Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α:. Σωστό το B.. Σωστό το Γ. 3. Σωστό το Δ. 4. Σωστά τα Α, Β, Γ. 5. Σωστό το Δ. ΘΕΜΑ Β:. Σωστό το Β. Αιτιολόγηση: Έχουµε διαδοχικά:. Σωστό το Α. D D K E U = = U U D 3 = =3 Αιτιολόγηση: Έστω υ η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το βλήµα για να σφηνωθεί στο σώµα όταν δεν υπάρχει ο τοίχος και V η ταχύτητα του συσσωµατώµατος που δηµιουργείται λόγω της κρούσης. Με εφαρµογή της Α.Δ.Ο. έχουµε τότε: r r M=3 υʹ P =P υ ʹ = (M + )V V = () 4 πριν µετα Αν ονοµάσουµε Κ την ελάχιστη κινητική ενέργεια που πρέπει να έχει το βλήµα, µε εφαρµογή της Α.Δ.Ε. παίρνουµε τότε: ( ) ʹ (),M=3 Μ+ V υʹ Κʹ Κ= ʹ +Q Κ ʹ = +Q Κ= ʹ +Q 8 4 Από τα δεδοµένα της ερώτησης όµως προκύπτει ότι για την απώλεια ενέργειας Q ισχύει: Q = K, εποµένως από την τελευταία σχέση προκύπτει:
3. Σωστό το Γ. ʹ Κ ʹ K =K K ʹ = 4 K 4 3 Αιτιολόγηση: Εφαρµόζοντας την συνθήκη ισορροπίας διαδοχικά για το σύστηµα των δύο µαζών, το σώµα µάζας και το σώµα µάζας έχουµε, µε βάση και το παρακάτω σχήµα: Θ.Ι.( + ): ΣF = 0 ( + )g = ΔL () Φ.Μ. Θ.Ι.( ): Θ.Ι.( ): ΣF = 0 g = ΔL () ΣF = 0 g = ΔL (3) Θ.Ι.(+) Θ.Ι.() Θ.Ι.() ΔL ΔL ΔL Α Α Η Θ.Ι.( + ) είναι ακραία θέση τόσο για την ταλάντωση που θα εκτελέσει το σώµα µάζας, όσο και για την ταλάντωση που θα εκτελέσει το σώµα µάζας όταν κόψουµε το νήµα, καθώς και στις δύο περιπτώσεις σε αυτή τη θέση η ταχύτητα των δύο σωµάτων είναι ίση µε το µηδέν. Εποµένως για το πλάτος ταλάντωσης Α του σώµατος µάζας και το πλάτος ταλάντωσης Α του σώµατος µάζας θα έχουµε αντίστοιχα: (,) g =ΔL ΔL = και = ΔL ΔL = (,3) Εποµένως για τον ζητούµενο λόγο των ενεργειών θα ισχύει: E = = E g
ΘΕΜΑ Γ: α) Για τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης που εκτελεί το σώµα αφού το αφήσουµε ελεύθερο ισχύει: Θ.Ι.(): ΣF = 0 g = ΔL ΔL = 0. Λίγο πριν αφήσουµε ελεύθερο το σώµα (στιγµή t = 0 - ), αυτό είναι ακίνητο, εποµένως για τη δύναµη F που ασκούµε σ αυτή τη θέση θα ισχύει: t = 0 - : ΣF = 0 g + F = (ΔL + Δx) F = 0N Φ.Μ. Θ.Ι.() t = 0 - t = 0 + ΔL Fελ Fελ Fελ Δx α g g F g β) Τη στιγµή που αφήνουµε ελεύθερο το σώµα αυτό έχει µηδενική ταχύτητα, εποµένως βρίσκεται σε ακραία θέση της ταλάντωσής του. Άρα για το πλάτος Α αυτής της ταλάντωσης θα ισχύει: =Δx = 0. και για την ενέργεια της ταλάντωσης θα ισχύει: E= = J γ) Τη στιγµή t = 0 + ισχύει για την αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας του: 0 φ<π 0 π x=+ ηµφ 0 = Α ηµφ 0 = φ 0 = rad µε θετική την προς τα κάτω φορά. Επίσης δεδοµένου ότι η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης είναι D =, θα έχουµε:
=ω ω = = 0r / s Συνεπώς η εξίσωση της στιγµιαίας θέσης του σώµατος θα είναι: x = ηµ(ωt + φ 0 ) x = 0.ηµ(0t + π/) = 0.συν0t (S.I.) και η γραφική της παράσταση για χρονικό διάστηµα µίας περιόδου Τ = π/ω = π/5 sec θα είναι αυτή που φαίνεται στο επόµενο σχήµα. δ) Η ζητούµενη ενέργεια προφανώς ταυτίζεται µε την ενέργεια της ταλάντωσης (αφού αρχικά το σώµα ήταν ακίνητο). Εποµένως: W = E = J ε) Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος (dp/dt) είναι η συνισταµένη δύναµη που δέχεται και συνεπώς µηδενίζεται κάθε φορά που το σώµα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. Δεδοµένου ότι για t = 0 το σώµα βρίσκεται στη θέση x = + και χρειάζεται χρόνο Τ/4 για να µεταβεί από ακραία θέση στη Θ.Ι. και αντίστροφα, βρίσκουµε εύκολα για το ζητούµενο χρόνο: Δt = 5T/4 Δt = π/4 sec ΘΕΜΑ Δ: α) Τα σώµατα µάζας και µάζας από τη στιγµή που αφήνονται ελεύθερα εκτελούν γραµµική αρµονική ταλάντωση µε σταθερές επαναφοράς και αντίστοιχα. Εφόσον αφήνονται ταυτόχρονα ελεύθερα και συγκρούονται τη στιγµή που φτάνουν για η φορά στη θέση ισορροπίας τους, θα ισχύει: Τ /4 = Τ /4 π =π = =3g β) Τη στιγµή που αφήνεται ελεύθερο το σώµα µάζας έχει µηδενική ταχύτητα, εποµένως το πλάτος της ταλάντωσής του είναι Α = d = 0.. Όταν το σώµα διέρχεται από την αρχική θέση ισορροπίας του για η φορά θα έχει συνεπώς µέγιστη ταχύτητα µέτρου: υ = ω Α υ = d υ =/s
µε την κατεύθυνση που φαίνεται στο σχήµα (iii). Οµοίως για την ταχύτητα το σώµατος µάζας την ίδια στιγµή θα ισχύει: Θ.Ι.()/Φ.Μ. d d i) ii) υ t=0 - υ iii) t=0 + V iv) x F F v) υ = ω Α υ = d υ =6/s και η κατεύθυνσή της θα είναι αντίθετη της ταχύτητας υ (βλ. σχήµα (iii)). Κατά τη διάρκεια της κρούσης το σύστηµα των δύο σωµάτων είναι αποµονωµένο εποµένως εφαρµόζοντας την Α.Δ.Ο. παίρνουµε για την ταχύτητα V του συσσωµατώµατος που δηµιουργείται λόγω της κρούσης: r r P =P υ υ =( + )V V=4/s - + t=0 t=0 Από την Α.Δ.Ε. θα έχουµε τότε για την απώλεια µηχανικής ενέργειας Q: υ υ ( + )V E - =E + + = +Q Q=4J t=0 t=0 γ) Η θέση ισορροπίας του συσσωµατώµατος ταυτίζεται µε τις αρχικές θέσεις ισορροπίας των δύο σωµάτων, αφού σε εκείνες τις θέσεις τα σώµατα δεν δέχονταν καµία οριζόντια δύναµη από τα ελατήρια. Έστω τώρα µία τυχαία θέση που απέχει x από τη θέση ισορροπίας. Οι δυνάµεις που ασκούνται στο συσσωµάτωµα στην οριζόντια διεύθυνση σε αυτή τη θέση φαίνονται στο σχήµα (v) και οφείλονται στην παραµόρφωση που έχει κάθε ελατήριο. Σε αυτή την θέση για τη συνισταµένη δύναµη που δέχεται το συσσωµάτωµα θα ισχύει: ΣF X = F F ΣF X = x x ΣF X = (+ )x
Εποµένως το συσσωµάτωµα εκτελεί γραµµική αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς D = + = 400N/. δ) Εφόσον το συσσωµάτωµα αµέσως µετά την κρούση εκτελεί ταλάντωση και βρίσκεται στην θέση ισορροπίας του, για την ταχύτητά του V θα ισχύει: + V = ω Α V= =0.4 + ε) Το συσσωµάτωµα σταµατά για η φορά να κινείται στιγµιαία µετά την κρούση τη στιγµή που φτάνει στην ακραία θέση της ταλάντωσής του. Δεδοµένου ότι η κρούση γίνεται στην θέση ισορροπίας της ταλάντωσης αυτής ο ζητούµενος χρόνος θα είναι: T π + π Δt = Δt = Δt = sec 4 4 + 0. Επιµέλεια Λύσεων: Βάρης Βασίλης