Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Πρόσθεση-αφαίρεση. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Πρόσθεση-αφαίρεση Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2 23/5/2014 Διδακτικό Μαθηματικών Ι Μϊθημα 9 ο Πρόςθεςη αφαύρεςη Πρόςθεςη και αφαύρεςη μονοψόφιων αριθμών Προώποθϋτει την κατανόηςη του ότι μια ςυλλογό γύνεται μεγαλύτερη όταν προςθϋτεισ ςε αυτόν αντικεύμενα και μικρότερη όταν αφαιρεύσ από αυτόν αντικεύμενα. τα παιδιϊ αντιλαμβϊνονται διαιςθητικϊ αυτό την ιδϋα παιδιϊ 3 ετών απαντούν ςε προβλόματα με αθρούςματα και διαφορϋσ, όπωσ ό 2+1, παιδιϊ 4 ετών απαντούν για τα 1 + 2, 2 + 1, 3-1, 3-2 Αρχικϊ μετρούν τα αντικεύμενα τησ πρώτησ ςυλλογόσ, μετρούν τα αντικεύμενα τησ δεύτερησ ςυλλογόσ και μετϊ τα μετρούν από την αρχό όλα μαζύ. 23 Μαΐου 2014 Πρόςθεςη και αφαύρεςη Αφαύρεςη αντύςτροφη αρύθμηςη 12 αντικεύμενα ςε ϋνα κουτύ και ζητϊμε να βγϊλουν 3 και να µασ πουν πόςα ϋμειναν, χωρύσ να τα βλϋπουν 12, 11, 10, ϋμειναν 9, µε ό χωρύσ δϊχτυλα. Έχει νόημα οι μαθητϋσ να αςχοληθούν µε αφαιρϋςεισ, όταν μπορούν να χρηςιμοποιούν την αρύθμηςη από ϋναν αριθμό και πϋρα ςτην πρόςθεςη. Τισ αφαιρϋςεισ µε μεγϊλο αφαιρετϋο ςυνόθωσ οι μαθητϋσ τισ αντιμετωπύζουν αρχικϊ προςθετικϊ: ςτο ερώτημα «ϋχω 13 βγϊζω 8, πόςα μϋνουν;» απαντούν, «αφού ϋχω βγϊλει 8, τότε 9,10,11,12,13, µου ϋχουν μεύνει 5». Πρόςθεςη και αφαύρεςη Αντύςτοιχα αντιμετωπύζουν και καταςτϊςεισ µε ϊγνωςτο προςθετϋο (π.χ. 8+;= 13). Η διδαςκαλύα τησ αφαύρεςησ πρϋπει να επιτρϋπει ςτα παιδιϊ τη χρόςη τησ παραπϊνω ςτρατηγικόσ. Η χρόςη τησ αφαύρεςησ «προσ τα πύςω» εύναι πιο δύςκολη για τουσ μαθητϋσ Στο 15 - ; = 8 να απαντούν 15,14,13,12,11,10,9, θϋλω 7 1

3 23/5/2014 Πρόςθεςη και αφαύρεςη Το πλαύςιο του 10 Επόμενο βόμα: ανϊπτυξη ςτρατηγικών ςκϋψησ για προβλόματα πρόςθεςησ και αφαύρεςησ, δηλαδό ςτόριξη ςε γνωςτϊ αθρούςματα ό διαφορϋσ: τα διπλϊ αθρούςματα και το 10 εύναι ςτηρύγματα των παιδιών =12,6+7 µασ κάνει 13, γιατί έχω ένα παραπάνω και 2 µασ κάνει 10 και 3 ακόμα, 13. Δεν πρϋπει να αφιερώνεται χρόνοσ ςτην απομνημόνευςη των βαςικών αθροιςμϊτων και διαφορών, αλλϊ ςτην ανϊπτυξη ςτρατηγικών ςκϋψησ, οι οπούεσ επιτρϋπουν την εύρεςη ςχϋςεων μεταξύ των βαςικών αθροιςμϊτων και διαφορών = = = 9 Το πλαύςιο του 10 Αριθμητικό ρϊβδοσ = 8 + (2 + 3) = = 13 Προώποθϋςεισ γνώςη των αθροιςμϊτων των αριθμών που μασ κϊνουν 10 ανϊλυςη ενόσ αριθμού ςε δύο προςθετϋουσ (προςθετικό δομό αριθμού) γνώςη των αθροιςμϊτων 10+ν 2

4 Προβλόματα πρόςθεςησ-αφαύρεςησ 23/5/2014 Λεκτικϊ προβλόματα πρόςθεςησ και αφαύρεςησ Αλλαγόσ: δυναμικϋσ καταςτϊςεισ, όπου ϋνα γεγονόσ αλλϊζει την ποςότητα τησ αρχικόσ κατϊςταςησ. Νύκοσ ϋχει 3 βόλουσ. Βαςύλησ του ϋδωςε 4 βόλουσ ακόμη. Πόςουσ βόλουσ ϋχει τώρα ο Νύκοσ; Συνδυαςμού: ςτατικϋσ καταςτϊςεισ, δηλαδό ςτατικϋσ ςχϋςεισ μεταξύ των ποςοτότων. Η Μαρύα ϋχει 3 κούκλεσ. Η Ελϋνη ϋχει 4 κούκλεσ. Πόςεσ κούκλεσ ϋχουν και οι δυο μαζύ; Σύγκριςησ: καταςτϊςεισ κατϊ τισ οπούεσ μια ποςότητα ςυγκρύνεται με κϊποια ϊλλη. Η Μαρύα ϋχει 3 μολύβια. Η Μϊρθα ϋχει 4 μολύβια περιςςότερα από τη Μαρύα. Πόςα μολύβια ϋχει η Μϊρθα; Εξιςορρόπηςησ: δυναμικϋσ καταςτϊςεισ, που περιλαμβϊνουν και ςυγκρύςεισ. Σε µια ομϊδα υπϊρχουν 6 κορύτςια και 8 αγόρια. Πόςα κορύτςια πρϋπει να µπουν ακόμα ςτην ομϊδα για να υπϊρχουν τόςα κορύτςια όςα και αγόρια; Καηηγορία Παράδειγμα Άγνωζηη Είδος ποζόηηηα μεηαβολής Αλλαγής 1 Πέηπορ είσε 3 µήλα, Τελική Αύξηζη Η Άννα ηος έδωζε 5 µήλα ακόµα. (increase) Πόζα µήλα έσει ηώπα ο Πέηπορ; Αλλαγής 2 Πέηπορ είσε 8 µήλα, Τελική Μείωζη Έδωζε 3 µήλα ζηην Άννα, (decrease) Πόζα µήλα έσει ηώπα ο Πέηπορ; Αλλαγής 3 Πέηπορ έσει 3 µήλα, Πόζα Ποζόηηηα Αύξηζη ακόµα µήλα ππέπει να πάπει από αλλαγήρ (increase) ηην Άννα για να έσει 8 µήλα; Αλλαγής 4 Πέηπορ έσει 8 µήλα, Πόζα Ποζόηηηα Μείωζη µήλα ππέπει να δώζει ζηην Άννα αλλαγήρ (decrease) για να έσει 3 µήλα; Αλλαγής 5 Πέηπορ είσε µεπικά µήλα, Απσική Αύξηζη Η Άννα ηος έδωζε 3 µήλα ακόµα, (increase) Τώπα ο Πέηπορ έσει 8 µήλα, Πόζα µήλα είσε ζηην απσή; Αλλαγής 6 Πέηπορ είσε µεπικά µήλα, Απσική Μ.είωζη Έδωζε 3 µήλα ζηην Άννα, (decrease) Τώπα ο Πέηπορ έσει 5 µήλα, Πόζα µήλα είσε ζηην απσή; 3

5 Προβλόματα πρόςθεςησ-αφαύρεςησ Προβλόματα πρόςθεςησ-αφαύρεςησ 23/5/2014 Σσνδσαζμού 1 Πέηπορ έσει 3 µήλα, Η Άννα Τελική - έσει 5 µήλα, Πόζα µήλα έσοςν και οι δύο µαζί; Σσνδσαζµού 2 Πέηπορ και η Άννα έσοςν µαζί Υποζύνολο - 8 µήλα, Πέηπορ, έσει 3 µήλα, Πόζα µήλα έσει η Άννα;. Σύγκριζης 1 Πέηπορ έσει 8 µήλα, Η Άννα Διαθοπά Πεπιζζόηεπο έσει 3 µήλα, Πόζα πεπιζζόηεπα (more) µήλα έσει ο Πέηπορ από ηην Άννα; Σύγκριζης 2 Πέηπορ έσει 8 µήλα, Η Άννα Διαθοπά Λιγόηεπο έσει 3 µήλα, Πόζα λιγόηεπα µήλα (Iess) έσει η Άννα από ηον Πέηπο; Σύγκριζης 3 Πέηπορ έσει 3 µήλα, Η Άννα Ποζόηηηα Πεπιζζόηεπο έσει 5 µήλα πεπιζζόηεπα από ηον ζύγκπιζηρ (more) Πέηπο, Πόζα µήλα έσει η Άννα; Σύγκριζης 4 Πέηπορ έσει 8 µήλα, Η Άννα Ποζόηηηα Λιγόηεπο έσει 3 µήλα λιγόηεπα από ηον ζύγκπιζηρ (Iess) Πέηπο, Πόζα µήλα έσει η Άννα; Σύγκριζης 5 Πέηπορ έσει 8 µήλα. Έσει 3 Ποζόηηηα Πεπιζζόηηεπο µήλα πεπιζζόηεπα από ηην Άννα. αναθοπάρ (more) Πόζα µήλα έσει η Άννα; Σύγκριζης 6 Πέηπορ έσει 5 µήλα. Έσει 3 Ποζόηηηα Λιγόηεπο µήλα λιγόηεπα από ηην Άννα. Πόζα µήλα έσει η Άννα; αναθοπάρ (less) Προβλόματα πρόςθεςησ και αφαύρεςησ Πιο απλϊ εύναι τα προβλόματα: ςυνδυαςμού µε ϊγνωςτη την τελικό ποςότητα αλλαγόσ πρόςθεςησ και αφαύρεςησ µε ϊγνωςτη την τελικό ποςότητα. Πιο δύςκολα εύναι τα προβλόματα: ςυνδυαςμού ό αλλαγόσ µε ελλεύποντα προςθετϋο (όταν ϊγνωςτη εύναι η ποςότητα τησ αλλαγόσ). Προβλόματα πρόςθεςησ και αφαύρεςησ Αρκετϊ παιδιϊ δεν διαβϊζουν το πρόβλημα και απλώσ, απομονώνοντασ τουσ αριθμούσ, εκτελούν την πιο πρόςφατη πρϊξη που εύχαν μϊθει ςτο ςχολεύο ό αυτόν που θεωρούν ότι ξϋρουν καλύτερα (π.χ. πρόςθεςη). Στηρύζονται ςε µια λϋξη-κλειδύ του προβλόματοσ την οπούα ϋχουν ςυνδϋςει µε µια ςυγκεκριμϋνη πρϊξη π.χ. περιςςότερο-πρόςθεςη, λιγότεροαφαύρεςη, χϊνω-αφαύρεςη Επηρεϊζονται από το μϋγεθοσ των αριθμών που υπϊρχουν ςτο πρόβλημα Εάν οι αριθμοί είναι ςαν το 78 και 54, τότε µάλλον προςθέτω ή πολλαπλαςιάζω. Αλλά εάν είναι 78 και 3 µάλλον θα κάνω διαίρεςη. 4

6 23/5/2014 Προβλόματα πρόςθεςησ και αφαύρεςησ Η καταςκευό προβλημϊτων από τα ύδια τα παιδιϊ δύνει την ευκαιρύα να κατανοόςουν: τισ μαθηματικϋσ ϋννοιεσ που προςεγγύζουν τη δομό ενόσ προβλόματοσ Σημαςύα ϋχει και ο τρόποσ αναπαρϊςταςησ των ποςοτότων του προβλόματοσ και των ςχϋςεων μεταξύ τουσ, η οπούα αφορϊ: χειριςμό αντικειμϋνων ςχεδιαςμό του ςυλλογιςμού ςτο χαρτύ αριθμητικό πρόταςη Αρχικϊ: μοντϋλο μιασ ςυγκεκριμϋνησ κατϊςταςησ που περιγρϊφεται από ϋνα πρόβλημα. Τελικϊ: μοντϋλο για την υποςτόριξη του μαθηματικού ςυλλογιςμού ςχετικϊ με μια αριθμητικό πρϊξη. οι μαθητϋσ εςτιϊζουν ςτισ αριθμητικϋσ ςχϋςεισ μεταξύ των αριθμών. τελικϊ ο αριθμόσ γύνεται κατανοητόσ ωσ μια αφηρημϋνη μαθηματικό οντότητα. Διαφορϋσ με την ευθεύα των πραγματικών αριθμών: Η ευθεύα των πραγματικών εύναι ϋνα ϋτοιμο μοντϋλο ενόσ ςυνόλου αριθμών. Ένα ςημεύο ςτην αριθμογραμμό δεν εύναι απλϊ η θϋςη ενόσ αριθμού, αλλϊ μια ποςότητα. Διαφορϋσ με τον χϊρακα: ι αριθμητικϋσ ενδεύξεισ ςτην αριθμογραμμό δεν αντιςτοιχούν ςε ακριβεύσ μετρόςεισ. Η αριθμογραμμό εκφρϊζει τισ ςτρατηγικϋσ επύλυςησ των μαθητών, ενώ ο χϊρακασ αποδύδει το ακριβϋσ αποτϋλεςμα μιασ μϋτρηςησ. Πρόβλημα: Ένα βιβλύο ϋχει 64 ςελύδεσ. Έχω διαβϊςει 37 ςελύδεσ. Πόςεσ ςελύδεσ μου μϋνουν να διαβϊςω; 5

7 23/5/2014 Πρόβλημα: Ένα βιβλύο ϋχει 64 ςελύδεσ. Έχω διαβϊςει 37 ςελύδεσ. Πόςεσ ςελύδεσ μου μϋνουν να διαβϊςω; Πρόβλημα: Ένα βιβλύο ϋχει 64 ςελύδεσ. Έχω διαβϊςει 37 ςελύδεσ. Πόςεσ ςελύδεσ μου μϋνουν να διαβϊςω; Η διπλό αριθμογραμμό Κώςτασ ϋχει 53 ευρώ και η Μαρύα ϋχει 19 ευρώ. Πόςα ευρώ περιςςότερα ϋχει ο Κώςτασ από τη Μαρύα; Πρόβλημα: Ένασ τροχόσ καλύπτει απόςταςη 5 μϋτρων ςε 4 περιςτροφϋσ. Πόςα μϋτρα θα καλύψει ςε 30 περιςτροφϋσ; ? 6

8 23/5/2014 Διαδικαςύα μοντελοπούηςησ ερμηνεία Ρεαλιστικό πρόβλημα απλοποίηση Μοντελοπούηςη Η ϋνδειξη του μηχανόματοσ όταν ότι υπϊρχουν 22 πελϊτεσ ςε αναμονό και ο τελευταύοσ πελϊτησ που εξυπηρετούνταν εύχε τον αριθμό 398. Την ώρα που μπόκα εργαζόταν 4 ταμεύα. Μαθηματικό αποτέλεσμα Ρεαλιστικό μοντέλο υπολογισμοί Μαθηματικό μοντέλο αυαίρεση Γρϊψτε ϋνα τύπο ο οπούοσ όταν του δώςουμε τον αριθμό των ενεργών ταμεύων και τον αριθμό των πελατών να μασ δύνει το μϋςο χρόνο αναμονόσ (ςτην προκειμϋνη περύπτωςη ο χρόνοσ όταν 13 λεπτϊ). 7

9 Χρηματοδότηση Τέλος Ενότητας Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Σημειώματα Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.

10 Σημείωμα Αναφοράς Σημείωμα Αδειοδότησης Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης. «Διδακτική Μαθηματικών I. Πρόσθεση-αφαίρεση». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1]