2.4 Το λογισμικό GeoGebra

2.4 Το λογισμικό GeoGebra Το Geogebra είναι ένα πρόσφατα δημοσιευμένο λογισμικό που συνδέει την γεωμετρία την άλγεβρα και το λογισμό. Αναπτύχθηκε για τη διδασκαλία των μαθηματικών στα σχολεία απ τον Markus Hohenwarter και από μια διεθνή ομάδα προγραμματιστών. Έχει μεταφραστεί σε 36 γλώσσε και είναι ελεύθερο λογισμικό. Το Geogebra συνδέει με άμεσο και αυτόματο τρόπο του δύο τύπου λογισμικών (όπω δείχνει και το όνομα του: Geometry και algebra). Προσπαθεί να συνδυάσει την ευκολία χρήση των DGS με τι μεγάλε υπολογιστικέ δυνατότητε των CAS. Η βασική ιδέα του λογισμικού είναι να ενταχθούν η γεωμετρία, η άλγεβρα, και ο λογισμό, που σε άλλα λογισμικά αντιμετωπίζονται ξεχωριστά, σε ένα ενιαίο, εύκολο στη χρήση, πακέτο για τη μάθηση και τη διδασκαλία των μαθηματικών που ξεκινάει από το Δημοτικό και φτάνει μέχρι το Πανεπιστήμιο. Η αμφίδρομη επικοινωνία μεταξύ τη γεωμετρία και τη άλγεβρα στην ίδια αλληλεπιδραστική οθόνη παρέχει μεγάλε δυνατότητε στη μαθηματική εκπαίδευση. Αμφίδρομη επικοινωνία σημαίνει ότι με την πληκτρολόγηση μια εξίσωση στο παράθυρο τη άλγεβρα εμφανίζεται το γράφημα τη εξίσωση στο (δυναμικό) παράθυρο των γραφημάτων. Ομοίω, σύροντα με το ποντίκι το γράφημα στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων, η εξίσωση του γραφήματο αλλάζει αναλόγω. Επομένω το Geogebra προσφέρει μια στενή διασύνδεση ανάμεσα στι δυνατότητε απεικόνιση των CAS και στη δυναμική μεταβολή των DGS. Σχήμα 9: Η οθόνη αλληλεπίδραση του Geogebra H Lu (2008) αναφέρει ότι οι Edwards and Jones (2006) θεωρούν ότι το Geogebra έχει ένα σημαντικό γνώρισμα: Οι δραστηριότητέ του απαιτούν υψηλό επίπεδο σκέψη και επιτρέπουν στου μαθητέ να εμπλακούν με τι δυνατότητε που προσφέρει το λογισμικό, όπω μάθηση διαμέσου ανατροφοδότηση, μεταβάλλοντα παραμέτρου, βλέποντα τα αποτελέσματα των μεταβολών, βλέποντα μοντέλα, κάνοντα διασυνδέσει, δουλεύοντα με δυναμικέ εικόνε κλπ. Υπάρχει μια αυξανόμενη πεποίθηση μεταξύ των εκπαιδευτικών στα μαθηματικά ότι το GeoGebra έχει τη δυνατότητα να μεταμορφώσει την εκπαίδευση στα μαθηματικά (Sangwin, 2007, Jones και Edwards, 2006). Δεν πρέπει να ξεχνάμε, ωστόσο, ότι οι εκπαιδευτικοί διαδραματίζουν ζωτικό ρόλο στην ενίσχυση τη μάθηση, και η τεχνολογία δεν μπορεί να αντικαταστήσει του εκπαιδευτικού (Sutherland et al., 2004). Αριστοτέλη Βλάχο 23

Σημείωση Η έρευνα τη Lu (2008) έχει ω στόχο να παρέχει την πρώτη αυστηρή αξιολόγηση αυτού του ελεύθερου λογισμικού Geogebra και πώ μπορεί να στηρίξει ή να ενισχύσει τη διδασκαλία των μαθηματικών. Η σημασία αυτή τη έρευνα δεν είναι μόνο η έρευνα για τον τρόπο χρήση του GeoGebra και πώ μπορεί να ενσωματωθεί στη διδασκαλία είτε τη γεωμετρία, είτε τη άλγεβρα χωριστά, αλλά το πιο σημαντικό, πώ η διδασκαλία τη γεωμετρία και τη άλγεβρα μπορεί να συνδυασθεί με τη βοήθεια του GeoGebra, συμβάλλοντα έτσι στην καλύτερη κατανόηση των μεταξύ του σχέσεων από του μαθητέ. Τα αποτελέσματα τη έρευνα περιγράφονται αναλυτικά στην εργασία "Linking Geometry and Algebra: A multiplecase study of Upper-Secondary mathematics teachers conceptions and practices of GeoGebra in England and Taiwan". 2.5 Διευκολύνσει που παρέχει το Geogebra Θα περιγράψουμε κάποια χαρακτηριστικά του Geogebra τα οποία συνθέτουν ένα εύχρηστο λογισμικό πακέτο για τη διδασκαλία των μαθηματικών στη Μέση Εκπαίδευση. 2.5.1 Η οθόνη διεπαφή Η διευθέτηση σχεδόν όλων των δυνατοτήτων ενό λογισμικού στην στάνταρ (αρχική) οθόνη τακτοποιημένων με ένα λειτουργικό και εύχρηστο τρόπο είναι ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα ενό εκπαιδευτικού λογισμικού. Στην αρχική οθόνη του Geogebra βρίσκονται το παράθυρο τη άλγεβρα, το παράθυρο των γραφικών (τα δύο περισσότερο χρησιμοποιούμενα) και το παράθυρο του Λογιστικού φύλλου 1. Η γραμμή εισαγωγή δεδομένων και ο κατάλογο των εντολών του λογισμικού βρίσκονται επίση στην στάνταρ προβολή τη οθόνη. Η προβολή τη οθόνη μπορεί να εμπλουτισθεί περαιτέρω από το μενού Προβολή ανάλογα με το τι θέλουμε να κάθε φορά να φαίνεται. 1 Δεν κρίθηκε απαραίτητο στη διδασκαλία των εννοιών του λογισμού. Στα κελιά του λογιστικού φύλλου καταχωρούνται αντικείμενα (όπω συντεταγμένε σημείων, συναρτήσει, εντολέ κλπ) και άμεσα αποκτούν τη διεύθυνση του αντίστοιχου κελιού που είναι μοναδική (π.χ. κελί A 1, κελί Β 3 ). Αυτή η διεύθυνση μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε εκφράσει και εντολέ ώστε αυτόματα να ταυτοποιηθεί το αντίστοιχο περιεχόμενο του κελιού. Σχήμα 10: Η χωροθέτηση τη οθόνη του Geogebra Αριστοτέλη Βλάχο 24

Ενεργοποιώντα το εργαλείο με το ποντίκι μπορούμε να μετακινήσουμε αντικείμενα στο παράθυρο γραφικών σύροντά τα με το ποντίκι. Ταυτόχρονα ενημερώνεται δυναμικά (αυτόματα) και η αλγεβρική αναπαράσταση στο παράθυρο τη άλγεβρα. 2.5.2 Οργάνωση εργαλειοθήκη Κάθε εικονίδιο στη γραμμή εργαλείων περιέχει έναν κατάλογο από παρόμοια εργαλεία. Για να τα δούμε και να επιλέξουμε κάποιο κάνουμε κλικ στο μικρό βέλο κάτω δεξιά του εικονιδίου. Σχήμα 11: Οι ομάδε εργαλείων του Geogebra 2.5.3 Η γραμμή εισαγωγή δεδομένων Χρησιμοποιώντα τη γραμμή εισαγωγή δεδομένων μπορούμε να εισάγουμε αλγεβρικέ εκφράσει όπω αριθμού, γωνίε, διανύσματα, κωνικέ τομέ, συναρτήσει, παραμετρικέ καμπύλε. Τι εισαγωγέ τι υλοποιούμε με τη βοήθεια συντεταγμένων ή εξισώσεων. Με το πάτημα του Enter εμφανίζεται ταυτόχρονα η γραφική του αναπαράσταση στο παράθυρο των γραφικών. Για παράδειγμα η εισαγωγή f(x) = x^2 μα δίνει τον τύπο τη συνάρτηση f στο παράθυρο τη άλγεβρα και τη γραφική τη παράσταση στο παράθυρο γραφικών. Σημείωση Αν θέλουμε να αποκρύψουμε την αλγεβρική αναπαράσταση ενό αντικειμένου μπορούμε να το προσδιορίσουμε ω βοηθητικό αντικείμενο κάνοντα δεξί κλικ στο αντικείμενο και επιλέγοντα ιδιότητε στο παράθυρο διαλόγου. Κατόπιν επιλέγουμε βοηθητικό αντικείμενο. Μπορούμε να αποκρύψουμε την προβολή των βοηθητικών αντικειμένων απ το μενού Προβολή στη γραμμή Μενού. 2.5.4 Επαναπροσδιορισμό αντικειμένου Κάνοντα διπλό κλικ σε οποιαδήποτε αναπαράσταση ενό μαθηματικού αντικειμένου, στο παράθυρο διαλόγου που αναδύεται μπορούμε να επαναπροσδιορίσουμε τον αλγεβρικό τύπο του αντικειμένου. Είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο διότι: Αριστοτέλη Βλάχο 25

δίνει τη δυνατότητα να επαναφέρουμε ένα αντικείμενο στην αρχική του θέση στην οθόνη, στην περίπτωση που το μετακινήσαμε για την ανάγκη κάποια διερεύνηση. Όταν έχουμε υλοποιήσει κάποια πολύπλοκη κατασκευή με αφετηρία κάποιο συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο, π.χ. μια συνάρτηση f, (για να διερευνήσουμε κάποιο αποτέλεσμα που μα ενδιαφέρει), τότε με τον επαναπροσδιορισμό του αντικειμένου μπορούμε να αλλάξουμε και να εισαγάγουμε οποιοδήποτε τύπο στην f ώστε να δούμε το αποτέλεσμα τη κατασκευή για τη νέα συνάρτηση χωρί να χρειαστεί να κάνουμε την ίδια κατασκευή εξαρχή. 2.5.5 Προσαρμογή τη εργαλειοθήκη Η εργαλειοθήκη μπορεί να προσαρμοσθεί επιλέγοντα προσαρμογή εργαλειοθήκη απ το μενού Εργαλεία τη γραμμή των μενού. Αυτό χρησιμεύει όταν θέλω να αποκρύψω κάποια εργαλεία όταν εξάγω δραστηριότητε Geogebra στο Διαδίκτυο ω δυναμικά φύλλα εργασία με την έννοια ότι καθορίζουμε μόνοι μα πόσα εργαλεία θεωρούμε ότι πρέπει να έχει στη διάθεσή του ο χρήστη για να ικανοποιηθούν οι εκπαιδευτικοί στόχοι τη συγκεκριμένη δραστηριότητα. 2.5.6 Δυναμικά φύλλα εργασία (dynamic worksheet) Το Geogebra δίνει τη δυνατότητα στου καθηγητέ να αναπτύξουν δυναμικά φύλλα εργασία (dynamic worksheet). Αυτά τα φύλλα εργασία μπορούν να εξαχθούν εύκολα ω δυναμική ιστοσελίδα, η οποία περιέχει ένα διαδραστικό applet μαζί με ασκήσει διερεύνηση για του μαθητέ. Μετά απ το ανέβασμα των φύλλων εργασία στο Διαδίκτυο, οι μαθητέ έχουν τη δυνατότητα να έχουν πρόσβαση σε αυτά απ το σχολείο όσο και από το σπίτι και επομένω δεν χρειάζεται να είναι καν εγκατεστημένο το Geogebra στου υπολογιστέ του. Αυτά τα φύλλα εργασία είναι πλήρω δυναμικά, πράγμα που σημαίνει ότι τα σημεία μπορούν να μετακινηθούν κατά μήκο των γραφικών παραστάσεων, οι παράμετροι να αλλάξουν με την βοήθεια ειδικών δρομέων (sliders), και το κείμενο να καταγράφει αυτόματα τι αλλαγέ. Στα εξαγόμενα δυναμικά φύλλα εργασία μπορούμε να εισάγουμε : τίτλο, συγγραφέα, ημερομηνία και κάποιο κείμενο πάνω και κάτω απ το java-applet. Για παράδειγμα μια περιγραφή τη κατασκευή και κάποιε δραστηριότητε - ασκήσει για το χρήστη. Επίση μπορούμε να προσθέσουμε κάποιε λεπτομέρειε αλλά και να τροποποιήσουμε τι διευκολύνσει για το χρήστη όπω την εμφάνιση ή όχι τη εργαλειοθήκη ή τη γραμμή εισαγωγή δεδομένων. 2.6 Tο Geogebra στη διδασκαλία του Λογισμού Η διδασκαλία των εννοιών του λογισμού με GeoGebra είναι μια περιοχή που βρίσκεται σε ευρεία ανάπτυξη. Μια περιγραφή των πιθανών εφαρμογών του Geogebra στη διδασκαλία του Λογισμού δόθηκε στο 11 th International Congress on Mathematical Education in Mexico από του Hohenwarter et.al. (2008), και τα αναφέρουμε αμέσω παρακάτω. Οι εικόνε είναι από την αντίστοιχη παρουσίαση των Hohenwarter et.al. Σε κάποιε περιπτώσει δίνουμε κάποιε επιπλέον εικόνε και κάποιε πρόσθετε παρατηρήσει. Παράδειγμα 1: Τέμνουσα και εφαπτομένη μια συνάρτηση Το λογισμικό μπορεί να βοηθήσει, με την οπτικοποίηση, στην υποστήριξη τη Αριστοτέλη Βλάχο 26

κατανόηση του πηλίκου διαφορά, τη σχέση μεταξύ τη τέμνουσα και τη εφαπτομένη, και των οριακών διαδικασιών. Το σχήμα δείχνει τη γραφική παράσταση μια συνάρτηση f(x), καθώ και δύο κινητά σημεία Α = (a, f(a)) και Β = (b, f(b)) που βρίσκονται στο γράφημα τη f. Οι τιμέ του πηλίκου διαφορά f ( b) f ( a) b a εμφανίζονται ω δυναμικό κείμενο, το οποίο προσαρμόζεται όταν τα Α ή Β μετακινούνται με το ποντίκι. Επιπλέον, εμφανίζονται η τέμνουσα ΑΒ καθώ και κλίση τη m. Αυτή η δυναμική εικόνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί από του μαθητέ για να διερευνήσουν το πηλίκο διαφορά ω αριθμητική προσέγγιση τη κλίση τη εφαπτομένη σύροντα το σημείο Β κατά μήκο τη καμπύλη τη f(x) προ το σημείο Α. Οι μαθητέ βιώνουν ότι όταν ταυτίζονται τα δύο σημεία σε ένα, η τέμνουσα εξαφανίζεται και το πηλίκο διαφορά δεν ορίζεται. Αυτό το «πρόβλημα» είναι ένα καλό σημείο εκκίνηση για ενδιαφέρουσε συζητήσει στην τάξη: Γιατί η τέμνουσα εξαφανίζεται; Πώ μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα για να πάρουμε μια τιμή για την κλίση; Για να απεικονίσουμε την ειδική περίπτωση τη τέμνουσα που «γίνεται» εφαπτομένη, η εφαπτομένη μπορεί να εμφανιστεί χρησιμοποιώντα το checkbox: Tangent πάνω δεξιά (το οποίο εμφανίζει ή αποκρύπτει την εφαπτομένη) Σχήμα 12: Τέμνουσα και εφαπτομένη μια συνάρτηση f Τέτοιε εξερευνήσει επιτρέπουν μια πιο ουσιαστική εισαγωγή τη αφηρημένη έννοια του ορίου του πηλίκου διαφορών. Σε επόμενη παράγραφο θα περιγράψουμε και πω μπορεί να υλοποιηθεί στο Geogebra η διαισθητική ερμηνεία τη εφαπτομένη μια συνάρτηση στο x ω τη καλύτερη γραμμική προσέγγιση τη συνάρτηση στη γειτονιά του x, (κοίτα τo σχήμα) που προτείνουν οι Downs & Mamona-Downs (2000). Αριστοτέλη Βλάχο 27

Σχήμα 13: Η εφαπτομένη ω η καλύτερη «τοπική» προσέγγιση μια συνάρτηση f Παράδειγμα 2: Χάραξη τη συνάρτηση κλίση μια συνάρτηση Το GeoGebra επιτρέπει στου μαθητέ να οπτικοποιήσουν την έννοια τη κλίση μια συνάρτηση f ω συνάρτηση του x. Παρακάτω θα περιγράψουμε μία τέτοια διαδικασία. Η δυνατότητα που παρέχει το Geogebra του επαναπροσδιορισμού του αντικειμένου κάθε φορά, επιτρέπει να χρησιμοποιηθεί αυτή η δυναμική εικόνα για να διερευνήσει ο μαθητή εύκολα και γρήγορα όλε τι βασικέ συναρτήσει και τι παραγώγου του (Tall, 1985d, Little, 2009). Επιπλέον, μπορεί να βοηθήσει του μαθητέ να εξερευνήσουν κάποιου κανόνε για την παράγωγο συνάρτηση, όπω για παράδειγμα γιατί οι σταθεροί όροι στον τύπο μια συνάρτηση δεν έχουν καμία επίπτωση στην παράγωγο. Με κατευθυντήριε ερωτήσει οι μαθητέ μπορούν να αναλύσουν συστηματικά τι παραγώγου διαφόρων πολυωνυμικών συναρτήσεων όπω f(x) = x + 2, f(x) = x 2, f(x) = x 3, f(x) = 4x 2. Μετά την καταγραφή των ευρημάτων του σε μορφή πίνακα θα μπορούσαν να είναι σε θέση να εντοπίζουν ένα υπόδειγμα και να ανακαλύπτουν μόνοι του ορισμένου βασικού κανόνε παραγώγιση. Σχήμα 14: Χαράσσοντα τη συνάρτηση κλίση τη sinx Παρατήρηση Η τοποθέτηση πλέγματο και η ρύθμιση τη πυκνότητά του μπορεί να βοηθήσει τι διερευνήσει για την εύρεση ενό αλγεβρικού τύπου για την παράγωγο συνάρτηση και τη δημιουργία εικασιών για ορισμένου απλού κανόνε παραγώγιση κυρίω μονωνύμων αx ν αλλά όχι μόνο. Ο Tall, όπω θα περιγράψουμε σε επόμενη παράγραφο, προτείνει αρχικά τον υπολογισμό μια «πρακτική» κλίση τη καμπύλη με τη βοήθεια μια τέμνουσα ΑB για μία πολύ κοντινή απόσταση h των σημείων Α, Β. Η «πρακτική» αυτή κλίση είναι μία πολύ ικανοποιητική προσέγγιση τη Αριστοτέλη Βλάχο 28

θεωρητική κλίση σε ένα σημείο μια καμπύλη, όπω διαπιστώνεται με τη βοήθεια τη μεγέθυνση του λογισμικού. Έτσι αποφεύγει αρχικά την εισαγωγή τη δυσνόητη οριακή διαδικασία και την εισάγει αργότερα με το ειδικό παράδειγμα τη συνάρτηση f(x) = 1/x. Παράδειγμα 3: Παράγωγοι, ρίζε, ακρότατα Εδώ οι μαθητέ μπορούν να δημιουργήσουν ένα πολυώνυμο π.χ. f(x) = αx 3 +βx 2 +γx+δ με του συντελεστέ να μεταβάλλονται από sliders. Οι μαθητέ μπορούν να δουν πω επηρεάζουν το γράφημα οι μεταβολέ των συντελεστών. Επίση αν σχεδιάσουν και τι δύο πρώτε παραγώγου μπορούν να δουν πώ συνδέονται τα γραφήματά του. Για παράδειγμα η μεταβολή του συντελεστή δ δεν επηρεάζει καθόλου τι παραγώγου. Επίση όπου μία καμπύλη έχει ακρότατο η παράγωγό τη έχει μία ρίζα. Μια συστηματική ανάλυση τέτοιων χαρακτηριστικών των πολυωνύμων και των παραγώγων του θα μπορούσε ενδεχομένω να βοηθήσει του μαθητέ να κατανοήσουν καλύτερα του αλγεβρικού χειρισμού των συναρτήσεων, να οπτικοποιήσουν τα χαρακτηριστικά ορισμένων συναρτήσεων, και να βελτιώσουν τι δεξιότητέ του στον σχεδιασμό γραφημάτων συναρτήσεων και των παραγώγων του. Σχήμα 15: Παράγωγοι, ρίζε, ακρότατα Παράδειγμα 4: Δυναμικό πολυώνυμο Taylor Οι φοιτητέ μπορούν να οπτικοποιήσουν το προσεγγιστικό πολυώνυμο Taylor βαθμού n για μια συνάρτηση γύρω από ένα σημείο προσέγγιση Α που κινείται στον άξονα των x. Χρησιμοποιώντα ένα slider για το ν οι φοιτητέ μπορούν να αλλάξουν τον βαθμό (και άρα το πλήθο των όρων) του προσεγγιστικού πολυωνύμου Taylor και επομένω να αλλάξουν την ακρίβεια τη προσέγγιση γύρω απ το Α. Αφού το σημείο Α μπορεί να συρθεί κατά μήκο του άξονα η αρχική συνάρτηση μπορεί να προσεγγισθεί σε διαφορετικά σημεία. Ταυτόχρονα το δυναμικό κείμενο που εμφανίζει την εξίσωση του αντίστοιχου πολυωνύμου Taylor, προσαρμόζεται αυτόματα σ όλε τι τροποποιήσει του δυναμικού διαγράμματο. Επιπλέον το ότι μια συνάρτηση μπορεί να επαναπροσδιορισθεί (να αλλάξει ο τύπο τη ) ανά πάσα στιγμή, επιτρέπει την γρήγορη διερεύνηση των πολυωνύμων Taylor για διαφορετικέ συναρτήσει που μα ενδιαφέρουν. Η ενσωμάτωση των πολλαπλών αναπαραστάσεων (δυναμική απεικόνιση-γράφημα, αλγεβρική αναπαράσταση- εξίσωση) στα μαθήματα του λογισμού βοηθούν του φοιτητέ να καταλάβουν καλύτερα την έννοια των Αριστοτέλη Βλάχο 29

προσεγγίσεων Taylor και συγκεκριμένα του σημείου προσέγγιση και του βαθμού ακρίβεια τη προσέγγιση. Σχήμα 16: Δυναμικό πολυώνυμο Taylor Παράδειγμα 5: Άνω και Κάτω αθροίσματα Το παρακάτω σχήμα οπτικοποιεί δυναμικά την ιδέα του ολοκληρώματο Riemann χρησιμοποιώντα κατώτερα και ανώτερα αθροίσματα. Εκτό από τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση f, δύο σημεία a και b μπορεί να μετακινηθούν κατά μήκο του άξονα των x, προκειμένου να τροποποιήσει το διάστημα που μελετάμε. Χρησιμοποιώντα ένα slider για το n = πλήθο ορθογωνίων, οι μαθητέ μπορούν να αλλάξουν τον αριθμό των ορθογωνίων (με ίσε βάσει ) που χρησιμοποιούν για να υπολογίσουν το άνω και κάτω άθροισμα για τη συνάρτηση στο συγκεκριμένο διάστημα. Οι τιμέ του άνω και κάτω αθροίσματο, καθώ και η διαφορά του εμφανίζονται ω δυναμικό κείμενο που προσαρμόζεται αυτόματα σε τροποποιήσει. Οι μαθητέ μπορούν να εμφανίσουν ή να κρύψουν διάφορε συνιστώσε τη κατασκευή, προκειμένου να εστιάσουν σε ένα συγκεκριμένο έργο. Χρησιμοποιώντα αυτό το δυναμικό σχήμα, οι μαθητέ μπορούν να εξερευνήσουν διάφορε πτυχέ του ολοκληρώματο Riemann και καθοδηγούμενοι από ερωτήσει και δραστηριότητε όπω για παράδειγμα οι ακόλουθε : 1. Χρησιμοποιήστε το slider n για να δείτε πώ κατασκευάζονται τα ορθογώνια για το κάτω και άνω άθροισμα. a) Εκφράστε το πλάτο ενό ορθογωνίου σε σχέση με το διάστημα μήκου b-a και το πλήθο n των ορθογωνίων. b) Περιγράψτε πώ βρίσκεται το ύψο ενό ορισμένου ορθογωνίου για το κάτω ή άνω άθροισμα. 2. Περιγράψτε τι συμβαίνει με τι τιμέ των κάτω και άνω αθροισμάτων όταν αυξηθεί ο αριθμό των ορθογωνίων. 3. Φανταστείτε ότι το slider n γίνεται απείρω μεγάλο, που σα επιτρέπει να δημιουργήσετε έναν άπειρο αριθμό ορθογωνίων για τον υπολογισμό του κάτω και άνω αθροίσματο. a) Τι συμβαίνει με το πλάτο ενό ορθογωνίου όταν το n πηγαίνει στο άπειρο; b) Τι θα συμβεί με τι τιμέ του κάτω και πάνω αθροίσματο όταν n τείνει στο άπειρο; Αριστοτέλη Βλάχο 30

Σχήμα 17: Άνω και κάτω αθροίσματα (εμβαδών ορθογωνίων) Παράδειγμα 6: Χάραξη τη συνάρτηση εμβαδού Το παράδειγμα που παρουσιάζεται εδώ είναι παρόμοιο με τη χάραξη τη συνάρτηση κλίση στο παράδειγμα 2. Ερευνούμε τη συνάρτηση εμβαδού ω έναν τρόπο για να συνδέσουμε την ιδέα του ορισμένου ολοκληρώματο με την αντιπαράγωγο. Δύο μετακινούμενα σημεία Α και Β τη γραφική παράσταση μια συνάρτηση f καθορίζουν ένα διάστημα που οριοθετεί την περιοχή μεταξύ τη καμπύλη τη συνάρτηση και στον άξονα των x (κοίτα το σχήμα). Η τιμή αυτή του εμβαδού χρησιμοποιείται για τη δημιουργία ενό επιπλέον σημείου με τετμημένη, ίδια με του σημείου Β και τεταγμένη την τιμή του εμβαδού. Αυτό το σημείο δημιουργεί το ίχνο τη συνάρτηση εμβαδού για την f. Και πάλι, η αρχική συνάρτηση f μπορεί να τροποποιηθεί ανά πάσα στιγμή, το οποίο επιτρέπει στου μαθητέ να βρουν πειραματικά τη συνάρτηση εμβαδού για μια ποικιλία γραφημάτων συναρτήσεων πριν από τη συζήτηση για την αντιπαράγωγο. Παρόμοια με το παράδειγμα 2, οι μαθητέ θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν και πάλι αυτή τη δυναμική εικόνα για να βρουν την εξίσωση τη συνάρτηση εμβαδού για διάφορα πολυώνυμα και να ελέγχουν τι εικασίε του χρησιμοποιώντα το GeoGebra. Καθοδηγούμενοι από μία συστηματική ανάλυση πολλών παραδειγμάτων διαφόρων τύπων συναρτήσεων οι μαθητέ πιθανό να οδηγηθούν στην ανακάλυψη κάποιων βασικών κανόνων ολοκλήρωση. Σχήμα 18: Χαράσσοντα τη συνάρτηση εμβαδού 2.7 Βιώματα απ τη χρήση του GeoGebra -Τρόποι διδασκαλία Το 2006, στην Αυστρία (Embacher 2006) δοκιμάσθηκε σε σχολεία Β/θμια εκπαίδευση ένα περιβάλλον μάθηση που περιλάμβανε διαφόρων ειδών μορφωτικά εκπαιδευτικά μέσα (π.χ.«παραδοσιακά» φύλλα εργασία σε χαρτί, διαδραστικά applets κατασκευασμένα στο Geogebra, κουίζ). Με την υποστήριξη των καθηγητών οι σπουδαστέ καθοδηγούνται προ την ανακάλυψη των εννοιών τη παραγώγου ή Αριστοτέλη Βλάχο 31

του ολοκληρώματο. Συνολικά, οι συμμετέχοντε μαθητέ βρήκαν το δυναμικό και διαδραστικό υλικό χρήσιμο για να κατανοήσουν και να οπτικοποιήσουν (visualize) δύσκολε μαθηματικέ έννοιε. Οι ακόλουθε δηλώσει των μαθητών μετά από την ασχολία του με το διαδραστικό υλικό του GeoGebra για το λογισμό για μία εβδομάδα ήταν χαρακτηριστικέ : 1. «Είναι χρήσιμο να βλέπει τι αλλάζει όταν εσύ αλλάξει κάτι άλλο». 2. «Αν μετακινήσει το Β σημείο προ το σημείο Α, συνειδητοποιεί ότι η τέμνουσα γίνεται η εφαπτομένη γραμμή. Με ένα σχέδιο σε χαρτί ποτέ δεν ήμουν σε θέση να διαισθανθώ (απεικονίσω νοερά) με τι θα μοιάζουν αυτέ (what this would look like)». 3. «Μπορεί να πειραματιστεί πολύ και να δοκιμάσει πολλά πράγματα για να βρει λύση στα προβλήματα». Ενώ το Geogebra χρησιμοποιείται ευρέω στη μέση εκπαίδευση, ιδίω στην Ευρώπη, αναδύεται και η χρήση του στο Πανεπιστήμιο. Αρκετοί εκπαιδευτικοί στι ΗΠΑ έχουν δημοσιεύσει διαδραστικό υλικό για τον λογισμό πανεπιστημιακού επιπέδου στο Διαδίκτυο. Έχουν αναφερθεί ότι η δημιουργία αυτού του υλικού στο GeoGebra ήταν ευκολότερη και λιγότερο χρονοβόρα από ότι με άλλα λογισμικά (Hohenwarter, Preiner & Taeil, 2007), για παράδειγμα: «Δεν ξέρω πώ να κάνουμε (κάποια συγκεκριμένη εργασία) στο Maple, αλλά (με το Geogebra) απλά ανέβασα ένα applet που την κάνει. Τη Δευτέρα, είδα μια παρουσίαση [...] του GeoGebra, και μου πήρε περίπου 20 λεπτά για να καταλάβω (τη συγκεκριμένη εργασία) σε αυτό το πρόγραμμα και δημιούργησα τη σελίδα: http://www.sonoma.edu/users/f/fordb/polarcoordstrace.html». (Ben Ford, Sonoma State University, California) Συμπερασματικά, το δυναμικό λογισμικό μαθηματικών όπω το GeoGebra μπορεί να προσφέρει πολλέ διευκολύνσει στη διδασκαλία του λογισμού και να διερευνήσει βασικέ έννοιε του λογισμού. Σε μελλοντικέ επεκτάσει το λογισμικό Geogebra θα περιλαμβάνει περισσότερα χαρακτηριστικά των CAS που θα αυξήσει περισσότερο πιθανέ εφαρμογέ του στην μάθηση και τη διδασκαλία του λογισμού. Καταλήγοντα οι Hohenworter et.al. (2008) τονίζουν τον ολοένα και πιο σημαντικό ρόλο των ελεύθερων (ανοικτού κώδικα) λογισμικών στη διδασκαλία των μαθηματικών σε παγκόσμια κλίμακα. Τα «ανοιχτού κώδικα» λογισμικά πακέτα δίνουν τη δυνατότητα στου καθηγητέ και μαθητέ να έχουν πρόσβαση στο σχολείο, στο σπίτι ή οπουδήποτε αλλού χωρί κανέναν περιορισμό, αλλά κυρίω, παρέχουν ένα μέσο για την ανάπτυξη και την αλληλοϋποστήριξη ολόκληρων κοινοτήτων χρηστών σε παγκόσμιο επίπεδο. Η συνεργασία αυτή συμβάλλει στην ίση πρόσβαση στου τεχνολογικού πόρου και στον εκδημοκρατισμό τη μάθηση και τη διδασκαλία των μαθηματικών. Παρέχοντα αυτέ τι δυνατότητε των δυναμικών και διαδραστικών εικόνων, το GeoGebra μπορεί να ενσωματωθεί στι αίθουσε διδασκαλία των μαθηματικών με διάφορου τρόπου όπω υποστηρίζει ο Little (2008): Είτε στην αίθουσα με έναν υπολογιστή και προβολέα, όπου ο καθηγητή εμφανίζει προκατασκευασμένα ημιτελή σχήματα παρακινώντα έτσι την διαλογική επικοινωνία με του μαθητέ είτε στο εργαστήριο υπολογιστών όπου οι μαθητέ μπορούν ατομικά να πειραματίζονται και να εξερευνούν για να ανακαλύψουν εκ νέου μαθηματικέ έννοιε με διάφορου τρόπου χρησιμοποιώντα τη δυνατότητα των δυναμικών μεταβολών του λογισμικού. Αριστοτέλη Βλάχο 32