ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΤΗΣ ΠΡΟΚΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΕΝΗΣ ΠΕΡΑΤΩΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΠΑΥΣΗΣ ΤΩΝ ΕΝΤΟΜΩΝ

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 25 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2012), σελ.000-000 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗΣ ΤΗΣ ΠΡΟΚΛΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΕΝΗΣ ΠΕΡΑΤΩΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΠΑΥΣΗΣ ΤΩΝ ΕΝΤΟΜΩΝ Π. Δάμος 1, Α. Ρήγας 2, Μ. Σαββοπούλου-Σουλτάνη 1 1 Εργαστήριο Εφαρμοσμένης Ζωολογίας και Παρασιτολογίας, Τομέας Φυτοπροστασίας, Γεωπονική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, damos@agro.auth.gr 2 Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Mηχανικών Υπολογιστών, Πολυτεχνική Σχολή, Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Ξάνθης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η διάπαυση είναι μια γενετικά ελεγχόμενη κατάσταση αναστολής και παράτασης της ανάπτυξης που χαρακτηρίζει τα έντομα και συγγενή αρθρόποδα των εύκρατων περιοχών και που σε μεγάλο βαθμό επηρεάζεται από τις περιβαλλοντικές συνθήκες. Στην παρούσα εργασία γίνεται προσπάθεια μίας θεωρητικής περιγραφής του φαινομένου της πρόκλησης και συγχρονισμένης περάτωσης της διάπαυσης των πληθυσμών των εντόμων σύμφωνα με ένα απλό μοντέλο Markov πεπερασμένων καταστάσεων. Επιπλέον, εφαρμόζεται και ένα μονοδιάστατο μοντέλο στοχαστικής ανέλιξης τύπου Wiener, που εξελίσσεται σε διακριτό χρόνο, με στόχο τη διαπίστωση της επίδρασης των χαμηλών θερμοκρασιών και της φωτοπεριόδου στη διαδικασία περάτωσης της διάπαυσης. Η δημιουργία των μοντέλων βασίστηκε σε πειραματικά δεδομένα τεσσάρων ετών. Με βάση τα πειραματικά δεδομένα, τα διαπαύοντα άτομα βρίσκονται σε διαφορετικά φυσιολογικά στάδια που χαρακτηρίζονται από διαφορετική ένταση στη διάπαυση τους. Η πιθανότητα μετάβασης από το στάδιο της διάπαυσης σε αυτό της περάτωσης, θα εξαρτηθεί από τις χαμηλές θερμοκρασίες που θα εκτεθεί το είδος καθώς και τη διάρκεια της ημέρας. Σύμφωνα με το απλουστευμένο μοντέλο δυο καταστάσεων, η πιθανότητα μετάβασης από το στάδιο της διάπαυσης σε αυτό της περάτωσης είναι μικρή από τον Οκτώβριο ως και τα τέλη Δεκεμβρίου, ενώ προοδευτικά αυξάνεται από τα μέσα Ιανουαρίου έως και τα μέσα Φεβρουαρίου τείνοντας προοδευτικά στη μονάδα. Επιπλέον, ανάλογα με το είδος και τη διάρκεια του περιβαλλοντικού ερεθίσματος που δέχονται τα άτομα περνούν διαδοχικά από το ένα στάδιο στο άλλο μέσω μιας συνάρτησης κατανομής πιθανοτήτων S(t) που εξελίσσεται στο χρόνο. Η στοχαστική αυτή ανέλιξη κάτω από συνθήκες μεγάλης ημέρας οδηγεί στην επιτυχή συγχρονισμένη περάτωση της διάπαυσης και επαναδραστηριοποίηση του είδους νωρίς την άνοιξη ενώ το όριο μεταβάλλεται όταν τα άτομα διατηρούνται σε συνθήκες μικρής ημέρας και δεν έχουν εκτεθεί σε χαμηλές θερμοκρασίες. Το φαινόμενο αυτό είναι μεγάλης οικολογικής σπουδαιότητας αφού έναρξη - 1 -

και περάτωση της διάπαυσης εξαρτάται από φυσιολογικές αλλαγές σε μοριακό επίπεδο μη αντιστρεπτές. Παράγοντες που προκαλούν στα έντομα μεγάλης διάρκειας και μη συγχρονισμένη περάτωση της διάπαυσής τους μειώνουν ευκαιρίες σύζευξης, αναπαραγωγής και ωοτοκίας, ενώ αντίθετα μια σύντομη περάτωση θα εκθέσει το είδος στις δυσμενείς και θανατηφόρες συνθήκες του χειμώνα. Λέξεις Κλειδιά: Μαρκοβιανά Μοντέλα, πληθυσμοί εντόμων, κίνηση Brown 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι αβιοτικοί παράγοντες έχουν σημαντική επίδραση στην εξέλιξη οικολογικών, φυσιολογικών και μορφολογικών χαρακτηριστικών σε διάφορα είδη αρθροπόδων συμπεριλαμβανομένων των εντόμων. Πολλά είδη αναστέλλουν την ανάπτυξή τους και διαπαύουν σε συγκεκριμένα στάδια του βιολογικού τους κύκλου προκειμένου να ανταπεξέλθουν σε περιόδους όπου οι συνθήκες είναι μη ευνοϊκές (Tauber et al. 1986). Η διάπαυση είναι μια γενετικά ελεγχόμενη κατάσταση αναστολής και παράτασης της ανάπτυξης, η έκφραση της οποίας επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από περιβαλλοντικούς παράγοντες. Ωστόσο, η διάπαυση θα πρέπει να διακριθεί από μια κατάσταση απλή αδράνειας (quiescence) που εκδηλώνεται άμεσα όταν το είδους εκτεθεί σε ακραίες συνθήκες ενώ παύει να υπάρχει όταν επιστρέψουν οι ευνοϊκές συνθήκες (Tauber et al. 1986, Damos and Savopoulou-Soultani 2009). Αντίθετα η διάπαυση αποτελεί σύνθετη και ορμονικά ελεγχόμενη φυσιολογική διαδικασία που αρχίζει αρκετά πριν την εμφάνιση των δυσμενών συνθηκών και περατώνεται αρκετό διάστημα αφότου πάψουν να υπάρχουν οι συνθήκες πρόκλησής της (Δάμος 2009). Από οικολογικής σκοπιάς η διάπαυση είναι ο κύριος προσαρμοστικός μηχανισμός με τον οποίο τα έντομα των εύκρατων περιοχών είναι σε θέση να ανταπεξέρχονται στις δυσμενείς περιβαλλοντικές συνθήκες. Επιπλέον, παρόλο που ένας προοδευτικός συγχρονισμός στην περάτωση της διάπαυσης έχει παρατηρηθεί και σε άλλα είδη εντόμων (Tauber et al. 1986), η περιγραφή και συμπεριφορά ενός φυσικού νόμου που να περιγράφει το φαινόμενο δεν έχει προταθεί. Στην παρούσα εργασία εφαρμόζεται ένα απλό μοντέλο Markov καθώς και ένα μονοδιάστατο μοντέλο στοχαστικής ανέλιξης τύπου Wiener, με στόχο τη διαπίστωση της επίδρασης των χαμηλών θερμοκρασιών και της φωτοπεριόδου στη διαδικασία περάτωσης της διάπαυσης εντόμων και συγγενών αρθροπόδων. - 2 -

2. Υλικά και Μέθοδοι 2.1 Δεδομένα Η πρόταση και ανάπτυξη των μοντέλων βασίστηκε σε πειραματικά δεδομένα. Για τρία διαδοχικά έτη (2005-2007), θέσεις διαχείμασης (hibernacula) με διαχειμάζουσες προνύμφες συλλέγονταν καθ όλη την διάρκεια του χειμώνα από οπωρώνες ροδακινιάς σε περιοχές της Βέροιας του νομού Ημαθίας (40.32 o N) και του Βελβεντού Κοζάνης (40.16 o N). Σε κάθε ημερομηνία δειγματοληψίας (5-8/ έτος) συλλέγονταν 160-180 προνύμφες και χωρίζονταν σε τέσσερα μέρη από περίπου 40 άτομα ανά μεταχείριση. Κάθε hibernaculum έχοντας μια διαχειμάζουσα προνύμφη στο εσωτερικό του τοποθετούνταν μέσα σε πλαστικά κυπελάκια. Ακολούθως, δίσκοι με διαχειμάζουσες προνύμφες τοποθετούνταν εντός εργαστηριακών κλιβάνων (Precision Scientific; General Electric, Louisville, KY) στούς 20 o C κάτω από συνθήκες μακράς ημέρας (16:8h L:D) και μικρής (16:8h L:D). Καθημερινά γινόντουσαν παρατηρήσεις στην ανάπτυξη των προνυμφών ενώ καταμετρούνταν επίσης το μέγεθος και ο αριθμός των κεφαλικών καψών με την βοήθεια στερεοσκοπίου. Ο χρόνος μετάβασης από μεταξύ των προνυμφικών σταδίων καθώς και ο τελικός χρόνος νύμφωση των προνυμφών μετά την μεταφορά τους στο εργαστήριο θεωρήθηκε ως τελικό κριτήριο περάτωσης της διάπαυσης (Beck 1989). 2.2 Εξέλιξη της διάπαυση των εντόμων ως Μαρκοβιανή διαδικασία μετάβασης Η πιθανότητα ενός εντόμου, που συλλέγεται κάτω από διαφορετικού χρόνους έκθεσής του σε χαμηλές θερμοκρασίες στο ύπαιθρο, να είναι σε κατάσταση διάπαυσης ή σε μια κατάσταση προοδευτικής περάτωσης στη διάπαυσή του περιγράφηκε με την βοήθεια ενός υπεραπλουστευμένου Μαρκοβιανού μοντέλου. Με βάση την προσέγγιση αυτή και σύμφωνα με τα πειραματικά δεδομένα ορίστηκε ο χώρος καταστάσεων S που αντιστοιχεί σε διακριτά φυσιολογικά στάδια που χαρακτηρίζονται από κλιμακούμενες διαφορές στην έντασης της διάπαυσης του εντόμου. Η πιθανότητα περάτωσης, και πρόκλησης της διάπαυσης, καθορίζεται από τις πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των διαφορετικών φυσιολογικών σταδίων και μπορεί να περιγραφεί σύμφωνα με τον παρακάτω ομογενή μαρκοβιανό πίνακα μετάβασης (Damos and Savopoulou-Soultani 2009): - 3 -

p ( t, t + h) p ( t, t + h)... p k ( t, t + h) 11 21 1 p21( t, t + h) p22 ( t, t + h)... p22 ( t, t + h) Pij (, t t + h) =, (1). p ( t, t + h) p ( t, t + h)... p ( t, t + h) k1 k2 kk όπου: P (, t t + h ) ij ισούτε με την συνθήκη πιθανότητας: p(x t =j X t =i), έχοντας τάξη r=(t+h -t) από την κατάσταση i στην κατάσταση j, για κάθε (t+h)>t>0, j>i και k i, j 1 και με τις παρακάτω ιδιότητες (Markov 1901). pi, j(, t t + h) 0, i, j S, t + h t 0, pi, j(, t t + h) = 1, i S, h t 0, t+h>t j S lim p ( t, t + h) = δ, h 0, ), i, j S t h i, j i, j Δεδομένου ότι ο πίνακας είναι ομογενής, οι ιδιότητές του δεν θα εξαρτώνται από το t, παρά μόνο από το h. [ 2.3 Εξέλιξη της διάπαυση των εντόμων ως στοχαστική ανέλιξη τύπου Wiener Το πρόβλημα της περιγραφής στην εξέλιξη της διάπαυσης των εντόμων, καθώς και τον τρόπο με το οποίο αυτή επηρεάζεται από τις περιβαλλοντικές συνθήκες, προσεγγίστηκε εδώ ως μια τυχαία ανέλιξη (Damos et al. 2011). Συγκεκριμένα η εξέλιξη στην διάπαυσης των εντόμων αποτελεί μια Γκαουσιανή διαδικασία συνεχούς μετάβασης που χαρακτηρίζεται από μικρές και ανεξάρτητες επαυξήσεις και που περιγράφεται σύμφωνα με βάση μια τυχαία συνάρτηση πιθανότητας τύπου Wiener (τυχαία κίνηση Brown). Όπως νωρίτερα (2.2.) το φαινόμενο περάτωσης της διάπαυσης ορίσθηκε ως μια διαδικασία μετάβασης δια μέσω διακριτών φυσιολογικών σταδίων διαφορετικής έντασης στην διάπαυση. Το έντομο περνά προοδευτικά δια μέσω αυτών των σταδίων, έχοντα μια συνάρτηση κατανομής πιθανότητας S(t) που εξελίσσεται χρονικά, όσο οι χρόνοι έκθεσης t σε χαμηλές θερμοκρασίες αυξάνουν: Η τυχαία συνάρτηση κατανομής πιθανότητας S(t) είναι (Dennis et al. 1986): - 4 -

f ( s, m) = 1 e 2 σ m 2π ( s m) 2 2σ m 2 (2) όπου m αριθμητικός μέσος, σ 2 m παραλλακτικότητα και σ 2 θετικός σταθερά χαρακτηριστική της μετάβασης. Σημειώνεται ότι οι διαφορές στις αντίστοιχες συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας εκφράζονται από τις ροπές 1 ης και 2 ης τάξης εξαρτώνται από τις περιβαλλοντικές συνθήκες. Η κατανομή τείνει προς ένα όριο, εφόσον η εξέλιξης της S(t) στις χρονικές καταστάσεις t, είναι το άθροισμα, από θεωρητικά άπειρες, μικρές και ανεξάρτητες προσαυξήσεις. Αποτελεί έτσι η χρονική εξέλιξη περάτωσης της διάπαυσης μια μονοδιάστατη τυχαία κίνηση Brown που μπορεί να περιγραφεί σύμφωνα με μια συνάρτηση μετάβασης τύπου Wiener (Damos and Savopoulou-Soultani 2009): X () t = μ t + σ W() t (3) όπου X=(X1,...,Xn) συνεχής στοχαστική ανέλιξη στον χώρο πιθανοτήτων (Ω, Σ, P), με μετατόπιση μ (μεταβολή της X για dt) και παραλλακτικότητα, ή ταχύτητα σ 2, ενώ W(t) είναι η κανονική κατανομή ή κανονική κίνηση Brown ~N(0,t) (ή συντελεστής αύξησης του Wiener) για κάθε t>0 (Parzen 1968, Borodin and Salimnen 2002). Η τύχη της τυχαίας μεταβλητής δηλαδή, θα είναι το άθροισμα του προσδιοριστικού παράγοντα της υπολογιζόμενης τιμής, και του παράγοντα τυχαιότητας της τυπικής απόκλισης της κανονικής κατανομής Gauss. 2.3 Αποτελέσματα και συζήτηση Το φαινόμενο της περάτωσης της διάπαυσης και όπως αυτό επηρεάζεται από την φωτοπερίοδο και τις χαμηλές θερμοκρασίες περιγράφεται αρκετά καλά και για τα δύο μοντέλα που εφαρμόστηκαν. Με βάση το μοντέλο η πιθανότητας ενός ατόμου να βρίσκεται σε κατάσταση διάπαυσης, όταν συλλέγεται στις αρχές του χειμώνα είναι υψηλή και μειώνεται προοδευτικά κατά την διάρκεια του χειμώνα ως αποτέλεσμα της έκθεσης σε χαμηλές θερμοκρασίες. Το αντίστροφο φαινόμενο παρατηρείται και για την διαδικασία πρόκλησης της διάπαυσης στο τέλος του θέρους και μέσα φθινοπώρου (Σχήμα 1). Συγκεκριμένα και με βάση το μοντέλο και τα αντίστοιχα ευρήματα, παρατηρούνται διαφορές στην πιθανότητα πρόκλησης της διάπαυσης συνάρτηση των διαφορετικών χρόνων δειγματοληψίας και που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς χρόνους έκθεσης των εντόμων σε χαμηλές θερμοκρασίες Το - 5 -

φαινόμενο αυτό παρατηρήθηκε και για τα τρία έτη των παρατηρήσεων (Σχήμα 2). Εικόνα 1. Απλουστευμένο μοντέλο περάτωση της διάπαυσης του A. lineatella δυο καταστάσεων (p: πιθανότητα διάπαυσης και q=1-p μη διάπαυσης. Ο τυχαίος περίπατος αρχίζει την χρονική στιγμή 0 (πιθανότητα διάπαυσης= 1) και ολοκληρώνεται με την πιθανότητα 0 στο τέλος του περιπάτου στον οποίο όλα τα έντομα έχουν περατώσει την διάπαυσή τους. Εικόνα 2. Επίδραση της φωτοπεριόδου στην πιθανότητα περάτωση της διάπαυσης ενός εντόμου στο ύπαιθρο (οι μετρήσεις αντιστοιχούν σε τρείς διαδοχικές χειμερινές περιόδους και για απλό Μαρκοβιανό μοντέλο δυο καταστάσεων). - 6 -

Probability 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 (L:D 16:8h) Probability 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 (L:D 8:16h) 10 20 30 t Στην πράξη δηλαδή σε δείγματα από διαχειμάζουσες προνύμφες που συλλέγονται στα μέσα χειμώνα θα πρέπει να έχουν την ίδια πιθανότητα να είναι σε κατάσταση διάπαυσης ή μη διάπαυσης, ενώ για άτομα που συλλέγονται αρχές άνοιξης ή πιθανότητα αυτή είναι μηδέν. Επιπλέον, η φωτοπερίοδος σε συνδυασμό τον χρόνο παραμονής σε χειμερινές χαμηλές θερμοκρασίες υπαίθρου επηρεάζουν επίσης σημαντικά την μορφή της συνάρτηση ανέλιξης X(t) (Σχήμα 3). Συγκεκριμένα, οι παράμετροι του μοντέλου που αφορούν την ροή ή κίνηση (drift) και την ταχύτητα μετάβασης (velocity) επηρεάστηκαν σημαντικά από την φωτοπερίοδο. Ειδικότερα, υπό την επίδραση μεγάλης ημέρας το όριο της ανέλιξης διαφέρει σημαντικά συγκριτικά με την αρχική κατάσταση του πληθυσμού ενώ αντίθετα, στην περίπτωση μικρής ημέρα η διαφοροποίηση αν και χαρακτηρίζεται από τυχαίες αυξομειώσεις το όριο παραμένει πρακτικά σταθερό. Εικόνα 3. Επίδραση της φωτοπεριόδου στην περάτωση της διάπαυσης των εντόμων σύμφωνα με τη γενικευμένη Wiener ανέλιξη και προσομοίωση τύπου Monte Carlo για δυο διαφορετικές φωτοπεριόδους (μακρά και μικρής ημέρας). - 7 -

Photocycle L:D 08:16h L:D 16:08h ΔZ 0 50 100 150 200 250 Time steps (Δt) Συνοψίζοντας η έκθεση για συγκεκριμένο χρόνο σε χαμηλές θερμοκρασίες σε συνδυασμό με την προοδευτική αύξηση στην διάρκεια της ημέρας είναι η κύρια προϋπόθεση για να περατώσει ένα είδος την διάπαυσή του. Αν και ο ακριβής τρόπος και μηχανισμός δράσης που έχουν οι χαμηλές θερμοκρασίες στην περάτωση της διάπαυσης δεν έχει διευκρινιστεί πλήρως είναι σε θέση να περιγραφεί με την βοήθεια των προτεινόμενων μοντέλων. Σημειώνεται ότι το μοντέλα αυτά και ειδικότερα ή ανέλιξη τύπου Wiener εφαρμόζονται για πρώτη φορά για την περιγραφή της εποχικής εξέλιξης της διάπαυσης για κάποιο είδος οργανισμούς. Το φαινόμενο αυτό είναι μεγάλης οικολογικής σπουδαιότητας αφού έναρξη και περάτωση της διάπαυσης συναρτάται με φυσιολογικές αλλαγές μη αντιστρεπτές. Ένα έντομο έτσι έχοντας μια μεγάλης διάρκειας και μη συγχρονισμένη περάτωση στη διάπαυσή του θα χάσει δυνιτικές ευκαιρίες σύζευξης, αναπαραγωγής και ωοτοκίας, αντίθετα μια σύντομη περάτωση θα εκθέσει το είδος σε δυσμενείς και θανατηφόρες συνθήκες ABSTRACT In this work a theoretical stochastic description of the effect of chilling and photoperiod on temporal evolution of insect diapause is presented. Insects considered having discrete physiological stages with different degrees of diapause intensity. The insect passes through successive stages-states with a probability distribution that evolves over time in a Markov process. Moreover, this pattern of progressive transitions is similar to that of a Brownian motion with drift and finally results to a successfully synchronized diapause break in spring. Thus, diapause termination is regarded as a sequence of events governed by probabilistic laws and evolves over time to successful - 8 -

resumption while abiotic factors influence significantly the transition process and diapause temporal evolution. The current proposed theoretical stochastic approaches are more suitable for describing the dynamic of this ecologial phenomenon and its predicting its limiting behaviour when compared to simple data exposition. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Borodin, A. N. & Salimnen P. (2002) Handbook of Brownian motion: Facts and Formulae, 2 nd edn., Basel: Birkhäuser Δάμος, Π. 2009. Βιο-οικολογία και αντιμετώπιση των μικρολεπιδοπτέρων της Ροδακινιάς στα πλαίσια της ολοκληρωμένης παραγωγής καρπών. Διδακτορική διατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Damos, P. and Soultani, M. (2009). Synchronized diapause termination of the peach twig borer Anarsia lineatella (Lepidoptera: Gelechiidae): Brownian motion with drift? Physiolοgical Entomology, 35, 67-75. Damos P., A. Rigas and M. Savopoulou-Soultani. (2011). Application of Markov Chains and Brownian motion models on Insect Ecology. In Brownian Motion: Theory, Modelling and Applications, Editors: Robert C. Earnshaw and Elizabeth M. Riley, Imprint: Nova Science Publications, ISBN: 978-1-61209-537-0, (Chapter2: pp:71-104.). Dennis, B., Kemp, P. W. & Beckwith C. (1986) Stochastic Model of Insect : Estimation and Testing. Environmental Entomology 15. 540-546. Markov, A. (1907) Extension of the limit theorems of probability theory to a sum of variables connected in a chain. The notes of the Imperial Academy of Sciences of St. Petersburg, VIII Series, Physio-Matematical College XXII, No. 9. Parzen, E. (1962).Stochastic processes. Holden-day, Inc. San Fransisco, Calif. Dennis, B., Kemp, P. W. & Beckwith C. (1986) Stochastic Model of Insect : Estimation and Testing. Environmental Entomology, 15, 540-546. Tauber, M. J., Tauber C. A., & S. Masaki. (1986) Seasonal adaptations of insects. Oxford University Press. New York - 9 -