Κλασσική Μηχανική Κλασσική Μηχανική: η αρχαιότερη από τις φυσικές επιστήμες. Αντικείμενο: η μελέτη της κινήσεως των αντικειμένων. Χωρίζεται σε: (α) Κινηματική: το μέρος της μηχανικής που ασχολείται αποκλειστικά με την περιγραφή της κίνησης, χωρίς να το ενδιαφέρει τα αίτια (δυνάμεις) που την προκαλούν, (β) υναμική: το μέρος της μηχανικής που συσχετίζει την κίνηση με τις δυνάμεις που συνδέονται με αυτή, καθώς και με τις ιδιότητες των κινούμενων αντικειμένων. 1
Σημείωση: περιοριζόμαστε στην ειδική περίπτωση όπου οι ταχύτητες των σωματίων είναι πολύ μικρές σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός. Ειδάλλως, το πρόβλημα της κίνησης των αντικειμένων αντιμετωπίζεται με την βοήθεια της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας του Αινστάιν. 2
Α. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ Ένα πραγματικό αντικείμενο καθώς κινείται (μεταφορική κίνηση) μπορεί να περιστρέφεται (όπως π.χ. μια μπάλα ποδοσφαίρου) και να ταλαντώνεται (όπως π.χ. μια σταγόνα νερού που εκτελεί ελεύθερη πτώση). Οι περιπλοκές αυτές αποφεύγονται θεωρώντας την κίνηση ενός πολύ μικρού σώματος που ονομάζεται σωμάτιο. 3
Μαθηματικά, ένα σωμάτιο θεωρείται ως ένα σημείο, δηλαδή, ως ένα αντικείμενο χωρίς έκταση και επομένως δεν παρεμβάλλονται η περιστροφή και η ταλάντωση, οπότε τα σωμάτια έχουν μόνο μεταφορική κίνηση. Μέση ταχύτητα Η ταχύτητα ενός σωματίου είναι ο ρυθμός με τον οποίο η θέση του μεταβάλλεται με το χρόνο. Η θέση ενός σωματίου, σε ένα ορισμένο Σ.Α., δίνεται από ένα διάνυσμα θέσεως που σχεδιάζεται από την αρχή αυτού του Σ.Α. μέχρι το σωμάτιο. 4
Έστω ότι τη χρονική στιγμή t 1 ένα σωμάτιο βρίσκεται στη θέση Α με διάνυσμα θέσης r 1. Σε μια μετέπειτα τη χρονική στιγμή t 2 το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση B με διάνυσμα θέσης r 2. Το διάνυσμα που περιγράφει την μεταβολή της θέσεως του σωματίου καθώς κινείται από το Α Β, στο χρονικό διάστημα t(=t 2 -t 1 ), είναι το r(=r 2 -r 1 ) και ονομάζεται διάνυσμα μετατοπίσεως. 5
Y A(t 1 ) Δr=r 2 -r 1 B(t 2 ) r 1 r 2 X 6
Η μέση ταχύτητα για ένα σωμάτιο ορίζεται από την σχέση: υ =< υ >= Δ r Δt = μετατόπιση ( διάνυσμα) χρόνος(βαθμωτό) Σημείωση: η μέση ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος και η διεύθυνση και η φορά της ταυτίζεται με την διεύθυνση και φορά του διανύσματος της μεταβολής της θέσης, Δr. Το μέτρο της είναι το μέτρο του διανύσματος της μεταβολής της θέσης, Δr, πολλαπλασιασμένο με την 1 βαθμωτή ποσότητα. Δt 7
Στιγμιαία ταχύτητα: Η ταχύτητα του σωματίου σε κάθε δοσμένη χρονική στιγμή. Αν Δr είναι η μετατόπιση σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt, που έπεται μιας τυχαίας χρονικής στιγμής t, η ταχύτητα στη χρονική στιγμή t είναι η οριακή τιμή του Δr/Δt, καθώς τόσο το Δr όσο και το Δt τείνουν προς το μηδέν, δηλαδή: υ = Δ t lim0 Δ r Δt Η διεύθυνση της υ είναι η οριακή διεύθυνση που λαβαίνει το Δr, καθώς το Β πλησιάζει προς Α ή καθώς το Δt τείνει στο μηδέν. 8
Y 0 Δr 1 =r 2 -r 1 A 2 (t 2 =t 1 +Δt) A 1 (t 1 ) r r 2 r 3 1 r n Δr 2 =r 3 -r 2 A 2 (t 3 =t 1 +2Δt) r n+1 Δr n =r n+1 -r n B(t n ) X Διαγραμματικά: Χωρίζω την τροχιά του σωματίου σε πολλά μικρά Δr ( 0) που διανύει το σωμάτιο σε πολύ μικρά χρονικά διαστήματα Δt ( 0). Τότε, η μέση ταχύτητα προσεγγίζει την στιγμιαία για κάθε σημείο της τροχιάς. 9
Σημείωση: Η οριακή αυτή διεύθυνση είναι εκείνη της εφαπτόμενης της τροχιάς του σωματίου στο σημείο Α (βλ. Σχ. 3.3). Ακόμη, στον απειροστικό λογισμό, η οριακή τιμή του Δr/Δt καθώς το Δt 0 γράφεται dr/dt και λέγεται παράγωγος του r ως προς το t. Έχουμε λοιπόν υ Δ r Δt = = lim0 Δ t d r dt Το μέτρο υ της στιγμιαίας ταχύτητας είναι απλώς η απόλυτη τιμή του υ, δηλαδή υ = υ = dr/dt 10
Y υ 1 A(t 1 ) B(t 2 ) r 1 υ 2 Το διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας του σωματίου σε κάθε θέση έχει την διεύθυνση της εφαπτομένης της τροχιάς. r 2 0 X 11
Μέση Επιτάχυνση Η επιτάχυνση ενός σώματος είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του (είτε του μέτρου της, είτε της διεύθυνσής της, είτε και των δυο) με τον χρόνο. Έστω ένα σωμάτιο που την στιγμή t 1 βρίσκεται στην στην θέση A (με διάνυσμα θέσης r 1 ) και κινείται στο x-y επίπεδο με στιγμιαία ταχύτητα υ 1. Έστω ότι σε μια μεταγενέστερη χρονική στιγμή t 2 το σωμάτιο βρίσκεται στην θέση Β (με διάνυσμα θέσης r 2 ) και κινείται στο x-y επίπεδο με στιγμιαία ταχύτητα υ 2. Τότε, η μέση επιτάχυνση a στην διάρκεια της κινήσεως του σωματίου από το σημείο Α στο Β ορίζεται ως η μεταβολή της ταχύτητας δια του χρονικού διαστήματος, δηλαδή 12
a = υ t 2 2 υ t 1 1 = Δ υ Δt Η ποσότητα a είναι διανυσματική ποσότητα (καθώς προκύπτει από την διαίρεση ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό). Η διεύθυνση και η φορά είναι ίδιες με εκείνες της Δυ και το μέτρο της είναι Δυ/Δt. 13
Y 0 A(t 1 ) r 1 r 2 B(t 2 ) X υ 2 υ 1 Δυ Η μεταβολή του διανύσματος θέσης Δυ (=υ 2 -υ 1 ) ενός σωματίου που κινείται από την θέση Α στην Β μέσα σε χρόνο Δt (=t 2 -t 1 ). Το διάνυσμα της μέσης επιτάχυνσης έχει την διεύθυνση και την φορά του Δυ, ενώ το μέτρο του είναι Δυ /Δt. 14
Αν το υ/ t παρέμενε σταθερό (ανεξάρτητα από τους χρόνους στους οποίους μετριέται η επιτάχυνση), τότε λέμε ότι έχουμε σταθερή επιτάχυνση και η μεταβολή της ταχύτητας είναι ομαλή κατά διεύθυνση και μέτρο. Αν δεν υπάρχει μεταβολή της ταχύτητας, δηλαδή υ=σταθ. (τόσο στο μέτρο όσο και στην κατεύθυνση), συνεπάγεται ότι υ=0 για όλα τα χρονικά διαστήματα, οπότε a=0. Αν ένα σωμάτιο κινείται κατά τέτοιο τρόπο που a σταθ., τότε λέμε ότι το σωμάτιο έχει μεταβλητή επιτάχυνση. 15
Στιγμιαία Επιτάχυνση Η στιγμιαία επιτάχυνση ορίζεται ως η επιτάχυνση του σωματίου σε κάθε χρονική στιγμή, δηλαδή Δ υ d υ a = = lim0 Δt Δt dt δηλαδή, η επιτάχυνση ενός σωματίου στο χρόνο t είναι η οριακή τιμή του Δυ/Δt στη χρονική στιγμή t, καθώς Δυ, Δt 0. Όπως γίνεται κατανοητό, τα παραπάνω προκύπτουν χωρίζοντας την τροχιά του σωματίου σε πολύ μικρά διαστήματα, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.5. 16
Y 0 A 1 (t 1 ) r 2 υ 1 υ 1 υ 2 Δυ υ 2 =υ 1 +Δυ A 2 (t 3 =t 1 +2Δt) υ 3 =υ 1 +2Δυ A 2 (t 2 =t 1 +Δt) r 3 B(t n ) X Το σωμάτιο έχει ταχύτητα υ 1 στην θέση Α 1 και κινείται στο σημείο Α 2, όπου η ταχύτητά του είναι υ 2. Το τρίγωνο στο επάνω μέρος του σχήματος δείχνει την μικρή μεταβολή Δυ (=υ 2 -υ 1 ) που δέχεται το σωμάτιο καθώς κινείται από το Α 1 στο Α 2 μέσα σε πολύ μικρό Δt ( 0). 17
Η διεύθυνση της a είναι η οριακή διεύθυνση της διανυσματικής μεταβολής της ταχύτητας Δυ. Το μέτρο a της στιγμιαίας επιτάχυνσης είναι απλώς η απόλυτη τιμή του a, δηλαδή, a =a= dυ/dt 18
Μονοδιάστατη κίνηση-μεταβλητή ταχύτητα Έστω ένα σωμάτιο που κινείται σε μια τροχιά στο επίπεδο x-y. Στην χρονική στιγμή t η θέση του, ως προς την αρχή των αξόνων, δίνεται από το διάνυσμα θέσης r και έχει ταχύτητα υ εφαπτόμενη στην τροχιά του. Y Y A(t) υ y x^ υ ^ yy A(t) ^ υ x x r y^ ^ xx y^ x^ X x^ X 19
Y y^ A(t) a y x^ ^ a x x a Μπορεί να παρατηρηθεί ότι: το διάνυσμα της ταχύτητας είναι εφαπτόμενο της τροχιάς x^ X το διάνυσμα της είναι επιτάχυνσης κάθετο σε αυτό της ταχύτητας. 20
Προφανώς r( t) = xˆ x( t) + ŷ y( t) όπου xˆ και ŷ είναι τα μοναδιαία διανύσματα στις θετικές x- και y- κατευθύνσεις αντίστοιχα και x και y είναι οι (βαθμωτές) συνιστώσες του διανύσματος r. Για το διάνυσμα της ταχύτητας: d r( t) dx( t) dy( t) υ( t) = = xˆ + ŷ dt dt dt ή υ( t) = xˆ υ ( t) + ŷ υ ( t) x y όπου υ x =dx/dt και υ y =dy/dt oι (βαθμωτές) συνιστώσες του διανύσματος υ. 21
ή Το διάνυσμα της επιτάχυνσης: d υ( t) d r( t) a( t) = = = dt dt a( t) = xˆ a ( t) + ŷ a ( t) x y dυ dυ t x ( t) y ( ) xˆ + ŷ dt dt όπου a x =dυ x /dt και a y =dυ y /dt oι (βαθμωτές) συνιστώσες του διανύσματος a. Σημείωση: τα παραπάνω μπορούν να γενικευτούν και για μια τυχαία κίνηση στον χώρο (τρεις διαστάσεις), οπότε στις παραπάνω σχέσεις πρέπει να προστεθεί και η 3 η z- συνιστώσα. 22
Έστω μονοδιάστατη κίνηση (1D), κατά τον x-άξονα υ y = 0 υ = xˆ υ x Σημείωση: Στην 1D κίνηση έχουμε μόνο δυο δυνατές φορές, οπότε μπορούμε να μην χρησιμοποιούμε τη διανυσματική μέθοδο, εισάγοντας τα (±) για την κάθε φορά. Μονοδιάστατη κίνηση-σταθερή επιτάχυνση Εδώ περιοριζόμαστε στην μελέτη 1D κίνησης όπου a x =a=σταθερή (και προφανώς a y =0). 23
Εδώ η μέση επιτάχυνση ισούται με την στιγμιαία επιτάχυνση για οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Έστω μια χρονική στιγμή t 1 =0 και ένας τυχαίος χρόνος t 2 =t 0. Έστω υ x η ταχύτητα για t 2 και υ x =υ x0, για t 1 =0. Τότε, ή a x = Δ Δt υ x =υ x0 +a x t υx υ = t 0 υ x0 24
Η παραπάνω εξίσωση υποδηλώνει ότι, η ταχύτητα υ x στο χρόνο t είναι το άθροισμα της υ x0 στο χρόνο t=0 και της μεταβολής της ταχύτητας στο χρονικό διάστημα Δt=t, που είναι a x t. Όταν η ταχύτητα υ x μεταβάλλεται ομαλά με το χρόνο, η μέση ταχύτητά της σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα ισούται προς το ημιάθροισμα των τιμών της υ x στην αρχή και στο πέρας του διαστήματος, δηλαδή, η μέση ταχύτητα υ x μεταξύ του t 1 =0 και t 2 =t είναι 1 υ x = ( υx0 + υx ) 2 Αν η θέση του σωματίου για t 1 =0 είναι x 0, η θέση του x για t 2 =t μπορεί να βρεθεί από την σχέση 25
1 x=x 0 + υ x t x=x 0 + ( υ x0 + υx ) t 2 Στα περισσότερα προβλήματα της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης είναι γνωστές 2 από τις 4 παραμέτρους (x, t, υ x, a x ) και ζητείται μια τρίτη. Άρα, χρειαζόμαστε άλλες δυο εξισώσεις για να συμπληρώσουμε το σύστημα των εξισώσεων μας. Με απαλοιφή της υ x, προκύπτει: x=x 0 + υ t x 0 + 1 2 a x t 2 26
Για την υ x μπορεί να βρεθεί: υ 2 2 x = υx0 + 2ax ( x - x0 ) Οπότε έχουμε τώρα ένα πλήρες σύνολο εξισώσεων για την μελέτη της κίνησης πάνω σε ευθεία γραμμή με σταθερή επιτάχυνση. 27
Χαρακτηριστικό παράδειγμα: η ελεύθερη πτώση των σωμάτων Κίνηση σώματος με (σχεδόν) σταθερή επιτάχυνση που πέφτει ελεύθερα προς τη γή (ελεύθερη πτώση). Σημείωση: Στην ιδανική αυτή κίνηση αγνοούμε την αντίσταση του αέρα και τη μικρή μεταβολή της επιταχύνσεως με το ύψος. Η επιτάχυνση ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα λέγεται επιτάχυνση της βαρύτητας και συμβολίζεται με g και κοντά στην επιφάνεια της γής θεωρείται, κατά προσέγγιση, σταθερή με διεύθυνση κατακόρυφη στην επιφάνεια της γης, φορά προς το κέντρο της γης και μέτρο g = g =32 ft/sec 2 ή 9.8 m/sec 2. 28
Για την εύρεση των εξισώσεων κινήσεως στην ελεύθερη πτώση, επιλέγουμε ένα σύστημα αναφοράς δεμένο με τη γή. Ο y-άξονας θα θεωρηθεί θετικός κατακόρυφα πρός τα πάνω. Τότε, η g θα είναι ένα διάνυσμα με φορά προς τα κάτω (προς το κέντρο της γής) στην αρνητική y-διεύθυνση. Με ακριβώς την ίδια λογική, προκύπτει: υ y =υ y0 +a y t 1 y=y 0 + ( υ y0 + υy ) t 2 29
y=y 0 + υ t y 0 + 1 2 a y t 2 υ 2 2 y = υ y0 + 2a y ( y - y0 ) όπου, βέβαια, a y =-g. Μονοδιάστατη κίνηση-μεταβλητή επιτάχυνση Έστω 1D κίνηση, έστω κατά τον x-άξονα. Τότε, a y = 0 a = xˆ ax 30
Είπαμε ότι 1D κίνηση έχουμε μόνο δυο δυνατές φορές δεν χρησιμοποιούμε τη διανυσματική μέθοδο εισάγουμε τα (±) για την κάθε φορά. Παράδειγμα: 31
ΥΝΑΜΙΚΗ Έστω ένα σωμάτιο που τα χαρακτηριστικά του (μάζα, φορτίο, μαγνητική διπολική ροπή κ.τ.λ.) είναι γνωστά. Έστω ότι θέτουμε το σωμάτιο αυτό, με γνωστή αρχική ταχύτητα, σε περιβάλλον του οποίου έχουμε πλήρη περιγραφή. Το κεντρικό πρόβλημα της κλασσικής μηχανικής είναι ποιά κίνηση του σωματίου θα προκύψει; Το διάγραμμα της λύσης που, συνήθως, ακολουθείται είναι: 1. Να εισάγουμε την δύναμη F και να την ορίσουμε με την βοήθεια της επιταχύνσεως a που δέχεται ένα ορισμένο πρότυπο σώμα (π.χ. σωμάτιο). 32
2. Να αποδώσουμε σε κάθε σωμάτιο μια μάζα m ώστε να φαίνεται ότι, διαφορετικά σωμάτια του ιδίου είδους δέχονται στο ίδιο περιβάλλον διαφορετικές επιταχύνσεις. 3. Αναζητούμε τους Νόμους υνάμεων, δηλαδή, προσπαθούμε να βρούμε τους τρόπους υπολογισμού των δυνάμεων που δρουν πάνω στα σωμάτια, από τις ιδιότητες του σωματίου και του περιβάλλοντός του. 33
Νόμοι υνάμεων (α) Ο Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα (ή Νόμος της Αδράνειας) Η πρώτη άποψη (από Γαλιλαίο) ήταν: για να μεταβληθεί η ταχύτητα ενός σώματος χρειάζεται μια εξωτερική δύναμη, αλλά καμιά εξωτερική δύναμη δεν χρειάζεται για να διατηρηθεί ταχύτητα του σώματος. Από Newton διατυπώθηκε ο Πρώτος Νόμος: κάθε σώμα διατηρεί την κατάσταση ηρεμίας του ή ομαλής κινήσεώς του σε ευθεία γραμμή, εκτός αν εξαναγκαστεί να μεταβάλλει την κατάσταση αυτή από δυνάμεις που εξασκούνται πάνω του. 34
Ο 1 ος Νόμος του Νεύτωνα είναι ουσιαστικά μια πρόταση για τα Σ.Α., καθώς, η επιτάχυνση ενός σώματος εξαρτάται από το Σ.Α. ως προς το οποίο μετριέται, οπότε μπορεί να βρεθεί μια οικογένεια Σ.Α. όπου a=0. Το γεγονός ότι τα σώματα παραμένουν στην ηρεμία ή διατηρούν την Ομαλή Ευθύγραμμη Κίνησή τους, όταν δεν υπάρχουν δυνάμεις, αναφέρεται ως μια ιδιότητα της ύλης που λέγεται Α ΡΑΝΕΙΑ. Για αυτό, ο 1 ος Ν.Ν. λέγεται και ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ και τα Σύστημα Αναφοράς στα οποία εφαρμόζεται λέγονται Α ΡΑΝΕΙΑΚΑ. 35
Σημείωση: Τα σώματα παραμένουν στην ηρεμία ή διατηρούν την Ομαλή Ευθύγραμμη Κίνησή τους όταν δεν υπάρχουν δυνάμεις ή όταν υπάρχουν έχουν συνισταμένη μηδενική, οπότε a=0. Κατανόηση της έννοιας της δύναμεως: Έστω ένα σωμάτιο με m=1 Kgr (πρότυπη μάζα). Αν βρούμε ότι το σώμα έχει επιτάχυνση a μέσα σε ορισμένο περιβάλλον, τότε λέμε ότι το περιβάλλον εξασκεί μια δύναμη F (διανυσματική ποσότητα) πάνω στο σώμα, όπου το μέτρο της, F =F, εκφράζεται σε Νewtons (Nt) και ισούται αριθμητικά προς το γινόμενο της μάζας επί το μέτρο, a (σε m/sec 2 ), της επιτάχυνσης, δηλαδή, 1 Nt = 1 Kgr 1 m/sec 2. 36
Σημείωση: όταν πάνω σε ένα σώμα δρουν της δυνάμεις, η καθεμία προκαλεί ανεξάρτητα τη δική της επιτάχυνση. Η συνισταμένη επιτάχυνση είναι το διανυσματικό άθροισμα των πολλών ανεξαρτήτων επιταχύνσεων. (β) Μάζα - Ο εύτερος Νόμος του Νεύτωνα Ερώτημα: τι αποτέλεσμα θα είχε η ίδια δύναμη σε διαφορετικά αντικείμενα, δηλαδή με σώματα με διαφορετική μάζα; Προφανώς, η ίδια δύναμη θα προκαλέσει διαφορετικές επιταχύνσεις σε διαφορετικά σώματα. 37
Έστω τυχαίο σώμα με μάζα m 1 και ένα 2 ο με m 2. Ορίζουμε τον λόγο των μαζών των δυο σωμάτων σαν ίσο προς το αντίστροφο του λόγου των επιταχύνσεων που αποκτούν τα σώματα αυτά με την επίδραση της ίδιας δύναμης, δηλαδή, m 1 /m 2 = a 2 / a 1 Άρα η μάζα μπορεί να θεωρείται σαν ένα ποσοτικό μέτρο της αδράνειας. 38
Σημείωση 1: Ο λόγος των μαζών των δυο σωμάτων είναι ανεξάρτητος του μεγέθους της κοινής δύναμης που εξασκείται. Σημείωση 2: Οι μάζες προσθέτονται όπως (και είναι) οι βαθμωτές ποσότητες. Με βάση τα παραπάνω, προκύπτει η θεμελιώδης εξίσωση F=m a όπου, F είναι το διανυσματικό άθροισμα όλων των δυνάμεων που δρουν στο σώμα, m η μάζα του σωματίου και a η επιτάχυνσή του. 39
Ουσιαστικά, ο 1 ος Νόμος του Νεύτωνα αποτελεί μια ειδική περίπτωση του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα, δηλαδή, a=f/m (για F=0) a=0. Το τμήμα της δυναμικής του σωματίου που περιλαμβάνει μόνο συστήματα για τα οποία η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν ονομάζεται ΣΤΑΤΙΚΗ. Αναλύοντας σε συνιστώσες, προκύπτουν τρεις βαθμωτές εξισώσεις, δηλαδή F x =ma x, F y =ma y και F z =ma z όπου x, y και z οι καρτεσιανές συντεταγμένες. 40
(γ) Ο Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα (Νόμος ράσης - Αντίδρασης) Από απλά πειράματα γνωρίζουμε ότι, όταν ένα σώμα εξασκεί μία δύναμη πάνω σε ένα δεύτερο, το δεύτερο αυτό σώμα εξασκεί και αυτό πάντοτε μια δύναμη πάνω στο πρώτο. Μπορεί να βρεθεί ότι: οι δυνάμεις αυτές έχουν ίδια διεύθυνση, ίσα μέτρα αλλά αντίθετες φορές. Τόσο η μια όσο και η άλλη δύναμη μπορεί να θεωρηθεί σα δράση και η άλλη σαν αντίδραση. 41
Μια μόνη απομονωμένη δύναμη είναι ανύπαρκτη. Η ιδιότητα αυτή των δυνάμεων διατυπώθηκε από τον Nεύτωνα ως ο 3 ος Νόμος: Σε κάθε δράση αντιτίθεται πάντοτε μια ίση αντίδραση ή οι αμοιβαίες δράσεις δυο σωμάτων είναι ίσες και κατευθύνονται αντίθετα. Σημείωση: Η δράση και η αντίδραση δρούν πάνω σε διαφορετικά σώματα. 42
Μερικά Παραδείγματα υνάμεων (α) Βάρος και μάζα Το βάρος ενός σώματος είναι η δύναμη παγκόσμιας έλξεως, που ασκεί πάνω του η γη. Η κατεύθυνση αυτής της διανυσματικής ποσότητας είναι πάντοτε προς το κέντρο της γης. Οπότε, από τον 2 ο Ν.Ν. προκύπτει (για μικρές αποστάσεις από την επιφάνεια της γης): Β=mg όπου Β η δύναμη του βάρος και g η επιτάχυνση της βαρύτητας (που θεωρείται κατά προσέγγιση σταθερή). 43
(β) υνάμεις Τριβής Οι δυνάμεις τριβής που δρουν μεταξύ επιφανειών που είναι ακίνητες μεταξύ τους, λέγονται δυνάμεις στατικής τριβής. Η max δύναμη στατικής τριβής θα είναι η ίδια με την min δύναμη που χρειάζεται για την έναρξη της κινήσεως. Όταν έχει αρχίσει η κίνηση, οι δυνάμεις τριβής μεταξύ των επιφανειών συνήθως μειώνονται και έτσι απαιτείται μικρότερη δύναμη για τη διατήρηση μιας ομαλής κινήσεως. Οι δυνάμεις που δρουν μεταξύ επιφανειών που βρίσκονται σε σχετική κίνηση λέγονται δυνάμεις κινητικής τριβής. 44
Η max δύναμη στατικής τριβής μεταξύ οποιουδήποτε ζευγαριού ξερών αλίπαντων επιφανειών ακολουθεί τους εξής δυο εμπειρικούς νόμους: 1. είναι κατά προσέγγιση ανεξάρτητη του εμβαδού επαφής, μέσα σε εκτενή όρια, 2. είναι ανάλογη της κάθετης δυνάμεως. 45
Σημείωση: Η κάθετη δύναμη (που κάποτε λέγεται και δύναμη φορτίου) είναι εκείνη που το κάθε σώμα εξασκεί πάνω στο άλλο κάθετα προς την κοινή επιφάνειά τους. Προέρχεται από την ελαστική παραμόρφωση των σωμάτων που βρίσκονται σε επαφή, καθώς αυτά δεν είναι ποτέ τελείως ασυμπίεστα. Ο λόγος του μέτρου της μέγιστης δύναμης στατικής τριβής προς το μέτρο της κάθετης δυνάμεως ονομάζεται συντελεστής στατικής τριβής για τις μελετούμενες επιφάνειες. 46
Αν f s το μέτρο της δυνάμεως στατικής τριβής, τότε f s μ s N όπου, μ s ο συντελεστής στατική τριβής και Ν το μέτρο της κάθετης δυνάμεως. Προφανώς, η ισότητα ισχύει μόνο όταν η f s έχει τη μέγιστη τιμή της. Η δύναμη κινητικής τριβής f k μεταξύ ξερών αλίπαντων επιφανειών ακολουθεί τους ίδιους με την στατική εμπειρικούς νόμους, δηλαδή, 47
1. είναι κατά προσέγγιση ανεξάρτητη του εμβαδού επαφής, μέσα σε εκτενή όρια, 2. είναι ανάλογη της κάθετης δυνάμεως, 3. και, επιπλέον, είναι περίπου ανεξάρτητη της σχετικής ταχύτητας με την οποία οι επιφάνειες ολισθαίνουν μεταξύ τους. 48
Ο λόγος του μέτρου της δύναμης της κινητικής τριβής προς το μέτρο της κάθετης δυνάμεως ονομάζεται συντελεστής κινητικής τριβής. Αν f k το μέτρο της δυνάμεως κινητικής τριβής, τότε f k μ k N όπου, μ k ο συντελεστής κινητικής τριβής. Σημείωση 1: Οι μ s και μ k είναι αδιάστατες σταθερές, αφού η καθεμιά είναι ο λόγος των μέτρων των δυο δυνάμεων. 49
Σημείωση 2: Συνήθως, για δοσμένες επιφάνειες μ s > μ k. Σημείωση 3: Οι τιμές των μ s και μ k εξαρτιώνται από τη φύση και των δυο επιφανειών που βρίσκονται σε επαφή. Σημείωση 4: Οι τιμές των μ s και μ k είναι συνήθως <1, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να υπερβούν τη μονάδα. Σημείωση 5: Η δύναμη της τριβής και η κάθετη δύναμη έχουν πάντοτε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους. 50