Ευθύγραμμες Κινήσεις

Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε τη θέση ενός αντικειμένου, χρησιμοποιούμε τις λέξεις: "μπροστά", "πίσω", "δεξιά", "αριστερά", "πάνω", "κάτω" κ.λ.π.. Έτσι, αν θέλουμε π.χ να περιγράψουμε τη θέση που έχουμε παρκάρει το αυτοκίνητό μας, μπορούμε να πούμε "μπροστά από την πόρτα του σπιτιού μας". Βλέπουμε λοιπόν ότι για να περιγράψουμε μια θέση ενός αντικειμένου, πρέπει να την προσδιορίσουμε σε σχέση με ένα γνωστό σημείο. Το σημείο αυτό στη φυσική, ονομάζεται σημείο αναφοράς. Επίσης η λέξη "μπροστά", μας δίνει την έννοια της κατεύθυνσης: Απαντάει στην ερώτηση "Προς τα πού;". Έτσι, βλέπουμε πως εκτός από το σημείο αναφοράς, χρειάζεται να ορίσουμε και έναν τουλάχιστον άξονα που να προσδιορίζει την κατεύθυνση προς την οποία βρίσκεται το αντικείμενο του οποίου τη θέση περιγράφουμε. Τέλος, στη φυσική (όπως συχνά και στην καθημερινότητά μας) πρέπει να είμαστε ακριβείς. Για το λόγο αυτό, στο προηγούμενο παράδειγμα θα έπρεπε να πούμε π.χ "5 μέτρα μπροστά από την πόρτα του σπιτιού μας". Εκτός λοιπόν από το σημείο αναφοράς και την κατεύθυνση, θα πρέπει να δώσουμε και μια τιμή σε γνωστές μονάδες που να μας προσδιορίζει ακριβώς τη θέση του αντικειμένου. Το σημείο αναφοράς, ο άξονας και η γνωστή μονάδα που χρησιμοποιούμε, ορίζουν το λεγόμενο σύστημα αναφοράς με βάση το οποίο θα περιγράφουμε ανά πάσα στιγμή τη θέση ενός αντικειμένου. Προσοχή: Για να περιγράψουμε τη θέση ενός αντικειμένου, αρκεί να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση προς την οποία βρίσκεται σε σχέση με το σημείο αναφοράς και να δώσουμε την αντίστοιχη απόσταση (σε γνωστές μονάδες) πάνω σε αυτή την κατεύθυνση. Σε αυτό το κεφάλαιο όμως θα ασχοληθούμε με κινήσεις. Έτσι, επειδή η κίνηση μπορεί να λαμβάνει χώρα πάνω σε μία ευθεία, σε ένα επίπεδο ή και στο χώρο, δεν μας αρκεί ένας άξονας αλλά θα χρειαστούμε δύο άξονες (στην περίπτωση κίνησης στο επίπεδο) ή και τρεις άξονες (στην περίπτωση κίνησης στο χώρο). Επίσης από τα παραπάνω, βλέπουμε ότι η θέση είναι εν γένη διανυσματικό μέγεθος, (αφού έχει κατεύθυνση). Επισημαίνουμε λοιπόν σε αυτό 1

το σημείο, πως όλα τα διανυσματικά μεγέθη που θα συναντήσουμε στο κεφάλαιο αυτό (που αφορά κίνηση σε μια διάσταση),μπορούν να αντικατασταθούν (μετά από τον ορισμό του συστήματος αναφοράς) από μια τιμή μαζί με το πρόσημό της. Η τιμή αυτή θα λέγεται αλγεβρική τιμή του διανυσματικού μεγέθους που περιγράφουμε. 2 Τροχιά, Διάστημα και Μετατόπιση Τροχιά ενός κινητού, ονομάζεται το σύνολο των διαδοχικών σημείων από τα οποία διέρχεται το κινητό. Διάστημα που έχει διανύσει ένα κινητό είναι το μονόμετρο μέγεθος που εκφράζει το συνολικό μήκος της τροχιάς του κινητού. Είναι φανερό λοιπόν ότι το διάστημα θα είναι πάντα θετικό. Μετατόπιση ενός κινητού είναι το διανυσματικό μέγεθος που ορίζεται ως η διαφορά τελικής μείον αρχικής θέσης του κινητού. Είναι δηλαδή το διάνυσμα εκείνο που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική του θέση. Έτσι, η μετατόπιση στην περίπτωση ευθύγραμμης κίνησης μπορεί να πάρει είτε θετικές είτε αρνητικές τιμές όπως τονίσαμε προηγουμένως. Επίσης σε αυτό το σημείο πρέπει να επισημάνουμε ότι η μετατόπιση και το διάστημα δε μπορούν ποτέ να ταυτιστούν γιατι ένα μονόμετρο μέγεθος δεν ταυτίζεται ποτέ με ένα διανυσματικό. Αυτό που μπορεί να γίνει είναι να ταυτιστεί το μέτρο της μετατόπισης με το διάστημα. Πότε όμως γίνεται αυτό; 3 Ταύτιση του μέτρου της μετατόπισης με το διάστημα Ας ελέγξουμε τί γίνεται σε μία καμπυλόγραμμη κίνηση στο παρακάτω διάγραμμα: y B A Όπως εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε, το κινητό μας πηγαίνοντας από το σημείο Α στο σημείο Β μέσω της καμπύλης του σχήματος, έχει διανύσει ένα διάστημα που είναι μεγαλύτερο από τη μετατόπισή του της οποίας το μέτρο είναι η απόσταση των σημείων Α και Β. Αυτό συμβαίνει σε όλες τις καμπυλόγραμμες κινήσεις επειδή πάντα ο πιο κοντινός δρόμος από ένα σημείο σε ένα άλλο είναι η ευθεία που ενώνει τα δυο σημεία. Σελίδα 2

Έτσι λοιπόν διαπιστώνουμε πως για να έχουμε ταύτιση του διαστήματος με το μέτρο της μετατόπισης θα πρέπει να κινούμαστε σε ευθύγραμμη τροχιά. Είναι όμως αρκετό αυτό; Στο παρακάτω σχήμα μπορούμε να φανταστούμε ένα κινητό που κινείται ευθύγραμμα από το σημείο Α στο Γ και μετά επιστρέφει στο σημείο Β: A B Γ Παρατηρούμε ότι το διάστημα είναι τα μήκη (AΓ) + (ΓB) ενώ το μέτρο της μετατόπισης είναι μόνο το (AB) Καταλήγουμε λοιπόν ότι το σώμα δεν πρέπει να αλλάζει φορά. Δηλαδή: Το μέτρο της μετατόπισης ισούται με το διάστημα S μόνο στην περίπτωση που έχουμε ευθύγραμμη κίνηση σταθερής φοράς. Σε περίπτωση όπως παραπάνω που η ευθύγραμμη κίνηση αλλάζει φορά, μπορούμε να την χωρίσουμε σε περισσότερες κινήσεις σταθερής φοράς και να εφαρμόσουμε τον παραπάνω κανόνα: s = 1 + 2 +... 4 Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα με σταθερή ταχύτητα. Προσοχή: Η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος. Έτσι αν ένα σώμα διατηρεί σταθερή την ταχύτητά του, τότε θα διατηρεί και την κατεύθυνση της κίνησής του και έτσι αναγκαστικά η κίνηση είναι ευθύγραμμη και ομαλή. Εαν θέλαμε να περιγράψουμε π.χ. μια ομαλή κυκλική κίνηση, θα έπρεπε να πούμε ότι το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό και όχι η ίδια η ταχύτητα. 4.1 Τύποι = (1) = (2) = 0 + (3) Προσοχή: Οι παραπάνω τύποι ισχύουν μόνο στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Ο πρώτος τύπος δεν είναι ο ορισμός της ταχύτητας (όπως πολλοί μαθητές πιστεύουν) Είναι απλώς η ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ενώ d ο ορισμός της ταχύτητας είναι: = d. Επίσης πρέπει να σημειώσουμε πως όλοι οι παραπάνω τύποι είναι ισοδύναμοι και προκύπτουν από τον τύπο (1). Ο τύπος (3) προκύπτει από τον (2) εάν θεωρήσουμε ότι τη χρονική στιγμή 0 = 0, το σώμα μας βρίσκεται στη θέση 0. Σελίδα 3

4.2 Διαγράμματα 0 Παρατήρηση 1: Από το εμβαδόν του διαγράμματος = f() μπορούμε να υπολογίσουμε τη μετατόπιση. Παρατήρηση 2: Από την κλήση του διαγράμματος = f() ή του διαγράμματος = f() μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα. 4.3 Χρήση Διαγραμμάτων Εκτός από την απλή ανάγνωση του διαγράμματος οι παρατηρήσεις της προηγούμενης σελίδας μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε με τη βοήθεια των διαγραμμάτων και άλλα μεγέθη εκτός από αυτά που δείχνουν οι δύο άξονες. Σύμφωνα με την παρατήρηση 1, από το εμβαδόν σε ένα διάγραμμα = f() που περιγράφει μια ευθύγραμμη κίνηση, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μετατόπιση. Αυτό το βλέπουμε στο παρακάτω διάγραμμα: Όπως βλέπουμε το παραπάνω εμβαδό υπολογίζεται ως εξής: E = = Προσοχή: Η παραπάνω διαδικασία είναι απόδειξη του γεγονότος ότι στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση το εμβαδόν του διαγράμματος = f() δίνει τη μετατόπιση. Αυτό όμως γενικεύεται σε όλες τις ευθύγραμμες κινήσεις. Σελίδα 4

Προσοχή: Όταν η ταχύτητα είναι αρνητική, το σώμα κινείται προς τα αρνητικά του άξονα της κίνησης και έτσι η μετατόπισή του είναι αρνητική. Για αυτό το λόγο, όταν η γραφική παράσταση της ταχύτητας είναι κάτω από τον άξονα των χρόνων, θα πρέπει να βάζουμε αρνητικό πρόσημο στο αντίστοιχο εμβαδό κατά τον υπολογισμό του. Στα παρακάτω διαγράμματα, ελέγχουμε την παρατήρηση 2. 0 θ θ Κλίση: εφθ = = Προσοχή: Και η δεύτερη παρατήρηση γενικεύεται και ισχύει για κάθε είδους ευθύγραμμη κίνηση. 5 Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση Είναι η κίνηση που κάνει ένα σώμα που κινείται ευθύγραμμα με σταθερή επιτάχυνση. Προσοχή: Εδώ είναι απαραίτητο να διευκρινίσουμε ότι μιλάμε για ευθύγραμμη κίνηση και δεν αρκεί η σταθερή επιτάχυνση. Ο λόγος είναι ότι αν η επιτάχυνση δεν είναι παράλληλη στην αρχική μας ταχύτητα, η κίνηση δεν είναι ευθύγραμμη αλλά παραβολική. 5.1 Τύποι α = (4) = α (5) = 0 + α (6) = 0 + 1 2 α2 (7) = 0 + 0 + 1 2 α2 (8) Προσοχή: Οι παραπάνω τύποι ισχύουν μόνο στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Ο πρώτος τύπος δεν είναι ο ορισμός της επιτάχυνσης (όπως πολλοί μαθητές πιστεύουν). Ισχύει μόνο εάν η επιτάχυνση της παραμένει σταθερή. Ο ορισμός της επιτάχυνσης είναι: α = d d Σελίδα 5

Επίσης θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι τύποι (4), (5) και (6) είναι ισοδύναμοι. Ο τύπος (6) προκύπτει από τον (5), αν θεωρήσουμε ότι τη στιγμή 0 = 0 η ταχύτητα του κινητού είναι 0. Οι τύποι (7) και (8) είναι επίσης ισοδύναμοι και ο (8) προκύπτει από τον (7), αν θεωρήσουμε ότι τη στιγμή 0 = 0, το κινητό βρίσκεται στη θέση 0. Τέλος, τον τύπο (7) θα τον αποδείξουμε στην υποενότητα "Χρήση διαγραμμάτων". 5.2 Διαγράμματα α 0 0 Παρατήρηση 3: Από το εμβαδόν του διαγράμματος α = f() μπορούμε να υπολογίσουμε τη μεταβολή στην ταχύτητα. Παρατήρηση 4: Από την κλήση του διαγράμματος = f() μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση α. Σελίδα 6

5.3 Χρήση Διαγραμμάτων Όπως και προηγουμένως οι παρατηρήσεις μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε με τη βοήθεια των διαγραμμάτων και άλλα μεγέθη εκτός από αυτά που δείχνουν οι δύο άξονες. Σύμφωνα με την παρατήρηση 1, από το εμβαδόν στο διάγραμμα = f() που περιγράφει την κίνηση, μπορούμε να υπολογίσουμε τη μετατόπιση. Αυτό το βλέπουμε στο παρακάτω διάγραμμα: 0 0 + α Όπως βλέπουμε το παραπάνω εμβαδό υπολογίζεται ως εξής: E = ( 0 + 0 + α) 2 = 2 0 + α 2 2 = 0 + 1 2 α2 = Καταλήξαμε λοιπόν στον τύπο (7) τον οποίο αποδείξαμε. Σύμφωνα με την παρατήρηση 2, η κλίση του διαγράμματος = f() ή = f() μας δίνει την ταχύτητα. θ 2 θ 1 2 θ 2 0 θ 1 Όπως βλέπουμε : εφθ 2 > εφθ 1 Δηλαδή: 2 > 1 Αυτό δηλαδή που περιμέναμε: Η ταχύτητα τη στιγμή 2 είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα της στιγμής 0 = 0. 2 Σελίδα 7

Σύμφωνα με την παρατήρηση 3, από το εμβαδόν σε ένα διάγραμμα α = f() που περιγράφει μια ευθύγραμμη κίνηση, μπορούμε να υπολογίσουμε τη τη μεταβολή στην ταχύτητα Αυτό το βλέπουμε στο παρακάτω διάγραμμα: α α Όπως βλέπουμε το παραπάνω εμβαδό υπολογίζεται ως εξής: E = α = Προσοχή: Η παραπάνω διαδικασία είναι απόδειξη του γεγονότος ότι στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση το εμβαδόν του διαγράμματος α = f() δίνει τη μεταβολή στην ταχύτητα. Αυτό όμως γενικεύεται σε όλες τις ευθύγραμμες κινήσεις. Στο παρακάτω διάγραμμα, ελέγχουμε την παρατήρηση 4. 0 θ Κλίση: εφθ = = α Και η τέταρτη παρατήρηση γενικεύεται και ισχύει για κάθε είδους ευθύγραμμη κίνηση. Σελίδα 8

6 Επιταχυνόμενη ή Επιβραδυνόμενη κίνηση H παραπάνω κίνηση που περιγράψαμε στην ενότητα "Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση", είναι γενική και χωρίζεται σε δύο κατηγορίες: 1. Την ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και 2. την ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Γενικά, θα λέμε ότι μία κίνηση είναι επιταχυνόμενη όταν αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας. Αντίθετα, αν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, η κίνηση θα ονομάζεται επιβραδυνόμενη. Στην περίπτωση των ευθύγραμμων κινήσεων, όταν η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν το ίδιο πρόσημο, η κίνηση θα ονομάζεται επιταχυνόμενη. Αντίθετα, αν έχουν διαφορετικό πρόσημο, η κίνηση θα ονομάζεται επιβραδυνόμενη. Οι παραπάνω προτάσεις ξεκαθαρίζουν την κατάσταση ακόμη και μεταξύ εκπαιδευτικών: Πολλοί εκπαιδευτικοί διδάσκουν ότι την αρνητική επιτάχυνση την ονομάζουμε επιβράδυνση και όπως θα δούμε κάτι τέτοιο έχει βάση αλλά δημιουργεί παρανοήσεις. Έχει βάση διότι αν πχ έχουμε μια ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση τέτοια ώστε το κινητό μας να αλλάζει φορά κίνησης (πρόσημο ταχύτητας), τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τις εξισώσεις της ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης με τα κατάλληλα πρόσημα και να πάρουμε σωστά αποτελέσματα.για το λόγο αυτό οι καθηγητές που διδάσκουν ότι επιβράδυνση ονομάζουμε την αρνητική επιτάχυνση, προτιμούν να δώσουν ένα και μόνο όνομα σε ολόκληρη την κίνηση. Η παρανόηση έγκειται στο γεγονός ότι αν πχ έχουμε ένα σώμα που επιταχύνεται προς τα αριστερά, τότε το όνομα της κίνησης θα εξαρτάται από την κατεύθυνση που θα ορίσουμε ως θετική. Εμείς λοιπόν θα ονομάζουμε την κίνησή μας ανάλογα με το αν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται ή μειώνεται (ή ισοδύναμα αν η ταχύτητα και η επιτάχυνση έχουν ίδια ή αντίθετα πρόσημα), αλλά θα κρατήσουμε και το θετικό στοιχείο της άλλης περίπτωσης, σημειώνοντας ότι οι εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης ισχύουν ανεξάρτητα από την ονομασία που δίνουμε. Σελίδα 9