Παραδείγματα μελών υπό αξονική θλίψη

Η έννοια του λυγισμού Λυγισμός είναι η ξαφνική, μεγάλη αύξηση των παραμορφώσεων ενός φορέα για μικρή αύξηση των επιβαλλόμενων φορτίων. P x EI P w L w

Προϋποθέσεις εμφάνισης λυγισμού Θλιπτικές τάσεις Μεγάλη λυγηρότητα o Μικρή διατομή συγκριτικά με το μήκος (για ραβδωτούς φορείς) o Μικρό πάχος συγκριτικά με το μήκος και το πλάτος (για επιφανειακούς φορείς)

Η έννοια του καμπτικού λυγισμού Σε θλιβόμενα μέλη Λυγισμός περί τον ισχυρό άξονα Λυγισμός περί τον ασθενή άξονα

Σε θλιβόμενα μέλη Η έννοια του τοπικού λυγισμού

Παράδειγμα αξονικά θλιβόμενης ράβδου

Διάγραμμα ελευθέρου σώματος Το κρίσιμο φορτίο λυγισμού μπορεί να υπολογιστεί αν διατυπώσουμε τις εξισώσεις ισορροπίας, καταστατικού νόμου του υλικού και συμβιβαστού των παραμορφώσεων, στην παραμορφωμένη κατάσταση της ράβδου αμέσως μετά το λυγισμό.

Κρίσιμα φορτία λυγισμού θλιβόμενης ράβδου 2 EIw'' Pw 0. k P/EI 2 w'' k w 0 w Asinkx Bcoskx w(0) 0 Asink0 Bcosk0 0 B 0 nπ sinkl 0 kl nπ k, n 1,2,3,... L k w(l) 0 AsinkL 0 2 2 2 2 2 P n π n π EI P 2 cr,n 2 EI L L Κρίσιμο φορτίο λυγισμού ή φορτίο Euler Pcr π EI L 2 2

Ιδιομορφές λυγισμού θλιβόμενης ράβδου πx w x 1 =sin L P P EI 2 =π cr,1 L 2 EI 2 =4π cr,2 L 2 w 2 2πx x =sin L P EI 2 =9π cr,3 L 2 w 3 3πx x =sin L

1 η ιδιομορφή λυγισμού πλευρικά εξασφαλισμένης αμφιέρειστης θλιβόμενης ράβδου διατομής διπλού ταυ

Καμπύλη Euler EI P P π π L A EI/A 2 cr 2 cr 2 2 L i E σcr π E σ π L L /i 2 2 2 2 cr 2 λ = L/i : λυγηρότητα της ράβδου σ E π λ 2 cr 2

Αστοχία από διαρροή

Αλληλεπίδραση λυγισμού - διαρροής λ =π E f 1 y Ποιότητα χάλυβα S235 S275 S355 λ 1 93.9 86.8 76.4

Αλληλεπίδραση λυγισμού - διαρροής x=σ/f y 1 λ=λ/λ 1 1

Σύγκριση με πειραματικά αποτελέσματα σ χ= f y 1 Αστοχία από διαρροή Πειραματικά αποτελέσματα Αστοχία από λυγισμό (καμπύλη Euler) 1 λ λ= λ 1

Έννοια αρχικών ατελειών Γεωμετρικής φύσεως τέλειος φορέας ατελής φορέας

Έννοια αρχικών ατελειών Λόγω εκκεντρότητας φόρτισης τέλειος φορέας ατελής φορέας

Έννοια αρχικών ατελειών Λόγω ανομοιογένειας υλικού Λόγω παραμενουσών τάσεων που μπορεί να οφείλονται σε: o Ανομοιόμορφη ψύξη που λαμβάνει χώρα μετά την εν θερμώ έλαση πρότυπων διατομών o Συγκόλληση όπου επίσης οι παραμένουσες τάσεις οφείλονται σε ανομοιόμορφη ψύξη o Διάνοιξη οπών και κοπή ελασμάτων (εν ψυχρώ ή με φλόγα οξυγόνου)

Παραμένουσες τάσεις Παραμένουσες τάσεις σε διατομές θερμής έλασης

Επιρροή παραμενουσών τάσεων στην εξάπλωση της διαρροής

Αλληλεπίδραση λυγισμού διαρροής με παρουσία ατελειών σ χ= f y 1 Αστοχία από διαρροή Πειραματικά αποτελέσματα Κανονιστικές καμπύλες λυγισμού Αστοχία από λυγισμό (καμπύλη Euler) 1 λ λ= λ 1

Υπολογισμός κανονιστικών καμπυλών λυγισμού Θλιβόμενη ράβδος με ισοδύναμες γεωμετρικές ατέλειες P P ημιτονοειδής αρχική ατέλεια ημιτονοειδές παραμορφωμένο σχήμα

Καμπύλες λυγισμού Ο μειωτικός συντελεστής χ καθορίζεται συναρτήσει της ανηγμένης λυγηρότητας και του συντελεστή ατελειών α σύμφωνα με τη σχέση 1 χ= 1 2 2 Φ+ Φ -λ Φ=0,5 1+α λ-0,2 +λ 2

Καμπύλες λυγισμού Τιμές συντελεστή ατελειών α Καμπύλη λυγισμού a 0 a b c d Συντελεστής ατελειών α 0.13 0.21 0.34 0.49 0.76

Καμπύλες λυγισμού α 0 a b c d 0.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.3 0.9859 0.9775 0.9641 0.9491 0.9235 0.4 0.9701 0.9528 0.9261 0.8973 0.8504 0.5 0.9513 0.9243 0.8842 0.8430 0.7793 0.6 0.9276 0.8900 0.8371 0.7854 0.7100 0.7 0.8961 0.8477 0.7837 0.7247 0.6431 0.8 0.8533 0.7957 0.7245 0.6622 0.5797 0.9 0.7961 0.7339 0.6612 0.5998 0.5208 1.0 0.7253 0.6656 0.5970 0.5399 0.4671 1.1 0.6482 0.5960 0.5352 0.4842 0.4189 1.2 0.5732 0.5300 0.4781 0.4338 0.3762 1.3 0.5053 0.4703 0.4269 0.3888 0.3385 1.4 0.4461 0.4179 0.3817 0.3492 0.3055 1.5 0.3953 0.3724 0.3422 0.3145 0.2766 α 0 a b c d 1.6 0.3520 0.3332 0.3079 0.2842 0.2512 1.7 0.3150 0.2994 0.2781 0.2577 0.2289 1.8 0.2833 0.2702 0.2521 0.2345 0.2093 1.9 0.2559 0.2449 0.2294 0.2141 0.1920 2.0 0.2323 0.2229 0.2095 0.1962 0.1766 2.1 0.2117 0.2036 0.1920 0.1803 0.1630 2.2 0.1937 0.1867 0.1765 0.1662 0.1508 2.3 0.1779 0.1717 0.1628 0.1537 0.1399 2.4 0.1639 0.1585 0.1506 0.1425 0.1302 2.5 0.1515 0.1467 0.1397 0.1325 0.1214 2.6 0.1404 0.1362 0.1299 0.1234 0.1134 2.7 0.1305 0.1267 0.1211 0.1153 0.1062 2.8 0.1216 0.1182 0.1132 0.1079 0.0997 2.9 0.1136 0.1105 0.1060 0.1012 0.0937 3.0 0.1063 0.1036 0.0994 0.0951 0.0882

Καμπύλες λυγισμού

Επιλογή καμπύλης λυγισμού

Έλεγχος μέλους υπό θλίψη κατά ΕΚ3 Ένα θλιβόμενο μέλος πρέπει να ελέγχεται έναντι λυγισμού ως εξής: NEd 1,0 N b,rd όπου N Ed η τιμή σχεδιασμού της θλιπτικής δύναμης N b,rd η αντοχή του θλιβόμενου μέλους σε λυγισμό όπου N b,rd χ A f = γ M1 y χ ο μειωτικός συντελεστής για την αντίστοιχη μορφή λυγισμού Α το εμβαδόν της διατομής f y το όριο διαρροής του υλικού γ Μ1 =1.00

Έλεγχος μέλους υπό θλίψη κατά ΕΚ3 L y λ y = i y L z λ z = i z λ y λ y = λ 1 λ z λ z = λ 1 Καμπύλη λυγισμού περί τον άξονα y Καμπύλη λυγισμού περί τον άξονα z χy χ z χ=min χ,χ y z

Τοπικός λυγισμός Θλιβόμενο μέλος Καμπτόμενο μέλος

Τοπικός λυγισμός Δοκιμή θλίψης υποστυλώματος με κοίλη τετραγωνική διατομή Πανεπιστήμιο McGill, Montreal Prof. D. Lignos Ιανουάριος 2014

Τοπικός λυγισμός

Τοπικός λυγισμός Δοκιμή θλίψης υποστυλώματος με διατομή διπλού ταυ Πανεπιστήμιο McGill, Montreal Prof. D. Lignos Mάρτιος 2014

Τοπικός λυγισμός

Προστασία από τοπικό λυγισμό με κατάταξη διατομών σε κατηγορίες Κατηγορία διατομής Μορφή Περιγραφή 1 2 3 4 Μπορούν να σχηματίσουν πλαστική άρθρωση με την απαιτούμενη από την πλαστική ανάλυση δυνατότητα στροφής χωρίς μείωση της αντοχής τους Μπορούν να αναπτύξουν την πλαστική ροπή αντοχής τους, αλλά έχουν περιορισμένη δυνατότητα στροφής λόγω τοπικού λυγισμού Η τάση στην ακραία θλιβόμενη ίνα του χαλύβδινου μέλους μπορεί να φθάσει την αντοχή διαρροής, αλλά συμβαίνει τοπικός λυγισμός πριν την ανάπτυξη της πλαστικής ροπής αντοχής Συμβαίνει τοπικός λυγισμός πριν την ανάπτυξη της τάσης διαρροής

Κατάταξη των διατομών κατά ΕΚ3

Επιρροή συνοριακών συνθηκών στα κρίσιμα φορτία λυγισμού θλιβόμενης ράβδου Διαφορική εξίσωση 4 ης τάξης w '''' k 2 w '' 0 Γενική λύση: w Asinkx Bcoskx Cx D Συνοριακές συνθήκες Πάκτωση Άρθρωση Ελεύθερο άκρο w w =0 w w =0 w =V=0

Ισοδύναμο μήκος λυγισμού Κρίσιμο φορτίο P=π 2 EI cr 2 β L β συντελεστής ισοδύναμου μήκους λυγισμού βl ισοδύναμο μήκος λυγισμού (απόσταση 2 διαδοχικών σημείων καμπής της ελαστικής γραμμής της λυγισμένης ράβδου)

Μονόπακτη ράβδος P cr π 2 EI 0.7 2

Πρόβολος P cr π 2 EI 2 2

Πάκτωση κυλιόμενη πάκτωση P cr π 2 EI 2

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων με συνήθεις συνθήκες στήριξης άκρων 1 η ιδιομορφή λυγισμού θλιβόμενων ράβδων με διάφορες συνοριακές συνθήκες Συντελεστής ισοδύναμου μήκους λυγισμού β Συνοριακές συνθήκες

Παράγοντες που επηρεάζουν τον συντελεστή ισοδύναμου μήκους λυγισμού Δυνατότητα σχετικής εγκάρσιας μετάθεσης των άκρων Ελευθερία στροφής των ακραίων κόμβων

Διάκριση πλαισίων σε μεταθετά και αμετάθετα Δυνατότητα μόρφωσης άρθρωσης ή σύνδεσης ροπής Αμετάθετο πλαίσιο

Διάκριση πλαισίων σε μεταθετά και αμετάθετα Υποχρεωτικά μόρφωση σύνδεσης ροπής Μεταθετό πλαίσιο

Παράδειγμα αμφίπακτου μεταθετού μονώροφου πλαισίου ενός φατνώματος Γεωμετρία, συνοριακές συνθήκες και φορτία

Παράδειγμα αμφίπακτου μεταθετού μονώροφου πλαισίου ενός φατνώματος 1 η ιδιομορφή λυγισμού (αντισυμμετρική)

Παράδειγμα αμφίπακτου αμετάθετου μονώροφου πλαισίου ενός φατνώματος Γεωμετρία. συνοριακές συνθήκες και φορτία

Παράδειγμα αμφίπακτου αμετάθετου μονώροφου πλαισίου ενός φατνώματος 1 η ιδιομορφή λυγισμού (συμμετρική)

Παράδειγμα αμφίπακτου μεταθετού διώροφου πλαισίου τριών φατνωμάτων Γεωμετρία. συνοριακές συνθήκες και φορτία

Παράδειγμα αμφίπακτου μεταθετού διώροφου πλαισίου τριών φατνωμάτων 1 η ιδιομορφή λυγισμού (αντισυμμετρική)

Παράδειγμα αμφίπακτου αμετάθετου διώροφου πλαισίου τριών φατνωμάτων Γεωμετρία. συνοριακές συνθήκες και φορτία

Παράδειγμα αμφίπακτου αμετάθετου διώροφου πλαισίου τριών φατνωμάτων 1 η ιδιομορφή λυγισμού (συμμετρική)

Παράδειγμα μεταθετού μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Γεωμετρία, συνοριακές συνθήκες και φορτία

Παράδειγμα μεταθετού μονώροφου πλαισίου μορφής Γ 1 η ιδιομορφή λυγισμού (με μετάθεση)

Παράδειγμα μεταθετού μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Αν Ι 2 >>Ι 1 β=1

Παράδειγμα μεταθετού μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Αν Ι 1 >>Ι 2 β=2

Παράδειγμα μεταθετού μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Γενικά: 1 β 2. ανάλογα με τον λόγο δυσκαμψιών υποστυλώματος και ζυγώματος

Παράδειγμα αμετάθετου μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Γεωμετρία, συνοριακές συνθήκες και φορτία

Παράδειγμα αμετάθετου μονώροφου πλαισίου μορφής Γ 1 η ιδιομορφή λυγισμού (χωρίς μετάθεση)

Παράδειγμα αμετάθετου μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Αν Ι 2 >>Ι 1 β=0.5

Παράδειγμα αμετάθετου μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Αν Ι 1 >>Ι 2 β=0.7

Παράδειγμα αμετάθετου μονώροφου πλαισίου μορφής Γ Γενικά: 0.5 β 0.7. ανάλογα με τον λόγο δυσκαμψιών υποστυλώματος και ζυγώματος

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Συντελεστές κατανομής K +K c 1 η= 1 K c +K 1 +K 11 +K 12 K +K c 2 η= 2 K c +K 2 +K 21 +K 22 όπου Κ οι δυσκαμψίες των μελών

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Για το υπό εξέταση υποστύλωμα και τα υποστυλώματα άνω και κάτω Για τις προσκείμενες δοκούς I I I K c=, K 1=, K 2= L L L c 1 2 c 1 2 I ij K ij=a L ij I ij : η ροπή αδράνειας του μέλους L ij : το μήκος του μέλους α: συντελεστής που εξαρτάται από την ύπαρξη αξονικής δύναμης και τις συνθήκες στροφικής δέσμευσης των απομακρυσμένων άκρων του μέλους

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Δοκοί που δεν υπόκεινται σε αξονικές δυνάμεις Συντελεστής α

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Δοκοί που υπόκεινται σε αξονικές δυνάμεις Συντελεστής α

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Μεταθετό πλαίσιο Αντισυμμετρική μορφή λυγισμού Διπλή καμπυλότητα

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Αμετάθετο πλαίσιο Συμμετρική μορφή λυγισμού Απλή καμπυλότητα

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Συντελεστής ισοδύναμου μήκους λυγισμού β για υποστυλώματα με αμετάθετα άκρα

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων 2 β=0.5+0.14 η +η +0.055 η +η 1 2 1 2 1+0.145 η +η -0.265 η η β= 2-0.364 η +η -0.247 η η 1 2 1 2 1 2 1 2 Συντελεστής ισοδύναμου μήκους λυγισμού β για υποστυλώματα με αμετάθετα άκρα

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων Συντελεστής ισοδύναμου μήκους λυγισμού β για υποστυλώματα με μεταθετά άκρα

Συντελεστές ισοδύναμου μήκους λυγισμού υποστυλωμάτων πλαισίων β= 1-0.2 η +η -0.12 η η 1-0.8 η +η +0.6 η η 1 2 1 2 1 2 1 2 Συντελεστής ισοδύναμου μήκους λυγισμού β για υποστυλώματα με μεταθετά άκρα

Η έννοια της πλευρικής εξασφάλισης Eξασφάλιση Eξασφάλιση μόνον εφόσον η αντίστοιχη τεγίδα/μηκίδα συνδέεται με τους διαγώνιους συνδέσμους

Η έννοια της πλευρικής εξασφάλισης Προοπτικό

Η έννοια της πλευρικής εξασφάλισης Κάτοψη

Η έννοια της πλευρικής εξασφάλισης Πλάγια όψη