Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε, τώρα, στην περίπτωση ενός συστήματος αναφοράς, που αποτελείται από ένα σημείο Ο μία τυχούσα βάση { e, K,e} του χώρου Αν e e (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα γράφουμε απλά e, θα νοούμε ότι ο δείκτης που επαναλαμβάνεται αθροίζεται) y y e e τότε μπορούμε να γράφουμε ότι, y ( e )(y e ) y (ee ) (), για να πάρει νόημα το προηγούμενο τυπικό άθροισμα των όρων, θέτουμε e e e e Φανερά, Έτσι όπως ορίσαμε την (), την μετατρέψαμε σε μία απεικόνιση B(, y) B(y, ) Η B(, y) y, () είναι μία συμμετρική διγραμμική μορφή την οποία, μπορούμε να γράψουμε ως εξής, X GY, όπου X ο ανάστροφος πίνακας του πίνακα κολώνα των συντεταγμένων του ανύσματος,, Υ ο πίνακας κολώνα των συντεταγμένων του ανύσματος y Για παράδειγμα, η B (, y) y ( y y ) y, γράφεται y (, ) y Την () την γράφουμε ως B(, y) y ( y y () ) < Αν στην διγραμμική μορφή () θέσουμε y, λαβαίνουμε την τετραγωνική μορφή Q (, ) (4) Για παράδειγμα, η B(, y ) του προηγούμενου παραδείγματος, δίδει την Q (, ) Φανερά, για, Q (, ) > Ξεκινώντας συνεπώς, από ένα Ευκλείδειο χώρο με εσωτερικό γινόμενο, όπως αυτό ορίστηκε στην, φθάσαμε στην τετραγωνική μορφή (4) Ισχύει το αντίστροφο: Θεώρημα Έστω ο, { e, K,e} μία θετική συμμετρική γραμμική μορφή B(, y) y τυχούσα βάση του Υποθέτουμε ότι έχει ορισθεί Ο τύπος, τότε, y y ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του Πράγματι, η απεικόνιση B(, y) έχει τις ιδιότητες που ορίζουν μία απόσταση d(, y) εν : Είναι συμμετρική, B(, y) B(y, ) ιγραμμική B( λ λ, y) λb(, y) λb(, y) B(, μ y μy) μb(, y) μb(, μy) Q () B(, ) > Για τον λόγο αυτόν, η Β καλείται μετρική του χώρου ως προς την βάση e, K,e } οι συντελεστές Η απόσταση ορίζεται ως εξής: καλούνται μετρικοί συντελεστές ως προς την βάση αυτή d(a, B) των σημείων A OA (, K ) d (A,B) Q(A B) ( ) ( B { OB (, K ), ) Ισχύουν βέβαια οι σχέσεις

d (A, B) >, με d (A, B) A B, d (A, B) d(b, A) (τριγωνική ανισότητα) d(a, Γ) d( Γ, B) d(a, B) (Βλέπε ενότητα Γεωμετρικές εφαρμογές, ) Θεώρημα (Κριτήριο του Sylee) Μία τετραγωνική μορφή είναι θετικά ορισμένη, ανν όλες οι κύριες ορίζουσές της είναι θετικές α β Απόδειξη Για είναι, Q(, ) (, ) α( ) β γ( ), β γ με κύριες ορίζουσες α, αγ β Το α ( ) β γ( ) λαβαίνει το σημείο του α, ανν η διακρίνουσά του < Η γενική περίπτωση του θεωρήματος, προκύπτει ως πόρισμα του θεωρήματος αναγωγής μιάς τετραγωνικής μορφής στην κανονική της έκφραση (Βλέπε παρακάτω) Συμμετρικές διγραμμικές μορφές Τετραγωνικές μορφές Θα εξετάσουμε το γενικό πρόβλημα της ευρέσεως μιάς βάσεως {e, K, e } στην οποία η τετραγωνική μορφή λαβαίνει την κανονική της έκφραση Q(, ) λ ( ) (βλέπε, αλγόριθμος των Gm Schmd) Αν C ο πίνακας του μετασχηματισμού της βάσεως { e, K,e} στην βάση { e, K,e }, Χ ο πίνακας κολώνα των συντεταγμένων του στην βάση { e, K,e} Χ ο πίνακας κολώνα του στην βάση { e, K,e }, τότε, X CX, X GX, οπότε Q(, ) X GX (CX ) G(CX ) X (C GC)X Απ όπου, G C GC, ή γ γ Ορισμός ύο πίνακες Α Β, για τους οποίους ισχύει ότι P : A P BP, όπου ο P έχει de P, καλούνται όμοιοι Η σχέση της ομοιότητος δύο πινάκων, είναι μία σχέση ισοδυναμίας πάνω στο σύνολο των πίνάκων S Πράγματι, ισχύουν οι A I AI (αυτοπαθής, I ο μοναδιαίος πίνακας) A P BP B ( P ) AP ( P ) AP (συμμετρική) A P BP B C τότε A P ( C)P (P) C(P) όπου είναι de P (μεταβατική) Εξ άλλου, αν ο πίνακας Α είναι συμμετρικός, ο Β είναι όμοιος του Α, τότε ο Β θα είναι συμμετρικός πίνακας, μια για τους συμμετρικούς πίνακες ισχύει ότι A A Συνεπώς η A P BP A P B P A P B P οπότε B B, δηλαδή, ο Β είναι συμμετρικός πίνακας Θεωρούμε, τώρα, το σύνολο πηλίκο S / {E(B ), I}, E(B ) η κλάσης του B, δηλαδή, το σύνολο των όμοιων προς τον B πινάκων Ισχύει τότε ότι (βλέπε ενότητα Σύνολα 5: E(B ) S, E(B ) E(B ), E(B ) E(B ) U / Θα δείξουμε ότι κάθε κλάση E(B ) περιέχει έναν διαγώνιο πίνακα, ο οποίος θα είναι ο αντιπρόσωπος της κλάσης Επαγωγικά Για, δεν έχουμε να δείξουμε τίποτα, μια ο οιοσδήποτε πίνακας [ ] είναι διαγώνιος Υποθέτουμε, τώρα, ότι κάθε υποσύνολο E(B ) E(B) των ( ) ( ) συμμετρικών πινάκων, περιέχει έναν διαγώνιο πίνακα Έστω, τώρα, ο πίνακας A [ ] E(A), έστω Q (, ) η τετραγωνική μορφή που προκύπτει από την διγραμμική μορφή B(, y) y (AX) Y, τα διανύσματα e, y y e εκφρασμένα στην κανονική βάση e Για την διγραμμική μορφή Β μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει διάνυσμα τέτοιο ώστε B(, ), μια αν

, B(, ), τότε B(, y) { B( y, y) B(, ) B(y, y) }, για κάθε, y, οπότε A [ ], ο Α διαγώνιος Εκλέγουμε αυτό το σαν το πρώτο διάνυσμα της νέας βάσης του που θα κατασκευάσουμε, ως προς την οποία η διγραμμική μας μορφή θα έχει λάβει την διαγώνιο έκφραση Για να βρούμε τα υπόλοιπα στοιχεία της νέας βάσης, θεωρούμε το σύνολο Ζ των διανυσμάτων z, που είναι ορθογώνια προς το, δηλαδή, που για τα οποία ισχύει ότι B(,z) Το σύνολο Ζ αποτελεί γραμμικό υπόχωρο του με dm Z Εκλέγουμε, τώρα, εκείνη την βάση {, K, } του Ζ, ως προς την οποία,από την υπόθεση της επαγωγής, ο Α είναι όμοιος προς διαγώνιο πίνακα Θεωρούμε το {,, K, }, που θα είναι η νέα βάση του Ως προς αυτήν την βάση έχουμε ότι, Q () B(, ), όπου Όμως για,, δ (από την υπόθεση της επαγωγής) ενώ για λόγω καθετότητας του ως προς τα υπόλοιπα στοιχεία της βάσης, δ ( λόγω συμμετρίας δ ) Άρα ο Α όμοιος προς διαγώνιο πίνακα A [ ] ΠΑΡΑΕΙΓΜΑ ίδεται η συμμετρική διγραμμική μορφή 4 y B(, y) (,, ) 4 y y Από την οποία λαμβάνουμε την τετραγωνική μορφή Q () 8 6 Ένα διάνυσμα για το οποίο Q( ), είναι το (,, ), για το οποίο Q( ) Βρίσκουμε όλα τα κάθετα στο διανύσματα του, τα οποία αποτελούν τον γραμμικό υπόχωρο Ζ Αν z 4 z Z είναι ( ) B( z,z),, 4, απ όπου z έχουμε 4z z z Ο Ζ είναι, λοιπόν, ο χώρος που παράγουν τα (,, 4) (,,) Τα διανύσματα {,, } αποτελούν βάση του,, επιπλέον, Z Αντικαθιστούμε τα, από τα, λ, όπου ως προς Β Προσδιορίζουμε το λ, έτσι ώστε B(, λ ) B(, ) λb(, ), ή 4 λ ή λ ή (νέο) (,, 4) (,,) (,4, 4) Ως προς την βάση {,, } του, έχουμε ότι, B(, ), οπότε το τυχόν, κ κ κ θα έχει Q() B(, ) κ B(, ) κ B(, ) κ B(, ) κ 4κ κ 8 4 Ο πίνακας B 4 της διγραμμικής μορφής B(, y ), είναι, λοιπόν, όμοιος προς τον διαγώνιο πίνακα 4 Πράγματι, για P 4 8 4 4

4 P BP 4 44 4 4 4 4 4 4 8 ΠΑΡΑΕΙΓΜΑ Στον δίδεται η τετραγωνική μορφή ( χ ) ( χψ) ( ψ) Να βρεθεί μία βάση, στην οποία η μορφή αυτή λαβαίνει την κανονική της έκφραση Λύση Στο αρχικό σύστημα αναφοράς Ο, { e,e} του χώρου μου, είναι, χ e ψe η Q(, ) X GX έχει πίνακα G Θα βρούμε μία άλλη βάση, έτσι ώστε στο νέο σύστημα αναφοράς Ο, { e,e }, με χ e ψ e, να έχουμε την έκφραση Q(, ) X G X χ ψ, με G Ενεργώντας στοιχειώδεις πράξεις επί των γραμμών του πίνακα G, λαβαίνουμε, σχηματικά, / / / / / / Θέτουμε C οπότε, C GC Είναι, λοιπόν, X G X (CX) G(CX) X (C GC)X ( χ ψ ) Ο γραμμικός μετασχηματισμός X CX γράφεται στην μορφή του συστήματος χ ψ χ ψ ή χ χ ψ ψ ψ (5) Ας δούμε, τώρα, το πως μετασχηματίζεται ένα υπερεπίπεδο του (επίπεδο στον ) όταν αλλάζει η μετρική του χώρου, οπότε το σύστημα αναφοράς από το αρχικό σύστημα Ο, e, K,e }, καταλήγει στο τελικό Ο {e, K, e }, { Η εξίσωση του υπερεπιπέδου που διέρχεται από το σημείο A ( α, K, α ) στην βάση (αρχική) { e, K,e} είναι η OX OA AX, απ όπου η έκφραση A B (6) Ο μετασχηματισμός X CX είναι ισοδύναμος με το σύστημα χ γ χ η (6) γίνεται A γ B, ή A B, όπου A γ A Η καθετότης δύο διανυσμάτων e σε κάποιο σύστημα αναφοράς, εκφράζεται από την σχέση B (, e) ΠΑΡΑΕΙΓΜΑ (συνέχεια του προηγουμένου) Στο αναφερόμενο αρχικό σύστημα αναφοράς έχουμε την ευθεία ε: χ 4ψ Ο μετασχηματισμός (5) μας δίδει την έκφραση της ε: στο νέο σύστημα αναφοράς ε : ( χ ψ ) 4(ψ ) ή ε : χ 5ψ

5 Υποθέτουμε, ακόμα, ότι μου δίδεται το σημείο A (, ), το οποίο στο νέο σύστημα αναφοράς είναι το A, Στο νέο σύστημα η κάθετος στην ευθεία ε που διέρχεται από το σημείο Α έχει εξίσωση 5 χ ψ, ή κ : 5 χ ψ 6 Πράγματι, κατά μήκος των ευθειών ε : κ : κείνται τα διανύσματα e ( 5, ) (, 5) Είναι, B (e, ) (( 5) 5) Στο αρχικό σύστημα αναφοράς, η κ : λαβαίνει την μορφή κ: 5 χ ψ 6 Παρατηρούμε ότι, το σημείο Α ευρίσκεται πάνω στην κ: Η τομή της κ: με την ε: είναι το σημείο B (, 4) Στο νέο σύστημα είναι, B (, - ) το σημείο αυτό, βρίσκεται πάνω στην κ Στο αρχικό σύστημα, η καθετότης εκφράζεται από την συνθήκη B (e, ), όπου Β η διγραμμική μορφή B (, y) y y y y Στο παράδειγμά μας είναι,,,, e ( 4, ), (, 5), οπότε B (e, ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η εξίσωση ενός υπερεπιπέδου που διέρχεται από το σημείο OX γράφεται στην μορφή X X (7), όπου το εσωτερικό γινόμενο καθορίζεται από την μετρική του χώρου ΠΑΡΑΕΙΓΜΑ ίδεται ο με μετρική την B (, y) y y y y Ζητάμε να βρούμε την απόσταση του σημείου Ο (αρχή των συντεταγμένων) από την ευθεία ε: χ ψ Λύση Γράφουμε την ευθεία στην μορφή (7): Ένα σημείο επί της ευθείας είναι το OX (,), OX (, ) Είναι, λοιπόν X X (, -) Ζητάμε να βρούμε ένα ( ν χ, ν ψ ) τέτοιο ώστε B (, ) Θέτουμε ν χ, οπότε, ν ψ Η κάθετος προς την ε: από το σημείο Ο, είναι, λοιπόν, η OX λ η οποία τέμνει την ε: στο σημείο (, ) Η ζητουμένη απόσταση είναι Q (, ) Αναγωγή τετραγωνικής μορφής στην κανονική της έκφραση Τα δεδομένα μας είναι: Ο χώρος, η συμμετρική διγραμμική μορφή B(, y) y, από την οποία προκύπτει η τετραγωνική μορφή Q () B(, ) (οι επαναλαμβανόμενοι δείκτες, αθροίζονται), όπου B(, ), {, K, } βάση του Ζητάμε να προσδιορίσουμε μια νέα βάση e, K,e } στην οποία για,, { Θέτουμε,, de, de, K,

6 K de M O M Αν κάποια από τις προηγούμενες ορίζουσες είναι μηδέν, (πχ η K K K, τότε, μια αλλαγή της βάσης, με πίνακα P, θα εξασφάλιζε το M M O M Η νέα βάση { e,,e } K σχετίζεται με την παλαιά {,, K, } (λόγω συμμετρίας ) από τις ισότητες e e M e M e,, B(e, e ) θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι () Η () ισχύει, ανν η,, B(e, ) () ισχύει, μια κάθε είναι γραμμική εξάρτηση των e Η απόδειξη δεν αλλάζει, αν επιπλέον ισχει ότι,, B(e, ) Του προηγουμένου συστήματος (), η πρώτη εξίσωση δίδει B (e, ) B(, ), απ όπου Από την δεύτερη εξίσωση του () έχουμε, B(e, ) B(, ) B(, ), (e, ) B(, ) B(, ) B Η λύση του συστήματος αυτού δίδει Με παρόμοιο τρόπο, υπολογίζουμε όλους τους σύντελεστές K (), συνεπώς, τον μετασχηματισμό () Παρατηρούμε ότι, ο πίνακας Ρ του μετασχηματισμού αυτού είναι τριγωνικός,, συνεπώς, de() L L, άρα ο μετασχηματισμός που έχει πίνακα Ρ είναι ένα προς ένα (μετασχηματισμός αλλαγής βάσης) Για την τετραγωνική μορφή Q(), όταν αυτή εκφράζεται στην βάση e έχουμε ότι, Q ( ) ( ) ( ) K ( ) (4) όπου,, οι συντεταγμένες του P στην βάση e

7 Σημείωση Πάνω δείκτες: Πρόκειται για συντεταγμένες διανύσματος, που αποτελούν ένα πίνακα κολώνα Κάτω δείκτες: πρόκειται για διανύσματα Όπως θα δούμε σε μιαν άλλη ενότητα, το αν οι δείκτες θα είναι πάνω ή κάτω, έχει να κάνει με τον τρόπο που μετασχηματίζεται η ποσότης που παριστούν Co μετασχηματισμός αν οι δείκτες είναι κάτω, co, αν οι δείκτες είναι άνω Το πλήθος των θετικών όρων της (4) καλείται θετικός δείκτης Ο πλήθος των αρνητικών όρων της (4) καλείται αρνητικός δείκτης ΘΕΩΡΗΜΑ (αδρανείας) Οι θετικοί αρνητικοί δείκτες μιας τετραγωνικής μορφής, αποτελούν αναλλοιώτους της μορφής (ηλαδή, είναι ανεξάρτητοι της βάσεως στην οποία εκφράζεται η τετραγωνική μορφή) Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η Q() ( ) ( ) K ( ) ( ) K ( ) έχει στην βάση θετικό δείκτη αρνητικό δείκτη q, με > q () Μετάβαση από την βάση στην βάση μέσω του μετασχηματισμού P Έχουμε, Q ( ) ( ) ( ) K ( ) ( ) K ( ) Ισχύει ότι P, Q( ) X I X, όπου X (, K,, K, ) ένας μοναδιαίος πίνακας, που έχει τα πρώτα διαγώνια στοιχεία ' το πλήθος ίσα με, τα υπόλοιπα q' το πλήθος στοιχεία ίσα με - P ο πίνακας αλλαγής βάσης, με de P Έχουμε, ότι X I X Q(P) X I X (PX) I (PX) X (P I P) X, άρα I, I P I P Είναι de( P I P) de(p) de(i ) de(i ) Οι ορίζουσες, συνεπώς των πινάκων I, I έχουν οι δύο είτε την τιμή, είτε την τιμή - Άρα () Μετάβαση από την βάση στην βάση μέσω του μετασχηματισμού P Στο συμπέρασμα καταλλήγουμε αν θέσουμε P Άρα αναγκαστικά, q q 4 Ορθοκανονικά συστήματα συναρτήσεων Ένα σύνολο S {f, K,f, K} ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, ορισμένων στο [, ] Το ολοκλήρωμα f ()()d καλείται εσωτερικό γινόμενο των συναρτήσεων f, παρίσταται με το f Η om της f ορίζεται από την σχέση f f f () Ισχύουν οι σχέσεις: Συμμετρική, f f Ομμογενής γ( f ) ( γf ) f ( γ), γ σταθερά, ιγραμμική ( f f) f f f ( ) f f Η ανισότης των Cuchy-Schwz ισχύει λόγω () Πράγματι, θέτουμε f () () Θεωρούμε την f () ( ) Είναι, φανερά, f () Άρα, ( ) ( ) ( ) Η διακρίνουσα συνεπώς του f () είναι Είναι, λοιπόν, ( ) ( )( ), () ή f ()()d f () d () d που είναι η ανισότητα των Cuchy-Schwz Από την () προκύπτει η τριγωνική ανισότητα (βλέπε Γεωμετρικές εφαρμογές, ) ή ανισότητα του Mow, f f Έχουμε επίσης την σχέση f (f ) (f ) f f Συνεπώς, η εξίσωση f f () ισχύει αν μόνον αν [, ], f, οπότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f είναι ορθογώνιες Η () είναι βέβαια, το θεώρημα του Πυθαγόρα

8 Το σύνολο S καλείται ορθογώνιο σύστημα συναρτήσεων, ανν m f m f ανν m ορθοκανονικό σύστημα ανν fm f ανν m ΠΑΡΑΕΙΓΜΑ Θεωρούμε τον γραμμικό χώρο C των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [, π] (βλέπε ενότητα Γραμμικοί χώροι παράδειγμα 4) Ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των συναρτήσεων f, C μέσω της ισότητας f S {u για o π f ()()d Θεωρούμε, ακόμα, το σύνολο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, co co, u, u, K, u -, u, K } π π π π π,k Ως γνωστόν, κάθε f C αναλύεται κατά Foue παρίσταται ως σειρά o f () ( co ) όπου f ()cod, π π f () d Το S είναι συνεπώς, μία ορθοκανονική βάση του γραμμικού χώρου C, μια u u m u ()u m () d δ,m ΠΑΡΑΕΙΓΜΑ Έστω P ο χώρος των πολυωνυμικών συναρτήσεων (), μέχρι βαθμού (βλέπε ενότητα Γραμμικοί Χώροι ), με om το π ()y()d Εφαρμόζουμε στο σύνολο {,,, K, } των πολυωνύμων, τον αλγόριθμος των Gm Schmd (βλέπε ενότητα Γεωμετρικές εφαρμογές ), έτσι ώστε το σύνολο αυτό να μετατραπεί σε ένα ορθοκανονικό σύστημα Έχουμε, y ()d y (), y (), y y ()y ()d (πολυώνυμα του Leede) (), y (), 5 5 Απειροδιάστατοι γραμμικοί χώροι Η έννοια του γραμμικά εξαρτημένου συνόλου μεταφέρεται αυτούσια στον γραμμικό χώρο F των πραγματικών συναρτήσεων, που ορίζονται πάνω σε ένα κλειστό διάστημα των πραγματικών αριθμών (βλέπε ενότητα «Γραμμικοί Χώροι», Παράδειγμα 4) Λέμε ότι το σύνολο των μη μηδενικών συναρτήσεων f,,f } είναι γραμμικά εξαρτημένο, ανν υπάρχουν σταθερές γ, K γ που να μην είναι { K, όλες μηδέν, σε τρόπο ώστε [, ], f() γ f () γ K Κάθε μη γραμμικά εξαρτημένο σύνολο, καλείται σύνολο γραμμικά ανεξάρτητο Κάθε ορθογώνιο σύστημα S {f, K,f, }, είναι σύνολο γραμμικά ανεξάρτητο Πράγματι, αν ανάμεσα σε οιαδήποτε K από τα στοιχεία του S είχαμε μία σχέση γραμμικής εξαρτήσεως γ f () K γ f (), το εσωτερικό γινόμενο της σχέσεως αυτής διαδοχικά επί f (),, δίδει τις σχέσεις γ f f, επειδή [, ], f (),, έπεται ότι γ

9 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Είναι δυνατόν το S να χρησιμοποιηθεί για βάση του F; Αν κάτι τέτοιο συμβαίνει, η f θα εκφράζεται ως σειρά, Αυτό συμβαίνει, στην περίπτωση που η σειρά γ f ( συγκλίνει ομοιόμορφα εν [, ] Έστω, λοιπόν, f () το άθροισμα ) αυτής της σειράς Τότε η f είναι ολοκληρώσιμη (κατά em),, συνεπώς οι συντελεστές γ υπολογίζονται από τις σχέσεις γ f f f ()f () d Οι κατ αυτόν τον τρόπο υπολογισμένοι συντελεστές γ f () γ f (), καλούνται συντελεστές Foue ΠΡΟΤΑΣΗ (Ανισότης του Beel) Έστω το ορθοκανονικό σύστημα S {f, K,f, } K f F, με f () γ f () Έστω () γf () ένα μερικό άθροισμα της σειράς β, σταθερές Σχηματίζουμε τα αθροίσματα () βf (), Ισχύει τότε η ισότης f () () d f () d προκύπτει η ανισότητα f () () d f () γ γ β (), απ όπου () της προηγούμενης ισότητας λαβαίνεται όταν β γ, Σημείωση Γράφουμε ισοδύναμα f () () Απόδειξη Είναι Όμως Επίσης f f f () () d () βf () f d f (f ) (f ) f f f () () β f () βlfl() ββlf ()f l() l,l f () f βf () β f () f () d, μια η ελαχίστη τιμή β γ f β () f ( γ f ) γmfm() γf () d γmγfm()f ()d d m m, () Αντικαθιστούμε στην () τα εσωτερικά γινόμενα με τα αθροίσματά τους, προκύπτει η () f () d 6 Ανισότης του Beel Έστω f () γ f () ως προηγουμένως Τότε

Η σειρά Η εξίσωση αν μόνον αν, ηλαδή, αν μόνον αν, Σχέση ανάλογη της όπου ( K γ συγκλίνει ισχύει ότι,, ) γ f () d (ανισότης του Beel) γ f () d (τύπος του Pel) lm f f (), γ γ K γ K K Ορισμός Το ορθοκανονικό σύστημα S {f, K,f, K} θα λέγεται πλήρες, αν μόνον αν για κάθε πραγματική συνάρτηση (em ολοκληρώσιμη) που ορίζεται στο [, ], έχουμε την έκφραση f () γ f () 7 Προβολές Προσέγγιση συναρτήσεως Όταν αναφερόμεθα σε έναν ευκλείδειο χώρο, θα εννοούμε έναν γραμμικό χώρο εφοδιασμένο με om Αν S υπόχωρος ευκλείδειου χώρου V, το διάνυσμα V θα λέμε ότι είναι ορθογώνιο (κάθετο) προς τον S, αν μόνον αν είναι ορθογώνιο προς κάθε διάνυσμα του S Φανερά, το S, μια δεν είναι δυνατόν αυτό να είναι ορθογώνιο προς τον εαυτό του Το σύνολο των ορθογωνίων προς τον S διανυσμάτων αποτελεί το ορθογώνιο συμπλήρωμα S του S Η προβολή του διανύσματος στον υπόχωρο S, είναι εξ ορισμού το ( e ), όπου { e, } βάση του S e ΠΡΟΤΑΣΗ Αν S υπόχωρος του V με πεπερασμένη διάσταση, V S, τότε όπου S S Απόδειξη Έστω { e, K,e} ορθοκανονική βάση του S Με κάθε V S, θεωρούμε τα διανύσματα ( e ) e, Φανερά, S Απομένει να δείξουμε, ότι S Είναι,, e ( ) e e e, δηλαδή,, e e e Όμως, από τον ορισμό του το γεγονός ότι η βάση είναι ορθοκανονική, έπεται ότι, e e Το Πυθαγόρειο θεώρημα, ισχύει για το μήκος (om) του, μια Πράγματι, ( ) ( ) Θεώρημα Έστω V απειροδιάστατος Ευκλείδειος χώρος S πεπερασμένης διαστάσεως υπόχωρος του V τυχόν σημείο του V Αν η προβολή του επί του S, ισχύει ότι,, S, S Ισότητα έχουμε αν μόνον αν

Απόδειξη Η προηγούμενη πρόταση δίδει την Είναι, ( ) ( ) () Άρα ( ) ή S Εξ άλλου S Η () παριστά λοιπόν, μια διάσπαση του σε δύο ορθογώνια διανύσματα Το θεώρημα του Πυθαγόρα δίδει την, απ όπου