ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Διδακτική Μαθηματικών Ι Μάθημα 8 ο Ρεαλιστικά Μαθηματικά 9 Μαΐου 2014 Ρεαλιστικά Μαθηματικά Τα Μαθηματικά πρέπει να είναι κοντά στα παιδιά και να αφορούν καθημερινές για αυτά καταστάσεις. Ο όρος «ρεαλιστικά» δεν αναφέρεται αποκλειστικά σε πραγματικές καταστάσεις, αλλά μπορεί να αφορά και οτιδήποτε είναι «πραγματικό» για τα παιδιά. Τα Μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα. Τα παιδιά πρέπει να εμπλακούν σε μια καθοδηγούμενη ανακάλυψη. Μη πλαισιωμένο πρόβλημα Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι 21, 14 και 16. Πρόκειται για ορθογώνιο τρίγωνο; Ρεαλιστικό πρόβλημα Η εικόνα δείχνει δύο γειτονικά σπίτια, τα οποία μοιράζονται την πίσω αυλή τους. Οι γείτονες θέλουν να χτίσουν ένα φράχτη που να χωρίζει την αυλή στη μέση. Στην εικόνα φαίνονται οι μετρήσεις που έκαναν. Για παράδειγμα, το μήκος του φράχτη θα είναι 8 μέτρα. Ο φράχτης θα πρέπει να είναι κάθετος στον τοίχο των σπιτιών. Ισχύει αυτό σύμφωνα με τις μετρήσεις που βλέπετε; 8 2 + 3 2 = 73 73 = 8,5440 1
Ρεαλιστικά Μαθηματικά Βασικές αρχές Χρήση μοντέλων: από το «μοντέλο του» στο «μοντέλο για» Καθοδηγούν την ανακάλυψη και περιγράφουν την έννοια ή τη μαθηματική δομή που προκύπτει κατά τη διαδικασία μαθηματικοποίησης. Το μοντέλο εξελίσσεται από «μοντέλο της» άτυπης μαθηματικής δραστηριότητας των μαθητών, σε «μοντέλο για» τον τυπικό μαθηματικό συλλογισμό. Παράδειγμα: η άδεια αριθμογραμμή που χρησιμοποιείται για να καταγράψει μια συγκεκριμένη δραστηριότητα απαρίθμησης (model of) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αφηρημένη πράξη της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης. Ρεαλιστικά Μαθηματικά Βασικές αρχές Τι μπορεί να είναι ένα μοντέλο; χειραπτικά υλικά εικόνες διαγράμματα άτυπα ή τυπικά σύμβολα μαθηματικές σχέσεις άτυπες στρατηγικές (π.χ. η επαναλαμβανόμενη αφαίρεση ως στρατηγική για την πράξη της διαίρεσης). Χρησιμότητα μοντελοποίησης Βασικός στόχος της διδασκαλίας των Μαθηματικών: να μπορούν οι μαθητές να κατανοήσουν και να ερμηνεύσουν τον κόσμο. Η αντιμετώπιση των σύγχρονων προβλημάτων απαιτεί: ευέλικτη εφαρμογή μιας καλά οργανωμένης βάσης γνώσεων στρατηγικές αναζήτησης για την ανάλυση και το μετασχηματισμό του εκάστοτε προβλήματος μεταγνωστικές δεξιότητες. Δεξιότητες μοντελοποίησης Ευέλικτη εφαρμογή μιας καλά οργανωμένης βάσης γνώσεων: Τα πραγματικά προβλήματα διατυπώνονται σε ένα πλαίσιο διαφορετικό από εκείνο στο οποίο αποκτήθηκε η απαιτούμενη για την επίλυσή τους γνώση: οι μαθητές πρέπει λοιπόν να είναι ικανοί να μεταφέρουν τη γνώση και τις δεξιότητες που έμαθαν στο σχολείο σε νέες καταστάσεις. Στην εκπαίδευση εκείνο που έχει σημασία δεν είναι οι βραχυπρόθεσμοι μαθησιακοί στόχοι, αλλά η ενσωμάτωση της γνώσης και των δεξιοτήτων που αποκτώνται σε κάθε στάδιο της εκπαίδευσης με τους γενικότερους στόχους, και η προσαρμογή στις μεταβαλλόμενες περιστάσεις. 2
Δεξιότητες μοντελοποίησης Συστηματικές στρατηγικές αναζήτησης για την ανάλυση και το μετασχηματισμό του εκάστοτε προβλήματος: Υπάρχουν τεράστια ποσά πληροφοριών (π.χ. διαδίκτυο). Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε δεν είναι η εύρεση, αλλά η: επιλογή, διαχείριση οργάνωση της διαθέσιμης πληροφορίας σύμφωνα με συγκεκριμένα κριτήρια. Δεξιότητες μοντελοποίησης Μεταγνωστικές δεξιότητες: οι γρήγορες αλλαγές στην εργασία και την κοινωνία, η ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας καθιστούν αδύνατο να διδαχθούν τα πάντα στο σχολείο. Τα άτομα πρέπει να ενημερώνουν συνεχώς τις γνώσεις και δεξιότητές τους χωρίς την υποστήριξη από τους δασκάλους. Για να το πετύχουν αυτό, το σχολείο πρέπει να τους μάθει πώς να μαθαίνουν. Είναι η έκφραση μιας (πραγματικής) κατάστασης μέσω ενός μαθηματικού μοντέλου. Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια αναπαράσταση (αντικειμένων, σχέσεων και κανόνων) μιας κατάστασης ή ενός προβλήματος. Μπορεί να είναι: μια εικόνα ένα γράφημα ένα λογιστικό φύλλο ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων. Τα μοντέλα απεικονίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά γνωρίσματα ενός προβλήματος και τα παρουσιάζουν σε μια μορφή που είναι εύκολο να ερμηνευθεί. Παραδείγματα μοντέλων Αριθμοί (αρχικά ως σημάδια σε κόκκαλα - 30.000 π.χ.) Αρχιτεκτονική Από το 2.000 π.χ. τουλάχιστον τρεις πολιτισμοί (Βαβυλώνα, Αίγυπτος, Ινδία) χρησιμοποίησαν μαθηματικά μοντέλα για να βελτιώσουν την καθημερινή ζωή τους. Θαλής ο Μιλήσιος (600 π.χ): προέβλεψε την ηλιακή έκλειψη το 585 π.χ. επινόησε μια μέθοδο για να μετρά τα ύψη με τη μέτρηση των μηκών των σκιών τους. Διόφαντος ο Αλεξανδρινός (250 μ.χ): ανέπτυξε τις αρχές της Άλγεβρας βασισμένες στο συμβολισμό και την έννοια της μεταβλητής. 3
Παραδείγματα μοντέλων Μαθηματικά μοντέλα του ηλιακού συστήματος για την πρόβλεψη της κίνησης του ήλιου, της σελήνης και των πλανητών. Fibonacci (1170-1240): συνειδητοποίησε το πρακτικό πλεονέκτημα των ινδικών αριθμών έναντι των ρωμαϊκών αριθμών, οι όποιοι ήταν ακόμα σε χρήση στη δυτική και κεντρική Ευρώπη εκείνη την περίοδο. έφερε στην Ευρώπη τον αριθμό μηδέν, ένα αφηρημένο μοντέλο του τίποτα. Παραδείγματα μοντέλων Πώς υπολόγισε ο Θαλής το ύψος της πυραμίδας στην Αίγυπτο ή την απόσταση ενός πλοίου στη θάλασσα; Πώς ο Ερατοσθένης υπολόγισε την περιφέρεια της γης; Ποιος θα είναι ο πληθυσμός της Κίνας το 2050; Τι καιρό θα κάνει αύριο; Υπολογισμός του ύψους της πυραμίδας Υπολογισμός της περιφέρειας της γης 4
Υπολογισμός της περιφέρειας της γης Διαδικασία μοντελοποίησης γωνία θ=7,2 ο τόξο S=805 km γωνία 360 ο τόξο x (περιφέρεια Γης) ερμηνεία Ρεαλιστικό πρόβλημα απλοποίηση Μαθηματικό αποτέλεσμα Ρεαλιστικό μοντέλο υπολογισμοί Μαθηματικό μοντέλο αφαίρεση Διαδικασία μοντελοποίησης πραγματικό πρόβλημα Πισίνες Τα σχέδια δείχνουν διάφορες τετραγωνικές πισίνες, οι οποίες περικλείονται από μία σειρά από λευκές πλάκες. επιστημονικό μοντέλο μαθηματικό μοντέλο F =Wsin θ R=Wcos θ α=1 π=8 α=2 π=12 α=3 π=16 Από πόσες πλάκες θα περικλείεται η πισίνα με διαστάσεις 20 20; Βρείτε ένα μοντέλο που να παρέχει τον αριθμό των λευκών πλακών σε σχέση με τις διαστάσεις της πισίνας. 5
Βρείτε και καταγράψτε τον αριθμό των σπίρτων που απαιτούνται για να φτιάξετε τα δυο πρώτα τετράγωνα. Πόσα σπίρτα χρειάζεστε για τα τετράγωνα 8 8 και 21 21; Πώς θα ελέγχατε την πρόβλεψή σας; Γράψτε έναν κανόνα για να περιγραφεί ο αριθμός των σπίρτων που απαιτούνται για να χτίσετε ένα τετράγωνο με διαστάσεις ν ν, για οποιοδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό ν. 1 2 3 4 4 12 24 40 1 4 2 6 3 8 4 10 ν? 1 4 2 6 3 8 4 10 5 12 6 14 Πώς προκύπτει το 4 από το 1; Πώς προκύπτει το 6 από το 2; 6
ν ν+? 1 4 1+3 2 6 2+4 3 8 3+5 4 10 4+6 5 12 5+7 6 14 6+8 ν ν+?? = ν+2 1 1+3 1+2 2 2+4 2+2 3 3+5 3+2 4 4+6 4+2 5 5+7 5+2 6 6+8 6+2 ν? ν+(ν+2) 1 4 1+(1+2) 2 6 2+(2+2) 3 8 3+(3+2) 4 10 4+(4+2) 5 12 5+(5+2) 6 14 6+(6+2) ν [ν+(ν+2)] = ν (2ν+2) = 2ν 2 + 2ν 7
(PISA) (PISA) Χρησιμοποιήστε την κλίμακα του χάρτη και υπολογίστε κατά προσέγγιση το εμβαδόν της Ανταρκτικής. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις υποδηλώνει - κατά προσέγγιση - την απόσταση μεταξύ του Νότιου Πόλου και του όρους Μένζι; (Χρησιμοποιήστε την κλίμακα του χάρτη, για να εκτιμήσετε την απόσταση.) Α. Η απόσταση είναι μεταξύ 1.600 km και 1.799 km. Β. Η απόσταση είναι μεταξύ 1.800 km και 1.999 km. Γ. Η απόσταση είναι μεταξύ 2.000 km και 2.099 km. Δ. Δεν μπορεί να προσδιοριστεί. Κάποιος φίλος σας ισχυρίζεται ότι η έκταση της Ελλάδας είναι 40000 τετραγωνικά χιλιόμετρα. Θεωρείτε ότι αυτή είναι μια ικανοποιητική εκτίμηση; Δικαιολογήστε την άποψή σας. Αναβολή μαθήματος Το μάθημα της Παρασκευής 16 Μαΐου δεν θα πραγματοποιηθεί λόγω απουσίας μου στα πλαίσια του προγράμματος Erasmus. 8
Χρηματοδότηση Τέλος Ενότητας Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Σημειώματα Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1315.
Σημείωμα Αναφοράς Σημείωμα Αδειοδότησης Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης. «Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1315. Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.