Μετασχηματισμός Z. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Transcript

1 Μετασχηματισμός Z Κυριακίδης Ιωάννης 20 Τελευταία ενημέρωση: /2/20

2 Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός- είναι ένα πολύ ισχυρό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη διακριτών σημάτων και συστημάτων. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί: Για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές. Στον υπολογισμό της απόκρισης ενός γραμμικού και χρονικά αμετάβλητου συστήματος σε δεδομένη είσοδο. Στη σχεδίαση γραμμικών φίλτρων.

3 Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός Ζ, μιας ακολουθίας διακριτού χρόνου x(n) ορίζεται από τη σχέση: n X ( ) x( n) n Το είναι μιγαδικός αριθμός, Οπότε σε πολική μορφή: Re()+jIm() re jω Το r είναι το μέτρο της ενώ το ω είναι η γωνία.

4 Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός Ζ, μιας ακολουθίας διακριτού χρόνου x(n) ορίζεται από τη σχέση: n X ( ) x( n) n Αν μια ακολουθία x(n) έχει μετασχηματισμό Ζ τη X(), τότε γράφουμε: Z x( n) X ( )

5 Περιοχή Σύγκλισης Το σύνολο των τιμών του που ο Χ() υπάρχει ορίζουν μια περιοχή στο επίπεδο, η οποία ονομάζεται περιοχή σύγκλισης ή Region Of Convergence (ROC). Καθορίζεται από δύο θετικούς αριθμούς R x+ και R x- : R x- < < R x+

6 Παράδειγμα Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Ζ της διακριτής ακολουθίας δ(n). Λύση: Z δ ( n) X ( ) n 0 δ ( n) n > δ(0) 0 + δ() - + δ(2) -2 + > * Ιδιότητα: Είναι 0 (μηδέν) επειδή το x(n)0 για κάθε n > 0

7 Ιδιότητα της Μετατόπισης Μετατοπίζοντας μια ακολουθία (με καθυστέρηση ή προπόρευση) ο μετασχηματισμός Ζ πολλαπλασιάζεται με μια δύναμη του. Δηλαδή, αν η x(n) έχει μετασχηματισμό Ζ τη X(), τότε: x n Z n n0) X ( ) ( 0 Άρα, για παράδειγμα: δ Z ( n n0) n 0 n0 ( ) * X n 0

8 Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Ζ της βηματικής ακολουθίας u(n). Λύση: Z n u ( n) X ( ) u( n) n u(- ) -(- ) + + u(0) -0 + u() u( ) - 0* * + * - + * -2 + * -3 + * ( - ) + ( - ) 2 + ( - ) ( - ) + /- -

9 Υπενθύμιση Ταυτότητας Στην προηγούμενη άσκηση χρησιμοποιήσαμε την παρακάτω ταυτότητα: n Ax n 0 A x x < Αν θυμηθούμε τον παρακάτω τύπο από τις γεωμετρικές σειρές: N n A + Ax + Ax Ax N- n A Ax Ax n 0 Βλέπουμε ότι αν x < τότε x n 0 καθώς το N και έτσι παίρνουμε την αρχική μας σχέση. x

10 Παράδειγμα 3 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Ζ της παρακάτω ακολουθίας x(n) {, 0.8, 0.64, 0.52, } Το βελάκι δείχνει την τιμή για την χρονική στιγμή n0 Λύση: Z n x ( n) X ( ) x( n) n X() x(0) -0 + x() - + x(2) -2 + x(3)- 3 + * (0.8 - ) + (0.8 - ) 2 + (0.8 - ) 3 + /-0.8 -

11 Πίνακας Μετασχηματισμών Ζ Μετασχηματισμοί Ζ γνωστών ακολουθιών: Ακολουθία Μετασχηματισμός Ζ Περιοχή Σύγκλισης δ(n) Όλες οι τιμές του δ(n-n 0 ) -n0 Όλες οι τιμές του, εκτός 0 αν n 0 >0 u(n) a n u(n) na n u(n) a a ( a ) 2 > > a > a

12 Μετασχηματισμός Ζ Ο μετασχηματισμός Ζ ως μια ρητή συνάρτηση του : Οι ρίζες του αριθμητή β k καλούνται μηδενικά (eros) ενώ οι ρίζες του παρονομαστή α k καλούνται πόλοι (poles). Οι πόλοι και τα μηδενικά παρέχουν μια σύντομη αναπαράσταση της X() η οποία συχνά παριστάνεται γραφικά με τα διαγράμματα πόλων-μηδενικών. Οι θέσεις των πόλων συμβολίζονται με x και οι θέσεις των μηδενικών με o. Η περιοχή σύγκλισης συμβολίζεται με τη σκίαση της αντίστοιχης περιοχής στο μιγαδικό επίπεδο-. p k k q k k p k k q k k C k a k b A B X 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( α β

13 Η συνάρτηση tf2p Από το menu πατήστε Help > Using the Desktop Αναζητήστε την συνάρτηση tf2p:

14 Παράδειγμα Βρείτε τα μηδενικά, τους πόλους και τον συντελεστή C της παρακάτω συνάρτησης μεταφοράς, χρησιμοποιώντας συναρτήσεις του Matlab: X ( ) Λύση: b [2 3]; a [ 0.4 ]; %Για να έχουν το ίδιο μέγεθος: [b, a] eqtflength(b, a); % Πραγματοποίηση υπολογισμών: [, p, c] tf2p(b, a) %Σχεδίαση γραφικής παράστασης: plane(, p);

15 Εξάσκηση Να βρείτε τον μετασχηματισμό Ζ της παρακάτω ακολουθίας: x(n) 3δ(n) + δ(n-2) + δ(n+2) Λύση: X ( ) n x( n) n 2 n2 x( n) n x(-2) 2 + x(-) + x(0) 0 + x() - + x(2) Έχουμε ήδη υπολογίσει ότι, x(-2), x(-)0, x(0)3, x()0 και x(2)

16 Εξάσκηση 2 Να βρείτε τον μετασχηματισμό Ζ της παρακάτω ακολουθίας: x(n) 5u(n) Λύση: X ( ) n 5u( n) 5 n

17 Εξάσκηση 3 Προσδιορίστε την περιοχή σύγκλισης της παρακάτω συνάρτησης μεταφοράς. G( ) Λύση: b[0 ]; a[3-4 ]; [b, a] eqtflength(b, a); [, p, c] tf2p(b, a); plane(, p);

18 Εξάσκηση 4 Προσδιορίστε την περιοχή σύγκλισης της παρακάτω συνάρτησης μεταφοράς: Λύση: b[ ]; a[ ]; [, p, c] tf2p(b, a); plane(, p); H ( )

19 Απορίες - Ερωτήσεις ;

20 Ασκήσεις για το σπίτι Οι ασκήσεις είναι ατομικές!!! Αποστείλετε όλα τα αρχεία m-file σε ένα συμπιεσμένο αρχείο με όνομα: lab07_ομx_yyyy (όπου X ο αριθμός ομάδας εργαστηρίου και YYYY το ΑΜ σας) Στο kyriakidis@teicrete.gr

21 Άσκηση Να βρείτε τον μετασχηματισμό Ζ των παρακάτω ακολουθιών: x(n) 6δ(n-3) -3δ(n+2) -2δ(n) + δ(n-2) x(n) 5(0.9) n u(n) x(n) 0.35nu(n) Παρατήρηση: Οι απαντήσεις να γραφτούν σε ένα αρχείο.doc

22 Άσκηση 2 Προσδιορίστε την περιοχή σύγκλισης των παρακάτω συναρτήσεων μεταφοράς: (Χρησιμοποιήστε την εντολή tf2pk) ) ( + + X ) ( X + + +