ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 50

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ρ Κορρές Κωνσταντίνος ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 50 1. Μία έρευνα από 50 µαθητές έδειξε ότι 30 είχαν γάτες, 25 είχαν σκύλους, 5 είχαν χάµστερ, 16 είχαν σκύλους και γάτες, 4 είχαν σκύλους και χάµστερ, 2 είχαν γάτες και χάµστερ και µόνο 1 είχε και τα τρία είδη κατοικιδίων. Να βρείτε πόσοι µαθητές δεν είχαν κατοικίδια αυτών των ειδών. 2. Ένα σηµείο επιλέγεται τυχαία από µία κυκλική περιοχή. Ποια είναι η πιθανότητα το σηµείο να είναι κοντινότερα στο κέντρο της περιοχής από ότι στο όριο της περιοχής; 3. Ένας παράγοντας του α x 2 β x + α είναι ο (3 x 2). Βρείτε το λόγο α : β. 4. Βρείτε το ψηφίο της µονάδας του αριθµού: 1! + 2! + 3! + 4! + + 2003! 5. Στο σχήµα, καθένας από τους κύκλους έχει ακτίνα 6 και Ε = 6, όπου και Ε τα σηµεία τοµής των δύο κύκλων. Ποιο είναι το εµβαδόν της περιοχής όπου τα εσωτερικά των κύκλων επικαλύπτονται; Ε 6. Οι γωνίες ενός εξαγώνου είναι έχουν µέτρα σε µοίρες που είναι διαδοχικοί περιττοί ακέραιοι αριθµοί. Ποιο είναι το µέτρο σε µοίρες της µεγαλύτερης γωνίας; 7. Σε µια συγκεκριµένη ακολουθία αριθµών, κάθε αριθµός µετά τον πρώτο όρο είναι κατά 1 µονάδα µεγαλύτερος από το άθροισµα όλων των προηγούµενων αριθµών. Αν ο δέκατος όρος της ακολουθίας είναι ο 1280, ποιος είναι ο πρώτος όρος της ακολουθίας; 8. Αν r και s είναι ρίζες της εξίσωσης 3 x 2 7 x + 1 = 0, υπολογίστε τον αριθµό r 3 s + r s 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 1

9. Μεταξύ των τριψήφιων αριθµών που περιέχουν µόνο τα ψηφία 1, 2 και 5, όταν επιτρέπονται επαναλαµβανόµενα ψηφία, πόσοι από τους αριθµούς είναι πρώτοι; 10. Αν ένας αριθµός επιλέγεται τυχαία από όλους τους εξαψήφιους αριθµούς οι οποίοι περιέχουν το καθένα από τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5 και 6 µόνο µία φορά (για παράδειγµα 123456 ή 132465), ποια είναι η πιθανότητα: α) Ο αριθµός να περιέχει το τριψήφιο µέρος 123; β) Ο αριθµός να είναι πρώτος; 11. Λύστε την παρακάτω εξίσωση ως προς x: 1+x 1-x 6 +6 =37. 12. Αν a x + b y = p και b x a y = q και a 2 + b 2 = 1, να εκφράσετε την παράσταση x 2 + y 2 σε όρους των p και q. 13. Ποια είναι η βάση ενός συστήµατος αρίθµησης στο οποίο το 121 εκφράζει τον ίδιο αριθµό µε τον δεκαδικό αριθµό 324; 14. Βρείτε όλα τα ζεύγη των ακεραίων x και y τους οποίους ισχύει: x 2 y 2 = 104. 15. Το ΑΒΓ είναι ένα ορθογώνιο του οποίου οι διαστάσεις είναι 6 x 10 cm. Σχεδιάζουµε τετράγωνα στην κάθε πλευρά στο εξωτερικό του ορθογωνίου και ενώνουµε τα κέντρα τους ώστε να δηµιουργηθεί ένα τετράπλευρο. Να βρείτε το εµβαδόν του τετραπλεύρου αυτού. 16. Ένας άνδρας και µια γυναίκα έχουν γενέθλια την ίδια µέρα. Όταν εκείνος ήταν τόσων ετών όσο είναι εκείνη σήµερα, ο άνδρας είχε διπλάσια ηλικία από τη γυναίκα. Όταν εκείνη θα γίνει τόσων ετών όσο είναι εκείνος σήµερα, το άθροισµα των ετών τους θα είναι 119. Πόσων ετών είναι σήµερα ο άνδρας; 17. Αν χτίσουµε µία πυραµίδα από Χ, µε ένα Χ στην πρώτη γραµµή, δύο Χ στη δεύτερη γραµµή, τρία στην τρίτη κοκ, ποιο είναι το µικρότερο πλήθος γραµµών το οποίο µπορούµε να έχουµε ώστε ο συνολικός αριθµός των Χ να είναι πολλαπλάσιο του 13; ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 2

18. Ξεκινώντας από το σπίτι του, ένας άνδρας ταξίδεψε 9 km ανατολικά, µετά 7 km βόρεια, µετά 3 km ανατολικά, µετά x km νότια. Στο σηµείο αυτό ήταν 13 km από το σπίτι του. Να βρείτε όλες τις πιθανές τιµές για το x. 19. Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 6 cm. Η περίµετρος του τριγώνου είναι 36 cm. Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου. 20. Να βρείτε το εµβαδό της περιοχής που δηµιουργείται από τα επικαλυπτόµενα µέρη των κυκλικών δίσκων που σχεδιάζονται παρακάτω, όταν είναι γνωστό ότι το ΑΒΓ ΕΖ είναι ένα κανονικό εξάγωνο µε πλευρά µήκους 6 cm. Α Β Ζ Γ Ε 21. Βρείτε το µικρότερο πρώτο αριθµό p, ο οποίος είναι µεγαλύτερος από τον 3, για τον οποίο o p 2 1 δεν διαιρείται µε το 24. 22. Στο ηµερολόγιο που φαίνεται παρακάτω, ένας 3 x 3 πίνακας από αριθµούς έχει άθροισµα 198. Ποιος είναι ο µικρότερος αριθµός στον πίνακα; ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ Κυρ ε Τρ Τε Πε Πα Σα 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 3

23. Ένα κοµµάτι σκοινί είναι στο έδαφος όπως φαίνεται στο σχήµα. εν µπορούµε να δούµε ποιο κοµµάτι του σκοινιού είναι πάνω ή κάτω από τις διασταυρώσεις στα σηµεία Α, Β ή Γ. Λαµβάνοντας υπόψη την υπόθεση ότι το κάθε κοµµάτι είναι εξίσου πιθανό να είναι από πάνω στην κάθε διασταύρωση, ποια είναι η πιθανότητα να έχει δηµιουργηθεί κόµπος στο σκοινί; Α Β Γ 24. Στο σχήµα, οι δύο κύκλοι είναι εφαπτόµενοι µεταξύ τους και εφαπτόµενοι στη δεξιά γωνία. Αν ο µεγαλύτερος κύκλος έχει ακτίνα 1, ποια είναι η ακτίνα του µικρότερου κύκλου; 25. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο καλείται αργυρό ορθογώνιο παραλληλόγραµµο, αν όταν αφαιρέσουµε δύο τετράγωνα µε πλευρές µήκους ίσου µε το ύψος του ορθογωνίου παραλληλογράµµου, το ορθογώνιο παραλληλόγραµµο που µένει είναι όµοιο προς το αρχικό ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Να βρείτε τον αργυρό λόγο, δηλαδή το λόγο πλάτους ύψους ενός αργυρού ορθογωνίου παραλληλογράµµου. 26. α) Ο αριθµός 136 (10) στο δεκαδικό σύστηµα, γράφεται ως 253 σε ένα σύστηµα διαφορετικής βάσης. Να βρείτε τη βάση αυτή. β) Να µετατρέψετε τους αριθµούς 324 (10) και 136 (10) στο δυαδικό σύστηµα. γ) Να προσθέσετε και να αφαιρέσετε τους αριθµούς 1001011 (2) και 1010101 (2) στο δυαδικό σύστηµα. 27. Ποιος είναι ο µεγαλύτερος πιθανός αριθµός των σηµείων τοµής για οκτώ διακεκριµένες ευθείες του επιπέδου; ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 4

28. Ορίζουµε την πράξη: Α@Β να είναι A A B B +. α) Να υπολογίσετε την τιµή του 20 @ (4 @ 2). β) Είναι η πράξη αντιµεταθετική; γ) Είναι η πράξη προσεταιριστική; 29. Το σύνολο Α έχει 16 στοιχεία και το σύνολο Β έχει 37 στοιχεία. Η ένωση των συνόλων Α και Β έχει 43 στοιχεία. Πόσα στοιχεία βρίσκονται στην τοµή των συνόλων Α και Β; 30. Βρείτε τα p και ώστε η παράσταση x 2 + 2 x + 5 να είναι παράγοντας της παράστασης x 4 + p x 2 +q. 31. Έστω f(x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του f(x 5 ) µε το f(x); 32. Ένας τριψήφιος, θετικός ακέραιος, ο Ν, επιλέγεται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα ο log 2 (N) να είναι ακέραιος; 33. Αν γίνει ρίψη ενός δίκαιου ζαριού έξι φορές, ποια είναι η πιθανότητα να έρθει ένα 5 ή µεγαλύτερος αριθµός τουλάχιστον πέντε φορές; 2 2 4 8 34. Ποιο είναι το άθροισµα των ψηφίων µε βάση 10 του αριθµού ( 10 1) n + + ; 35. Έξι σχολεία διαγωνίζονται σε έναν αγώνα δρόµου. Αν κάθε σχολείο εισάγει τρεις δροµείς στο αγώνισµα του ενός µιλίου (mile run) και αν καθένας από τους δροµείς έχει ίση πιθανότητα να κερδίσει (ή να έρθει δεύτερος ή τρίτος), ποια είναι η πιθανότητα οι τρεις πρώτοι που θα τελειώσουν την κούρσα να προέρχονται από το ίδιο σχολείο; 36. Αν γίνει ρίψη τριών δίκαιων κανονικών ζαριών, ποια είναι η πιθανότητα τα αποτελέσµατα να είναι τρεις συνεχόµενοι ακέραιοι; 37. Σε µία συγκεκριµένη ακολουθία αριθµών, ο πρώτος όρος είναι 1 και το γινόµενο των πρώτων n όρων είναι n 2 για n 2. Ποιο είναι το άθροισµα του τρίτου και του πεντηκοστού πέµπτου όρου της ακολουθίας; 38. Πόσο µεγαλύτερος από ένα τρισεκατοµµύριο (10 12 ) αριθµός είναι το πρώτο τέλειο τετράγωνο που είναι µεγαλύτερο από ένα τρισεκατοµµύριο; ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 5

39. Το άθροισµα των τετραγώνων των πρώτων πενήντα θετικών ακεραίων είναι 42 925. Ποιο είναι το άθροισµα των τετραγώνων των πρώτων πενήντα θετικών άρτιων ακεραίων; 40. Το µήκος της ακτίνας ενός κύκλου είναι 20 cm. Μία χορδή µήκους 32 cm, η οποία χαράσσεται από το άκρο µιας διαµέτρου, τέµνει µία διάµετρο η οποία είναι κάθετη στην πρώτη διάµετρο σε ένα σηµείο Ρ. Ποια είναι η απόσταση µεταξύ του Ρ και του κέντρου του κύκλου; 41. Έστω f η πολυωνυµική συνάρτηση τέτοια ώστε, για κάθε πραγµατικό αριθµό x, να ισχύει: f (x 2 + 1) = x 4 + 5 x 2 + 3. Βρείτε για κάθε πραγµατικό αριθµό x, την f (x 2 1). 42. Ακριβώς τρεις από τις εσωτερικές γωνίες ενός πολυγώνου είναι αµβλείες. Ποιο είναι το µεγαλύτερο πλήθος πλευρών ενός τέτοιου πολυγώνου; 43. Μία µέθοδος προκειµένου να κωδικοποιήσουµε θετικούς ακεράιους, είναι πρώτα να εκφράσουµε τον ακέραιο σε βάση πέντε. Στη συνέχεια να ορίσουµε µία ένα προς ένα αντιστοίχιση µεταξύ των ψηφίων στις εκφράσεις µε βάση πέντε και στα στοιχεία του συνόλου {V, W, X, Y, Z}. Αν τρεις διαδοχικοί ακέραιοι, σε αύξουσα σειρά, έχουν κωδικοποιηθεί ως VYZ, VYX και VVW, αντίστοιχα, ποια είναι η έκφραση σε βάση δέκα του ακεραίου ο οποίος έχει κωδικοποιηθεί ως XYZ; 44. Θεωρούµε την ακολουθία η οποία ορίζεται αναδροµικά από τον τύπο: u 1 = α (θετικός αριθµός) u n + 1 = 1 / ( u n + 1), n = 1, 2, 3, Για ποιες από τις ακόλουθες τιµές του n είναι u n = α; 45. Οι 120 µεταθέσεις της λέξης AHSME τακτοποιούνται σε µία λίστα σε διάταξη λεξικού, σαν καθεµία από αυτές να ήταν µία τυχαία λέξη µε 5 γράµµατα. Βρείτε το τελευταίο γράµµα της 86 ης λέξης της λίστας. 46. Ο όγκος ενός συγκεκριµένου ορθογώνιου στερεού είναι 8 cm 3, το εµβαδό της συνολικής του επιφάνειας είναι 32 cm 2 και οι τρεις διαστάσεις του είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Βρείτε το άθροισµα των µηκών, σε cm, όλων των ακµών του στερεού. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 6

47. Ένα συρτάρι περιέχει 100 κόκκινες κάλτσες, 80 πράσινες κάλτσες, 60 γαλάζιες κάλτσες και 40 µαύρες κάλτσες. Επιλέγουµε κάλτσες από το συρτάρι, µία κάθε φορά, χωρίς να µπορούµε να δούµε το χρώµα. Ποιος είναι ο µικρότερος αριθµός καλτσών ο οποίος πρέπει να επιλεγεί, προκειµένου να είµαστε σίγουροι ότι θα έχουµε επιλέξει τουλάχιστον 10 ζευγάρια; 48. Αν α και β είναι θετικοί αριθµοί, τέτοιοι ώστε α β = β α και β = 9 α, τότε βρείτε τις τιµές των α και β. 49. Βρείτε τον αριθµό των ζευγαριών των διακεκριµένων ακεραίων (x, y) τέτοιων ώστε 0 < x < y και 1984 = x + y. 50. Τρεις όµοιες σφαίρες αριθµούνται 1, 2 και 3 και τοποθετούνται σε ένα δοχείο. Μία µπάλα επιλέγεται τυχαία, ο αριθµός της καταγράφεται και η µπάλα επανατοποθετείται στο δοχείο. Μετά την επανάληψη της διαδικασίας δύο φορές ακόµα, το άθροισµα των αριθµών που έχουν καταγραφεί είναι 6. Ποια είναι η πιθανότητα η µπάλα η οποία έχει αριθµηθεί 2 να έχει επιλεγεί και τις τρεις φορές; ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ I. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουµε άθροισµα 7 στη ρίψη δύο ζαριών; II. Τα τελευταία πενήντα χρόνια, µία οµάδα έχει κερδίσει 20 φορές το πρωτάθληµα, 8 φορές το κύπελλο και 4 φορές και τα δύο. Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Η οµάδα να κερδίσει τη φετινή χρονιά τουλάχιστον ένα τίτλο. β) Η οµάδα να κερδίσει ακριβώς ένα τίτλο. III. Πόσους αριθµούς µικρότερους του 300 µπορούµε να σχηµατίσουµε µε τα ψηφία {1, 2, 3, 4, 5} αν δεν επιτρέπεται επανάληψη ψηφίου; IV. α) Πόσοι αναγραµµατισµοί της λέξης «ΘΕΜΑ» υπάρχουν; β) Πόσοι από αυτούς αρχίζουν από Θ; γ) Πόσοι από αυτούς αρχίζουν και τελειώνουν µε φωνήεν; V. Κατά πόσους τρόπους µπορούν να εγκατασταθούν 6 παιδιά πάνω σε ένα έλκηθρο µε 6 θέσεις στη σειρά, αν γνωρίζουµε ότι 3 ορισµένα παιδιά είναι ικανά να πάρουν τη θέση του οδηγού; ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 7

VI. Ποια είναι η πιθανότητα στο ΛΟΤΤΟ (6 από 49) να πετύχουµε 5 ακριβώς σωστά νούµερα παίζοντας µία στήλη; VII. Από µια τράπουλα των 52 φύλλων παίρνουµε στην τύχη δύο φύλλα. Ποια είναι η πιθανότητα: α) Τα δύο φύλλα να είναι ρηγάδες; β) Στα δύο φύλλα να υπάρχει τουλάχιστον ένας άσσος; VIII. Σε µια διεθνή σύσκεψη συµµετέχουν τρεις Αµερικανοί, 2 Γερµανοί και 3 Γάλλοι που κάθονται τυχαία σε ένα τραπέζι ο ένας δίπλα στον άλλο. Ποια είναι η πιθανότητα τα µέλη της ίδιας εθνικότητας να κάθονται µαζί; IX. Πόσους τετραψήφιους αριθµούς µε διαφορετικά ψηφία µπορούµε να σχηµατίσουµε µε τα ψηφία {0, 1, 2, 3, 4}. Πόσοι από αυτούς είναι άρτιοι; X. Ένα παιδί έχει στον κουµπαρά του 3 νοµίσµατα των 0,50, 5 νοµίσµατα του 1 και 10 νοµίσµατα των 2. Βγάζει συγχρόνως από τον κουµπαρά του 3 νοµίσµατα στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα των ενδεχοµένων: α) Να βγάλει 3 νοµίσµατα των 2. β) να βγάλει 3 νοµίσµατα διαφορετικής αξίας. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ Δρ Κορρές Κωνσταντίνος Σελίδα 8