένης Επαγωγικά Σφάλματα Παραγωγικά σφάλματα ανθασμένηαναξιόπισ Έξοδος τη Όχι Έξοδος 3
Τύποι σφαλμάτων σε γεγονότα Πολυσημαντικότητα (ambiguity) Αποτυχία να διακρίνει μεταξύ των περιπτώσεων και πιθανοτήτων Ελλιπής (incompleteness) Αποτυχία να περιγράψει πλήρως τις απαραίτητες πληροφορίες Εσφαλμένη (incorrectness) Η πληροφορία είναι εσφαλμένη Ψευδώς θετική Δέχεται μια υπόθεση ότι είναι αληθινή ενώ δεν είναι αληθής Ψευδώς αρνητική Δέχεται μια υπόθεση ότι είναι ψευδής ενώ είναι αληθής 4
Τύποι σφαλμάτων σε γεγονότα Ανακριβής (imprecision) Όχι αρκετά κοντά στην αλήθεια Όχι ακριβής (inaccuracy) Δεν είναι σωστή Αναξιόπιστος (unreliability) Μερικές φορές σωστό μερικές όχι Τυχαία λάθη (random error) Τα αίτια μπορεί να προβλέπονται ή να είναι άγνωστα Συστηματικά λάθη (systematic error) Ένα λάθος εισάγεται συνέχεια από κάποιο bias 5
Παραδείγματα σφαλμάτων Παράδειγμα Τύπος σφάλματος Αιτία Γύρνα τέρμα τη βαλβίδα Πολυσημαντικότητα Ποιά βαλβίδα? Γύρνα τη βαλβίδα 1 Ελλιπής Πώς να τη γυρίσω? Γύρνα τη βαλβίδα 1 να κλείσει Εσφαλμένη Το σωστό είναι να είναι ανοιχτή Η βαλβίδα έχει κολλήσει Θετικά εσφαλμένη Η βαλβίδα δεν έχει κολλήσει Η βαλβίδα δεν έχει Αρνητικά εσφαλμένη Η βαλβίδα έχει κολλήσει κολλήσει Γύρνα τη βαλβίδα 1 στο 5 Ανακριβής Το σωστό είναι 5.4 6
Παραδείγματα σφαλμάτων Παράδειγμα Τύπος σφάλματος Αιτία Γύρνα τη βαλβίδα 1 στο 5.4 Γύρνα τη βαλβίδα 1 στο 5.4 ή 6 ή 0 Η τιμή της βαλβίδας 1 είναι 5.4 ή 5.5 ή 5.1 Η τιμή της βαλβίδας 1 είναι 7.5 Η βαλβίδα 1 δεν είναι κολλημένη γιατί ποτέ προηγουμένως δε είχε κολλήσει Η έξοδος είναι κανονική και επομένως η βαλβίδα 1 είναι 7 σε καλή κατάσταση Ανακριβής Ακριβής είναι 9.2 Αναξιόπιστη Τυχαίο σφάλμα Σφάλμα εξοπλισμού Statistical fluctuation Συστηματικό σφάλμα Λάθος calibration Εσφαλμένη επαγωγική συλλογιστική Εσφαλμένη παραγωγική συλλογιστική Η βαλβίδα είναι κολλημένη Η βαλβίδα είναι κολλημένη σε ανοικτή θέση
Αβεβαιότητα στους κανόνες Μια βάση κανόνων εμπεριέχει αβεβαιότητα που οφείλεται σε 8 Επαγωγικοί κανόνες Ο επαγωγικός συλλογισμός πηγαίνει από το παράδειγμα σε γενικευμένους κανόνες. Ευρεστικούς κανόνες (Heuristic rules) Υπάρχουν κανόνες που είναι βασισμένοι στην εμπειρία Όχι μονοτονικούς συλλογισμούς (Non-monotonic reasoning) Όταν επιπρόσθετη πληροφορία δείχνει ότι οι προηγούμενοι συλλογισμοί ήταν εσφαλμένοι, όλα τα συμπεράσματα που είχαν εξαχθεί πριν την εύρεση του συγκεκριμένου λάθους θα πρέπει να εξεταστούν ξανά Κανόνες που βασίζονται σε λάθη Εάν η βαλβίδα είναι σε καλή κατάσταση, τότε η έξοδος είναι κανονική Η έξοδος είναι κανονική και επομένως η βαλβίδα είναι σε καλή κατάσταση
Πηγές αβεβαιότητας Ατελής γνώση της περιοχής εφαρμογής Η υπάρχουσα θεωρία μπορεί να είναι ασαφής και ελλιπής Ατελή δεδομένα για κάθε περίπτωση Τα δεδομένα μπορεί να είναι ανακριβή ή αναξιόπιστα Τα δεδομένα μπορεί να είναι προσεγγιστικά Οι ειδικοί χρησιμοποιούν μη λεπτομερείς μεθόδους Όταν οι λεπτομερείς μέθοδοι είναι άγνωστες Όταν οι λεπτομερείς μέθοδοι είναι μη πρακτικά εφαρμόσιμες 9
Πηγές αβεβαιότητας Αξιοπιστία της πληροφορίας Ελλιπής πληροφορία Πληροφορία από πολλές διαφορετικές πηγές Μη ακριβής αναπαράσταση γλωσσών 10
Αντιμετώπιση της αβεβαιότητας Ποιοτικές προσεγγίσεις Αντιμετωπίζουν την ελλιπή πληροφορία Χρησιμοποιούν τη λογική ή κανόνες εξαρτώμενους από τα συμφραζόμενα για τη συμβολική αναπαράσταση Ποσοτικές προσεγγίσεις Είναι βασισμένες σε αριθμητικές αναπαραστάσεις και χρησιμοποιούν θεωρία πιθανοτήτων και άλλες μεθόδους λογικής για τη διαχείριση της αβεβαιότητας μέσα από διαδικασία συλλογισμού 11
Αναπαράσταση αβεβαιότητας 12 Προβλήματα Είναι δύσκολο να ποσοτικοποιήσουμε τις αλληλεπιδράσεις των πιθανοτήτων Ο καθορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος απαιτεί πληροφορία που δεν έχουμε Είναι δύσκολο να καθορίσουμε επακριβώς τι σημαίνει πολύ, λίγο, πάρα πολύ ψηλός κ.τ.λ. Εφαρμόζοντας θεωρία πιθανοτήτων, απαιτούμε από τους μηχανικούς να περιγράψουν με ακρίβεια ποσότητες που δεν έχουν συγκεκριμένη τιμή. Οι πιθανότητες είναι δύσκολο να υπολογίζονται, να βελτιώνονται και μπορεί να απαιτούν πολύ δύσκολους υπολογισμούς
Θεωρίες για την αβεβαιότητα Κλασσική θεωρία πιθανοτήτων Νόμος Bayes Shannon θεωρία βασισμένη σε πιθανότητες Υποσυνθήκη Πιθανότητες Demster-Shafer θεωρία - συναρτήσεις πεποίθησης Ασαφής λογική Zadeh 13
Κλασσική θεωρία πιθανοτήτων Αναφέρεται σε ιδανικές καταστάσεις όπως ρίψη ζαριού, νομίσματος και χαρτιών. Όπου υπάρχουν προκαθορισμένες πιθανότητες βασισμένες στην παραδοχή ότι όλοι οι αριθμοί έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν Η πιθανότητα, P, ορίζεται ως ο λόγος των σωστών απαντήσεων προς τον αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων v 14 Αν Ε είναι ένα γεγονός, η άνευ συνθηκών πιθανότητα (unconditional probability) Ρ(Ε) να συμβεί το γεγονός εκφράζεται με έναν πραγματικό αριθμό για τον οποίο ισχύουν: q 0 Ρ(Ε) 1 q Ρ(Ε) = 1 αν Ε είναι ένα σίγουρο γεγονός Ρ(Ε) + Ρ(Ε) = 1 (όπου με Ε συμβολίζεται η άρνηση του γεγονότος Ε)
Πιθανότητα γεγονότων Σε ένα παιχνίδι υπάρχει ένα σύνολο πιθανών αποτελεσμάτων το οποίο σχηματίζει το χώρο του παραδείγματος. Για ένα ζάρι ο χώρος είναι is {1,2,3,4,5,6} Ρίχνοντας ένα ζάρι (προσπάθεια) δημιουργείται ένα αποτέλεσμα το {1}.Το οποίο ονομάζεται γεγονός Εάν ρίξουμε δύο ζάρια θα έχουμε ένα σύνθετο γεγονός {2,5} 15
Παράδειγμα δένδρου γεγονότων Start H T H T H T HH H T TH T T H T H HH HT T T H TT 16
Θεωρία πιθανοτήτων Τρία αξιώματα για τις πιθανότητες axiom1 : 0 P( E) 1 axiom2 : i P( E i ) 1 anditscorollary P( E) P( E ) 1 axiom3 : P ( E1 E2) P ( E1) P ( E2) 17
Πιθανότητες υπό συνθήκη Υποδηλώνει την πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα Η δεδομένης της ισχύος μόνο του γεγονότος Ε. Συμβολίζεται με P(H E) και ορίζεται μέσω του πηλίκου της πιθανότητας να συμβούν ταυτόχρονα τα Η και Ε προς την πιθανότητα του Ε P H E P H P E E 18 Ιδιότητες Προσθετική Ιδιότητα: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) Πολ/στική Ιδιότητα για δύο ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) Ρ(Β) Πολ/στική Ιδιότητα για δύο μη ανεξάρτητα γεγονότα Α και Β: Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) Ρ(Β Α)
Νόμος Bayes Κάτω από μία περισσότερο υποκειμενική αντιμετώπιση της πιθανότητας που επιτρέπει τη χρήση εκτιμήσεων αντί συχνοτήτων εμφάνισης γεγονότων, ο νόμος του Bayes επιτρέπει τον υπολογισμό πιθανοτήτων υπό συνθήκη με χρήση άλλων πιθανοτήτων που είναι ευκολότερο να υπολογιστούν. Η απλούστερη εκδοχή του νόμου του Bayes (Bayes' rule): P H E P E H P E P( H ) Πιο εύκολο να χρησιμοποιηθεί, συγκριτικά με την σχέση της πιθανότητας υπό συνθήκη 19
Νόμος Bayes Αν Η μία ασθένεια και Ε ένα σύμπτωμα που σχετίζεται με αυτήν, τότε για τον υπολογισμό της πιθανότητας υπό συνθήκη απαιτείται πληροφορία που συνήθως δεν είναι διαθέσιμη: 20 Πόσοι άνθρωποι στον κόσμο πάσχουν από την Η και ταυτόχρονα εμφανίζουν το σύμπτωμα Ε. Πόσοι εμφανίζουν απλά το σύμπτωμα Ε. Στο νόμο του Bayes: Ένας γιατρός μπορεί να δώσει μία εκτίμηση για το πόσοι ασθενείς που έπασχαν από την ασθένεια Η εμφάνιζαν το σύμπτωμα Ε (εκτίμηση για την ποσότητα P(E H)). Αντίθετα, το κλάσμα των ασθενών με σύμπτωμα Ε που πάσχουν από την ασθένεια Η, δηλαδή ο όρος P(Η Ε), τις περισσότερες φορές είναι αδύνατο να εκτιμηθεί. To P(H) μπορεί να υπολογιστεί από στατιστικά στοιχεία για τον συνολικό πληθυσμό Το P(E) από στατιστικά στοιχεία του ίδιου του γιατρού.
Γενική Σχέση του Νόμου του Bayes Η πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα Η δεδομένης της ισχύος των γεγονότων Ε 1, Ε 2,..., E k : P H E E E k P E E PE v Πρόβλημα χρήσης: για m πιθανές ασθένειες και n δυνατά συμπτώματα από τα οποία εμφανίζονται τα k, απαιτούνται (mn) k +m+n k τιμές πιθανοτήτων, αριθμός υπερβολικά μεγάλος. v Απλούστερη περίπτωση: αν τα διάφορα γεγονότα Ε θεωρούνται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, τότε απαιτούνται μόνο mn+m+n τιμές πιθανοτήτων. 21 1 2 1 2 1 E k H E 2 E k P( H )
Χρήση του νόμου Bayesian για λήψη αποφάσεων Χρησιμοποιείται για ανάλυση δένδρου αποφάσεων στις κοινωνικές επιστήμες και στις επιχειρήσεις Το PROSPECTOR έμπειρο σύστημα χρησιμοποιεί Bayesian decision making. Χρησιμοποιήθηκε για να καθορίσει τις κατάλληλες περιοχές για εξόρυξη 22
Παράδειγμα Bayesian για λήψη No Oil P(O )=0.4 αποφάσεων Oil P(O)=0.6 Πιθανότητες Εκ των προτέρων Υποκειμενική γνώμη για τη θέση - P(Hi) -Test +Test -Test +Test P(- O ) P(+ O ) P(- O) P(+ O) =0.9 =0.1 =0.2 =0.8 Υπο συνθήκη Σεισμολογικά αποτελέσματα P(E Hi) P(-^O ) P(+^O ) P(-^O) =0.36 =0.04 =0.12 P(+^O) =0.48 Συνδυασμένη P(E^H)= P(E Hi) P(Hi) 23 Αρχικό δένδρο πιθανοτήτων για εύρεση πετρελαίου
Παράδειγμα Bayesian για λήψη αποφάσεων Πιθανότητες Χωρίς συνθήκη No Oil P(O -) =(.9)(.4)/0.48 =3/4 -Test P(-)=0.48 Oil P(O -) =(.2)(.6)/0.48 =1/4 +Test P(+)=0.52 No Oil P(O +) =(.1)(.4)/0.52 =1/13 Oil P(O +) =(.8)(.6)/0.52 =12/13 Εκ των υστέρων P(Hi E)= P(E Hi) P(Hi)/P(E) P(-^O ) P(-^O) P(+^O ) =0.36 =0.12 =0.04 P(+^O) =0.48 Συνδυασμένη P(E^H)= P(Hi E) P(E) Αναδιατεταγμένο δένδρο πιθανοτήτων για εξερεύνηση πετρελαίου 24
Παράδειγμα Bayesian για λήψη Εξερεύνηση πετρελαίου αποφάσεων πετρέλαιο, επιτυχή $1,250,000 έξοδα γεώτρησης -$200,000 Σεισμολογική έρευνα -$50,000 Το αναμενόμενο κέρδος είναι το ποσό που προκύπτει ακολουθώντας την ενδεικνυόμενη ενέργεια Εφαρμόζεται ανάστροφη επαγωγή (backward induction). Το αναμενόμενο κέρδος από ένα γεγονός-κόμβο είναι το άθροισμα των κερδών επί τις αντίστοιχες πιθανότητες 25
Παράδειγμα Bayesian Decision Making P(-)=0.48 A P(+)=0.52 Γεγονότα Αποτελέσματα + or - D Quit Drill Quit Drill E Ενέργεια Quit or Drill -$50,000 26 No Oil P(O -) =3/4 B Oil P(O -) =1/4 No Oil P(O +) =1/13 C Oil P(O +) =12/13 Γεγονός Oil or No Oil -$250,000 $1,000,000 -$50,000 -$250,000 $1,000,000 Κέρδος Αρχικό δένδρο απόφασης για εξερεύνηση πετρελαίου
Παράδειγμα Bayesian Decision Making P(-)=0.48 A $446,000 P(+)=0.52 Γεγονός Αποτελέσματα + or - -$50,000 D Quit Drill Quit Drill E $903,846 Ενέργεια Quit or Drill No Oil P(O -) =3/4 B $62,500 Oil P(O -) =1/4 No Oil P(O +) =1/13 C $903,846 Oil P(O +) =12/13 Γεγονός Oil or No Oil -$50,000 -$250,000 $1,000,000 -$50,000 -$250,000 $1,000,000 Κέρδος Πλήρες δένδρο απόφασης για εξερεύνηση χρησιμοποιώντας με αναστροφή επαγωγή 27
Παράδειγμα Bayesian Decision Making Το δένδρο απόφασης είναι ένα παράδειγμα υποθετικού συλλογισμού ή καταστάσεων Τι Εάν. Περιγράφει τη διαδρομή που οδηγεί στη βέλτιστη στρατηγική Περιγράφει πως η αβεβαιότητα αναπαράγεται διαμέσου ενός δένδρου και πως η πιθανότητα σε έναν κόμβο επηρεάζεται από τις πιθανότητες στους άλλους κόμβους 28
Πώς το MYCIN χειρίζεται την αβεβαιότητα Το MYCIN χρησιμοποιεί τους συντελεστές βεβαιότητας για να χειριστεί την αβεβαιότητα. Αυτό βέβαια δεν είναι το ίδιο με τη χρήση της θεωρίας πιθανοτήτων Θα θέλαμε να υπολογίσουμε P(di E) χρησιμοποιώντας υπο συνθήκη πιθανότητες P(di si). Ο νόμος του Bayes δίνει μια μέθοδο πως να το κάνουμε εάν Εάν γνωρίζουμε όλες τις P(si di) και 29 Υποτίθεται ανεξαρτησία για τον υπολογισμό των κοινών πιθανοτήτων των συμπτωμάτων
MYCIN βασισμένη σε κανόνες προσέγγιση Το MYCIN είναι βασισμένο σε κανόνες. Τα συμπεράσματα συνδέουν τις ενδείξεις με τις υποθέσεις που εκφράζονται ως κριτήρια απόφασης IF: Ο ασθενής έχει σημάδια και συμπτώματα s1 ^ ^sk και ισχύουν οι συνθήκες t1^ ^tm THEN: συμπεραίνουμε ότι ο ασθενής έχει την ασθένεια di με βεβαιότητα c. c ανήκει στο διάστημα [-1, +1] 30 Η τιμή 1 εκφράζει απόλυτη βεβαιότητα για το ψευδές της πρότασης. Η τιμή +1 απόλυτη βεβαιότητα για την αλήθεια της πρότασης. Η τιμή 0 εκφράζει άγνοια.
Συντελεστές βεβαιότητας Η ιδέα ήταν να χρησιμοποιηθούν κανόνες παραγωγής για να προσεγγίσουμε τον υπολογισμό της P(di s1 ^ ^sk) και να έχουμε μια προσέγγιση που να δείχνει αθροιστική απόδειξη. Αυτή η μέθοδος αντικατοπτρίζει τη διαδικασία συλλογισμού που ακολουθεί ένας ειδικός Εφαρμόζοντας έναν τέτοιο κανόνα το αποτέλεσμα είναι η συσχέτιση του βαθμού βεβαιότητας με ένα συμπέρασμα CF(di, s1^ ^sk ^ t1^ ^tm) = c * min (CF(s1),,CF(sk), CF(t1), CF(tm ) ) 31
Συντελεστές βεβαιότητας v Πρωτοεισήχθησαν στο έμπειρο σύστημα Mycin για να προσδώσουν κάποιο βαθμό βεβαιότητας στα συμπεράσματα των διαφόρων κανόνων if γεγονός then υποθετικό συμπέρασμα με βεβαιότητα CF v Εκτός από τη βεβαιότητα που συνοδεύει τον κανόνα, είναι δυνατό να ορισθούν τιμές βεβαιότητας και στην τιμή του γεγονότος του κανόνα: if πυρετός CF 1 0.7 then γρίπη CF 0.8 Η τελική βεβαιότητα του κανόνα είναι το γινόμενο των βεβαιοτήτων: 0.7x0.8=0.56 v Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα γεγονότα στο αριστερό τμήμα του κανόνα τα οποία συνδέονται με AND (ή OR) τότε ως συντελεστής βεβαιότητας του αριστερού 32 τμήματος θεωρείται η μικρότερη (ή η μεγαλύτερη) τιμή CF
Συντελεστές βεβαιότητας v Αν η βεβαιότητα κάποιου υποθετικού συμπεράσματος είναι ήδη CF p και η ενεργοποίηση ενός άλλου κανόνα συνάγει το ίδιο υποθετικό συμπέρασμα με βεβαιότητα CF n, τότε η συνολική βεβαιότητα του υποθετικού συμπεράσματος καθορίζεται από τα πρόσημα των CF p και CF n βάσει των παρακάτω σχέσεων: q Αν CF p και CF n > 0, τότε: CF = CF p +CF n (1-CF p ) = CF p +CF n CF n CF p q Αν CF p και CF n < 0, τότε: CF = CF p +CF n (1+CF p ) = CF p +CF n +CF n CF p q Αν CF p και CF n ετερόσημα, τότε: Συμπερασματικά: Παρακάμπτεται το πρόβλημα του υπολογισμού όλων των απλών και των υπό συνθήκη πιθανοτήτων που απαιτεί η χρήση του νόμου του Bayes. Αντί για συχνότητες εμφάνισης γεγονότων που πρέπει να μετρηθούν, χρησιμοποιούνται συντελεστές βεβαιότητας που έχουν εκτιμηθεί από ειδικούς. Οι υπολογισμοί κατά το συνδυασμό βεβαιοτήτων είναι απλούστεροι, λόγω της παραδοχής της ανεξαρτησίας των γεγονότων. Πρέπει να αποφεύγεται η ταυτόχρονη χρήση κανόνων που αναστρέφουν τη σχέση αιτίας-αποτελέσματος. Π.χ. if A then B και if Β then Α 33
Συντελεστές βεβαιότητας Για να υπολογιστούν οι συντελεστές βεβαιότητας χρησιμοποιείται μόνο η πληροφορία από τον κανόνα. Προκειμένου να χρησιμοποιηθεί η αθροιστική απόδειξη, όταν εξαρτάται από τμηματικές αποδείξεις τις βάζουμε όλες μαζί σε έναν κανόνα από το να έχουμε πολλαπλούς κανόνες Όταν υπάρχει εξάρτηση από δύο αποδείξεις E1 & E2 θα μπορούσαν να μπούνε σε έναν κανόνα If E1 and E2, then H με βεβαιότητα c από το να έχουμε δύο κανόνες If E1, then H με βεβαιότητα c If E2, then H με βεβαιότητα c 34
MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Οι συνθήκες ενός κανόνα μπορεί να ικανοποιούνται με ποικίλους βαθμούς βεβαιότητας If η συνθήκη 1 ισχύει με βεβαιότητα x1 και η συνθήκη m ισχύει με βεβαιότητα xm Then προκύπτει το συμπέρασμα 1 με βεβαιότητα y1 και το συμπέρασμα n με βεβαιότητα yn Όπου η βεβαιότητα που είναι συσχετισμένη με κάθε συμπέρασμα είναι μια συνάρτηση των συνδυασμένων βεβαιοτήτων. 35
MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Τα ακόλουθα δεδομένα αποθηκεύονται σε μια δομή εγγραφών που συσχετίζεται με τον κόμβο για τον ORGANISM-1 GRAM = (GRAMNEG 1.0) MORPH = (ROD.8) (COCCUS.2) AIR = (AEROBIC.6) 36
MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Για να υπολογίσουμε τη βεβαιότητα και από τις 3 συνθήκες του ακόλουθου κανόνα που ικανοποιούνται από τα τα δεδομένα: IF 1) the stain of the organism is gramneg, and 2) the morphology of the organism is rod, and 3) the aerobicity of the organism is aerobic THEN υπάρχει μια ισχυρή ένδειξη (0.8) ότι η τάξη του μικροοργανισμού είναι enterobacteriaceae. Η βεβαιότητα ότι οι ανεξάρτητες συνθήκες ισχύουν είναι 1.0, 0.8, & 0.6 αντίστοιχα. Η βεβαιότητα του συνδυασμού τους παίρνεται από τη μικρότερη των ανεξάρτητων βεβαιοτήτων - 0.6. 37
MYCIN Συντελεστές βεβαιότητας Το συμπέρασμα είναι ότι η οικογένεια του μικροοργανισμού είναι enterobacteriaceae με έναν βαθμό βεβαιότητας ίσο με 0.6 * 0.8 = 0.48 Η 0.6 εκφράζει το βαθμό βεβαιότητας των συνδυασμένων συνθηκών, ενώ η τιμή 0.8 εκφράζει το βαθμό βεβαιότητας στην εφαρμογή του κανόνα. Αυτοί οι βαθμοί βεβαιότητας ονομάζονται συντελεστές βεβαιότητας (CFs). Στη γενική περίπτωση, CF(ενέργεια) = CF(υπόθεση) * CF(κανόνας) 38
Συντελεστές βεβαιότητας σε σχέση με τις υπο συνθήκη πιθανότητες Οι Συντελεστές βεβαιότητας CF συσχετίζονται με μια υπόθεση που δεν ανταποκρίνεται με την πιθανότητα της υπόθεση που δίνει δεδομένου των ενδείξεων, εάν χρησιμοποιήσετε το απλό πιθανοτικό μοντέλο του νόμου του Bayes. Δυο υποθέσεις κατατάσσονται σε μια διάταξη χρησιμοποιώντας τους συντελεστές βεβαιότητας σε αντίστροφη σειρά χρησιμοποιώντας τις υποσυνθήκη πιθανότητές τους 39
Συντελεστές βεβαιότητας σε σχέση με τις υπο συνθήκη πιθανότητες Το μοντέλο του MYCIN υποθέτει ότι η πεποίθησή μας για μια συνδυασμένη υπόθεση d1^d2 όσο είναι μεγαλύτερη είναι η πεποίθησή μας για μικρότερη υπόθεση Ενώ ο βαθμός της αρνητικής πεποίθησης θα έπρεπε να είναι τόσο μεγαλύτερη όσο συσχετίζεται με ισχυρότερη υπόθεση Αυτό υποθέτει ότι d1 και d2 είναι ανεξάρτητες. Εάν είναι αμοιβαία αποκλεισμένοι τότε P(d1^d2 e) = 0 ανεξάρτητα από τους βαθμούς της πεποίθησής μας για τα d1 ή d2. 40
Χρήση των Συντελεστών βεβαιότητας Οι συντελεστές βεβαιότητας CFs χρησιμοποιούνται στο MYCIN για να Καθοδηγούν το πρόγραμμα στο συλλογισμό του Έτσι ώστε ο υπάρχον στόχος να είναι περιορισμένος στο χώρο αναζήτησης εάν οι συντελεστές βεβαιότητας ανήκουν στο διάστημα [0.2, -0.2] Για να αξιολογήσουν τις υποθέσεις μετά από τη θεώρηση των ενδείξεων Αυτό θα μπορούσε να μην δίνει την ίδια αξιολόγηση εάν χρησιμοποιούνταν υπο συνθήκη πιθανότητες 41
Επιτυχία του MYCIN Το MYCIN ήταν επιτυχημένο παρά όλες τις κριτικές επειδή Οι διαδικασίες συλλογισμού ήταν μικρές Οι υποθέσεις ήταν απλές Τα προβλήματα του MYCIN έδειξαν την δυσκολία δημιουργίας ενός χρήσιμου συστήματος βασισμένου σε μη λεπτομερείς συλλογισμούς δεν ήταν απλά ένα υποσύνολο της θεωρίας πιθανοτήτων 42
Δίκτυα Πιθανοτήτων (Bayesian Probability Networks) v Αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης των πιθανοτήτων που εμφανίζεται όταν ο χειρισμός της αβεβαιότητας γίνεται αυστηρά κατά Bayes. v Βασίζονται στην παρατήρηση ότι στον πραγματικό κόσμο τα διάφορα γεγονότα δεν αλληλεπιδρούν όλα το ένα με το άλλο αλλά μερικώς. Δηλαδή μπορεί να οριστούν ομάδες από γεγονότα που αλληλεπιδρούν, δηλαδή δεν είναι απαραίτητο να υπολογίζονται οι πιθανότητες όλων των συνδυασμών γεγονότων. Κανόνες στα δίκτυα πιθανοτήτων: if γεγονός then υποθετικό συμπέρασμα q Διασυνδέονται μεταξύ τους με το υποθετικό συμπέρασμα του ενός να αποτελεί το γεγονός κάποιου άλλου. q Δύο ή περισσότεροι κανόνες μπορεί να καταλήγουν στο ίδιο υποθετικό συμπέρασμα κάτω όμως από διαφορετικές παραδοχές. q43 Απαγορεύεται η ύπαρξη βρόχων μέσα στο δίκτυο.
Δίκτυα Πιθανοτήτων (Bayesian Probability Networks) Ειδικός μηχανισμός επιτρέπει την αλλαγή της ροής της πληροφορίας (πιθανοτήτων) στο δίκτυο των κανόνων, χωρίς όμως να γίνεται ταυτόχρονη χρήση κανόνων που αντιστρέφουν την σχέση αιτίας-αποτελέσματος. 44
Δ Δίκτυα Συμπερασμού (Inference Networks) Παραλλαγή των δικτύων πιθανοτήτων. v Οι κανόνες υποδηλώνουν μία "χαλαρή" συνεπαγωγή: i if γεγονός then υποθετικό συμπέρασμα με βαθμό ισχύος S Μία περίπτωση υλοποίησης Δικτύων Συμπερασμού είναι με τη χρήση των μεγεθών της λογικής επάρκειας και της λογικής αναγκαιότητας σε συνδυασμό με την ποσότητα εύνοια γεγονότος. q Εύνοια Γεγονότος (Odds - Ο): ΕΕκφράζει τη σύγκριση μεταξύ πιθανοτήτων να συμβεί και να μην συμβεί ένα γεγονός. q Λογική Επάρκεια (Logical Sufficiency LS): Εκφράζει πόσο πιθανότερο είναι να συνδεθεί ένα γεγονός Ε με Pτην αλήθεια ενός υποθετικού συμπεράσματος Η, παρά με την άρνηση του Η (συμβολίζεται E O E Η) 1 P E q Λογική Αναγκαιότητα (Logical Necessity LN) Εκφράζει το πόσο πιθανότερο είναι να συνδεθεί η απουσία ενός γεγονότος Ε με την αλήθεια του PE H OH E υποθετικού συμπεράσματος Η παρά με την άρνηση του Η. LS P E H OH LN P P E H E H O H OH E 45
Δίκτυα Συμπερασμού (Inference Networks) Στα δίκτυα συμπερασμού οι κανόνες περιέχουν και αρχικές τιμές πιθανότητας. Η γενική μορφή τους είναι: E ( LS, LN ) H P H o ( ) P o (H) είναι η πιθανότητα να ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα Η όταν απουσιάζει οποιασδήποτε ένδειξη για την ισχύ του γεγονότος Ε. Αν κατά τη διάρκεια του συμπερασμού γίνει γνωστή η ύπαρξη του γεγονότος Ε τότε και η πιθανότητα του Η αλλάζει σε P(H E). Ο βαθμός αλλαγής καθορίζεται από το βαθμό ισχύος του κανόνα, δηλαδή τις τιμές LS, LN. Όλες οι αλλαγές προωθούνται μέσα στο δίκτυο των κανόνων από κόμβο σε κόμβο, ανάλογα και με τις συσχετίσεις που υπάρχουν. 46
Παράδειγμα Δικτύου Συμπερασμού (Inference Networks) X Y ( LS14, LN10.5 ) ( LS, LN ) p ( Y ) 0.1 2 10 2 0. 2 Z o p ( ) 0.2 o P o (Y) και P o (Z) είναι οι αρχικές τιμές πιθανότητας για τα Υ και Ζ αντίστοιχα, χωρίς να υπάρχει οποιασδήποτε γνώση για το Χ. Έστω ότι η τιμή του Χ γίνεται γνωστή. Μετά από πράξεις, η τελική μορφή του δικτύου: 47 X Y ( LS14, LN10.5 ) ( LS, LN ) P( Y X ) 0.307 2 10 2 0. 2 P Y 0.1 Y 0.111 1 P Y 1 0.1 O Y X LS1 OY 4*0.111 0. 444 P Y/X 0.444 P Y/X 1 PY/X 1 0.444 O * 0.307 Z Z P( Z X ) 0.252
Προσέγγιση Dempster-Shafer Βασίζεται σε λογισμό με αριθμητικές τιμές πεποίθησης (belief), δηλαδή πίστης για την ισχύ κάποιου υποθετικού συμπεράσματος για το οποίο υπάρχουν κάποιες ενδείξεις (γεγονότα). Δεν απαιτείται η συλλογή όλων των απλών και των υπό συνθήκη πιθανοτήτων. 48
Προσέγγιση Dempster-Shafer Βασικά Στοιχεία v Πλαίσιο διάκρισης (frame of discernment): το σύνολο U των διακριτών και αμοιβαία αποκλειόμενων προτάσεων ενός τομέα γνώσης. π.χ. αν εξετάζεται η ασθένεια κάποιου, το U αντιπροσωπεύει όλες τις πιθανές διαγνώσεις, δηλαδή τα υποθετικά συμπεράσματα. v Pow(U): Το σύνολο των υποσυνόλων του U (δυναμοσύνολο) Αν U={A, B, C} είναι το σύνολο των πιθανών ασθενειών τότε το σύνολο: Pow(U) = { {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C} } υποδηλώνει τις πιθανές διαγνώσεις για μια περίπτωση ασθένειας. q Κάθε στοιχείο του Pow(U) αντιστοιχεί σε διαζευγμένες προτάσεις. Π.χ. {Α, Β} σημαίνει "ασθένεια Α ή Β". q Στοιχεία του U που δεν ανήκουν σε ένα στοιχείο του Pow(U), (π.χ. η ασθένεια C στο {Α, Β}), κάνουν σαφή την άρνηση του αντίστοιχου υποθετικού συμπεράσματος. q Το κενό υποσύνολο {} αντιστοιχεί στην περίπτωση που όλα τα υποθετικά συμπεράσματα είναι ψευδή (null hypothesis). 49
ΠΠροσέγγιση Dempster-Shafer v Η βασική κατανομή πιθανότητας (basic probability assignment - bpa) είναι μία απεικόνιση: m: Pow(U) [0,1] δηλαδή το μέτρο της πεποίθησης που υπάρχει για το κατά πόσο ισχύει το υποθετικό συμπέρασμα που εκφράζεται με το συγκεκριμένο στοιχείο του U. q Υποκειμενική ποσότητα που δε μοιράζεται στα επιμέρους στοιχεία κάθε στοιχείου του Pow(U). q Π.χ. αν m({a, B})=0.3, τότε αυτή η πεποίθηση δε μοιράζεται στα {Α} και {Β} αλλά αφορά το {Α, Β}. q Για το στοιχείο {} ισχύει m({})=0 q Δεδομένου ότι το αληθές υποθετικό συμπέρασμα βρίσκεται κάπου μέσα στα στοιχεία του Pow(U), ισχύει: q Η ποσότητα m(x) εκφράζει το πόσο ισχυρή είναι η πεποίθηση για το ότι ένα συγκεκριμένο στοιχείο του U ανήκει στο X αλλά όχι σε κάποιο από τα τυχόν υποσύνολα του X. v Η συνολική πεποίθηση (belief) ότι ένα στοιχείο του U ανήκει στο Χ καθώς και στα τυχόν υποσύνολα του Χ συμβολίζεται με Bel(X) XPow ( ) 1 ( U m X ) 50 Bel ( X ) m( Y) Y X
Προσέγγιση Dempster-Shafer Αν m 1 και m 2 δύο ανεξάρτητες εκτιμήσεις (βασικές κατανομές πιθανότητας) που αποδίδουν κάποιο βαθμό πεποίθησης στα στοιχεία του Pow(U), τότε αυτές συνδυάζονται σε μία τρίτη εκτίμηση m 3 =m 1 m 2 με τρόπο που ορίζεται με τον κανόνα D-S: m (A) m m (A) 3 1 2 APow U ) 1 (X) X, YU:XY A 1 2 (Y) ( (X) ( Y) m m m m X, YU:XY 1 2 51