Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Θερία και Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πανεπιστημιακές Παραδόσεις Θεόδρος Παλυβός

Ενότητα Εισαγγή στη Γενική Ισορροπία και την Οικονομική της Ευημερίας

Mare-Esrt-Léon Walras (834-90

Francs Ysdro Edgeworth (845-96

. νταγνιστική Ισορροπία.. Εισαγγή Φανταστείτε ένα γεγονός που επηρεάζει αρνητικά τη ζήτηση του κρέατος τν πουλερικών, π.χ. τη γρίπη τν πουλερικών. Γνρίζουμε από την μικροοικονομική θερία ότι ένα τέτοιο γεγονός θα μετατοπίσει την καμπύλη ζήτησης προς τα αριστερά με αποτέλεσμα να μειθεί η αγοραία τιμή του κρέατος τν πουλερικών καθώς επίσης και η ποσότητα ισορροπίας. Εξετάζοντας δηλαδή τη συγκεκριμένη αγορά (ανάλυση μερικής ισορροπίας, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι στη νέα ισορροπία οι καταναλτές θα αγοράζουν και οι παραγγοί θα προσφέρουν μικρότερη ποσότητα σε χαμηλότερη τιμή. Σταματούν εδώ τα αποτελέσματα μιας αρνητικής εξτερικής επίδρασης, όπς η νόσος τν πουλερικών; Φυσικά όχι. ναμένουμε οι καταναλτές να στραφούν προς άλλες μορφές κρέατος στην αγορά τν οποίν θα παρατηρήσουμε μια μετατόπιση της καμπύλης ζήτησης προς τα δεξιά. υτή θα οδηγήσει σε αύξηση της τιμής τν άλλν μορφών κρέατος καθώς επίσης και της εμπορευόμενης ποσότητας (ποσότητας ισορροπίας. Στη νέα ισορροπία, σε κάθε μια από αυτές τις αγορές, οι καταναλτές θα αγοράζουν και οι παραγγοί θα προσφέρουν μεγαλύτερη ποσότητα σε ψηλότερη τιμή. Σταματούν εδώ τα αποτελέσματα του αρχικού γεγονότος; Φυσικά όχι. Θα επηρεαστεί ενδεχομένς και η αγορά ψαριών καθώς επίσης και όλν τν άλλν προϊόντν που είναι είτε υποκατάστατα είτε συμπληρματικά με το κρέας τν πουλερικών, παραδείγματος χάριν, η αγορά κρασιού ή μπύρας. Οι μεταβολές στους τομείς τν πουλερικών και τν άλλν μορφών κρέατος θα επηρεάσουν επίσης και τις αγορές τν παραγγικών συντελεστών που απασχολούνται σε αυτές. Πιο συγκεκριμένα, εξαιτίας της αρχικής αρνητικής επίδρασης και της μείσης της εμπορευόμενης ποσότητας τν πουλερικών, κάποιοι εργάτες στον τομέα τν πουλερικών θα χάσουν την εργασία τους. Επίσης κάποιος μηχανολογικός εξοπλισμός, για παράδειγμα, μηχανήματα τυποποίησης, συσκευασίας, αυτοκίνητα κ.λπ. θα σταματήσουν να χρησιμοποιούνται στο συγκεκριμένο τομέα. Όπς είναι φυσικό, οι κάτοχοι αυτών τν παραγγικών συντελεστών θα αναζητήσουν εργασία σε άλλους τομείς. Οι τομείς αυτοί μπορεί να μην είναι απαραίτητα συγγενείς με τον τομέα τν πουλερικών, αφού η μεταβολή στη ζήτηση δεν θα διοχετευθεί όλη σε ένα τομέα. Επιπλέον ο ένας τομέας χρησιμοποιεί παραγγικούς συντελεστές σε αναλογία διαφορετική από τον άλλο. Για παράδειγμα, ο τομέας τν πουλερικών θα απελευθερώσει ποσότητες εργασίας και κεφαλαίου σε αναλογία διαφορετική από αυτή που θα προσλάβει ο τομέας της κτηνοτροφίας ή της αλιείας. Κατά συνέπεια οι παραγγικοί συντελεστές που εργάζονταν πριν στο τομέα τν πουλερικών δεν μπορούν να απασχοληθούν όλοι στον τομέα της κτηνοτροφίας ή της αλιείας αλλά θα διοχετευθούν (ενδεχομένς μετά από ένα μεγάλο χρονικό διάστημα σε όλη την (τοπική ή εθνική οικονομία. Επίσης με την αλλαγή απασχόλησης, οι παραγγικοί συντελεστές θα έχουν μια αλλαγή στο εισόδημα τους, η οποία θα επηρεάσει τις αγορές όλν τν αγαθών στις οποίες οι κάτοχοι αυτών τν παραγγικών συντελεστών εισέρχονται ς αγοραστές. Το συγκεκριμένο παράδειγμα θα μπορούσε να συνεχιστεί αναφέροντας τις επιπτώσεις σε πολλές άλλες (εθνικές ή παγκόσμιες αγορές. Το γενικό συμπέρασμα είναι ότι μια αλλαγή που συμβαίνει σε μια αγορά έχει επιδράσεις, άλλοτε μικρότερες και άλλοτε μεγαλύτερες, σε πολλές άλλες αγορές της

6 οικονομίας. Η εξέταση τν επιδράσεν ενός γεγονότος στο σύνολο της οικονομίας απαιτεί ανάλυση γενικής ισορροπίας, δηλαδή την ταυτόχρονη εξέταση όλν τν αγορών μιας οικονομίας. Υπάρχει ένας ακόμη βαθύτερος λόγος για την μελέτη της Θερίας της Γενικής Ισορροπίας. Σκεφθείτε προς στιγμήν πς λειτουργούν οι σύγχρονες οικονομίες. Κάθε μέρα εκατομμύρια άτομα ή επιχειρήσεις εισέρχονται είτε ς αγοραστές είτε ς πλητές σε χιλιάδες αγορές αγαθών και παραγγικών συντελεστών. Το κάθε ένα από αυτά τα άτομα ή τις επιχειρήσεις πραγματοποιεί έναν αριθμό συναλλαγών. Τι συντονίζει τις ενέργειες τους; Τι εγγυάται ότι αυτό που προσφέρει μια οικονομική μονάδα θα ζητηθεί από μια άλλη; Με άλλα λόγια, πς λειτουργούν οι αγορές; Μπορούν να λειτουργήσουν «καλά»; Για να απαντήσουμε αυτά τα ερτήματα χρειαζόμαστε μια συνολική εικόνα της οικονομίας ή ένα υπόδειγμα γενικής ισορροπίας. Το υπόδειγμα αυτό θα παίξει το ρόλο ενός σταθερού σημείου αναφοράς, με το οποίο θα μπορούμε να συγκρίνουμε πραγματικές καταστάσεις και να βγάλουμε συμπεράσματα πολιτικής. ντιλαμβάνεστε βέβαια ότι το πρόβλημα είναι ιδιαίτερα σύνθετο και για το σκοπό αυτό είναι απαραίτητες μια σειρά από απλουστευτικές υποθέσεις. Επίσης, στην ενότητα αυτή θα περιοριστούμε στην εξέταση μόνο ανταλλακτικών οικονομιών από όπου θα εξάγουμε συνθήκες για την «καλή» (αποτελεσματική λειτουργία τν αγορών μιας στατικής οικονομίας. Επιπλέον, τις συνθήκες αυτές θα τις συγκρίνουμε σε επόμενα κεφάλαια του βιβλίου με τις αντίστοιχες συνθήκες για την καλή λειτουργία μιας δυναμικής οικονομίας... Περιγραφή μιας νταλλακτικής Οικονομίας 3 * Έστ μια οικονομία στην οποία υπάρχουν Ι άτομα και αγαθά, όπου, είναι φυσικοί αριθμοί (, Ν {,, }. Όλα τα άτομα τη στιγμή της γέννησής τους προικοδοτούνται με ένα μη-αρνητικό συνδυασμό από όλα τα αγαθά. Ο συνδυασμός αυτός αποτελεί το αρχικό απόθεμα (ntal endowment του ατόμου. Σε ολόκληρο το βιβλίο θα χρησιμοποιήσουμε το γράμμα για να δηλώσουμε αρχικά αποθέματα. Επίσης, θα χρησιμοποιήσουμε το δείκτη, που παίρνει τιμές,,,, για να συμβολίσουμε τα άτομα και το δείκτη, που παίρνει τιμές,,,, για να συμβολίσουμε τα αγαθά. Έτσι συμβολίζει το αρχικό απόθεμα του ατόμου από το αγαθό. Επίσης θα συμβολίζει γενικά την ποσότητα που κατέχει το άτομο από το αγαθό. Όπς είναι φυσικό, σε μια δεδομένη στιγμή το μπορεί να διαφέρει από Προσέξτε ότι ρτάμε «αν μπορούν οι αγορές να λειτουργήσουν καλά» και όχι «αν λειτουργούν καλά». Η πρώτη ερώτηση είναι θερητική και είναι αυτή που μας ενδιαφέρει εδώ. Η δεύτερη ερώτηση, που χρειάζεται ενδεχομένς να γίνει πιο συγκεκριμένη εξειδικεύοντας σε ποια οικονομία και σε ποια χρονική στιγμή, είναι εμπειρική. Οικονομίες με παραγγή εξετάζονται σε επόμενες ενότητες, όπου αναλύεται η Δυναμική Γενική Ισορροπία τους. Για μια πιο ολοκληρμένη παρουσίαση της Θερίας της Γενικής (Στατικής Ισορροπίας βλέπε (κατά σειρά δυσκολίας Varan (006, Varan (99 και Mas-Collel, Whnston και Green (995. 3 Στα κεφάλαια -4, τμήματα που φέρουν αστερίσκο, *, αναλύουν τη γενική περίπτση μιας οικονομίας με Ι άτομα και αγαθά. Ο αναγνώστης που δεν είναι εξοικειμένος με τεχνικές παρουσιάσεις μπορεί αρχικά να διαβάσει αυτά τα τμήματα παραλείποντας τις μαθηματικές εξισώσεις και να επικεντρθεί στα τμήματα που αναλύουν την ειδική περίπτση μιας ανταλλακτικής οικονομίας με άτομα και αγαθά.

7 το, αν για παράδειγμα το άτομο έχει συνάψει ανταλλαγές, αλλά μπορεί και να ταυτίζεται με αυτό. Tο συνολικό αρχικό απόθεμα ενός ατόμου, δηλαδή το σύνολο τν αρχικών ποσοτήτν που κατέχει το άτομο από όλα τα αγαθά, συμβολίζεται με το διάνυσμα (,,,, ενώ ένας οποιοσδήποτε άλλος καταναλτικός συνδυασμός με το διάνυσμα (,,,. 4 Επίσης αναφερόμαστε σε έναν κατάλογο καταναλτικών συνδυασμών τν αγαθών που δηλώνει τι καταναλώνει το κάθε άτομο από κάθε αγαθό με τον όρο κατανομή (allocaton. Μια κατανομή δηλαδή συμβολίζεται ς ένα διάνυσμα διανυσμάτν (μήτρα. Το αρχικό απόθεμα της Ι οικονομίας (,,,, όπου (,,,,,,, αποτελεί ένα παράδειγμα κατανομής. Πιο αναλυτικά,, όπου οι στήλες της μήτρας δηλώνουν τις αρχικές ποσότητες με τις οποίες προικοδοτείται ένα άτομο από κάθε αγαθό, για παράδειγμα, η πρώτη στήλη δηλώνει τις ποσότητες που λαμβάνει αρχικά το άτομο από κάθε αγαθό. Το άθροισμα τν στοιχείν κάθε γραμμής μας δίνει τη συνολική ποσότητα που είναι αρχικά διαθέσιμη στην οικονομία, π.χ. το άθροισμα τν στοιχείν της πρώτης γραμμής 3 Ι μας δίνει τη συνολική ποσότητα του αγαθού που είναι αρχικά διαθέσιμη στην οικονομία. Μια οικονομία η οποία δεν συνάπτει εμπορικές συναλλαγές με τον υπόλοιπο κόσμο ονομάζεται κλειστή. Εάν η οικονομία είναι κλειστή, όπς υποθέτουμε τουλάχιστον σε ολόκληρη την Ενότητα, τότε η αρχικά διαθέσιμη συνολική ποσότητα από κάθε αγαθό (το άθροισμα τν αρχικών αποθεμάτν όλν τν ατόμν είναι ίση με την με την τελικά διαθέσιμη ποσότητα. Ορισμός.. Σε μια ανταλλακτική οικονομία μια κατανομή είναι εφικτή (feasble αν η ποσότητα κάθε αγαθού που καταναλώνεται είναι μικρότερη ή ίση από την ποσότητα που είναι διαθέσιμη. Δηλαδή, αν συμβολίζει την ποσότητα του αγαθού που καταναλώνει το άτομο, για να είναι μια κατανομή εφικτή θα πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες ανισότητες (μία για κάθε αγαθό: 0,,,, ή συντομογραφικά 4 Όταν δεν είναι απαραίτητο, δεν εξειδικεύουμε αν αναφερόμαστε σε διάνυσμα-γραμμή ή σε διάνυσμα-στήλη.

8 0,,,. Το αριστερό μέλος τν παραπάν ανισοτήτν μας δίνει την ποσότητα που καταναλώνουν όλα τα άτομα από το αγαθό, δηλαδή, τη συνολική ποσότητα από το αγαθό που καταναλώνεται, ενώ το δεξιό μέλος τη συνολική ποσότητα που είναι διαθέσιμη. Κατανομές στις οποίες η ποσότητα κάθε αγαθού που καταναλώνεται είναι ακριβώς ίση με την ποσότητα που είναι διαθέσιμη θα λέγονται ακριβώς εφικτές. Με άλλα λόγια, μια κατανομή είναι ακριβώς εφικτή αν οι παραπάν ανισότητες ισχύουν ς ισότητες. Στην απλή οικονομία που θα εξετάσουμε εδώ δεν υπάρχει παραγγή. Επίσης δεν υπάρχουν επιχειρήσεις. Τα αγαθά εμπορεύονται σε κεντρικές αγορές στις οποίες επικρατεί μια τιμή. Όλοι οι αγοραστές και οι πλητές γνρίζουν αυτή την τιμή. Η πραγματοποίηση συναλλαγών δεν έχει κόστος. Όλες οι μονάδες ενός αγαθού έχουν την ίδια ποιότητα (δηλαδή όλα τα αγαθά είναι ομογενή την οποία γνρίζουν όλοι οι αγοραστές και οι πλητές. Επομένς δεν μπορεί να υπάρξει εξαπάτηση ή λάθος σε μια συναλλαγή. Επίσης, όλα τα αγαθά είναι απεριόριστα διαιρέσιμα. Τέλος, δεν υπάρχουν εξτερικές επιδράσεις (eternaltes, δηλαδή η κατανάλση ενός αγαθού από ένα άτομο δεν επηρεάζει θετικά ή αρνητικά κάποιο άλλο. Παραδείγματα αγαθών με αρνητική και θετική, αντίστοιχα, εξτερική επίδραση είναι το κάπνισμα και η παιδεία. Ο κάθε καταναλτής προσπαθεί να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του η οποία εξαρτάται αποκλειστικά από τις ποσότητες τν αγαθών που καταναλώνει, λαμβάνοντας ς δεδομένες τις τιμές τν αγαθών και το αρχικό του απόθεμα. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση χρησιμότητας κάθε ατόμου έχει πεδίο ορισμού το R, είναι τουλάχιστον δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη, 5 αυστηρά αύξουσα και οιονεί κοίλη. 6 Στην περίπτση τν δύο αγαθών αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση αυτή μπορεί να παρασταθεί στο επίπεδο από καμπύλες αδιαφορίας με τις συνήθεις ιδιότητες: α έχουν αρνητική κλίση, β είναι κυρτές προς την αρχή τν αξόνν γ καλύπτουν το επίπεδο δ το επίπεδο χρησιμότητας που επιτυγχάνει ο καταναλτής αυξάνεται διαρκώς αν ξεκινώντας από ένα ορισμένο συνδυασμό (, κινούμαστε προς τα πάν και δεξιά, δηλαδή βορειοανατολικά, στο χάρτη τν καμπυλών αδιαφορίας και ε δεν τέμνονται, (βλ. Σχήμα.. Η πρώτη ιδιότητα σημαίνει ότι αφού και τα δύο αγαθά παρέχουν θετική χρησιμότητα, η μείση της ποσότητας του ενός αγαθού απαιτεί την αύξηση του άλλου προκειμένου το άτομο να παραμείνει στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Η δεύτερη ιδιότητα συνεπάγεται ότι η απώλεια κάθε επιπλέον μονάδας ενός αγαθού μειώνει τη χρησιμότητα του ατόμου με αυξανόμενο ρυθμό. Σημαίνει επίσης ότι το άτομο προτιμά ενδιάμεσες από ακραίες καταστάσεις. 5 Μία συνάρτηση f ονομάζεται συνεχώς διαφορίσιμη (contnuously dfferentable σε ένα σύνολο S εάν έχει συνεχείς πρώτες (μερικές παραγώγους στο S. Συνοπτικά γράφουμε f C. Με ανάλογο τρόπο ορίζουμε f C κ.τ.λ. 6 Οι υποθέσεις αυτές είναι πιο περιοριστικές από ότι είναι απαραίτητο αλλά γίνονται για την απλοποίηση της παρουσίασης και σε βάρος της γενικότητας. Για πιο γενικές παρουσιάσεις βλέπε Varan (99 και Mas-Collel (995. Σε ορισμένες από τις ασκήσεις παρακάτ οι συναρτήσεις χρησιμότητας που χρησιμοποιούνται δεν είναι διαφορίσιμες.

9 (, Γ u u u 3 Σχήμα.. Χάρτης καμπυλών αδιαφορίας: u 3 > u > u, όπου u δηλώνει το επίπεδο χρησιμότητας της αντίστοιχης καμπύλης. Για παράδειγμα, στο Σχήμα. θερήστε δύο σημεία και. Το κάθε ένα από αυτά τα σημεία δίνει έμφαση σε ένα από τα δύο αγαθά. Τα σημεία που βρίσκονται σε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία και, π.χ. το Γ, αντιπροσπεύουν ενδιάμεσες καταστάσεις. Προσέξτε ότι όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται σε ψηλότερες καμπύλες αδιαφορίας από την. 3 u Υπενθυμίζεται ότι η απόλυτη τιμή της κλίσης μιας καμπύλης αδιαφορίας είναι γνστή ς οριακός λόγος υποκατάστασης (ΟΛΥ και ότι ο λόγος αυτός μειώνεται κατά μήκος μιας καμπύλης αδιαφορίας. Η τρίτη ιδιότητα συνεπάγεται ότι από κάθε σημείο του χώρου τν αγαθών διέρχεται μια καμπύλη αδιαφορίας και επομένς σε κάθε συνδυασμό αγαθών αντιστοιχεί ένα επίπεδο χρησιμότητας. Το γεγονός αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι δύο οποιοιδήποτε συνδυασμοί μπορούν να συγκριθούν και να ιεραρχηθούν από τον καταναλτή. Η τέταρτη ιδιότητα συνεπάγεται ότι δεν υπάρχει σημείο κορεσμού (sataton ont ή, με άλλες λέξεις, ο καταναλτής προτιμά πάντα το περισσότερο από το λιγότερο. Τέλος, η παραβίαση της πέμπτης ιδιότητας οδηγεί σε άτοπο, αφού αν δύο καμπύλες αδιαφορίας τέμνονται τότε δεν είναι δυνατό να μην υπάρχει σημείο κορεσμού (ποδείξτε το!. Όλες οι συναλλαγές πραγματοποιούνται οικιοθελώς και κανείς δεν εξαναγκάζεται να λάβει μέρος σε μια ανταλλαγή. Η υπόθεση αυτή μαζί με την παραπάν που αφορά την πλήρη γνώσης της ποιότητας και της τιμής κάθε αγαθού εξασφαλίζουν ότι ένας καταναλτής δεν μπορεί να βρεθεί σε χειρότερη θέση από αυτή που ήταν πριν την ανταλλαγή. Με άλλα λόγια, κάθε συναλλαγή είναι αμοιβαία επφελής (mutually benefcal και για τα δύο μέρη που συμμετέχουν σε αυτή. Επιπλέον, η οικονομία είναι καθαρά ανταλλακτική και δεν υπάρχει χρήμα στη σύγχρονη μορφή του, δηλαδή ένα αντικείμενο το οποίο από μόνο του να μην έχει καμιά χρησιμότητα αλλά να χρησιμοποιείται αποκλειστικά ς μέσο ανταλλαγής. Επομένς, απαραίτητη προϋπόθεση για μια ανταλλαγή είναι η διπλή σύμπτση

0 επιθυμιών (double concdence of wants: η κατάσταση εκείνη μεταξύ δύο ατόμν στην οποία κάθε άτομο ζητάει εκείνο ακριβώς το αγαθό που προσφέρει το άλλο..3. Διαγραμματική Παρουσίαση της νταλλακτικής Οικονομίας νταλλαγή σε μια στατική οικονομία ενός ατόμου ή ενός αγαθού δεν μπορεί να συμβεί. 7 H απλούστερη στατική οικονομία στην οποία μπορεί να υπάρξει ανταλλαγή είναι αυτή τν δύο ατόμν, που θα ονομάσουμε και, και τν δύο αγαθών, και. Στην περίπτση αυτή το υπόδειγμα μπορεί να παρουσιασθεί και διαγραμματικά χρησιμοποιώντας το Κουτί τν Edgeworth-Bowley (Edgeworth-Bowley Bo ή απλώς Κουτί του Edgeworth (Edgeworth Bo. 8,9 Πρόκειται για ένα ορθογώνιο του οποίου οι διαστάσεις είναι ίσες με τις συνολικές διαθέσιμες ποσότητες τν δύο αγαθών (βλ. Σχήμα.. Πιο συγκεκριμένα, φανταστείτε ένα ορθογώνιο του οποίου το μήκος είναι ίσο με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού ( και το ύψος ίσο με τη συνολική διαθέσιμη ποσότητα του αγαθού (. Κάθε σημείο μέσα στο κουτί αντιπροσπεύει μια εφικτή κατανομή, δηλαδή μια κατανομή που ικανοποιεί τον Ορισμό.. ν υποθέσουμε επίσης ότι δεν υπάρχει σπατάλη στην οικονομία., δηλαδή ότι η συνολική ποσότητα κάθε αγαθού που είναι διαθέσιμη είναι ίση με την συνολική ποσότητα που καταναλώνεται ή, με μαθηματικό συμβολισμό, ότι η σχέση που περιγράφει τον ορισμό μιας εφικτής κατανομής ισχύει ς ισότητα (η κατανομή είναι ακριβώς εφικτή, τότε κάθε εφικτή κατανομή μπορεί να αντιπροσπευθεί από ένα σημείο στο κουτί του Edgeworth.. Ο συνδυασμός τν ποσοτήτν τν δύο αγαθών του ατόμου που αντιστοιχούν σε ένα σημείο (κατανομή δίνεται από τις συντεταγμένες του σημείου έχοντας ς αρχή τν αξόνν την κορυφή που βρίσκεται κάτ-αριστερά στο κουτί (σημείο Ο στο Σχήμα.. ντίθετα ο συνδυασμός του ατόμου δίνεται από τις συντεταγμένες του ίδιου σημείου έχοντας ς αρχή τν αξόνν την κορυφή που βρίσκεται πάνδεξιά (σημείο Ο στο Σχήμα.. Για παράδειγμα, στο σημείο ˆ του Σχήματος. το άτομο θα λάβει ποσότητες θα λάβει ποσότητες ˆ το αγαθό. ˆ ˆ από το αγαθό και ˆ από το αγαθό και από το αγαθό. Το άτομο ˆ ˆ από 7 Στατική ονομάζεται μια οικονομία στην οποία οι μεταβλητές που την ορίζουν, π.χ. ο πληθυσμός, η διαθέσιμη ποσότητα τν αγαθών κ.λπ. δεν εξαρτώνται από το χρόνο. Σε ολόκληρη την Ενότητα εξετάζουμε μόνο στατικές οικονομίες. ς σημειθεί ότι σε μια δυναμική οικονομία μπορεί να υπάρξει ανταλλαγή ακόμη και αν υπάρχει μόνο ένα αγαθό, π.χ. σου δίν μια ποσότητα του αγαθού σήμερα (σε δανείζ μετά από συμφνία ότι θα μου δώσεις εσύ μια συγκεκριμένη ποσότητα του αγαθού στο μέλλον (θα αποπληρώσεις το δάνειο. 8 Francs Y. Edgeworth (845-96: ρετανός οικονομολόγος με μεγάλη συμβολή στη Θερία της Γενικής Ισορροπίας. Το σημαντικότερο έργο του Mathematcal Psychcs: An Essay on the Alcaton of Mathematcs to the Moral Scences εκδόθηκε το έτος 88 και είναι ελεύθερα διαθέσιμο στο διαδίκτυο από το ρχείο Ιστορίας της Οικονομικής Σκέψης (Archve for the Hstory of Economc Thought του Πανεπιστημίου McMaster: htt://socserv.mcmaster.ca/econ/ugcm/3ll3/. 9 Arthur L. Bowley (869-957: ρετανός οικονομολόγος του οποίου το έργο Mathematcal Groundwork: An ntroductory Treatse (94 έπαιξε καθοριστικό ρόλο για την αναβίση του έργου του Edgeworth.

ˆ ( ˆ O ˆ ˆ ( ˆ ˆ O A ˆ Σχήμα.. Το κουτί του Edgeworth. Μέσα στο κουτί του Edgeworth μπορούμε να σχεδιάσουμε καμπύλες αδιαφορίας που αντιπροσπεύουν τις προτιμήσεις τν δύο ατόμν. Οι καμπύλες αδιαφορίες του ατόμου έχουν συνηθισμένο σχήμα γατί σχεδιάζονται σε ένα κανονικό σύστημα αξόνν (βλ. Σχήμα.3. Συνδυασμοί που βρίσκονται σε ψηλότερες καμπύλες αδιαφορίας (ς προς το σημείο O αντιπροσπεύουν ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας για τον καταναλτή. Για παράδειγμα, στο Σχήμα.3 η φορά του βέλους δηλώνει την κατεύθυνση προς την οποία αυξάνεται το επίπεδο χρησιμότητας A A A3 h τν καμπυλών αδιαφορίας ( u < u < u, όπου u, h A, A, A3, δηλώνει το επίπεδο χρησιμότητας της αντίστοιχης καμπύλης.

O A u A u A3 u O A Σχήμα.3. Καμπύλες αδιαφορίας του ατόμου στο κουτί του Edgeworth. ντίθετα οι καμπύλες αδιαφορίας του ατόμου έχουν περιστραφεί 80 0 (βλ. Σχήμα.4. Έχουν και αυτές το συνηθισμένο σχήμα σε σχέση με την αρχή τν αξόνν O. Συνδυασμοί που βρίσκονται πιο μακριά από το σημείο O (χαμηλότερα ς προς το σημείο O αντιπροσπεύουν ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας για τον B B B3 καταναλτή. Έτσι και σε αυτό το σχήμα u < u < u. Στο Σχήμα.5 παρουσιάζονται καμπύλες αδιαφορίας και τν δύο ατόμν καθώς επίσης και η αρχική κατανομή (,,,. Ξεκινώντας από μια συγκεκριμένη κατανομή, ας πούμε την αρχική, καθώς κινούμαστε προς τα πάν και δεξιά (βορειοανατολικά το επίπεδο χρησιμότητας του αυξάνεται και του μειώνεται. ντίθετα, καθώς κινούμαστε προς τα κάτ και αριστερά (νοτιοδυτικά το επίπεδο χρησιμότητας του αυξάνεται και του μειώνεται. Έτσι στο Σχήμα.5 η καμπύλη αδιαφορίας του u αντιπροσπεύει ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας από την u. Παρομοίς, η καμπύλη αδιαφορίας του u αντιπροσπεύει ψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας από την u. Τέλος θυμηθείτε από τη θερία της χρησιμότητας ότι οποιοιδήποτε δύο συνδυασμοί μπορούν να συγκριθούν από τον καταναλτή (αξίμα της πληρότητας. υτό σημαίνει ότι σε κάθε συνδυασμό αντιστοιχεί ένα επίπεδο χρησιμότητας ή ότι από κάθε συνδυασμό αγαθών (, στο χάρτη καμπυλών αδιαφορίας ενός ατόμου διέρχεται μια καμπύλη αδιαφορίας. Επομένς από κάθε σημείο (κατανομή (,,, στο κουτί του Edgeworth διέρχονται δύο καμπύλες αδιαφορίες, μία κάθε ατόμου. Φυσικά τα επίπεδα χρησιμότητας που δηλώνουν δύο καμπύλες αδιαφορίας διαφορετικών ατόμν, π.χ. u και u, δεν είναι συγκρίσιμα.

3 O B u B u O A B3 u Σχήμα.4. Καμπύλες αδιαφορίας του τόμου B στο κουτί του Edgeworth. O u u 3 u. u 3 u O A u Σχήμα.5. Καμπύλες αδιαφορίας και τν δύο ατόμν στο κουτί του Edgeworth.

4.4. νταγνιστική Ισορροπία* Θερήστε μια οικονομία στην οποία τα άτομα επιδιώκουν τη μεγιστοποίηση του ατομικού τους συμφέροντος ( χρησιμότητας. Συγκεκριμένα, η επιλογή που καλείται να κάνει κάθε άτομο περιγράφεται από το πρόβλημα: 0 Να μεγιστοποιηθεί ς προς τις ποσότητες η συνάρτηση χρησιμότητας: u u(,,, υπό τον εισοδηματικό περιορισμό:,, (. όπου δηλώνει την τιμή του αγαθού. Συντομογραφικά ο εισοδηματικός περιορισμός γράφεται και ς. (. Για τη μεγιστοποίηση της συνάρτησης (. υπό τον περιορισμό (. σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange L u (,,, λ, όπου λ δηλώνει τον πολλαπλασιαστή Lagrange στο πρόβλημα του καταναλτή. Οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης είναι ο περιορισμός (. και οι ακόλουθες εξισώσεις 3,, L u (, 0 λ,,,,, οι οποίες σχηματίζουν ένα σύστημα εξισώσεν ς προς αγνώστους:,, λ.,, 0 Ως συνήθς, σε κάθε τέτοιο πρόβλημα μεγιστοποίησης θερούμε παρόντες και δύο ακόμη περιορισμούς: 0 και 0, τους οποίους όμς δεν αναφέρουμε ρητά για να διατηρηθεί η απλότητα της παρουσίασης. Κανονικά ο εισοδηματικός περιορισμός έπρεπε να γραφεί ς ασθενής ανισότητα,. Όμς η υπόθεση ότι δεν υπάρχει σημείο κορεσμού μας επιτρέπει να αγνοήσουμε την ανισότητα, αφού ο καταναλτής δεν θα μεγιστοποιήσει ποτέ την χρησιμότητα του σε ένα σημείο που βρίσκεται στο εστερικό του συνόλου καταναλτικών δυνατοτήτν του. oseh-lous, comte de Lagrange (736-83: Ιταλός και Γάλλος μαθηματικός από τους σημαντικότερους του 8 αιώνα με σπουδαίες ανακαλύψεις στα Μαθηματικά, τη Μηχανική και την στρονομία. 3 Οι υποθέσεις που κάναμε για τη συνάρτηση χρησιμότητας εξασφαλίζουν ότι η λύση που προκύπτει από τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξες αντιστοιχεί σε μέγιστο. Με άλλα λόγια, οι ικανές συνθήκες για μέγιστο στο παραπάν πρόβλημα μεγιστοποίησης ικανοποιούνται.

5 παλείφοντας τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ λαμβάνουμε το σύστημα τν εξισώσεν ς προς αγνώστους που αποτελείται από τον περιορισμό (. και τις - εξισώσεις ΟΛΥ,, 3,,, (.3 όπου ΟΛΥ u u είναι ο οριακός λόγος υποκατάστασης (margnal rate of substtuton μεταξύ του αγαθού και του αγαθού, 3,,. Σύμφνα με την εξίσση (.3 ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ δύο αγαθών, δηλαδή ο επιθυμητός λόγος υποκατάστασης ενός αγαθού από το άλλο, πρέπει να ισούται με το λόγο τν τιμών, δηλαδή με το λόγο υποκατάστασης ενός αγαθού από το άλλο που επιβάλλει η αγορά. πό το σύστημα τν εξισώσεν (. και (.3 προκύπτουν οι συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου,,, για τα αγαθά: (.4,,,,,,,,. Προσέξτε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου εξαρτώνται από τις τιμές όλν τν αγαθών, οι οποίες είναι ίδιες για κάθε άτομο και για αυτό ανεξάρτητες του, και από την αξία του αρχικού αποθέματος του καταναλτή, αφού αυτή καθορίζει το εισόδημά του. Σημειώνεται ότι εξίσση (.4 μας δίνει την ακαθάριστη ζήτηση (gross demand του ατόμου για το αγαθό. Η καθαρή (net ή υπερβάλλουσα ζήτηση (ecess demand είναι η διαφορά μεταξύ της ακαθάριστης ζήτησης και του αρχικού αποθέματος: e,,,,,,,,,,,,. (.5 όπου e δηλώνει καθαρή ή υπερβάλλουσα ζήτηση. Ορισμός.. Μια ανταγνιστική ισορροπία (comettve equlbrum είναι ένα σύνολο τιμών { ˆ, ˆ,, ˆ } και ένα σύνολο ποσοτήτν ˆ, ˆ,, ˆ, ˆ, ˆ,, ˆ,, ˆ, ˆ,, ˆ } τέτοια ώστε: {. Με δεδομένες τις τιμές τν αγαθών ˆ και το αρχικό απόθεμα κάθε καταναλτή, οι σχετικές με αυτόν ποσότητες του. μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητάς. Για κάθε αγαθό το άθροισμα της ακαθάριστης ζήτησης όλν τν ατόμν είναι ίσο με το άθροισμα τν αρχικών τους αποθεμάτν. Εναλλακτικά, το άθροισμα της υπερβάλλουσας ζήτησης όλν τν ατόμν για κάθε αγαθό είναι μηδέν. Η πρώτη συνθήκη απαιτεί τα άτομα να λαμβάνουν τις τιμές ς δεδομένες. Με άλλα λόγια, το μέγεθος τους είναι αμελητέο σε σχέση με το μέγεθος της αγοράς και επομένς δεν έχουν καμία επίδραση στις τιμές. Επίσης, δεν υπάρχει καμία ομάδα

6 (ένση καταναλτών η οποία να μπορεί να επηρεάσει τις τιμές. Η συνθήκη ή υπόθεση αυτή δεν ικανοποιείται φυσικά στην περίπτση που ο αριθμός τν ατόμν στην οικονομία είναι μικρός. Γίνεται όμς καταχρηστικά αφού ο τελικός μας σκοπός είναι η κατανόηση και εξαγγή συμπερασμάτν για οικονομίες που αποτελούνται από πολλά άτομα. Με δεδομένη αυτή τη συμπεριφορά και το αρχικό απόθεμα (,,,, οι ποσότητες ( ˆ, ˆ,, ˆ θα πρέπει να μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητας του ατόμου και αυτό πρέπει να ισχύει για κάθε,,,. Η δεύτερη συνθήκη του ορισμού (. απαιτεί να ικανοποιούνται οι ακόλουθες εξισώσεις, μία για κάθε αγαθό: ˆ,,,. (.6 Το αριστερό μέλος της (.6 δηλώνει τη συνολική ακαθάριστη ζήτηση για το αγαθό και το δεξιό το συνολικό απόθεμα από το ίδιο αγαθό (συνολική προσφορά. Προσέξτε ότι αφού κάθε ˆ εξαρτάται από όλες τις τιμές, έπεται ότι και η συνολική ζήτηση του αγαθού (το αριστερό μέλος της.6 εξαρτάται από όλες τις τιμές. Με άλλα λόγια, οι σχέσεις που δίνονται από την (.6 αποτελούν ένα σύστημα εξισώσεν. Για αυτό το λόγο απαιτείται ανάλυση γενικής ισορροπίας. ν ισχύει η εξίσση (.6 για μία αγορά τότε λέμε ότι η αγορά αυτή βρίσκεται σε ισορροπία. Ο ορισμός της γενικής ισορροπίας απαιτεί η σχέση (.6 να ισχύει για όλες τις αγορές, δηλαδή. Η εξίσση (.6 μπορεί να γραφεί ς ή ή ή ˆ ˆ ˆ 0,,,, ˆ 0,,,, e ˆ eˆ eˆ 0,,,, e ˆ 0,,,, και τελικά E ˆ 0,,,, (.7 όπου αγαθό. Επίσης με ê δηλώνει την υπερβάλλουσα ζήτηση σε τιμές ισορροπίας του ατόμου για το E συμβολίζουμε τη συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό, δηλαδή το άθροισμα τν ατομικών υπερβαλλουσών ζητήσεν και με Ê την ίδια μεταβλητή σε τιμές ισορροπίας. Σύμφνα με την εξίσση (.7, προϋπόθεση για να βρίσκεται η οικονομία σε ισορροπία είναι η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση σε κάθε αγορά να ισούται με το μηδέν. Έπεται επίσης από την εξίσση (.7 ότι δεν μπορεί να υπάρξει ισορροπία σε μια αγορά στην οποία όλα τα άτομα πλούν ή

7 αγοράζουν το ίδιο αγαθό, αφού αν συμβαίνει αυτό είτε e ˆ > 0 είτε ˆ < 0, οπότε E ˆ ˆ e 0. Σε κάθε αγορά θα πρέπει να υπάρχουν πλητές και αγοραστές. Επίσης, οι συναλλαγές (αγοραπλησίες πρέπει να γίνουν σε τιμές στις οποίες οι αγορές «καθαρίζουν», δηλαδή η ποσότητα που θέλουν να πλήσουν ορισμένα άτομα από ένα αγαθό πρέπει να είναι ίση με αυτή που θέλουν να αγοράσουν τα υπόλοιπα άτομα. Η ισορροπία φυσικά μπορεί να επιτευχθεί και στην κατανομή του αρχικού αποθέματος, στην οποία όλα τα άτομα καταναλώνουν το αρχικό τους απόθεμα και δεν υπάρχει εμπόριο μεταξύ τους. Σε αυτή την περίπτση η τελική κατανομή συμπίπτει με την αρχική. Κάτι τέτοιο θα συμβεί αν για παράδειγμα όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις (δηλαδή την ίδια συνάρτηση χρησιμότητας και τα ίδια αποθέματα. Όπς αναφέραμε οι συναλλαγές (αγοραπλησίες πρέπει να γίνουν στις τιμές στις οποίες οι αγορές «καθαρίζουν». Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφέρουμε δύο λόγια για τη διαδικασία επίτευξης αυτής της ισορροπίας. Η διαδικασία που ο Walras 4 είχε τουλάχιστον κατά νου βασίζεται στην ύπαρξη ενός πλειστηριαστή ή δημοπράτη (auctoneer, ο οποίος ανακοινώνει μια τιμή για κάθε αγαθό, συγκεντρώνει στοιχεία για την προσφορά και τη ζήτηση κάθε ατόμου σε αυτή την τιμή και αν η συνολική προσφορά σε κάθε αγορά διαφέρει από τη συνολική ζήτηση τότε προσαρμόζει την τιμή αναλόγς. Πιο συγκεκριμένα, αν η συνολική προσφορά είναι μεγαλύτερη από τη συνολική ζήτηση τότε μειώνει την τιμή, ενώ αν η συνολική ζήτηση υπερβαίνει τη συνολική προσφορά τότε την αυξάνει. Επειδή όμς το τι συμβαίνει σε μια αγορά επηρεάζει όλες τις άλλες, αφού η συνολική ζήτηση του αγαθού εξαρτάται και από τις τιμές όλν τν άλλν αγαθών, οι τιμές υπολογίζονται και ανακοινώνονται ταυτόχρονα. Στο νέο σύστημα τιμών, ο πλειστηριαστής υπολογίζει και πάλι τη συνολική ζήτηση και τη συνολική προσφορά για κάθε αγαθό και αν και πάλι αυτές διαφέρουν τότε αναπροσαρμόζει την τιμή του κάθε αγαθού αναλόγς. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται ές ότου η συνολική προσφορά να ισούται με τη συνολική ζήτηση σε κάθε αγορά. Οι τιμές στις οποίες συμβαίνει αυτό είναι οι τιμές ισορροπίες. Ο πλειστηριαστής τις ανακοινώνει και ξεκινάει η ανταλλαγή. Στη πράξη βέβαια δεν υπάρχει κανείς πλειστηριαστής, αλλά η διαδικασία προσπαθεί να προσεγγίσει με έναν απλό τρόπο τον πολύπλοκο μηχανισμό της αγοράς. 5 e 4 Leon Walras (834-90: Γάλλος οικονομολόγος, θεμελιτής της Θερίας της Γενικής Ισορροπίας. Το σημαντικότερο έργο του Eléments d économe oltque ure εκδόθηκε το 874. Πολλοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο αλρασιανή Ισορροπία (Warlasan equlbrum αντί του όρου ανταγνιστική ισορροπία που χρησιμοποιούμε εδώ. 5 Η διαδικασία αυτή είναι γνστή με το Γαλλικό όρο tâtonnement που στα ελληνικά μπορεί να μεταφραστεί ς η διαδικασία ή μέθοδος της δοκιμής και πλάνης (tral and error.

8.5. Ο Νόμος του Walras* Σύμφνα με τον Ορισμό. στην ισορροπία η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό πρέπει να είναι ίση με το μηδέν (εξίσση.7. Η συνθήκη αυτή είναι ισχυρότερη από ότι πραγματικά απαιτείται. Όπς θα αποδείξουμε παρακάτ οι συνθήκες ισορροπίας όλν τν αγορών δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Πρόταση.. (Νόμος του Walras. Η αξία της συνολικής υπερβάλλουσας ζήτησης είναι εκ ταυτότητος μηδέν. Προσέξτε ότι σύμφνα με την Πρόταση. η αξία της συνολικής υπερβάλλουσας ζήτησης είναι εκ ταυτότητος ίση με το μηδέν, δηλαδή είναι ίση με το μηδέν σε οποιεσδήποτε τιμές και όχι μόνο στις τιμές ισορροπίας. Με μαθηματικό συμβολισμό, η Πρόταση.. σημαίνει ότι E 0. (.8 πόδειξη: Θερήστε πρώτα τον εισοδηματικό περιορισμό (. κάθε ατόμου ς ισότητα (βλ. σχετική υποσημείση στο προηγούμενο τμήμα, η οποία πρέπει να ικανοποιείται σε οποιεσδήποτε τιμές,,,,, ή e e e 0,,,,. (.9 Η εξίσση (.9 σημαίνει ότι η αξία της υπερβάλλουσας ζήτησης για όλα τα αγαθά του ατόμου είναι μηδέν. Φυσικά για να ισχύει η (.9 δεν είναι δυνατόν να έχουμε θετική υπερβάλλουσα ζήτηση ενός ατόμου για όλα τα αγαθά, δηλαδή δεν είναι δυνατόν e > 0. Επομένς η αξία τν ποσοτήτν τν αγαθών που θέλει να αγοράσει το άτομο πρέπει να είναι ίση με την αξία τν ποσοτήτν τν αγαθών που θέλει να πλήσει. θροίζοντας τις εξισώσεις (.9 για όλα τα άτομα έχουμε e e e e e e 0, ή ή ( e e e ( e e e ( e e e 0, E E E 0, η οποία αποτελεί την αναλυτική μορφή της (.8. ς εξετάσουμε στη συνέχεια μερικές από τις συνέπειες αυτού του Νόμου του Walras. Φανταστείτε την περίπτση όπου - αγορές είναι σε ισορροπία, δηλαδή η υπερβάλλουσα ζήτηση σε κάθε μία από αυτές τις αγορές είναι ίση με το μηδέν. Χρίς

9 απώλεια της γενικότητας, ας υποθέσουμε ότι βρίσκονται σε ισορροπία οι πρώτες - αγορές, δηλαδή Ê 0,,,,. Aν αποκλείσουμε την περίπτση που το αγαθό είναι ελεύθερο (free good, 6 δηλαδή αν > 0, τότε η εξίσση (.8 συνεπάγεται ότι E 0. Με άλλα λόγια, αν σε μια οικονομία με αγορές, οι - από αυτές είναι σε ισορροπία, τότε υποχρετικά θα βρίσκεται σε ισορροπία και η αγορά. Στη συνέχεια ας δούμε την περίπτση που οι - αγορές είναι σε ισορροπία, για παράδειγμα Ê 0,,,,. ν αποκλείσουμε και πάλι την περίπτση τν ελεύθερν αγαθών, τότε θα πρέπει E E 0. Δηλαδή το άθροισμα τν αξιών τν υπερβαλλουσών ζητήσεν στις υπόλοιπες δύο αγορές θα πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. υτό σημαίνει ότι αν στη μία από τις δύο αγορές υπάρχει υπερβάλλουσα ζήτηση, τότε στην άλλη θα πρέπει να υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά (ecess suly ( αρνητική υπερβάλλουσα ζήτηση. λέπουμε επίσης ότι ο Ορισμός. απαιτεί περισσότερα από ότι χρειαζόμαστε για να προσδιορίσουμε μια ανταγνιστική ισορροπία. ν βρούμε ένα σύνολο τιμών στο οποίο να καθαρίζουν οι - αγορές τότε υποχρετικά θα καθαρίζει και η τελευταία, αφού όταν ικανοποιούνται οι - εξισώσεις από τις (.6 ή (.7, τότε υποχρετικά θα ικανοποιείται και η. Η κάθε μία όμς από αυτές τις εξισώσεις εξαρτάται και από τις τιμές. Επομένς έχουμε ένα σύστημα εξισώσεν ς προς αγνώστους το οποίο όμς δεν μπορεί να λυθεί αφού οι αυτές εξισώσεις ή ˆ 0,,,, E ˆ 0,,,, δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Για να γίνει αυτό κατανοητό φανταστείτε ότι θέτουμε αυθαίρετα την τιμή ενός αγαθού ίση με έναν τυχαίο αριθμό, για παράδειγμα ας θέσουμε z, όπου z ένας τυχαίος αριθμός. Στη συνέχεια λύνοντας οποιοσδήποτε - από τις εξισώσεις E 0,,,, ς προς τους - αγνώστους,,,, 3,, βρίσκουμε τις - τιμές ισορροπίας. πό το νόμο του Walras έχουμε ότι αν οι - αγορές είναι σε ισορροπία τότε θα είναι σε ισορροπία και η αγορά (η αγορά του αγαθού -, γεγονός που σημαίνει ότι η τιμή του αγαθού αυτού z την οποία θέσαμε αυθαίρετα είναι επίσης τιμή ισορροπίας, όποια και αν είναι αυτή. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι σε μια οικονομία αγαθών δεν είναι δυνατή η εύρεση ανεξάρτητν τιμών ισορροπίας αφού μόνο - από τις εξισώσεις είναι ανεξάρτητες. Η πρόσθεση μιας ακόμη εξίσσης η οποία εξαρτάται από τις άλλες - (αφού οι εξισώσεις μαζί πρέπει να ικανοποιούν το νόμο του Walras δεν προσθέτει καμιά νέα πληροφορία. 6 Σε μια ανταλλακτική οικονομία σαν και αυτή που εξετάζουμε ένα αγαθό είναι ελεύθερο αν η τιμή του είναι μηδέν. Φυσικά αρνητικές τιμές δεν έχουν νόημα, αφού υποθέτουμε ότι όλα τα αγαθά είναι «αγαθά», δηλαδή έχουν θετική οριακή χρησιμότητα.

0 Στο σημείο αυτό θα δώσουμε ένα απλό παράδειγμα από την θερία γραμμικών συστημάτν για την καλύτερη κατανόηση της έννοιας της ανεξαρτησίας τν εξισώσεν. Παράδειγμα.. Έστ το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεν Να βρεθούν οι άγνστοι, y, και z. y z 0 3 y z 0 3 y z 0 Υπάρχει μοναδική λύση στο παραπάν σύστημα εξισώσεν; Η πρώτη απάντηση τείνει να είναι θετική επειδή έχουμε ένα σύστημα 3 εξισώσεν με 3 αγνώστους. Η απάντηση όμς αυτή είναι λανθασμένη. Πράγματι αν επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Cramer θα δούμε ότι η ορίζουσα της μήτρας τν συντελεστών 3 3 - είναι ίση με το μηδέν. Επομένς δεν υπάρχει μοναδική λύση. υτό συμβαίνει διότι οι τρεις εξισώσεις δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. Πράγματι, αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της πρώτης εξίσσης με τον αριθμό -3 και της δεύτερης εξίσσης με τον αριθμό - και μετά τις προσθέσουμε θα προκύψει η τρίτη εξίσση. Επομένς οι τρεις εξισώσεις δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αφού πρέπει να ικανοποιούν το γραμμικό συνδυασμό τους 3( y z 0 (3 y z 0 3 y z 0. Μόνο οι δύο από τις τρεις εξισώσεις είναι ανεξάρτητες. Μπορούμε να λύσουμε από τις τρεις εξισώσεις ς προς δύο από τις τρεις μεταβλητές συναρτήσει της τρίτης. Για παράδειγμα, λύνοντας τις δύο πρώτες εξισώσεις βρίσκουμε 5 z 0 y z. 4 4 Το σύστημα δέχεται άπειρες λύσεις, μία για κάθε τιμή που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή z. 7 Όσον αφορά το σύστημα τν εξισώσεν (.6 ή (.7, όπς και στο παραπάν παράδειγμα, αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε - τιμές ς συναρτήσεις της τιμής, ή να προσδιορίσουμε - λόγους τιμών, δηλαδή τις σχετικές τιμές. υτό σημαίνει ότι μία από τις τιμές (δεν έχει σημασία ποια θα 7 Λεπτομέρειες σχετικά με τη γραμμική ανεξαρτησία εξισώσεν υπάρχουν στα περισσότερα βιβλία Μαθηματικών που καλύπτουν θέματα Γραμμικής Άλγεβρας. Μια σχετικά απλή και κατανοητή παρουσίαση γίνεται στο Κεφάλαιο 4 του βιβλίου τν Sydsaeter and Hammond (995.

αποτελεί τη βάση μέτρησης (numérare. Όλες οι άλλες τιμές θα μετρούνται σε σχέση με αυτή. Έτσι αν επιλέξουμε αυθαίρετα ς βάση μέτρησης την τιμή του δδέκατου αγαθού τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε - συναρτήσεις (,,,,,3, ή λόγους τιμών,,,,, 3,, Το γεγονός ότι σε μια οικονομία με αγαθά μπορούμε να προσδιορίσουμε μόνο - σχετικές τιμές σημαίνει ότι αν όλες οι τιμές πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο θετικό αριθμό τότε η ισορροπία (πλην της τιμής που χρησιμοποιείται ς βάση μέτρησης δεν θα μεταβληθεί. 8 Φανταστείτε για παράδειγμα ότι έχουμε προσδιορίσει τις ακόλουθες τιμές και ποσότητες ισορροπίας,,,,.,,,,,,,,,,,,, 3,, και. Πολλαπλασιάστε όλες τις τιμές με ένα θετικό αριθμό λ. λλάζει η ισορροπία; ρκεί να εξετάσουμε αν οι τιμές και ποσότητες που ικανοποιούν τον Ορισμό. μεταβάλλονται. Οι νέες τιμές ισορροπίας θα είναι,,,, λ, 3,,, δηλαδή η μόνη τιμή που θα μεταβληθεί είναι η βάση μέτρησης. Στη συνέχεια θυμηθείτε ότι οι συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ς προς τις τιμές. 9 Επομένς οι ποσότητες που μεγιστοποιούσαν τη χρησιμότητα του κάθε καταναλτή πριν την αλλαγή της βάσης μέτρησης εξακολουθούν να την μεγιστοποιούν και μετά την αλλαγή. Άρα οι ποσότητες που ικανοποιούν τη συνθήκη του Ορισμού. δεν μεταβάλλονται. Επίσης αφού δεν μεταβάλλονται οι ατομικές συναρτήσεις ζήτησης δεν μεταβάλλεται και το άθροισμα τους (αριστερό μέλος της εξίσσης.6. Με άλλα λόγια και η συνολική ζήτηση για ένα προϊόν είναι ομογενής μηδενικού βαθμού. Κατά συνέπεια και η συνθήκη εξακολουθεί να ικανοποιείται. Άρα, η ισορροπία παραμένει αμετάβλητη στον πολλαπλασιασμό τν τιμών με ένα θετικό αριθμό. Για άλλη μια φορά, οι απόλυτες τιμές δεν έχουν σημασία, μόνο οι σχετικές τιμές επηρεάζουν την ισορροπία. Άσκηση.. Έστ μια οικονομία τριών αγαθών,, και 3, που βρίσκεται σε ανταγνιστική ισορροπία. Οι τιμές τν τριών αγαθών είναι, και 3 3. Το άτομο έχει υπερβάλλουσα ζήτηση μονάδν από το πρώτο αγαθό και 5 μονάδν από το δεύτερο αγαθό. Να βρεθεί η υπερβάλλουσα ζήτησή του για το τρίτο αγαθό. Υπόδειξη: Να χρησιμοποιηθεί η σχέση (.9. Άσκηση.. Έστ μια οικονομία τριών ατόμν,, και Γ, που βρίσκεται σε ανταγνιστική ισορροπία. Η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμου για ένα από τα 8 Εναλλακτικά, μπορούμε να πούμε ότι η αλλαγή νομίσματος (π.χ. από τη δραχμή στο ευρώ θα αφήσει τις ποσότητες ισορροπίας αμετάβλητες. 9 Θυμίζουμε ότι μια συνάρτηση f (,,, n είναι ομογενής μηδενικού βαθμού ς προς,,, n αν f ( λ, λ,, λ n f (,,, n, λ > 0.. υτό ουσιαστικά σημαίνει ότι η f είναι συνάρτηση του λόγου τν μεταβλητών αφού 3,, f (,,,,, n n f (θέστε απλά λ / στον παραπάν ορισμό. Περισσότερες λεπτομέρειες πάν στις ομογενείς συναρτήσεις δίνονται στο Κεφάλαιο 0.

αγαθά είναι 4 μονάδν ενώ η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμου για το ίδιο αγαθό είναι μονάδν. Να βρεθεί η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμου Γ. Υπόδειξη: φού όλες οι αγορές είναι σε ισορροπία, έχουμε ότι και η αγορά του εν λόγ αγαθού, έστ είναι σε ισορροπία. Κατά συνέπεια E 0. Άσκηση.3. Έστ μια οικονομία τριών ατόμν,,, Γ, και τριών αγαθών,,, και 3. Όταν οι τιμές τν τριών αγαθών είναι, και 3 4, υπάρχει συνολική υπερβάλλουσα προσφορά για το πρώτο αγαθό 3 μονάδν και συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για το δεύτερο αγαθό 4 μονάδν. Να βρεθεί η συνολική υπερβάλλουσα προσφορά για το τρίτο αγαθό. Υπόδειξη: Να χρησιμοποιηθεί ο Νόμος του Walras και συγκεκριμένα η σχέση (.8..6. Διαγραμματική Παρουσίαση της νταγνιστικής Ισορροπίας Η ανταγνιστική ισορροπία σε μια οικονομία τν ατόμν και αγαθών μπορεί να παρουσιαστεί διαγραμματικά στο κουτί του Edgeworth. Καταρχήν η λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της χρησιμότητας 0 ma u u,,, ( κάθε ατόμου υπό τον εισοδηματικό περιορισμό του,, (., (. δίνεται από την ταυτόχρονη λύση του εισοδηματικού περιορισμού (. και της εξίσσης ΟΛΥ,, (.3 όπου ΟΛΥ είναι ο οριακός λόγος υποκατάστασης μεταξύ τν δύο αγαθών του ατόμου και δίνεται από ΟΛΥ u u απόλυτη τιμή της κλίσης μιας καμπύλης αδιαφορίας. 0 Εξισώσεις με αριθμό και τόνο αποτελούν απλοποίηση τν αντίστοιχν εξισώσεν χρίς τόνο που είδαμε στην οικονομία με άτομα και αγαθά.

3 Το σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας του παρουσιάζεται στο Σχήμα.6. Η αρχική θέση (απόθεμα του ατόμου A είναι. Η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το σημείο και έχει κλίση απεικονίζει τον εισοδηματικό περιορισμό του ατόμου A. εισοδηματικός περιορισμός ˆ Ο Σχήμα.6. Μεγιστοποίηση της Συνάρτησης Χρησιμότητας του τόμου. Η λύση στο πρόβλημα του καταναλτή είναι το σημείο ˆ. Το σημείο αυτό βρίσκεται πάν στον εισοδηματικό περιορισμό και επομένς ικανοποιεί την εξίσση (.. Επίσης βρίσκεται πάν στην ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας που εφάπτεται στον εισοδηματικό περιορισμό και επομένς ικανοποιεί την εξίσση (.3.

4 Στο Σχήμα.7 παρουσιάζεται το σημείο μεγιστοποίησης του ατόμου. Το σχήμα αυτό είναι παρόμοιο με το Σχήμα.6 με τη διαφορά ότι έχει περιστραφεί 80 0. Η λύση στο πρόβλημα του καταναλτή είναι το σημείο ˆ, ενώ δηλώνει το αρχικό του απόθεμα. Ο εισοδηματικός περιορισμός ˆ Σχήμα.7. Μεγιστοποίηση της Συνάρτησης Χρησιμότητας του τόμου. Το επόμενο βήμα είναι να συνδυάσουμε τα δύο προηγούμενα διαγράμματα (Σχήματα.6 και.7. υτό γίνεται στο Σχήμα.8 στο οποίο παρουσιάζουμε καμπύλες αδιαφορίες (μία για κάθε άτομο οι οποίες διέρχονται από το αρχικό απόθεμα (,. Στο ίδιο σχήμα παρουσιάζεται και ο εισοδηματικός περιορισμός τν δύο ατόμν, ο οποίος είναι η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το αρχικό απόθεμα. Πράγματι αφού τα δύο άτομα αντιμετπίζουν τις ίδιες τιμές, ο εισοδηματικός περιορισμός τους είναι κοινός, αλλά θα πρέπει όμς να «διαβαστεί» σε σχέση με διαφορετικό σύστημα αξόνν. Για το άτομο η αρχή τν αξόνν είναι η κορυφή O και ο εισοδηματικός περιορισμός, όταν οι τιμές τν δύο αγαθών είναι και, η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το αρχικό απόθεμα και έχει κλίση. Παρομοίς, για το άτομο η αρχή τν αξόνν είναι το σημείο O και εισοδηματικός περιορισμός η ευθεία γραμμή που διέρχεται από το αρχικό απόθεμα του και έχει κλίση (ς προς το σημείο O. Το αρχικό απόθεμα βρίσκεται πάντα πάν στον εισοδηματικό περιορισμό αφού όποιες και αν είναι οι τιμές ο καταναλτής μπορεί να τον «αγοράσει», δηλαδή να τον καταναλώσει. Θυμηθείτε επίσης ότι ένα σημείο και η κλίση ορίζουν μια ευθεία. Συνδυάζοντας αυτές τις δύο προτάσεις έχουμε ότι ο εισοδηματικός περιορισμός τν δύο ατόμν είναι κοινός με την προϋπόθεση βέβαια ότι διαβάζεται ς προς διαφορετικό σύστημα αξόνν.

5 O ˆ κλίση ˆ ˆ A A Σχήμα.8. νταγνιστική ισορροπία στο κουτί του Edgeworth. Η ανταγνιστική ισορροπία δηλώνεται στο Σχήμα.8 με το σημείο ˆ. Στο σημείο αυτό ο εισοδηματικός περιορισμός κάθε καταναλτή εφάπτεται στην ψηλότερη δυνατή καμπύλη αδιαφορίας (επομένς ικανοποιείται η συνθήκη στον Ορισμό. και επιπλέον το άθροισμα της ακαθάριστης ζήτησης όλν τν ατόμν είναι ίσο με το άθροισμα τν αρχικών τους αποθεμάτν. Πράγματι στο σημείο ˆ για κάθε ένα από τα δύο αγαθά ˆ ˆ,, (.6 Επομένς ικανοποιείται και η δεύτερη συνθήκη του Ορισμού.. υτό φαίνεται και στο Σχήμα.9 από το οποίο έχουν παραλειφθεί οι καμπύλες αδιαφορίες προκειμένου να γίνει πιο απλό.

6 ˆ O ˆ ˆ ˆ A O A ˆ Σχήμα.9. νταλλαγή στο κουτί του Edgeworth. Στη σχετική τιμή που ορίζεται από την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού το άτομο θα δώσει/πουλήσει ποσότητα ˆ από το αγαθό στο άτομο και θα λάβει/αγοράσει ς αντάλλαγμα ποσότητα ˆ από το αγαθό. Την ίδια στιγμή το άτομο θα δώσει/πουλήσει ποσότητα ˆ από το αγαθό και θα λάβει/αγοράσει ποσότητα ˆ από το αγαθό. Η ποσότητα από το κάθε αγαθό που θα δώσει το ένα άτομο είναι ίση με την ποσότητα που θα λάβει το άλλο. Δηλαδή, ˆ ˆ και ˆ ˆ (βλ. και εξίσση.6. Με άλλα λόγια, το άθροισμα της συνολικής υπερβάλλουσας ζήτησης για κάθε αγαθό είναι ίση με το μηδέν, όπς εναλλακτικά απαιτείται στην συνθήκη του Ορισμού της ανταγνιστικής ισορροπίας.: e ˆ eˆ 0,, και τελικά E 0,. (.7 Σύμφνα με την εξίσση (.7, η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση σε κάθε αγορά θα πρέπει να είναι ίση με το μηδέν. Στην περίπτση τν δύο ατόμν αυτό σημαίνει ότι αν το ένα άτομο πλεί μονάδες του αγαθό το άλλο άτομο θα πρέπει να αγοράζει. Δεν μπορεί να υπάρξει ισορροπία στην οποία και τα δύο άτομα πλούν ή αγοράζουν το ίδιο αγαθό. υτό φυσικά δεν σημαίνει ότι μόνο ένα άτομο καταναλώνει

7 ένα αγαθό. Σημαίνει απλώς ότι αν, για παράδειγμα, ο επιλέξει να αγοράσει μονάδες του αγαθού και να καταναλώσει ποσότητα μεγαλύτερη από το αρχικό του απόθεμα σε αυτό το αγαθό, τότε θα πρέπει να πλήσει μονάδες του αγαθού (αφού οι συναλλαγές είναι qud ro quo και να καταναλώσει ποσότητα του αγαθού μικρότερη από το αρχικό του απόθεμα. Ταυτόχρονα το άτομο θα πρέπει να είναι διατεθειμένο να πλήσει μονάδες του αγαθού και να αγοράσει μονάδες του αγαθού. Το Σχήμα.0 παρουσιάζει μια περίπτση όπου η οικονομία δεν βρίσκεται σε ισορροπία. Η συνάρτηση χρησιμότητας κάθε ατόμου μεγιστοποιείται (συνθήκη του ορισμού της ανταγνιστικής ισορροπίας. Προσέξτε όμς ότι στο συγκεκριμένο σχήμα ~ στις τιμές που δίνονται από την κλίση του εισοδηματικού περιορισμού ~ < και ~ ~ >. Επομένς υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά για το αγαθό και υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό. Σε αυτή την περίπτση ο λόγος θα μειθεί και ο εισοδηματικός περιορισμός θα γίνει πιο επίπεδος. υτή η διαδικασία θα συνεχιστεί ές ότου τόσο η υπερβάλλουσα προσφορά όσο και η υπερβάλλουσα ζήτηση εξαφανισθούν και τα δύο σημεία στα οποία οι καταναλτές μεγιστοποιούν την χρησιμότητά τους συμπέσουν. ~ O ~ ~ ~ ~ O ~ χ Σχήμα.0. νισορροπία στο κουτί του Edgeworth. Στην οικονομία τν δύο ατόμν και αγαθών ο Νόμος του Walras παίρνει την εξής μορφή (βλ. εξίσση.9: Ε Ε 0. Επομένς αν η μία από τις δύο αγορές είναι σε ισορροπία, τότε θα είναι σε ισορροπία και η δεύτερη. ν για παράδειγμα E 0, τότε E 0. Έτσι αν

8 E 0 ή, τότε E 0 ή. Όπς και στην γενική περίπτση, σε μια οικονομία δύο αγαθών δεν είναι δυνατόν ή εύρεση δύο ανεξάρτητν τιμών ισορροπίας αφού οι δύο σχέσεις που εξισώνουν την συνολική ζήτηση κάθε προϊόντος με τη συνολική του προσφορά δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους (θα πρέπει να ικανοποιούν το Νόμο του Walras. Επομένς, αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε μία τιμή ς συνάρτηση της άλλης ή να προσδιορίσουμε το λόγο τν δύο τιμών, δηλαδή τη σχετική τιμή. υτό σημαίνει ότι μία από τις δύο τιμές (δεν έχει σημασία ποια θα αποτελεί τη βάση μέτρησης (numérare. Η άλλη τιμή θα μετρείται σε σχέση με τη πρώτη. Έτσι αν θέσουμε (αυθαίρετα ˆ 3 και βρούμε ότι η τιμή ισορροπίας του αγαθού είναι ˆ, αυτό θα σημαίνει ότι στην ισορροπία το αγαθό είναι τέσσερις φορές πιο ακριβό από το αγαθό. Οι απόλυτες τιμές 3 και δεν έχουν κανένα νόημα αφού θα μπορούσαμε να είχαμε θέσει ˆ στην οποία περίπτση θα βρίσκαμε ˆ 4. Θα μπορούσαμε επίσης να τυποποιήσουμε την τιμή του αγαθού, δηλαδή να θέσουμε ς βάση μέτρησης το αγαθό, θέτοντας, για παράδειγμα, ˆ, στην οποία περίπτση θα βρούμε ˆ / 4. Σε όρους τν Σχημάτν.8 ή.9, αυτό που μπορούμε να υπολογίσουμε είναι η κλίση του εισοδηματικού περιορισμού στην ισορροπία και όχι τις απόλυτες τιμές τν δύο αγαθών..7. Ένα λγεβρικό Παράδειγμα νταλλακτικής Οικονομίας Έστ μια οικονομία στην οποία υπάρχουν δύο άτομα, και, και δύο αγαθά, και. Οι προτιμήσεις τν ατόμν και περιγράφονται από τις εξής συναρτήσεις χρησιμότητας: 3 Το αρχικό απόθεμα τν δύο ατόμν είναι ανταγνιστική ισορροπία. α α u ( (, (Ι β β u ( (. (ΙΙ (, και (,. Να υπολογιστεί η Καταρχήν θα υπολογίσουμε τις συναρτήσεις ζήτησης τν δύο ατόμν μεγιστοποιώντας τη συνάρτηση χρησιμότητας κάθε ατόμου υπό τον εισοδηματικό του περιορισμό. Για τον καταναλτή A έχουμε ma α α ( u (, Τα δεδομένα του παραδείγματος αυτού χρησιμοποιούνται και σε παραδείγματα τν Κεφαλαίν και 3. 3 Για την αρίθμηση εξισώσεν στα πλαίσια παραδειγμάτν χρησιμοποιούνται λατινικοί αριθμοί.

9 υπό τον περιορισμό. ( Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange ( ( ( L λ α α, όπου λ είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι ο εισοδηματικός περιορισμός (ΙΙΙ και οι εξισώσεις ( ( 0 L λ α α α ( ( 0 L λ α α α Διαιρώντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες σχέσεις, έχουμε α α (V Λύνοντας το σύστημα τν εξισώσεν ( και (V βρίσκουμε τις συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου,, α (V (,, α (VΙ όπου αποτελεί το εισόδημα του ατόμου. Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι β β. (V Χρησιμοποιώντας την (V και τον εισοδηματικό περιορισμό του ατόμου, προκύπτουν οι συναρτήσεις ζήτησης του ατόμου,, β (VΙΙΙ (,, β (X όπου. Η υπερβάλλουσα ζήτηση του ατόμου για τα αγαθά και είναι

30 ( e α α α (X ( ( e α α α (X Όπς αναμένεται, οι εξισώσεις (Χ και (ΧΙ ικανοποιούν τη σχέση (.9. (Ελέγξτε το! ντίστοιχα για το άτομο έχουμε ( e β β β (XΙΙ ( ( e β β β (XΙΙ οι οποίες επίσης ικανοποιούν την (.9. (Ελέγξτε το!. Η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για το αγαθό είναι β α e e E (XV και για το αγαθό ( ( β α e e E (XV Οι εξισώσεις (XV και (XV επαληθεύουν τον νόμο του Walras (εξισώσεις.8. Πράγματι μετά από αντικατάσταση έχουμε 0 E E. Επομένς οι δύο αυτές εξισώσεις δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Σε οικονομικούς όρους αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε μόνο το λόγο τν δύο τιμών. Με άλλα λόγια, μπορούμε να προσδιορίσουμε μία από τις δύο τιμές σε όρους της άλλης. Πράγματι λύνοντας είτε την εξίσση (XV είτε την εξίσση (XV έχουμε ότι. ( ( ˆ ˆ β α β α (XV Η εξίσση (XV εκφράζει το λόγο τν τιμών ισορροπίας συναρτήσει τν παραμέτρν και τν αρχικών αποθεμάτν. ν καταστήσουμε το αγαθό βάση μέτρησης και συγκεκριμένα αν τυποποιήσουμε την τιμή του στη μονάδα, ˆ, τότε από την εξίσση (XV έχουμε. ( ( ˆ β α β α (XV

3 Ο λόγος τν τιμών ισορροπίας είναι ˆ ˆ ˆ. Στη συνέχεια αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (V-(X βρίσκουμε τις ποσότητες ισορροπίας. Για να κάνουμε το παράδειγμα πιο συγκεκριμένο, ας υποθέσουμε ότι α / 3 και β / 3. Επίσης (, (90,30 και (, (30, 60. ντικαθιστώντας στην (XV βρίσκουμε ότι ο λόγος τν τιμών ισορροπίας είναι 90 30 7 ˆ 3 3. 5 30 60 3 3 Το εισόδημα τν δύο ατόμν στις τιμές ισορροπίας είναι ˆ ˆ ˆ 90 (7 / 5 30 3 ˆ ˆ ˆ 30 (7 / 5 60 4. ντικαθιστώντας στις εξισώσεις (V-(X έχουμε 4 3 ˆ 44 3 3 ˆ 6.9 3 7 5 4 ˆ 76 3 4 ˆ 7.. 3 7 5 Τέλος, παρατηρούμε ότι οι ποσότητες αυτές ικανοποιούν τις εξισώσεις (.6 και (.7, δηλαδή η συνολική ζήτηση είναι ίση με τη συνολική προσφορά σε κάθε αγορά ή ισοδύναμη η συνολική υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό είναι μηδέν: 44 76 90 30 (αγαθό 6.9 7. 30 60. (αγαθό Ισοδύναμα, από τις εξισώσεις (XV και (XV προκύπτει ότι ˆ 3 4 E e e 90 30 0 3 3 ˆ 3 4 E e e 30 60 0. 3 7 3 7 5 5 4 Σε ολόκληρο το βιβλίο χρησιμοποιούμε την «.» αντί της «,» για να διακρίνουμε τα δεκαδικά ψηφία.

3 Άσκηση.4. Θερήστε μια ανταλλακτική οικονομία της αγοράς με άτομα ( και και αγαθά ( και. Οι προτιμήσεις τν καταναλτών είναι οι εξής: / 3 / 3 ( u ( και u ( / 3 / 3 ( Τα αρχικά αποθέματα είναι 5, 0, 0, 5. α. ρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης κάθε καταναλτή β. ρείτε την υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό γ. Προσδιορίστε την ανταγνιστική ισορροπία. Άσκηση.5. Θερήστε μια ανταλλακτική οικονομία της αγοράς με άτομα ( και και αγαθά ( και. Το άτομο καταναλώνει τα δύο αγαθά σε σταθερή αναλογία. Συγκεκριμένα, για κάθε μονάδα του αγαθού καταναλώνει και τρεις μονάδες του αγαθού. Επομένς η συνάρτηση χρησιμότητάς του είναι u mn( 3,. Η συνάρτηση του ατόμου έχει τον εξής μαθηματικό τύπο: u 4. ( Τα αρχικά αποθέματα του είναι, (70,80 και του (, (30,0. α. ρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης κάθε ατόμου β. ρείτε την υπερβάλλουσα ζήτηση για κάθε αγαθό γ. Προσδιορίστε την ανταγνιστική ισορροπία. Άσκηση.6. Στην γαθοτοπία κατοικούν 3000 άτομα. πό αυτούς τα 000 άτομα είναι Κόκκινα και τα 000 Πράσινα. Άτομα του ίδιου χρώματος έχουν τις ίδιες προτιμήσεις ς προς τα δύο αγαθά και. Συγκεκριμένα η συνάρτηση χρησιμότητας τν Κόκκινν ατόμν είναι Κ / Κ / u Κ ( ( ενώ η συνάρτηση χρησιμότητας τν Πράσινν u Π ( Π 3/ 4 ( Τα αρχικά αποθέματα κάθε Κόκκινου και Πράσινου ατόμου είναι ( Κ, Κ (30, 00 και ( Π, Π (5,300, αντίστοιχα. Να προσδιοριστεί η ανταγνιστική ισορροπία. Π / 4.

33.8. Ερτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα τν παρακάτ προτάσεν. ν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σστή κάτ από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις.. Η υπερβάλλουσα ζήτηση ενός ατόμου για όλα τα αγαθά δεν είναι δυνατόν να είναι θετική.. Η υπερβάλλουσα προσφορά ενός ατόμου για όλα τα αγαθά δεν είναι δυνατόν να είναι αρνητική. 3. Σε μια ανταγνιστική ισορροπία δεν είναι δυνατόν όλα τα άτομα να πλούν το ίδιο αγαθό. 4. Σε μία οικονομία με 0 αγορές, εάν η ζήτηση είναι ίση με την προσφορά στις 9 αγορές τότε η υπερβάλλουσα ζήτηση στην 0η αγορά είναι μηδέν. 5. Σε μία οικονομία με 0 αγορές, εάν στις 9 αγορές η ζήτηση διαφέρει από την προσφορά τότε το ίδιο συμβαίνει αναγκαστικά και στην 0η αγορά. 6. Σε μια οικονομία με δύο αγορές, εάν στην μία αγορά υπάρχει υπερβάλλουσα ζήτηση τότε στην άλλη υπάρχει υπερβάλλουσα προσφορά. 7. Σε μια οικονομία με δύο αγορές, εάν η μία αγορά είναι σε ισορροπία τότε θα είναι αναγκαστικά και η άλλη. 8. Σε μια οικονομία δύο αγαθών, και, έστ ένα άτομο με αρχικό απόθεμα (3,. Η τιμή ισορροπίας ˆ ˆ. Πόσες μονάδες από το αγαθό πρέπει να δώσει το άτομο για να αγοράσει μια μονάδα του αγαθού ; 9. Το άτομο της προηγούμενης ερώτησης ανταλλάσει οικιοθελώς μονάδες του αγαθού με μία μονάδα του αγαθού και επομένς καταλήγει με τον συνδυασμό (,. Για να αποφανθούμε αν η χρησιμότητα αυξήθηκε πρέπει να γνρίζουμε το σχήμα τν καμπύλν αδιαφορίας του.

Adam Smth (73-790

Vlfredo Federco Damaso Pareto (848-93