Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Β Λυκείυ 9 Απριλίυ Μια αγώγιμη μεταλλική σφαίρα ακτίνας α περιβάλλεται από παχύ αγώγιμ κέλυφς εσωτερικής ακτίνας β > α και εξωτερικής ακτίνας γ. Τ σύστημα βρίσκεται στ κενό και αρχικά είναι αφόρτιστ. Φρτί + φέρεται κατάλληλα στην εσωτερική σφαίρα. Α. Καθρίστε τ μέτρ της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ σε κάθε περίπτωση και παραστήστε τ γραφικά σε άξνες Ε και r, όπυ r η απόσταση από τ κέντρ Κ. Β. Πια είναι η διαφρά δυναμικύ ενός σημείυ Α πυ βρίσκεται στην επιφάνεια της σφαίρας με ακτίνα α και τυ ; της. Γ. Θεωρώντας ως χωρητικότητα τυ συστήματς την Συνπτικές απαντήσεις / λύσεις: Α. Από τν νόμυ τυ Gauss για τν ηλεκτρισμό : i) για r < α, Ε ii) για α < r < β, 4πr E Ε ε ε 4πr iii) για β < r < γ, Ε ( λ ) iv) για r > γ, 4πr E Ε ε ε 4πr o o C V A V υπλγίστε την τιμή V a) Β. V ( a ) α ( + ) α β γ + ( > ( ) β + γ > V ( ) Γ. C αβ αγ + βγ αβγ ΘΕΜΑ V ( V A) (B) > C ή C ( + ) α β γ Θετικά φρτισμέν σωματίδι με ειδικό φρτί q 5 7, κινείται με ταχύτητα υ o. Με αυτή την g ταχύτητα διαπερνάει μια ριζόντια μνωτική επιφάνεια, από τρύπα (T), ασήμαντων διαστάσεων, πυ υπάρχει Β Λυκείυ Σελίδα από 7 B r E r υ r o
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς σε αυτή. Στ χώρ, υπάρχει κατακόρυφ πρς τα πάνω μγενές μαγνητικό πεδί Β π (Τesla) και κατακόρυφ πρς τα κάτω μγενές ηλεκτρικό πεδί, Ε N.Καθώς C περνάει από την τρύπα τ σωματίδι, η ταχύτητά τυ σχηματίζει γωνία φ 6 o με την διεύθυνση των δύ πεδίων. α ) Για πιες τιμές της υ o τ σωματίδι θα βγαίνει και πάλι από την ίδια τρύπα; Πια είναι η ελάχιστη τιμή της υ o ώστε να συμβαίνει αυτό ; β ) Για την ελάχιστη αυτή τιμή της υ o πυ βρήκατε να υπλγίσετε την μέγιστη κατακόρυφη απμάκρυνση τυ σωματιδίυ από την μνωτική επιφάνεια. Πόσ απέχει από την τρύπα τότε; (π ). Συνπτικές απαντήσεις / λύσεις: Αναλύυμε την κίνηση σε ανεξάρτητες επιμέρυς κινήσεις: I. Λόγω της υ r ox και τυ μαγνητικύ πεδίυ: Αναπτύσσεται δύναμη Lorentz ( F r L ), κάθετη στην Β Λυκείυ Σελίδα από 7 υ r ox, πάνω στ ριζόντι επίπεδ (x), πυ θα έπαιζε τ ρόλ κεντρμόλυ δύναμης και θα ανάγκαζε τ σωματίδι σε μαλή κυκλική κίνηση: F L F K ή Β υ x q II. Λόγω της υ ox ή u ημφ π () και Τ qb qb, τυ μαγνητικύ και τυ ηλεκτρικύ πεδίυ: υ r oz Δεν αναπτύσσεται δύναμη Lorentz, γιατί η υ z είναι παράλληλη με την B r. Αναπτύσσεται δύναμη από τ ηλεκτρικό πεδί, ίδιας κατεύθυνσης με την ένταση E r, πυ πρκαλεί επιβράδυνση a r, στην κατακόρυφη διεύθυνση. Είναι a, όπυ E τ μέτρ της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Έτσι, μετά από χρόν t, τ σωματίδι θα εμφάνιζε κατακόρυφη ταχύτητα απμάκρυνση z από την τρύπα: υ z υ z + αt υ z υ r oz t () z υz t + ½ αt υ z t () και κατακόρυφη t Ως απτέλεσμα της μαλής κυκλικής κίνησης στ επίπεδ (x) και της ευθύγραμμης μαλά επιβραδυνόμενης κίνησης στην κατακόρυφη διεύθυνση, τ σωματίδι διαγράφει ελικειδή τρχιά, με βήμα πυ διαρκώς ελαττώνεται. Τ σωματίδι επιστρέφει στη μνωτική επιφάνεια, μετά από χρόν t, όταν z. (4): u z t t t t u συνφ (5) (4)
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς α) Για να βγει και πάλι από την τρύπα (Τ), πρέπει μετά χρόν t, να έχει διαγράψει λόγω της συνιστώσας μαλής κυκλικής κίνησης, ακέραι πλήθς περιφερειών. Δηλαδή, αρκεί: t κτ, όπυ κ,,,... (), (5): αρκεί υ συνφ π κ qb ή υ κ /s κ,,,... ή πe π υ κ κ (S. I.) Bσυνφ π Η ελάχιστη ταχύτητα για την πία μπρεί τ σωματίδι να βγαίνει από την τρύπα είναι: υ /s. (κ ). β) Για την ελάχιστη αυτή υ, τ σωματίδι εμφανίζει μέγιστη απόσταση από τ μνωτικό επίπεδ, όταν υ z. (): υ z υ t > t συνφ (4): z ax u συνφ uσυνφ E q uσυν φ ή z ax 6 4 4 5 7 6 Τότε από την τρύπα απέχει: 5 μ. d ( ) + zax όπυ υημφ qb 7 π 5 5π 4 d 4 5 π 8 + 5 + 4,μ Β Λυκείυ Σελίδα από 7
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς ΘΕΜΑ Στ διπλανό σχήμα, τ φρτί + συγκρατείται ακίνητ σε ύψς h πάνω από μνωτικό δάπεδ. Τ φρτί -q είναι μιόμρφα κατανεμημέν σε σφαιρίδι μάζας,τ πί μπρεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στ μνωμέν δάπεδ. Η γωνία ΑΒΓ είναι. Αφήνυμε ελεύθερ από τ Β τ (-q, ). h A Γ (+) Β (-q, ) α)πια πρέπει να είναι η ελάχιστη απόσταση h ώστε να μη χαθεί η επαφή τυ σφαιριδίυ (-q, ) από τ δάπεδ. Θεωρήστε δεδμένα τα, g,, q,. β)πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα τυ σφαιριδίυ και σε πι σημεί πραγματπιείται; γ) Για την τιμή τυ h πυ βρήκατε, περιγράψτε πιτικά την κίνηση τυ φρτισμένυ σωματιδίυ, δικαιλγώντας την απάντησή σας. δ)βάζυμε τ φρτί σε θέση Α πυ να απέχει h h/ από τ δάπεδ, και τ συγκρατύμε. Εκτξεύυμε με ταχύτητα υ κατάλληλα τ σφαιρίδι από ένα σημεί Δ ώστε να κάνει κυκλική κίνηση πάνω στ ριζόντι επίπεδ, χωρίς να δέχεται αντίδραση από αυτό. Πόση είναι η ταχύτητα υ κατά διεύθυνση και μέτρ; Πόση είναι η ένταση Β τυ μαγνητικύ πεδίυ στ κέντρ τυ κύκλυ. Δίννται,, q,, g. Συνπτικές απαντήσεις / λύσεις: α) Τ σφαιρίδι (-q,) λόγω της ελκτικής δύναμης πυ δέχεται, αρχίζει να κινείται επιταχυνόμεν με κίνηση πάνω στην ΒΓ. Σε μια τυχαία θέση Ζ ι δυνάμεις πυ δέχεται r r r είναι B, N, F. Αν δεν χαθεί η επαφή στ Γ εξασφαλίζεται και για όλη τη διαδρμή. Για q q την ριακή περίπτωση πρέπει N F B ή g ή h h in g () h h β) ημθ ή ή d (ΑΒ) hin. d d Για την κίνηση από τ Β έως τ Γ η μέγιστη ταχύτητα επιτυγχάνεται στ τέλς της επιταχυνόμενης κίνησης δηλαδή στ Γ. Εφαρμόζυμε την Α.Δ.Μ.Ε. από τ Β στ Γ και έχυμε: ΔΥΝ ΔΥΝ q U Β + K Β U Γ + Κ Γ ή + + υ ή υ ( ). d h h d Από την τελευταία σχέση βλέπυμε ότι για h h in έχυμε μέγιστη ταχύτητα: υ q( ) και λόγω της () έχυμε: 4 qg υ ax h in h in γ) Τ σωματίδι σε μια τυχαία θέση δέχεται τις δυνάμεις: βάρς B r, και την κάθετη αντίδραση N r. δύναμη Coulob F r Β Λυκείυ Σελίδα 4 από 7
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Αναλύυμε την F r σε F r x και F r. Είναι Σ F Ν Β F πρέπει Ν όπως είδαμε στ α ερώτημα. Η δύναμη F x F συνθ επιταχύνει τ σφαιρίδι από τ Β στ Γ μη μαλά γιατί F σταθερή. Όπως είδαμε στ Γ απκτά τη μέγιστη ταχύτητα και κατόπιν τ σώμα F x επιβραδύνεται λόγω της πυ έχει αντίθετη φρά και σταματάει σε θέση Β συμμετρική ως πρς τ Γ δηλ. Β Γ ΒΓ γιατί από Α.Δ.Μ.Ε. έχυμε όταν σταματήσει: ή d d και έτσι Β Γ ΒΓ. Η κίνηση είναι μη αρμνική ταλάντωση. d d δ) Η εκτόξευση τυ φρτισμένυ σωματιδίυ πρέπει να γίνει από σημεί Δ με ταχύτητα υ ριζόντια και κάθετη στην στη ΓΔ. Εφόσν η κάθετη αντίδραση είναι μηδέν έχυμε: υ F g και Fx F κεν () h q qh in Όμως: F F ημθ και λόγω της () d d d έχυμε: F q q g ή d d g h q g q Όμως: d + ή () g 4 4 q Είναι: F x Fσυνϑ και λόγω της () έχυμε: d d q υ qg και μετά τις πράξεις: 4 υ. d 4 4 q qυ Η κίνηση τυ φρτίυ ισδυναμεί με ρεύμα έντασης I. T π Στ κέντρ Γ αυτύ τυ «κυκλικύ ρεύματς» θα έχυμε ένταση μαγνητικύ πεδίυ: πi π qυ qυ B μ ή B μ ή B μ π Πειραματικό Μέρς Σε ένα εργαστήρι μας δίνυνε τρεις φιάλες Α, Β και Γ πυ η κάθε μια περιέχει ένα από τα επόμενα αέρια Η, Ηe και CO.. Χωρίς όμως να ξέρυμε πι αέρι περιέχεται σε κάθε φιάλη. Διχετεύυμε πσότητα από τ αέρι της φιάλης Α σε κυλινδρικό δχεί με ανένδτα πλευρικά τιχώματα και βάση, κατασκευασμένα από θερμμνωτικό υλικό. Στ εσωτερικό μέρς των τιχωμάτων τυ δχείυ υπάρχει ωμική αντίσταση 4 Ω. Η σταθερή διατμή τυ δχείυ είναι S, και τ δχεί σφραγίζει στ επάνω μέρς με μεταλλικό δίσκ θερμικά μνωμέν, μάζας, Kg πυ μπρεί να λισθαίνει, με αμελητέες τριβές μεταβάλλντας τν όγκ πυ καταλαμβάνει τ αέρι στ δχεί. Β Λυκείυ Σελίδα 5 από 7
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Συνδέυμε τυς ακρδέκτες της αντίστασης με πηγή ΗΕΔ Ε 6 V και εσωτερικής αντίστασης r Ω ενώ η συνλική αντίσταση των αγωγών στ εξωτερικό κύκλωμα είναι Ω. Στα τιχώματα τυ δχείυ υπάρχει μετρταινία πυ μας επιτρέπει να μετράμε την απόσταση τυ μεταλλικύ δίσκυ από την βάση τυ δχείυ. Στ + εσωτερικό τυ δχείυ τπθετύμε αισθητήρα θερμκρασίας συνδεδεμέν με Η/Υ. Οι ενδείξεις τυ αισθητήρα σε συνάρτηση με τν χρόν από τη στιγμή πυ ανίγυμε τ κύκλωμα εμφανίζνται στν πίνακα. ΠΙΝΑΚΑΣ Χρόνς (s) Θερμκρασία ( C) Απόσταση μεταλλικύ δίσκυ από την βάση τυ δχείυ () 5, 45, 8,5, 5,5 4 8,8 Να γίνυν τα διαγράμματα θερμκρασίας - χρόνυ, πίεσης - θερμκρασίας, πίεσης όγκυ για την μεταβλή. Από τ διάγραμμα θερμκρασίας χρόνυ να υπλγιστεί η μέση μεταβλή της θερμκρασίας ανά μνάδα χρόνυ. Με βάση τις πειραματικές μετρήσεις και με χρήση των θεωρητικά αναμενόμενων τιμών της ειδικής γραμμριακής θερμχωρητικότητας τυ αερίυ υπό σταθερή πίεση C P πυ παρυσιάζνται στν πίνακα πυ ακλυθεί να πρσδιριστεί τ αέρι και να υπλγιστεί η μάζα τυ. Να συμπληρώσετε την τρίτη στήλη τυ πίνακα με τις τιμές πυ αναμένυμε να πάρυμε. Δίννται P at,9 5 Pa, g /s, 8, joule ol - K - (Σταθερά των αερίων). ΑΒ Ο 6, ΑΒ Ηe 4, ΑΒ Η, AB C. Αέρι Θεωρητικά αναμενόμενη τιμή C p (J/(ol K) Συνήθης Πειραματική τιμή C p (J/(ol K) Ήλι (He),8,8 Υδργόν (Η ) 9, 8,8 Διξείδι τυ Άνθρακα CO 6,6, Β Λυκείυ Σελίδα 6 από 7
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πανεπιστήμι Αθηνών Εργαστήρι Φυσικών Επιστημών, Τεχνλγίας, Περιβάλλντς Συνπτικές απαντήσεις / λύσεις: Η πίεση στ εσωτερικό τυ δχείυ είναι: g P αέρ Ρ ατμ + Ρ εμβ > P αέρ Ρ ατμ + > S P αέρ,9 5 + /,, 5 Ν/ Ο αρχικός όγκς τυ αερίυ είναι V S l,,45,45 Από την καταστατική εξίσωση βρίσκυμε PV ότι: n. oles αερίυ T Υπλγίζυμε την θερμότητα πυ πρσφέρεται στ αέρι: I t Θερμκρασία (Κ) Πίεση (x N/) ) I E/ tot 6/6 A Για t s, 4 4 joule Από τ διάγραμμα θερμκρασίας χρόνυ βρίσκυμε ότι σε se η μεταβλή της θερμκρασίας είναι,45 grad δηλαδή η μεταβλή της θερμκρασίας με τν χρόν είναι,45 grad/s. nc p ΔΤ > C p 4,78 J ol - K - 4 8 6 4 98 96,,8,6,4, 4 5 Χρόνς (se) 96 98 4 6 8 4 Θερμκρασία (Κ) Η τιμή πυ υπλγίσαμε πλησιάζει περισσότερ στην τιμή της ειδικής γραμμριακής θερμχωρητικότητας τυ αερίυ υπό σταθερή πίεση για τ CO. Η μάζα τυ CO θα είναι n ΜΒ 88 g Η απόσταση τυ μεταλλικύ δίσκυ από την βάση τυ δχείυ είναι ανάλγη τυ όγκυ τυ αερίυ lv/s nt/(p S) ι τιμές πυ πρκύπτυν είναι: Πίεση (x Ν/,,8,6,4, 44,5 45 45,5 46 46,5 47 47,5 Όγκς (litr) Χρόνς (s) Θερμκρασία ( C) Απόσταση μεταλλικύ δίσκυ από την βάση τυ δχείυ () 5, 45, 8,5 45,6, 46, 5,5 46,6 4 8,8 47, Β Λυκείυ Σελίδα 7 από 7