6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ

6.5. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΥΣ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ 6.5.1. Οι γνώσεις υποψηφίων δασκάλων για την υπολογιστική εκτίμηση Σε μια έρευνα των Lemonidis and Kaimakami (2013) εξετάστηκαν 50 υποψήφιοι δάσκαλοι στο τέλος των σπουδών τους, με στόχο να διερευνηθούν οι γνώσεις τους στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Η εξέτασή τους έγινε με προσωπική συνέντευξη και χρονομετρήθηκε ο χρόνος απάντησης στις ερωτήσεις. Οι βασικοί στόχοι της έρευνας ήταν: 1) Να εξεταστούν οι παράγοντες που επηρεάζουν τη δυσκολία των προβλημάτων της υπολογιστικής εκτίμησης. 2) Να εξεταστεί ο τρόπος με τον οποίο οι υποψήφιοι εκπαιδευτικοί αντιμετωπίζουν τα προβλήματα της υπολογιστικής εκτίμησης και τα λάθη που κάνουν. 3) Να διερευνηθούν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Η εξέταση πραγματοποιήθηκε με 15 προβλήματα, τα οποία παρουσιάζονται στον πίνακα 6.2. Προβλήματα Επιτ υχία 1 Εκτιμήστε περίπου το άθροισμα των πιο κάτω ποσών:1.26, 43 4.79, 0.99, 1.37, 2.58 86% 2 Να εκτιμηθεί περίπου ο αριθμός των επισκεπτών σε μια 28 έκθεση από την ακόλουθη λίστα: Δευτέρα 72.250, Τρίτη 56% 63.819, Τετάρτη 67.480, Πέμπτη 73.180, Παρασκευή 74.918, Σάββατο 68.490. 3 Ένας μαθητής που ξεκίνησε σκι έκανε 75 ώρες μάθημα και 15 κάθε ώρα κόστιζε 36. Πόσο πρέπει περίπου να πληρώσει; 30% 4 Εκτιμήστε περίπου το ακόλουθο αποτέλεσμα: 3.388:7= 34 68% 5 Εκτιμήστε περίπου το ακόλουθο αποτέλεσμα: 29 7/8 + 12/13 + 23/45 = 58% 6 Στα 816 ml μιας ουσίας το 9,84% είναι αλκοόλη. Πόση 30 περίπου αλκοόλη έχει η ουσία; 60% 7 Υπολογίστε περίπου τον αριθμό μαθητών των τριών σχολείων 48 Α Λύκειο: 1.378 μαθητές, Β Λύκειο :236 μαθητές, Γ 96% Λύκειο: 442 μαθητές 8 Εκτιμήστε περίπου το ακόλουθο αποτέλεσμα: 437 x 8 = 41 9 Έξι ανεξάρτητες μετρήσεις έγιναν από μια ομάδα για την εύρεση του ύψους του βουνού Έβερεστ σε πόδια: 28.990, 28.991, 28994, 28998, 29001, 29026. Με βάση αυτές τις μετρήσεις πόσο περίπου μπορούμε να πούμε ότι είναι το ύψος του Έβερεστ; 10 Η Μαρία έτρεξε 1/2 km το πρωί και 3/8 km το απόγευμα. Έτρεξε τουλάχιστον 1km ; 11 Το αποτέλεσμα ισούται περίπου με 200; 35 + 42 + 40 +38 +44 82% 40 80% 49 98% 50 100% 12 Εκτιμήστε περίπου το ακόλουθο αποτέλεσμα: 62x79= 26 52% 13 Ένας εργάτης δούλεψε 28 ημέρες για 56 τη μέρα. Πόσο 36 περίπου θα πληρωθεί; 72% 14 Έξι ομάδες μαθητών έκαναν με λουλούδια ανθοδέσμες για τη 42 σχολική γιορτή. Κάθε ομάδα έκανε 27, 49, 38, 65, 56, 81 84% Χρήση εκτίμ. 40 80% 27 54% 10 20% 19 38% 25 50% 30 60% 41 82% 27 54% 40 80% 44 88% 37 74% 22 44% 35 70% 37 74% Χρ. Απν 22 56 43 36 40 35 22 31 33 14 20 33 24 35

ανθοδέσμες. Πόσες ανθοδέσμες έχουμε περίπου συνολικά; 15 Ένα τρένο νέας τεχνολογίας διανύει 25.889 χιλιόμετρα σε 52 ώρες. Πόσα χιλιόμετρα διανύει περίπου σε μία ώρα; 26 52% 23 46% 43 Πίνακας 6.2: Προβλήματα κατ εκτίμηση υπολογισμού, ποσοστά επιτυχίας, χρήση της εκτίμησης και χρόνοι απάντησης Παράγοντες που επηρεάζουν τη δυσκολία των προβλημάτων των κατ εκτίμηση υπολογισμών Σύμφωνα με τα ποσοστά επιτυχίας του πίνακα 6.2, τα προβλήματα ομαδοποιήθηκαν σε τρεις ομάδες δυσκολίας: - Δύσκολα (ποσοστό επιτυχίας <54%)): Π3:20%, Π4:38%, Π12: 44%, Π15: 46%, Π5: 50%, Π2: 54% και Π8: 54%. - Μεσαίας δυσκολίας (54%< ποσ. επιτ. <74%): Π6:60%, Π13:70%, Π11:74% και Π14:74% - Εύκολα (80%< ποσ. επιτ. <88%): Π10:88%, Π7:82%, Π1:80% και Π9:80%. Δύσκολα είναι τα προβλήματα τα οποία εμπεριέχουν μια πράξη πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης με αριθμούς που είναι σχετικά δύσκολοι για τους νοερούς υπολογισμούς (75x36, 3.388 7, 62x79, 25.889 52, 437x8), πρόσθεση τριών κλασμάτων (7/8+12/13+23/45) και μέσος όρος μεγάλων αριθμών. Μεσαίας δυσκολίας είναι τα προβλήματα που εμπεριέχουν τον υπολογισμό ενός ποσοστού κοντά στο 10% (9,84% του 816), το οποίο δεν μπορεί να υπολογιστεί νοερά με αλγόριθμο, έναν πολλαπλασιασμό διψήφιων αριθμών (28x56) και προσθέσεις με 5 ή 6 όρους (35+42+40+38+44 ή 27+49+38+65+56+81). Εύκολα είναι τα προβλήματα που περιλαμβάνουν ένα άθροισμα απλών κλασμάτων με έναν όρο το 1/2, άθροισμα τριών όρων (1.378+236+442), άθροισμα δεκαδικών αριθμών (1.26+4.79+0.99+1.37+2.58) και την εύρεση μέσου όρου από 6 μετρήσεις του όρους Έβερεστ. Στην έρευνα αυτή οι συγγραφείς συμπεραίνουν ότι οι παράγοντες που επηρεάζουν τη δυσκολία ενός προβλήματος είναι οι εξής: 1) Το είδος της πράξης που εμπεριέχει το πρόβλημα: Οι πολλαπλασιασμοί και οι διαιρέσεις είναι πιο δύσκολες πράξεις από τις προσθέσεις. 2) Τα χαρακτηριστικά των αριθμών της πράξης: Το μέγεθος των αριθμών, δηλαδή, αν είναι μεγάλοι αριθμοί είναι δύσκολο να υπολογιστούν νοερά (π.χ. 25.889 52). Το πλήθος των όρων της πράξης π.χ. η πρόσθεση με πέντε όρους (Π11: 35+42+40+38+44) είναι πιο δύσκολη από την πρόσθεση με τρεις όρους (Π7: 1.378+236+442). Το είδος των αριθμών: ακέραιοι, κλάσματα, δεκαδικοί, ποσοστά. Για παράδειγμα, το άθροισμα τριών κλασματικών αριθμών (Π5: 7/8+12/13+23/45) είναι πιο δύσκολο από το άθροισμα τριών ακεραίων (Π7: 1.378+236+442). 3) Το περιεχόμενο της εκφώνησης του προβλήματος: Μπορεί το περιεχόμενο να είναι οικείο και να ωθεί προς έναν κατ εκτίμηση υπολογισμό. Για παράδειγμα, τα προβλήματα Π2 και Π9 εμπεριέχουν και τα δύο προσθέσεις μεγάλων πολυψήφιων αριθμών. Όμως, το περιεχόμενο του προβλήματος Π9 παραπέμπει στην προσέγγιση του ύψος του μεγαλύτερου βουνού του κόσμου, που είναι γνωστό και οικείο, πράγμα που κάνει το πρόβλημα ευκολότερο. Οι συνδυασμοί αυτών των παραγόντων καθορίζουν, σε μεγάλο βαθμό, τη δυσκολία ενός προβλήματος. Έτσι, οι πολλαπλασιασμοί ή οι διαιρέσεις με δύσκολους αριθμούς δημιουργούν δύσκολα προβλήματα (βλέπε, Π3, Π4, Π12, Π15, Π5, Π8). Οι

προσθέσεις, που είναι σχετικά εύκολες πράξεις, όταν συνδυάζονται με μεγάλους αριθμούς (βλέπε, Π2) ή με δύσκολους αριθμούς, όπως τα κλάσματα, (βλέπε, Π5) καθιστούν το πρόβλημα της εκτίμησης δύσκολο. Στο πρόβλημα Π1 έχουμε άθροισμα 5 όρων με δεκαδικούς αριθμούς, που είναι δυσκολότεροι αριθμοί σχετικά με τους ακεραίους, αλλά εδώ, έχουμε ένα περιεχόμενο του προβλήματος καθημερινό και οικείο που είναι ο υπολογισμός χρηματικού ποσού. Ο ακριβής υπολογισμός και η νοερή χρήση των γραπτών αλγορίθμων Μια γενική διαπίστωση στην έρευνα αυτή είναι ότι ένας μεγάλος αριθμός υποψηφίων δασκάλων καταφεύγει στον ακριβή υπολογισμό, υπολογίζοντας νοερά και χρησιμοποιώντας κυρίως τους αλγόριθμους των πράξεων. Αυτό φαίνεται στον πίνακα 6.2 από τη διαφορά του ποσοστού επιτυχίας στην πρώτη γραμμή και του ποσοστού εκτίμησης στη δεύτερη γραμμή. Στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ του ποσοστού επιτυχίας με εκτίμηση και του ποσοστού γενικής επιτυχίας παρουσιάζεται στα προβλήματα: Π4 (38% και 68%, z=3, p<0,01), Π7 (82% και 96%, z=2,2, p<0,05), Π8 (54% και 82%, z=3, p<0,01), Π10 (88% και 98%, z=1,95, p<0,05), Π11 (74% και 100%, z=3,86, p<0,001). Η διαφορά αυτή μεταξύ των ποσοστών επιτυχίας δημιουργείται εξαιτίας του ποσοστού των ατόμων τα οποία υπολόγισαν με ακριβή υπολογισμό και όχι με κατ εκτίμηση υπολογισμό. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα Π4 η διαφορά στα ποσοστά επιτυχίας (38% και 68%) δημιουργείται από 15 άτομα (30%), τα οποία προσπάθησαν και έκαναν την διαίρεση με το μυαλό τους όπως θα την έκαναν με χαρτί και με μολύβι. Γι αυτό ο μέσος χρόνος απάντησης για τα άτομα αυτά, που έκαναν ακριβή υπολογισμό, ήταν 46, ενώ τα άτομα που έκαναν κατ εκτίμηση υπολογισμό είχαν μέσο χρόνο 29. Σύμφωνα με τα παραπάνω φαίνεται ότι πολλοί υποψήφιοι εκπαιδευτικοί δεν γνωρίζουν να κάνουν κατ εκτίμηση υπολογισμό και καταφεύγουν στο να εκτελούν νοερά ακριβείς υπολογισμούς και μάλιστα πολλές φορές πραγματοποιώντας νοερά τον γραπτό αλγόριθμο. Αυτό βέβαια είναι πιο δύσκολο και έχει μεγαλύτερο κόστος σε χρόνο. Αυτοί οι υποψήφιοι δάσκαλοι μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν διαθέτουν ευελιξία στους υπολογισμούς και καταφεύγουν στο να εκτελούν νοερά τους γραπτούς αλγόριθμους. Η χρήση των στρατηγικών στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς Κάθε ένα από τα 15 προβλήματα της έρευνας μπορεί να απαντηθεί με πολλούς τρόπους, αλλά η πιο κατάλληλη στρατηγική που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι κατά βάση μία από τις παρακάτω πέντε στρατηγικές: 1. Στρατηγική εμπρόσθιου άκρου: Για παράδειγμα, στο πρόβλημα Π1: 1.26+4.79+ 0.99 +1.37 +2.58 υπολογίζεται το άθροισμα των ακέραιων μερών (εμπρόσθιο άκρο) 1+4+1+2=8, στη συνέχεια μπορεί να γίνει μια ρύθμιση αθροίζοντας και τα δεκαδικά μέρη 0,26+0,79, που είναι περίπου 1, το 0,99 είναι περίπου 1, 0,37+0,58 είναι περίπου 1, άρα όλα τα δεκαδικά μέρη είναι 3, άρα συνολικά έχουμε 8+3=11. Η στρατηγική εμπρόσθιου άκρου είναι κατάλληλη για τα εξής προβλήματα: Π1, Π7 και Π8. Τη στρατηγική αυτή στο πρόβλημα Π1 τη χρησιμοποιούν σωστά το 46% των φοιτητών, στο Π7 μόνο το 8% και στο Π8 το 42%. 2. Συσσώρευση ή Μέσος όρος: Αυτή η ειδική στρατηγική εφαρμόζεται στην πρόσθεση πολλών αριθμών και όταν οι αριθμοί αυτοί βρίσκονται γύρω από μία

ειδική τιμή. Για παράδειγμα, στο Π11 το 35+42+40+38+44 μπορεί να υπολογιστεί ως 5x40=80. Η στρατηγική αυτή είναι κατάλληλη για τα προβλήματα: Π2, Π9 και Π11. Τη συγκεκριμένη στρατηγική τη χρησιμοποιεί σωστά στην ερώτηση Π2 το 10% των ερωτηθέντων, στην Π9 το 36% και στην Π11 το 8%. Παρατηρούμε ότι τη στρατηγική αυτή τη γνωρίζουν και τη χρησιμοποιούν σωστά πολύ μικρά ποσοστά φοιτητών. 3. Στρογγυλοποίηση: Οι αριθμοί τροποποιούνται σε πιο στρόγγυλους αριθμούς, ώστε να γίνουν ευκολότερα οι πράξεις. Μετά τον υπολογισμό με τους στρογγυλεμένους αριθμούς μπορεί να υπάρξει μία ή και περισσότερες πράξεις προσαρμογής του αποτελέσματος. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα Π13, το 28x56 = ; στρογγυλοποιούμε προς τα πάνω 30x60=1800 και μπορούμε να ρυθμίσουμε προς τα κάτω, 2x60=120, 1.800-120= 1.680. Η στρατηγική της στρογγυλοποίησης είναι κατάλληλη για τα προβλήματα: Π3, Π12 και Π13. Αυτήν την στρατηγική οι υποψήφιοι δάσκαλοι τη χρησιμοποιούν σωστά στα προβλήματα Π3 σε ποσοστό 14%, στο Π12 σε ποσοστό 44% και στο Π13 σε ποσοστό 64%. Παρατηρούμε εδώ ότι στα τρία προβλήματα διψήφιου πολλαπλασιασμού, Π3: 75x36, Π12: 62x79 και Π13: 28x56, που είναι αυξανόμενης ευκολίας, αντίστοιχα αυξάνεται και το ποσοστό σωστής χρήσης της στρατηγικής της στρογγυλοποίησης. 4. Στρατηγική συμβατών αριθμών: Αυτή η στρατηγική περιλαμβάνει την επιλογή των αριθμών που καθιστούν τον υπολογισμό εύκολο και δίνουν μια καλή εκτίμηση του αρχικού προβλήματος. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα Π14, στο άθροισμα: 27+49+38+ 65+ 56+ 81, το 27+81 είναι περίπου 100, το 49+56 είναι περίπου 100 και το 38+65 είναι περίπου 100. Το άθροισμα, λοιπόν, είναι περίπου 300. Αυτά τα ζεύγη των αριθμών είναι συμβατά. Η στρατηγική συμβατών αριθμών είναι κατάλληλη για τα προβλήματα: Π4, Π14 και Π15. Η στρατηγική αυτή χρησιμοποιείται σωστά στο πρόβλημα Π4 από το 32% των φοιτητών, στο Π14 από το 10% και στο Π15 από το 42% των φοιτητών. Το πρόβλημα Π14 είναι ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα, όπου μπορεί να χρησιμοποιηθεί η στρατηγική αυτή, παρόλα αυτά μόνο το 10% των φοιτητών τη χρησιμοποιεί σωστά και το 48% καταφεύγει στη στρατηγική της στρογγυλοποίησης. Αυτό δείχνει ότι η πλειοψηφία των φοιτητών δεν γνωρίζει τη στρατηγική αυτή. 5. Στρατηγική ειδικών αριθμών: Σε πολλές περιπτώσεις οι μαθητές εκπαιδεύονται να ξεχωρίζουν τους αριθμούς που είναι κοντά σε ειδικές τιμές. Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, με τα κλάσματα, όπου οι ειδικές τιμές είναι 0, 1/2 και 1. Έτσι, στο πρόβλημα Π5, στο άθροισμα 7/8 + 12/13 + 23/45, το 7/8 και το 12/13 μπορούν το καθένα να θεωρηθεί περίπου 1, και το 23/45 περίπου 1/2. Άρα το άθροισμα είναι περίπου 2,5. Η στρατηγική ειδικών αριθμών είναι κατάλληλη για τα προβλήματα: Π5, Π6 και Π10. Η στρατηγική αυτή χρησιμοποιείται σωστά στο πρόβλημα Π5 από το 50% των φοιτητών, στο Π6 από το 54% και στο Π10 από το 84% των φοιτητών. Παρατηρούμε ότι σχεδόν οι μισοί φοιτητές χρησιμοποιούν σωστά τη στρατηγική αυτή και όσο αυξάνει η ευκολία της άσκησης αυξάνεται και το ποσοστό χρήσης της στρατηγικής αυτής. Συμπερασματικά, για τη χρήση των στρατηγικών μπορούμε να πούμε ότι οι φοιτητές δεν γνωρίζουν πολύ τη στρατηγική συσσώρευση ή μέσος όρος και τη στρατηγική συμβατών αριθμών. Γνωρίζουν αρκετά και χρησιμοποιούν τις στρατηγικές στρογγυλοποίησης και ειδικών αριθμών, αλλά το ποσοστό σωστής χρήσης των στρατηγικών αυτών εξαρτάται κάθε φορά από τη δυσκολία των πράξεων στο πρόβλημα.

Οι συγγραφείς της έρευνας αυτής καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η δυσκολία των υποψηφίων δασκάλων στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς εδράζεται σε δύο βασικές αιτίες: Πρώτον στην γενική αδυναμία που έδειξαν οι υποψήφιοι δάσκαλοι στην εκτέλεση νοερών πράξεων και κυρίως των δύσκολων διψήφιων πολλαπλασιασμών και διαιρέσεων με διψήφιο διαιρέτη. Φάνηκε ότι δεν εκτελούσαν με ευχέρεια νοερές πράξεις και δεν διέθεταν ευελιξία στην επιλογή στρατηγικών στις πράξεις αυτές. Αυτό είναι εμφανές και από το γεγονός ότι έκαναν εκτεταμένη χρήση των γραπτών αλγορίθμων. Δεύτερον, φάνηκε ότι οι υποψήφιοι δάσκαλοι δεν ήταν εξασκημένοι και δεν γνώριζαν να χρησιμοποιούν στρατηγικές του κατ εκτίμηση υπολογισμού, όπως τη στρατηγική συσσώρευση ή μέσος όρος και τη στρατηγική συμβατών αριθμών. 6.5.2. Συμπεριφορές επίλεκτων μαθητών Ε και Στ τάξης στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς Τα ερευνητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται εδώ προέρχονται από τον 7ο Διαγωνισμό των «Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής» σε Δημοτικά Σχολεία της περιφέρειας της Δυτικής Μακεδονίας και του νομού των Σερρών (Λεμονίδης, Νόλκα, 2013). Στην έρευνα αυτή εξετάστηκαν 596 μαθητές, από τους οποίους οι 314 φοιτούσαν στην Ε τάξη και οι 282 στη Στ, οι 304 (51%) ήταν αγόρια και οι 292 (49%) κορίτσια. Οι μαθητές που πήραν μέρος στον διαγωνισμό είχαν επιλεγεί από τους δασκάλους τους με κριτήριο τις καλές τους επιδόσεις στο μάθημα των Μαθηματικών, ήταν, δηλαδή, «επίλεκτοι» μαθητές. Τέλος, οι μαθητές αυτοί δεν διδάχτηκαν στο σχολείο συστηματικά τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς και δεν εξασκήθηκαν σε ειδικές στρατηγικές των υπολογισμών αυτών, οπότε οι όποιες στρατηγικές χρησιμοποίησαν είναι προσωπικές τους επινοήσεις. Διαδικασία εξέτασης Ο διαγωνισμός πραγματοποιήθηκε τον Μάιο του 2012 και έλαβε χώρα σε μέρα και ώρα εκτός σχολικού προγράμματος. Η εξέταση διεξήχθη γραπτά, ενώ τα προβλήματα κατ εκτίμηση υπολογισμών ήταν το ένα από τα τέσσερα θέματα (τα άλλα τρία θέματα ήταν λεκτικά προβλήματα). Σε κάθε πρόβλημα κατ εκτίμηση υπολογισμών, οι μαθητές καλούνταν να περιγράψουν γραπτά τον τρόπο που σκέφτηκαν. Τα προβλήματα Τα προβλήματα κατ εκτίμηση υπολογισμών που τέθηκαν στους μαθητές των δύο τάξεων είναι τα εξής: Ε ΤΑΞΗ Τα παρακάτω προβλήματα να τα λύσετε υπολογίζοντας με το μυαλό και χωρίς να κάνετε γραπτές πράξεις. Γράψτε τον τρόπο που σκεφτήκατε. Π.Ε.1.) Η Μαρία έτρεξε 1/2 km το πρωί και 3/8 km το απόγευμα. Έτρεξε τουλάχιστον 1 km; Π.Ε.2.) Ένας εργάτης δούλεψε 28 ημέρες για 56 τη μέρα. Πόσο περίπου θα πληρωθεί; Στ ΤΑΞΗ

Τα παρακάτω προβλήματα να τα λύσετε υπολογίζοντας με το μυαλό και χωρίς να κάνετε γραπτές πράξεις. Γράψτε τον τρόπο που σκεφτήκατε. Π.Στ.1.) Στα 816 ml μιας ουσίας το 9,84% είναι αλκοόλη. Πόση περίπου αλκοόλη έχει η ουσία; Π.Στ.2.) Εκτιμήστε περίπου το άθροισμα των πιο κάτω ποσών: 1,26, 4,79, 0,99, 1,37, 2,58 Οι επιδόσεις των μαθητών στα προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης Π.Ε.1. 1/2 και 3/8 Π.Ε.2. 28 x 56 Π.Στ.1. 9,84% του 816 Π.Στ.2. 1,26+4,79+0,99 +1,37+2,58 Κατ εκτίμηση 89 (28,3%) 70 (22,3%) 97 (34,4%) 137 (48,6%) υπολογισμός Ακριβής υπολογισμός 113 (36%) 145 (46,2%) 17 (6%) 63 (22,5%) με αλγόριθμο Ακριβής υπολογισμός 10 (3,2%) 2 (0,6%) 3 (1,1%) 10 (3,5%) Λάθος απάντηση 82 (26,1%) 93 (29,6%) 130 (46,1%) 48 (17%) Καμία απάντηση 20 (6,4%) 4 (1,3%) 35 (12,4%) 24 (8,5%) Σύνολο 314 (100%) 314 (100%) 282 (100%) 282 (100%) Πίνακας 6.3: Οι επιδόσεις των μαθητών στα προβλήματα υπολογιστικής εκτίμησης Στον πίνακα 6.3 παρατηρούμε ότι μικρά ποσοστά μαθητών μπορούν να εκτελούν σωστά τον κατ εκτίμηση υπολογισμό, συγκεκριμένα στην Ε τάξη, στο πρώτο και δεύτερο πρόβλημα, μπορεί το 28,3% και το 22,3% των μαθητών, ενώ στην Στ τάξη έχουμε λίγο υψηλότερα ποσοστά με 34,4% και 48,6% αντίστοιχα. Μεγάλα ποσοστά μαθητών υπολογίζουν στα προβλήματα με ακριβή υπολογισμό, μάλιστα οι μαθητές της Ε τάξης υπολογίζουν περισσότερο με ακριβή υπολογισμό παρά με εκτίμηση. Συγκεκριμένα, το πρώτο και το δεύτερο πρόβλημα το λύνει με ακριβή υπολογισμό το 39,2% και 46,8% των μαθητών αντίστοιχα. Το πρώτο πρόβλημα στην Στ τάξη (Π.Στ.1.) το λύνει σωστά μικρό ποσοστό με ακριβή υπολογισμό (7,1%), διότι η πράξη είναι δύσκολο να εκτελεστεί, γι αυτό εδώ παρουσιάζεται το μεγαλύτερο ποσοστό λανθασμένων απαντήσεων (46,1%) αλλά και μη απάντησης (12,4%). Οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές Στον πίνακα 6.4 παρουσιάζονται οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές για να εκτελέσουν τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Στρατηγική Περιγραφή Π.Ε.1. 1/2 και 3/8 Στρατηγική ειδικών αριθμών Το 1/2 είναι μισό και το 3/8 είναι λιγότερο από το μισό 9,84% 10% 88 (28%) (99%)* Π.Ε.2. 28 x 56 Π.Στ.1. 9,84% του 816 59 (20,9%) (61%) Π.Στ.2. 1,26+4,79 +0,99+1,37 +2,58

Στρογγυλοποίη ση 28x56 30x60=1800 ή Στρογγυλοποίηση μόνο του ενός παράγοντα 52 (16,6%) (74,5%) 107 (38%) (78%) Στρογγυλοποίη ση και αντιστάθμιση 28x56 30x50 30x60-100=1700 30x56-112=1568 17 (5,4%) (24,5%) 3 (1%) (3%) Στρογγυλοποίη ση & ειδικοί αριθμοί Στρατηγική Εμπρόσθιου άκρου ή εμπρόσθ.άκρο & συσσώρευση 816 820 9,84% 10% και 1+4+1+1+2=9 και 0,30+0,80+0,40+0,60 =2,10 1+4+0+1+2=8 και 0,5x5=2,5 33 (11,7%) (34%) 22 (7,8%) (16%) Πίνακας 6.4: Ποσοστά χρήσης των στρατηγικών στις σωστές απαντήσεις με κατ εκτίμηση υπολογισμό * Ποσοστό επί των μαθητών που εκτέλεσαν σωστά κατ εκτίμηση υπολογισμό. Από τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι στο πρόβλημα του αθροίσματος των κλασμάτων (Π.Ε.1) και του υπολογισμού του ποσοστού (Π.ΣΤ.1) οι μαθητές εφαρμόζουν κατά πλειοψηφία τη στρατηγική των ειδικών αριθμών. Δηλαδή, στο πρόβλημα (Π.Ε.1) χρησιμοποιούν ως σημείο αναφοράς το ½, ενώ στο πρόβλημα της εκτίμησης του ποσοστού (Π.ΣΤ.1) υπολογίζουν με βάση το 10% (9,84% 10%). Στο πρόβλημα υπολογισμού του γινομένου (Π.Ε.2) και του αθροίσματος των ποσών (Π.ΣΤ.2) εφαρμόζουν τη στρατηγική της στρογγυλοποίησης. Τις στρατηγικές αυτές, που χρησιμοποιούν οι μαθητές, δεν της διδάχτηκαν στο σχολείο αλλά τις χρησιμοποιούν από μόνοι τους και μπορούν να θεωρηθούν ως άτυπες ή ιδιοσυγκρασιακές στρατηγικές. Η ικανότητα των μαθητών για γραπτή αποτύπωση της σκέψης τους στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς Όπως αναφέραμε και παραπάνω, ζητήθηκε από τους μαθητές να γράψουν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτηκαν για να λύσουν κάθε φορά το πρόβλημα. Αυτή η γραπτή έκφραση του τρόπου σκέψης στο πρόβλημα εκφράζει μια μεταγνωστική ικανότητα των μαθητών. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται τα ποσοστά των μαθητών που εξηγούν γραπτά τις λύσεις που δίνουν. Δεν εξηγούν καθόλου πώς οδηγήθηκαν στη λύση Π.Ε.1. 1/2 και 3/8 Π.Ε.2. 28 x 56 Π.Στ.1. 9,84% του 816 Π.Στ.2. 1,26+4,79+0,9 9 +1,37+2,58 103(32,8%) 161(51,3%) 83(29,4%) 115 (40,8%) Εξηγούν σωστά 148 (47,1%) 106(33,8%) 90(31,9%) 113 (40,1%) Εξηγούν σωστά και 81(25,8%) 59(18,8%) 80(28,4%) 94 (33,3%)

κάνουν κατ εκτίμηση (91,01%)* (84,3%)* (82,47%)* (68,6%)* υπολογισμό Εξηγούν σωστά, αλλά 67(21,3%) 48(15,3%) 10(3,5%) 19(6,7%) κάνουν ακριβή (59,3%)** (33,1%)** (58,8%)** (30,2%)** υπολογισμό Εξηγούν λανθασμένα 43(13,7%) 43(13,7%) 79(28%) 30(10,6%) Καμία απάντηση 20(6,4%) 4(1,3%) 30(10,6%) 24(8,5%) ΣΥΝΟΛΟ 314 (100%) 314 (100%) 282 (100%) 282 (100%) Πίνακας 6.5: Τα ποσοστά των μαθητών που εξηγούν γραπτά τη λύση που έδωσαν *ποσοστό επί των μαθητών που εκτέλεσαν σωστά κατ εκτίμηση υπολογισμούς ** ποσοστό επί των μαθητών που χρησιμοποιεί σωστά ακριβή υπολογισμό Σύμφωνα με τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι στις διάφορες ασκήσεις ένα ποσοστό μαθητών από 30% μέχρι 50% εκφράζει γραπτώς τον τρόπο που σκέφτηκε στο πρόβλημα, ενώ αντίστοιχα ποσοστά μαθητών δεν γράφουν καμία εξήγηση για τον τρόπο που λύνουν το πρόβλημα. Η πλειοψηφία των μαθητών που χρησιμοποιούν κατ εκτίμηση υπολογισμούς εξηγεί επαρκώς και σωστά τον τρόπο που σκέφτηκε και στα τέσσερα προβλήματα με μικρότερο ποσοστό μαθητών να δίνουν εξηγήσεις στο Π.ΣΤ.2, δηλαδή στο άθροισμα των ποσών, στο οποίο αρκετοί εκτελούν μόνο τις πράξεις των στρογγυλοποιημένων ποσών χωρίς να εξηγήσουν με λόγια. Από τους μαθητές που υπολογίζουν με ακρίβεια τη λύση τους σχεδόν οι μισοί εξηγούν τη λύση που έδωσαν στο πρόβλημα με το άθροισμα των κλασμάτων (Π.Ε1, 59,3%) και με τον υπολογισμό του ποσοστού (ΣΤ1, 52,9%), ενώ λιγότεροι από τους μισούς εξηγούν τη λύση τους στα προβλήματα υπολογισμού του γινομένου (Π.Ε2, 33,1%) και του αθροίσματος των ποσών (Π.ΣΤ2, 31,7%). Φαίνεται ότι οι περισσότεροι μαθητές που υπολογίζουν με ακρίβεια τη λύση, εφαρμόζοντας αριθμητικές πράξεις, δεν αισθάνονται την ανάγκη να εξηγήσουν με λόγια τον τρόπο σκέψης τους. Συσχετισμός ικανότητας κατ εκτίμηση υπολογισμού με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος Ένα άλλο συμπέρασμα της έρευνας αυτής είναι ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά στις επιδόσεις στην επίλυση προβλημάτων μεταξύ των μαθητών που χρησιμοποιούν κατ εκτίμηση υπολογισμούς με τους μαθητές που δεν χρησιμοποιούν κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Δηλαδή, οι μαθητές που χρησιμοποιούν κατ εκτίμηση υπολογισμούς είναι και καλύτεροι λύτες προβλημάτων. Φαίνεται, επομένως, να συνδέεται η ικανότητα κατ εκτίμηση υπολογισμού με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος. Συσχετισμός της μεταγνωστικής ικανότητας με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος Στην έρευνα αυτή εξετάστηκε επίσης ο συσχετισμός της μεταγνωστικής ικανότητας με την ικανότητα επίλυσης προβλήματος. Συγκρίθηκαν, δηλαδή, οι μέσοι όροι της επίδοσης στα τρία προβλήματα των μαθητών που εξηγούν γραπτώς τον τρόπο που υπολόγισαν (δηλαδή αυτών που παρουσιάζουν μεταγνωστική ικανότητα) με αυτούς που δεν εξηγούν τους υπολογισμούς τους.

Από τη σύγκριση αυτή φαίνεται ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά των επιδόσεων στην επίλυση προβλημάτων μεταξύ των μαθητών που εξηγούν τη λύση τους και εκείνων που δεν δίνουν εξήγηση για τη λύση τους. Δηλαδή, οι μαθητές και των δύο τάξεων που διαθέτουν μεταγνωστική ικανότητα αποδεικνύονται και καλύτεροι στην επίλυση προβλημάτων. Υπάρχει, επομένως, σχέση μεταξύ της μεταγνωστικής ικανότητας και της ικανότητας επίλυσης προβλήματος, πράγμα το οποίο φαίνεται φυσικό, γιατί κατά την επίλυση προβλήματος απαιτείται η μεταγνωστική ικανότητα.