Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT

Transcript

1 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -7- Μετασχηµατισµός FOURIER ιακριτού χρόνου DTFT (discrete time Fourier transform) 3.. Εισαγωγικά. 3.. Είδη µετασχηµατισµών Fourier Με την ονοµασία Μετασχηµατισµοί Fourier αναφερόµαστε στην ανάλυση σηµατων ή περιγραφή συστηµάτων στο πεδίο της συχνότητας, οπου δηλ. η µεταβλητή είναι η συχνότητα ω. Αν και µπορεί η µελέτη των διαφόρων µορφών µετασχηµατισµού Fourier να µελετηθεί ενοποιηµένα σε µία µαθηµατική µορφή, έχει καθιερωθεί η µελέτη να διαφοροποιείται σε τέσσερες κύριες µορφες ως εξής: Ο µετασχηµατισµός Fourier για µη περιοδικά σήµατα συνεχούς χρόνου Η σειρά Fourier για περιοδικά σήµατα συνεχούς χρόνου Ο µετασχηµατισµός Fourier για µή περιοδικά διακριτά σήµατα (DTFT-discrete time fourier transform) Η διακριτή σειρά Fourier για περιοδικά διακριτά σήµατα (DFS-discrete fourier series) Mε τον DFS συνδέεται άµεσα ο πλεόν χρησιµοποιούµενος µετασχηµατισµός DFT (discrete fourier transform) δηλ. o διακριτός µετασχηµατισµός Fourier. Αντίστοιχα ο DFS αν και ορίζεται αξιωµατικά αποδεικνύεται ότι προέρχεται απο δειγµατοληψία του DTFT. Θα µελετήσουµε τον DFS εισαγωγικά στη µελέτη του DFT. Τέλος πρέπει να σηµειώσουµε ότι ο DTFT µπορεί να υπολογισθεί και απο τον µετασχηµατισµό z (z-transform) Στη συνέχεια θα αναφερθούµε διεξοδικά στη µελέτη του DTFT.

2 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -8- Σχήµα 3. Σηµατα που αντιστοιχούν στους τέσσερους τύπους µετασχηµατισµών Α) Μετασχηµατισµός Fourier Β) Σειρά Fourier Γ) Μετασχηµατισµός Fourier ιακριτού χρόνου DTFT ) ιακριτή σειρά Fourier

3 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) Ο Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου (Disrete-Time Fourier transform - DTFT) είναι ίσως η πλέον χρήσιµη εκ των µορφών του µετασχ. Fourier και αναφέρεται σε µη περιοδικά διακριτά σήµατα. Εάν γιά το σήµα x(n) ισχύει x (n < τότε ο DTFT αυτου είναι : + ) X(e iω ) I[x(n)] x(n)e n Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός (IDTFT) του Χ(e ) είναι: n (3.) x(n) I [X(e )] π π π Χ(e )e n dω (3.) ηλαδή o DTFT µετασχηµατίζει ένα διακριτό σήµα x(n) σε µία µιγαδικής τιµής συνάρτηση Χ(e ) που παίρνει τιµές για κάθε ψηφιακή (συχνότητα) ω. Παρατήρηση. Ο DTFT ορίζεται για τιµές του σήµατος σε ολο το διάστηµα απο - έως + παράδειγµα 3. Για το σήµα x(n)u(n+)-u(n-3) να βρεθεί ο DTFT Εχουµε: X(e n n ) Χ( x(n )e [ δ (n + ) + δ(n + ) + δ(n) + δ(n ) + δ(n )]e e +e ++e - +e - +cosω+cosω sin ω sin ω 5 Στο παράδειγµα αυτό ο DTFT φαίνεται ότι παιρνει πραγµατικές τιµές. Αυτό οφείλεται στη µορφή του σήµατος x(n) που είναι συµµετρική στο ω (σχήµα 3.). Το σήµα βέβαια x(n) έχει τιµές κι για αρνητικούς χρόνους παράδειγµα 3. Για το σήµα x(n){.5,.5,.5 3,...} να βρεθεί ο DTFT n Χ( x(n )e.5+.5 e e {+.5e e }

4 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT e.5.5 cos ω + j.5 sin ω Για το Χ( έχουµε: X(.5 (.5 cos / Αντίστοιχη σχέση µπορούµε να βρούµε και για την φάση του Χ( Σχήµα 3. Στην πρώτη σειρα φαίνονται τα ψηφιακά σήµατα και στη δεύτερη οι αντίστοιχοι DTFT παράδειγµα 3.3 Για το σήµα της µοναδιαίας κρούσης δ(n) έχουµε n Χ( δ (n)e e Οµοια για την δ(n-k) έχουµε: n Χ( δ (n k)e e k

5 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT Ιδιότητες του DTFT Εκτός από την γραµµικότητα ο DTFT έχει και αρκετές άλλες ιδιότητες. Οι δύο επόµενες ιδιότητες εχουν ιδιαίτερη σηµασία στην περιγραφή και απεικόνηση του. Περιοδικότητα Ο DTFT είναι περιοδική συνάρτηση ως προς ω µε περίοδο π. Χ(e ) Χ(e j(ω+π) ) (3.3) Η ιδιότητα αυτή είναι βεβαίως αναµενόµενη αφου αναφερόµαστε σε ψηφιακά (διακριτά) σήµατα. Επίσης λόγω της ιδίοτητας αυτής µια µονο περίοδος της Χ( αρκεί για την πλήρη περιγραφή του DTFT. Συµµετρία Ισχύει µόνο για πραγµατικά σήµατα και εκφράζεται ως εξής: Χ(e - ) Χ*(e ) (3.4) όπου Χ* σηµαίνει συζυγής του (µιγαδικού) Χ Η (3.4) συνεπάγεται ότι το µέτρο του Χ( είναι αρτία συνάρτηση Χ(e - ) Χ(e ) ενώ η φάση περιττή: Χ(e ) - Χ(e - ) Λόγω της συµµετρίας αυτής αρκεί για την περιγραφή του Χ(e ) µόνο µισή περίοδος υπο την προϋπόθεση βέβαια οτι το σήµα x(n) είναι πραγµατικό. Μετατόπιση στο χρόνο Γιά µια ψηφιακή ακολουθία x(n) που µετατοπίζεται κατα k σηµεία, δηλ. η x(n-k) ισχύει: I{x(n-k)}X(e ) e -k (3.5) ηλ. µετατόπιση στο χρόνο αντιστοιχεί σε µετατόπιση φάσεως. Μετατόπιση συχνότητας Πολλαπλασιασµός µε την µιγαδική εκθετική συνάρτηση αντιστοιχεί σε µετατόπιση στο πεδίο τής συχνότητας I οn j( ω ωο ) [ x(n)e ] X( e ) Χ( ω ω ) ο (3.6) DTFT συζυγών µιγαδικών σηµάτων

6 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -3- Ο DTFT Χ(, ενός σήµατος x(n) συνδέεται µε το DTFT του σήµατος x*(n) που είναι το συζυγές µιγαδικό του ως εξής: I{x*(n)}X*(e - ) (3.7) Αντιστροφή Αντιστροφή στο χρόνο αντιστοιχεί σε αντιστροφή στο πεδίο τής συχνότητας I{x(-n)}X(e - ) (3.8) Συνέλιξη Η ιδιότητα αυτή είναι ίσως η πλέον χρήσιµη διότι σε αυτη βασίζεται η διαδικασία ανάλυσης στο πεδίο της συχνότητας. I{x (n) * x (n)} I{ x (n)}i{ x (n)} X ( X ( (3.9) Πολλαπλασιασµός Για το γινόµενο (συσχέτιση) δύο σηµάτων ισχύει: I [ x (n).x (n)] I[x (n)] I[x (n)] X ( Χ ( ω θ)dθ (3.) π Το σύµβολο σηµαίνει κυκλική (ή περιοδική) συνέλιξη Ενέργεια Η ενέργεια E µίας πραγµατικής ακολουθίας x(n) υπολογίζεται ως εξής: π π X( E x(n) π X( dω dω (3.) π π (Η τελευταία ισότητα είναι λογω της αρτίας συµµετρίας της Χ() Η σχέση υτή είναι γνωστή και σαν Θεώρηµα Parseval και συνδέει την ενέργεια του σήµατος στα δύο πεδία: του χρόνου και της συχνότητας. Απο την σχέση αυτή ορίζεται και η φασµατική πυκνότητα ενεργείας Φ( ως εξής: H ενέργεια σε µία περιοχή συχνοτήτων ω έως ω δίνεται: 3.5 Απόκριση συχνότητας Χ( Φ( (3.) π ω Ε ω, ( ) d ω Φ ω ω ω

7 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -33- Η απόκριση συχνότητας Η( χαρακτηρίζει ένα σύστηµα στο πεδίο της συχνότητας ισοδύναµα µε την κρουστική απόκριση στο πεδίο του χρόνου. Ουσιαστικά η ανωτέρω ισοδυναµία προέρχεται απο την ιδιότητα της συνέλιξης που αναφέραµε προηγουµένως. Εάν ένα σύστηµα χαρακτηρίζεται από κρουστική απόκριση h(n) τότε η απόκριση y(n) σε είσοδο x(n) είναι: y(n) x(n) * h(n) Αντίστοιχα εάν Υ( είναι η απόκριση σε είσοδο Χ( τότε σύµφωνα µε την ιδιότητα της συνέλιξης (3.9) έχουµε : Y(Χ( Η( (3.3) Η συνάρτηση Η( αποτελεί την απόκριση συχνότητας του συστήµατος. Αναφέρεται ακόµα και σαν συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος. Ορισµός Η απόκριση συχνότητας ορίζεται ως ο DTFT της κρουστικής απόκρισης n H( ω ) h(n)e (3.4) και είναι βέβαια συµβατός µε την (3.3) διότι εάν η διέγερση του συστήµατος x(n)δ(n) τότε Χ( και Η( Υ( που είναι βέβαια ο DTFT της κρουστικής απόκρισης. Η σχέση (3.4) αποτελεί και ένα τρόπο υπολογισµού της απόκρισης συχνότητας Απόκριση συχνότητας και µιγαδικη (εκθετική) διέγερση Εστω ότι το σηµα x(n) o e n αποτελεί την είσοδο σε σύστηµα µε κρουστική απόκριση h(n). Η απόκριση θα είναι: y(n) h(n) e on h(k)e o (n k) e on h(k)e ok) e on H( ω o ) (3.5) δηλαδή η µιγαδική- εκθετική διέγερση διαµορφώνεται απο την απόκριση συχνότητας του συστήµατος Απόκριση συχνότητας και ηµιτονική διέγερση Εάν η διέγερση ενός συστήµατος που περιγράφεται από την Η( είναι ένα ηµιτονικό σήµα x(n)acos(ω ο n) τότε η απόκριση y(n) σύµφωνα µε την προηγούµενη σχέση (3.5) ειναι: y(n) ( ω n + H( ω )) A H( ω ) cos ο (3.6) o o

8 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -34- δηλαδή η απόκριση συχνότητας Η( του συστήµατος αφενός µεταβάλλει το πλάτος του ηµιτονικού σήµατος σύµφωνα µε το µέτρο του Η( και αφετερου την φάση σύµφωνα µε τη φάση του Η(. Σηµειώνουµε επίσης ότι η απόκριση αυτή (σε ηµιτονικό σήµα ) ονοµάζεται απόκριση στη σταθερή κατάσταση (steady state response). Υπολογισµός της απόκρισης Η( Εκτός απο άµεση εφαρµογή του ορισµού η απόκριση συχνότητας µπορεί να βρεθεί από την εξίσωση διαφορών που περιγράφει το ψηφιακό σύστηµα. Εφαρµόζωντας DTFT και την ιδιότητα χρονικής µετατόπισης στην εξίσωση διαφορών λαµβάνουµε: N M k k ) a y(n k) b x(n k N k a e Y( b k Υ( Χ( N a M b k k e e M k k k e k Η( Χ( παράδειγµα 3.4 Να βρεθεί η Η( απο την εξίσωση διαφορών: y(n)-.8y(n-)+x(n)-x(n-) Εφαρµόζωντας DTFT σε κάθε όρο της εξίσωσης έχουµε: Υ(-.8Υ(e - +Χ(-Χ( e - Υ([+.8Υ(e - ]Χ([- e - ] j Y( e Η( Χ( +.8e ω

9 Σ. Φωτόπουλος ΨΕΣ Κεφάλαιο 3 ο DTFT -35- ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. figure3.m (είναι το m-file που παράγει το σχήµα 3.) w-*pi:.:*pi; x[ ]; xx+*cos(w)+*cos(*w); subplot(,,) stem((-5:5),x) xlabel('n ->') ylabel('x(n)') subplot(,,3) plot(w/(pi),xx) xlabel('ω/π ->') ylabel('x(') x[ ^4.5^5.5^6]; subplot() stem((-:5),x) xlabel('n ->') ylabel('x(n)') xx.5./(.5-cos(w)).^(/); subplot(4) plot(w/(pi),xx) xlabel('ω/π ->') ylabel(' X( ')