The Conceptual Change Approach In the Learning and Teaching of Mathematics : An Introduction Stella Vosniadou University of Athens,Greece Παρουςύαςη : Μπόρα Βαςιλική & Μπόρασ Ιωάννησ
Προςϋγγιςη τησ εννοιολογικόσ αλλαγόσ :Θεμελιώδη θϋματα Ρύζεσ => Thomas Kuhn Κλαςικό προςϋγγιςη :οι μαθητϋσ ςχηματύζουν παρανοόςεισ => αντιτύθενται ςτην επιςτημονικό θεωρύα & χρόζουν αντικατϊςταςησ Πρόβλημα : απλοώκό αντιμετώπιςη των παρανοόςεων Εφαρμογό ςε μεγαλύτερα ςυςτόματα ( εκπαιδευτικϊ, κοινωνικο/πολιτιςμικϊ πλαύςια) Caravita & Halden διδακτικό πρακτικό γνωςτικό ςύγκρουςη Πρόβλημα : ϋλλειψη καταςκευαςτικόσ βϊςησ & αγνοεύ παραγωγικϋσ ιδϋεσ των μαθητών Smith,di Sessa & Rochelle
Απϊντηςη ςτισ κριτικϋσ -> Η προςϋγγιςη τησ θεωρύασ πλαιςύου (Vosniadou, Baltas & Vamvakoussi ) Παρανοόςεισ: μϋροσ ενόσ ςυςτόματοσ γνώςησ Εννοιολογικό αλλαγό :ςταδιακό αλλαγό θεωρύασ & χρονοβόρα Διαχωριςμόσ του πλαιςύου θεωρύασ προ καθοδόγηςησ & παρανοόςεισ παραγόμενεσ μετϊ τισ οδηγύεσ Αναμϋνει : πληροφορύεσ μη ςυμβατϋσ με προώπϊρχουςα γνώςη δυςκολότερο από εμπλουτιςμό υπαρχουςών δομών με νϋεσ πληροφορύεσ. Καταςκευαςτικό & προβλϋπει πότε η προώπϊρχουςα γνώςη -> να δεχθεύ νϋα υμπληρωματικό ϊλλων μεθόδων Μεταεννοιολογικό γνώςη, παρακινητικού παρϊγοντεσ
Εκμϊθηςη-Διδαςκαλύα μαθηματικών χηματιςμόσ νϋασ θεωρύασ Μαθηματικϊ ςε γενικό επύπεδο ευρύτερη προοπτικό φυςικϋσ επιςτόμεσ : ανϊπτυξη πολλαπλών προοπτικών & πιο αφηρημϋνο πλαύςιο εξόγηςησ με μεγαλύτερη γενικότητα και ιςχύ.
υνϋπειεσ για τον ςχεδιαςμό τησ διδαςκαλύασ των Μαθηματικών Προώπϊρχουςα γνώςη-> εμπόδιο Fischbein,Vergnaud & Sfard : διαιςθητικϋσ πεποιθόςεισ ->παρϊγοντασ για λϊθη ςτα μαθηματικϊ Η εννοιολογικό αλλαγό -> ςχεδιαςμό πιο αποτελεςματικών αναλυτικών προγραμμϊτων και διδαςκαλύασ -> ανϊπτυξη : εκ προθϋςεωσ μϊθηςη ανϊπτυξη μεταγνωςτικών δεξιοτότων Να ξεπερϊςουν τα εμπόδια από την προυπϊρχουςα γνώςη
κοπού και ςτόχοι Δημιουργύα υνθετικών Μοντϋλων των μαθηματικών εννοιών.(biza and Zachariades, Van Dooren, De Bock and Versachaffel, Vamvakoussi and Vosniadou) Προςφϋρει πιςτικϋσ εξηγόςεισ για ςυγκεκριμϋνεσ παρανοόςεισ & ςυςτηματικϊ λϊθη των μαθητών.(van Dooren, De Bock and Verschaffel). Πρωταρχικϋσ ϋννοιεσ για τουσ αριθμούσ, π.χ διακριτότητα, εμπόδιο ςε Q,R, όριο και ςυνϋχεια μϋχρι και το πανεπιςτόμιο. Ερμηνεύα λεκτικών ςυμβόλων ςτην ϊλγεβρα ιγουριϊ απαντόςεων επύπεδο κατανόηςησ Θϋληςη για αλλαγό πεποιθόςεων υγκεκριμϋνεσ αρχϋσ οδηγού ςτον ςχεδιαςμό τησ διδαςκαλύασ
Conceptual Change in Mathematics Learning: The Case of Infinite Sets Dina Tirosh & Pessia Tsamir Στόχοσ: Εννοιολογικό αλλαγό = πολύτιμο πλαύςιο εργαςύασ για : ανϊλυςη & ςτοχαςμό 1)ςτην λογικό των μαθητών 2)ςτισ διδακτικϋσ παρεμβϊςεισ ςτη ςύγκριςη απεύρων ςυνόλων; Για την ςύγκριςη απεύρων ςυνόλων βαςύζονταν ςτην ςύγκριςη πεπεραςμϋνων ςυνόλων(π.χ. φυςικού αριθμού. Προτεινόμενεσ αρχϋσ(tirosh 1991):1)αναγνώριςη διαιςθητικών κριτηρύων μαθητών για ςύγκριςη απεύρων ποςοτότων 2) διϋγερςη τησ επύγνωςησ των μαθητών ςχετικϊ με τισ αςυνϋπειεσ ςτον τρόπο ςκϋψησ τουσ
3)υζότηςη από πού πηγϊζουν οι διαιςθόςεισ των παιδιών για το ϊπειρο. 4)Προοδευτικό μετϊβαςη από το πεπεραςμϋνο ςτο ϊπειρο 5)Υυςιολογικό να αναρωτιϋται κϊποιοσ για το ϊπειρο- χετικότητα των μαθηματικών 6) Ενύςχυςη αυτοπεπούθηςησ μαθητών ςτουσ νϋουσ οριςμούσ. Η διδαςκαλύα με τισ παραπϊνω αρχϋσ ( Tirosh, 1991, Tsamir, 1999): 1) Προϊγουν την ανακαταςκευό τησ γνώςησ 2) Επύγνωςη διαφορών πεπεραςμϋνων - ϊπειρων ςυςτημϊτων 3) Επύγνωςη αντιφϊςεων που προκύπτουν από την κατ εναλλαγό εφαρμογό διαφορετικών κριτηρύων όταν ςυγκρύνουμε ϊπειρα ςύνολα.
Aspects of students understanding of rational numbers Xenia Vamvakoussi & Stella Vosniadou Εξετϊζει την κατανόηςη των μαθητών για την πυκνό δομό των ρητών αριθμών από την οπτικό τησ εννοιολογικόσ αλλαγόσ. Παραθϋτει ότι: τα επεξηγηματικϊ πλαύςια των μαθητών ςχετικϊ με τουσ αριθμούσ, εύναι ςτενϊ δεμϋνα με την κατανόηςη τουσ γύρω από τουσ φυςικούσ αριθμούσ. Αυτϊ τα πλαύςια διευκολύνουν ςκϋψη & μϊθηςη ςχετικϊ με τουσ ρητούσ αριθμούσ αν η νϋα πληροφορύα εύναι ςυμβατό με τισ υποκεύμενεσ προώποθϋςεισ, αλλϊ προκαλεύ δυςκολύεσ & ςυςτηματικϊ λϊθη όταν η νϋα πληροφορύα ϋρχεται ςε αντύθεςη με την υπϊρχουςα γνώςη.
Δυςκολύεσ ευϋλικτησ & αποτελεςματικόσ μετακύνηςησ ςτισ διϊφορεσ μορφϋσ των ρητών ( Moss, 2005). χηματύζουν ςυμβολικϋσ παραςτϊςεισ για να χειριςτούν φυςικούσ, κλϊςματα, δεκαδικούσ ωσ ξεχωριςτϊ, αςυςχϋτιςτα εύδη αριθμών. Οι αρχϊριοι ϋχουν την τϊςη να κατηγοριοποιούν ομϊδεσ αντικειμϋνων βϊςει των επιφανειακών χαρακτηριςτικών τουσ(chi, Feltovich, Glaser, 1981) π.χ (Neumann 1998) 7 η :Δυςκολύα τοποθϋτηςησ κλϊςματοσ ανϊμεςα ςε δεκαδικούσ. Υυςικούσ(διακριτότητα, μονοςόμαντη αναπαρϊςταςη, ομοιογϋνεια των μορφών) κλειδιϊ για τισ αρχικϋσ θεωρύεσ των μαθητών ςτουσ αριθμούσ. Υρϊςουν την κατανόηςη τησ πυκνόσ δομόσ των ρητών. Ανϊγκη για εννοιολογικό αλλαγό. χηματιςμόσ ςυνθετικών μοντϋλων ςτην δομό των διαςτημϊτων ρητών αριθμών.(xenia Vamvakoussi & Stella Vosniadou 2004)
Εμπειρικϊ παραδεύγματα 9 η και 11 η. Η χρόςη τησ γραμμόσ των αριθμών δεν βοόθηςε ςτην αντιμετώπιςη του προβλόματοσ τησ διακριτότητασ. (Vosniadou, Skopeliti, Ikospentaki 2005) Τιοθετώντασ την προςϋγγιςη τησ εννοιολογικόσ αλλαγόσ, εντοπύζουμε τα επεξηγηματικϊ πλαύςια για τουσ αριθμούσ που εμποδύζουν επιπλϋον γνώςη ςτουσ ρητούσ.
Conceptual Change in THE number concept: dealing with continuity and limit Kaarina Merenluoto & Emo Lehtinen 37% (17-18 χρονών)(ν=538), 67% καθηγητϋσ μαθητών (ν=62) 14% φοιτητϋσ (ν=71) Φρηςιμοποιούςαν την λογικό των φυςικών αριθμών για να δουλϋψουν με ρητούσ& πραγματικούσ Πρωταρχικό ϋρευνα: 538 μαθητϋσ (17-18 χρονών) Ερωτόςεισ για: 1)πυκνότητα ςτην γραμμό αριθμών 2)εξηγόςουν ϋννοιεσ ορύου & ςυνϋχειασ με δικϊ τουσ λόγια 3)να εκτιμόςουν την ακρύβεια των απαντόςεων τουσ
Δεύτερη ϋρευνα: Μιςό χρόνο αργότερα 272 από τουσ παραπϊνω, απϊντηςαν ςτισ ύδιεσ ερωτόςεισ.(ςε ςυνθόκεσ τϊξησ) Κατηγοριοπούηςη: Primitive level (χρόςη πρωταρχικόσ γνώςησ, απαντόςεισ βαςιςμϋνεσ ςτισ καθημερινϋσ ϋννοιεσ & εμπειρύεσ) Level of partial identification (κατακερματιςμϋνη αναγνώριςη ) Level of operational understanding (εξηγούν απϊντηςη με καθαρϊ λειτουργικϊ επιχειρόματα) Beginning structural understanding level (ύχνη καταςκευαςτικόσ κατανόηςησ)< 10%
Οι απαντόςεισ πηγϊζουν από: 1)διακριτό ςκϋψη 2)καθημερινό χρόςη τησ ϋννοιασ τησ ςυνϋχειασ 3)το όριο ςαν φρϊγμα Μικρό επύπεδο ςιγουριϊσ<=>μεταβατικό επύπεδο Ευαιςθηςύα ςτισ γνωςτικϋσ απαιτόςεισ& υψηλϋσ εκτιμόςεισ βεβαιότητασ => μαθητϋσ δεν αντιλαμβϊνονται την γνωςτικό ςύγκρουςη Απόκτηςη διαφορετικού εύδουσ μαθηματικόσ ςκϋψησ απαιτεύ: ανοχό αναπόφευκτου ςυναιςθόματοσ αςϊφειασ Διδακτικό προςϋγγιςη που δύνει ϋμφαςη ςτισ διαφορϋσ μεταξύ καθημερινόσ- μαθηματικόσ ςκϋψησ
The linear imperative :Searching for the roots and the impact of the over-use of proportionality Wim Van Dooren,Dirk De Bock & Lieven Verschaffel o τόχοσ: Πωσ η Θ.Ε.Α εξηγεύ τισ ρύζεσ & τη διατόρηςη του φαινομϋνου τησ υπερχρόςησ τησ γραμμικόσ ϋννοιασ. oγραμμικότητα& αναλογικότητα (f (x) = αx-ευθεύα γραμμό) ςημαντικό ςτα μαθηματικϊ (ϋμφαςη πρωτοβϊθμια & δευτεροβϊθμια εκπαύδευςη) o Μαθητϋσ διαφόρων ηλικιών εφαρμόζουν ιδιότητα αναλογύασ ςε διϊφορεσ περιοχϋσ όταν δεν πρϋπει.
Σρύα παραδεύγματα: (Van Dooren et al 2005) μη-γραμμικϊ προβλόματα απαντόθηκαν με γραμμικό τρόπο 3 η τϊξη 30% (αύξηςη)=> 5 η τϊξη 51% 5 η τϊξη 51% (μεύωςη)=> 8 η τϊξη 22%
Λϊθοσ απαντόςεισ βαςύζονται ςε ςυμπερϊςματα αναλογικότητασ- ιδιότητεσ γραμμικών ςυναρτόςεων (f(x+y)=f(x)+f(y) & f(kx)=kf(x))
o Λϊθοσ απϊντηςη «ύςο με» 33% ςτην 7 η => 62% ςτην 12 η Διαιςθητικόσ κανόνασ «ύδιο Α-ύδιο Β»
οι μαθητϋσ ςτην καθημερινότητα ϋρχονται ςε επαφό με γραμμικϋσ ςχϋςεισ(μϋτρηςη- αρύθμηςη) η ςτοιχειώδησ εκπαύδευςη ενιςχύει και εμπλουτύζει τισ όδη υπϊρχουςεσ αναλογικϋσ εννοιολογικϋσ δομϋσ. Η ιδϋα τησ γραμμικότητασ δρα ευρϋωσ ςαν «θεωρύα πλαιςύου» για τισ μαθηματικϋσ ςχϋςεισ & η μϋθοδοσ τησ αναλογύασ γύνεται πανϊκεια. Οι μαθητϋσ εύναι πεπειςμϋνοι για την επιλογό τησ αναλογικόσ μεθόδου, ακόμα και αν δεν μπορούν να εξηγόςουν πωσ χρηςιμοποιεύται & γιατύ. Νϋα γνώςη αςυμβύβαςτη με την παλιϊ προκαλεύ ςτουσ μαθητϋσ δυςκολύεσ μϊθηςησ, περιςςότερεσ παρανοόςεισ & δημιουργύα «ςυνθετικών μοντϋλων» ςτην προςπϊθεια αφομούωςησ τησ νϋασ γνώςησ
Conceptual Change in advanced mathematical thinking : the case of tangent line Irene Biza & Theodossios Zachariades concept image= γνωςτικό δομό ςτο μυαλό του καθενόσ που ςχετύζεται με δοςμϋνη ϋννοια. Γενύκευςη των όδη υπαρχόντων concept images για να εύναι εφαρμόςιμεσ ςε ευρύτερο φϊςμα με δύο τρόπουσ 1) reconstructive generalization (ανακαταςκευό γνωςτικόσ δομόσ) 2) Expansive generalization (επϋκταςη χωρύσ αλλαγϋσ) υνθετικϊ μοντϋλα μαθητών όςον αφορϊ την εφαπτομϋνη ςτην γραφικό παρϊςταςη ςυνϊρτηςησ. Μαθητϋσ βρύςκονται κϊτω από την επύδραςη τησ εφαπτομϋνησ κύκλου.(οπτικό αναπαρϊςταςη)
Students Interpretation of the use of Literal Symbols in Algebra A Conceptual Change Approach Konstantinos P. Christou & Stella Vosniadou Αρχικό επιρροό ςτο θϋμα->θεωρύα Piaget. Δυςκολύα κατανόηςησ τησ χρόςησ των γραμμϊτων ςαν γενικευμϋνουσ αριθμούσ. Ερμηνεύα γραμματικών ςυμβόλων (κϊποιεσ φορϋσ) όχι ςαν αριθμούσ αλλϊ ςαν αντικεύμενα ό ταμπϋλεσ αντικειμϋνων. Αντικατϊςταςη γραμματικών ςυμβόλων από ςυγκεκριμϋνουσ αριθμούσ (φυςικούσ) πηγϊζει από πρότερη γνώςη των παιδιών ςτουσ φυςικούσ. Διαιςθητικϊ μαθηματικϊ δυςκολεύουν την γνώςη ανώτερων μαθηματικών εννοιών. Η μαθηματικό γνώςη δυςκολεύει την μαθηματικό γνώςη.
The dilemma of mathematical intuition in learning Lauren B. Resnick Η διαιςθητικό γνώςη των παιδιών ενιςχύει την απόκτηςη μαθηματικϊ ςωςτών μορφών αιτιολόγηςησ. Διαιςθητικϋσ μορφϋσ αιτιολόγηςησ υπϊρχουν ςε παιδιϊ & ενόλικεσ με περιοριςμϋνη παιδεύα. τρατολόγηςη διαιςθητικόσ μαθηματικόσ κατανόηςησ των παιδιών για ςχηματιςμό διδαςκαλύασ με καταςκευαςτικό μορφό.
Σι μπορούμε να κϊνουμε: 1) τισ μικρϋσ τϊξεισ θεμϋλια = οι διαιςθητικϋσ ϋννοιεσ αριθμού, πρόςθεςησ, αφαύρεςησ. Τπϊρχει τρόποσ ςχηματιςμού & ςυνϋχιςησ τησ μεταγενϋςτερησ διδαςκαλύασ των μαθηματικών ώςτε να παρϋχουμε τα ύδια διαιςθητικϊ θεμϋλια για την κατανόηςη ανώτερων εννοιών; 2) Αν η νϋα ϋννοια εύναι ςυναφόσ με κϊποια παλιϊ, να ζητούμε από τα παιδιϊ να αφόνουν ςτην ϊκρη τισ προώπϊρχουςεσ γνώςεισ 3) Παροτρύνουμε μαθητϋσ-καθηγητϋσ να διερευνόςουν νϋεσ γνωςτικϋσ περιοχϋσ μαζύ. 4)Πωσ ο μαθηματικόσ φορμαλιςμόσ μπορεύ να υποςτηρύξει την γνωςτικό ανϊπτυξη;
Designing for Conceptual Change Brian Greer Έχουμε την απαύτηςη από τα παιδιϊ να μϊθουν μϋςα ςε λύγα χρόνια κϊτι που την ανθρωπότητα την πόρε χιλιετύεσ να ανακαλύψει & να αποδεχτεύ. Προτεύνει αρχϋσ(4 γνωςτικϋσ & 1 μεταγνωςτικό) 1)(Thorndike) «Οι μαθητϋσ μαθαύνουν επαγωγικϊ βϊςει των παραδειγμϊτων ςτα οπούα ϋχουν εκτεθεύ». Να τουσ παρϋχουμε ϋναν ευρύτερο χώρο παραδειγμϊτων, με όχι τόςο ςτενϊ πλαύςια. 2) Όπου εύναι εφικτό να αναφερόμαςτε ςτισ επεκτϊςεισ που μπορεύ να ϋχει μύα ϋννοια. 3) Εντοπιςμόσ των ςημεύων ςτα οπούα η εννοιολογικό αλλαγό εύναι απαραύτητη & εύρεςη «bridging devices»
4)υζότηςη με τουσ μαθητϋσ για το τι ςυμβαύνει γιατύ η εννοιολογικό αλλαγό εύναι δύςκολη αλλϊ αναγκαύα. 5) Ακολουθεύται μια μακροπρόθεςμη οπτικό.