ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 3 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι να αποκτήσετε οικειότητα με τα «σήματα αναλογικού και διακριτού χρόνου». 4
Περιεχόμενα ενότητας 1. Μέρος Α: Αναλογικά Σήματα, Δουλεύοντας με σήματα 2. Μέρος Β: Διακριτά Σήματα, Δουλεύοντας με σήματα 3. Περιοδικά Σήματα 4. Συμμετρικά Σήματα 5. Αποσύνδεση σήματος σε άρτια και περιττά μέρη 6. Εφαρμογές στο εργαστήριο 7. Εφαρμογές στο σπίτι 5
ΜΕΡΟΣ Α: ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ
Μέρος Α: Αναλογικά Σήματα Το ΜΑΤLΑΒ δεν υποστηρίζει συναρτήσεις (και κατ' επέκταση σήματα) συνεχούς χρόνου, π.χ. s(t) = cos(t). Παρόλα αυτά μπορεί κανείς εύκολα να προσεγγίσει τέτοιες συναρτήσεις χρησιμοποιώντας αντίστοιχες συναρτήσεις διακριτού χρόνου με πολύ μικρό βήμα (step size). Για παράδειγμα, οι παρακάτω εντολές» t = 0:0.01:10;»y= cos(t); παράγουν μια προσέγγιση της συνάρτησης συνεχούς χρόνου s(t)= cos(t).
Πορεία εργασίας (1) Για να σχεδιάσετε μια συνάρτηση, χρησιμοποιείστε την εντολή (command) plot. Για παράδειγμα η παρακάτω ακολουθία εντολών έχει σαν αποτέλεσμα τη σχεδίαση της συνάρτησης cos(t),» t = 0:0.01:10;» y = cos (t) ;» plot (t,y)
Για να σχεδιάσετε στο ίδιο παράθυρο πολλαπλά διαγράμματα διαφόρων συναρτήσεων. χρησιμοποιείστε την εντολή (command) subplot. Δοκιμάστε την παρακάτω ακολουθία εντολών: Πορεία εργασίας (2)
Πορεία εργασίας (3) Προσπαθήστε να σχεδιάσετε και τις 4 γραφικές σε ένα μόνο παράθυρο με κατάλληλη χρήση της εντολής plοt (γράψτε τον κώδικα στις παρακάτω γραμμές) :
Πορεία εργασίας (4)
Μιγαδικά σήματα (1) Θα δούμε τώρα τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να δημιουργήσουμε και να σχεδιάσουμε μιγαδικά σήματα στο περιβάλλον του ΜΑΤLΑΒ Η διαδικασία παραγωγής μιγαδικών σημάτων δεν διαφέρει απ' αυτή που ακολουθείται για την παραγωγή πραγματικών. Για παράδειγμα, για να παράγουμε το μιγαδικό εκθετικό: s (t) = 2exp(ξ(τα+π/4))u(t), όπου u(t 0)=1, Πρέπει να εισάγουμε τις εντολές >> t = 0:0.01:10; >> s = 2*exp (j*(t+pi/4) ) ;
Μιγαδικά σήματα (2)
Μιγαδικά σήματα (3) Αυτό μπορεί εύκολα να διαπιστωθεί από την εκτέλεση του παρακάτω προγράμματος» t = 0:0.01:10;» s = 2*exp {j* {t+pi/4} } ;» sr= real (s) ;» si = imag (s) ;» plot (t,sr,'r',t,2*cos (t+pi/4),'d' ) ; Η τελευταία εντολή σχεδιάζει το πραγματικό μέρος του παραπάνω μιγαδικού σήματος σαν μια κόκκινη συνεχή γραμμή (καθορισμένη σαν 'r'), και τη συνάρτηση 2cos(t+π/4) σαν μια ακολουθία χαρακτήρων (καθορισμένη σαν d').
Μιγαδικά σήματα (4) Όπως αναμένεται οι δύο καμπύλες είναι ίδιες και αλληλεπικαλύπτονται αλλά μπορείτε από την επιλογή tool -> zoom in να δείτε τις δύο καμπύλες ξεχωριστά. Προσπαθήστε να συγκρίνετε το φανταστικό μέρος του ίδιου μιγαδικού σήματος με τη συνάρτηση 2sin(t+π/4).
ΜΕΡΟΣ Β: ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΗΜΑΤΑ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ
Διακριτά σήματα (1) Το ΜΑΤLΑΒ είναι δομημένο κατά τέτοιο τρόπο ώστε να αντιμετωπίζει τις μεταβλητές ως διανύσματα και πίνακες. Για την αναπαράσταση ενός σήματος διακριτού χρόνου Θα πρέπει να ορισθεί ένα διάνυσμα ακεραίων το οποίο Θα αντιπροσωπεύει τους δείκτες n του σήματος και ένα διάνυσμα που Θα περιέχει τις τιμές του σήματος για κάθε τιμή του δείκτη x[n].
Διακριτά σήματα (2)
Διακριτά σήματα (3) Να σχεδιασθεί το παραπάνω σήμα χρησιμοποιώντας την εντολή stem:» stem(n, x)
Διακριτά σήματα (4)
Δημιουργία των Βασικών Διακριτών Σημάτων (1) Η Μοναδιαία κρουστική ακολουθία
Η Μοναδιαία κρουστική ακολουθία Δημιουργία των Βασικών Διακριτών Σημάτων (2)
Δημιουργία της ακολουθίας δ(n-3) (1)
Δημιουργία της ακολουθίας δ(n-3) (2)
Δημιουργία της ακολουθίας δ(n- 3) με χρήση της impseq
Δημιουργία της ακολουθίας δ(n+4)+5 δ(n+3)+δ(n)+2δ(n-1)-δ(n-2)
Δημιουργία της ακολουθίας δ(n) για -10<n<10 >> n=-10:10; >> m=length(n); >> k=find(n==0); >> d=zeros(1,m); >> d(k)=1; >> stem(n,d);axis([-12 12-2 2]) Η εντολή length(n) μας επιστρέφει το μήκος του n Η εντολή find(n==0) μας επιστρέφει το δείκτη στον οποίο το n παίρνει μηδενική τιμή (κέντρο) Η εντολή zeros(1,m) μας επιστρέφει ένα διάνυσμα με διάσταση 1 x m με μηδενικές τιμές Η εντολή d(k)=1 τοποθετεί μια μονάδα στην θέση k στον πίνακα d
Η Μοναδιαία βηματική ακολουθία Δημιουργία των Βασικών Διακριτών Σημάτων (3)
Δημιουργία της ακολουθίας u(n- 4) (1)
Δημιουργία της ακολουθίας u(n- 4) (2)
Δημιουργία της ακολουθίας u(n-4) και της ακολουθίας u(n)-u(n-4)
Δημιουργία των Βασικών Διακριτών Η Πραγματική εκθετική ακολουθία Σημάτων (4)
Η Πραγματική εκθετική ακολουθία
Η Μιγαδική εκθετική ακολουθία (1)
Η Μιγαδική εκθετική ακολουθία (2)
Η Μιγαδική εκθετική ακολουθία (3)
Δημιουργία των Βασικών Διακριτών Η ακολουθία αναρρίχησης Σημάτων (5)
Δημιουργία των Βασικών Διακριτών Η ημιτονοειδής ακολουθία Σημάτων (6)
Η ημιτονοειδής ακολουθία (1)
Η ημιτονοειδής ακολουθία (2)
Ενέργεια Σήματος
Περιοδικά Σήματα (1) Είναι πολύ εύκολο στο ΜΑΤLΑΒ να φτιάξουμε περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου. Για παράδειγμα, το περιοδικό σήμα διακριτού χρόνου που ορίζεται για μια περίοδο από τη παρακάτω σχέση (περίοδος Νο=4) X[n] = 1,n= 0,1-1,n= 2,3 μπορεί να παραχθεί και να σχεδιασθεί στο ΜΑΤLΑΒ εισάγοντας την παρακάτω ακολουθία εντολών.
Περιοδικά Σήματα (2)
Περιοδικά Σήματα (3) n = -2:12; x1 = sin(4*n); x2 = sin(4*pi*n/5); subplot(2,1,1) stem(n,x1) grid xlabel('n') ylabel('x[n]=sin(4*n)') title(' ') subplot(2,1,2) stem(n,x2) grid xlabel('n') ylabel('x[n]=sin(4*pi*n/5)') title('.') Στην περιοχή title του κώδικα συμπληρώστε ποιό από τα 2 σήματα είναι περιοδικό και ποιο απεριοδικό.
Συμμετρικά Σήματα (1) Χωρισµός σήµατος σε άθροισµα άρτιου και περιττού µέρους
Συμμετρικά Σήματα (2)
Αποσύνδεση σήματος σε άρτια και περιττά μέρη
Παράδειγμα
Συνέχεια παραδείγματος - Γραφική παράσταση
Μετασχηματισμοί της Ανεξάρτητης Μετατόπιση ή Ολίσθηση Μεταβλητής (1)
Μετασχηματισμοί της Ανεξάρτητης Μετατόπιση ή Ολίσθηση Μεταβλητής (2)
Μετασχηματισμοί της Ανεξάρτητης Αντιστροφή - Κλιμάκωση στο Χρόνο Μεταβλητής (3)
Αντιστροφή - Κλιμάκωση στο Χρόνο (1)
Αντιστροφή - Κλιμάκωση στο Χρόνο (2)
Αντιστροφή - Κλιμάκωση στο Χρόνο (3) 2x(n-2)-5x(n+5), για 2<=n<=15
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ
Παράδειγμα 1
Π1.Συμπληρώστε τα σχόλια (1)
Π1.Συμπληρώστε τα σχόλια (2)
Παράδειγμα 2
Παράδειγμα 3 (1)
Παράδειγμα 3 (2) Με την εντολή stem γίνεται ο σχεδιασμός της διακριτής ακολουθίας, όπου σχεδιάζεται η σειρά των δεδομένων της συνάρτησης x(n) συναρτήσει των διακριτών τιμών του (n-1) στο διάστημα (1,Ν).
Παράδειγμα 4 (1)
Παράδειγμα 4 (2)
Παράδειγμα 4 (3)
Παράδειγμα 5 (1)
Παράδειγμα 5 (2) Με τον πολλαπλασιασμό τον x(5,1) πίνακα με τον μοναδιαίο πίνακα (1,4) προκύπτει έναw πίνακας x(5,4). Χ=x1 = α*b ; 8 μετατρέπουμε τον πίνακα x1(5,4) σε 8 πίνακα x1( ) όπου οι στήλες μετατρέπονται σε.οι οποίες τοποθετούνται χ1 = (χ1(:))';
Παράδειγμα 5 (3) Σχεδίαση της διακριτής ακολουθίας x1 stem(n,x1); xlabel('ni); ylabei('x1(n)1); 8...... axis([-10,9,-1,6]);
Παράδειγμα 6
Παράδειγμα 7
Παράδειγμα 8 Ένα βασικό σήμα που εμφανίζεται πολύ συχνά και για το οποίο είναι καλό να έχουμε μια ΜΑΤLΑΒ function πού να το παράγει είναι το ημιτονοειδές σήμα διακριτού χρόνου: χ(η) = Acos ( ω 0 n +ψ), πού περιγράφεται από τρεις παραμέτρους: πλάτος (Α ), συχνότητα (ω 0 ) (σε rad), και φάση (f) (επίσης σε rad). Γράψτε μια function πού να παράγει ένα ημιτονοειδές σήμα πεπερασμένου μήκους. Η function θα παίρνει συνολικά πέντε ορίσματα: τρία για τις παραμέτρους του σήματος και δύο για τον καθορισμό τον πρώτον και τον τελευταίου δείκτη η τον σήματος. Η function θα επιστρέφει ένα διάνυσμα στήλης πού θα περιέχει τις τιμές τον η κι ένα διάνυσμα στήλης που θα περιέχει τις αντίστοιχες τιμές τον σήματος. Δοκιμάστε τη λειτουργία της function παριστάνοντας γραφικά (με τη βοήθεια της stem) τ' αποτελέσματά της για διάφορες τιμές των ορισμάτων της. Χρησιμοποιείστε τη function πού γράψατε για να παράγετε το σήμα 2 sίη(πn / 11) για 20 n 20.
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΣΠΙΤΙ ΔΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ
1. Γράψτε τον κώδικα σε Matlab δημιουργίας των παρακάτω διακριτών σημάτων 1η Άσκηση
2. Γράψτε τον κώδικα σε Matlab δημιουργίας του διακριτού σήματος x[n] = 2d[n+2] - d[n] + e^n(u[n+1] - u[n-2]) 2η Άσκηση
3. Γράψτε τον κώδικα σε Matlab δημιουργίας του διακριτού σήματος y(t)=t^2(u(t+1)-u(t))+(t- 1)(u(t)-u(t-1))+(-1)(u(t-1)- u(t-2)) 3η Άσκηση
Τέλος Ενότητας