ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

Transcript

1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετούνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις των υποδείξεων και παραπομπών στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό Οι Ασκήσεις της δεύτερης εργασίας αναφέρονται στα: Κεφάλαιο (Χώροι εσωτερικού γινομένου), Κεφάλαιο 4 (Γραμμικοί μετασχηματισμοί) Κεφάλαιο 5 τις παραγράφους 5-5 (Χαρακτηριστικά μεγέθη και κανονικές μορφές γραμμικών απεικονίσεων) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Γραμμική Άλγεβρα» των Μ Χατζηνικολάου και Γρ Καμβύσα Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ως εξής: Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό: Κεφ6 Διανυσματικοί χώροι Κεφ7 Βάση και Διάσταση, Κεφ8 Γραμμικές απεικονίσεις, Κεφ9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα, και Κεφ0 Διαγωνοποίηση Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό: Γραμμικές απεικονίσεις, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα, Διαγωνοποίηση Στόχοι: Κατανόηση των εννοιών που αναφέρονται στο εσωτερικό γινόμενο, ορθοκανονική βάση, ορθογώνιο συμπλήρωμα υπόχωρου, στο γραμμικό μετασχηματισμό, στον πυρήνα του γραμμικού μετασχηματισμού, στα ιδιοποσά και στη διαγωνοποίηση πινάκων ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ /

2 ( 8 μονάδες) ( Μπορείτε να συμβουλευθείτε ΕΔΥ_ Κεφ7 σελ 5-6 ) 4 Έστω ο υπόχωρος W span{ v (,,,0), v (0,,, ), v (,,, 4)} του που είναι εφοδιασμένος με το Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο i) Βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων v, v και v, v Τι παρατηρείτε; ii) Βρείτε μία ορθοκανονική βάση του υποχώρουw iii) Βρείτε μία ορθοκανονική βάση του ορθογωνίου συμπληρώματος W του υποχώρου W iv) Υπολογίστε την ορθογώνια προβολή του διανύσματος v (,,,) επί του W και W i) Επειδή vo v vo v 0, η γωνία μεταξύ v, v ο είναι 90 όπως και αυτή μεταξύ των v, v Ετσι συμπεραίνουμε ότι v ( span{ v, v }) ii) Εφαρμόζοντας τη μέθοδο Gram-Schmidt στο σύνολο γεννητόρων του W έχουμε: u u v (,,,0), uˆ (,,, 0) u 0 u u ˆ ˆ v ( v o u )u (0,,, ), uˆ (0,,, ) 44 u u v ( v ˆ ˆ ˆ ˆ ou )u ( v ou )u (,,, 4) (0,,, ) (,,, ) 44 0 u uˆ (, 4,, 5) u 5 Η ορθοκανονική βάση που προκύπτει αποτελείται από τα: u ˆ (,,, 0), u ˆ (0,,, ), u uˆ (, 4,, 5) u 5 iii) Καθώς W 4 span{ v, v, v } έχουμε ότι W { w : wov 0& wov 0& wov 0} (ένα διάνυσμα ανήκει στον W αν και μόνο αν είναι ορθογώνιο σε κάθε διανυσμα ενός συνόλου γεννητόρων του W) Αρα, αν ( x, yzw,, ) W, το (,,, ) x + y z 0 x yzw είναι λύση του συστήματος: y + z w 0 x+ y+ z 4w 0 Με γραμμοπράξεις στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς γραμμικού συστήματος έχουμε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή / / / 0 0 4/ 0 0 5/ 0 0 / 0 0 4/ από όπου αμέσως βρίσκουμε την γενική λύση ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ /

3 ( x, yzw,, ) ( 5,, 4,) wκαι συνεπώς μία βάση του W είναι { w από την οποια } {(5,,4,)} w παίρνουμε την ορθοκανονική βάση { } w { (5,, 4,)} 5 iv) Η ορθογώνια προβολή του διανύσματος v (,,,) επί του W είναι w w v w προβ v v w W (5,, 4,) w w w 5 w και η ορθογώνια προβολή του επί του W προβ v W v-προβ W v (,,,) (5,,4,) ( 4, 8,,) 5 5 Σημείωση: Αν μας είχε ζητηθεί αμέσως μετα το δευτερο ερώτημα να βρούμε την προβολή επί του υποχώρου W, προβ v v u uˆ W o i i L καθώς ήδη γνωρίζουμε μία ορθοκανονική βάση του W, ( ˆ ) i ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ /

4 ( 5 μονάδες) Έστω ο πίνακας i) Να εξετάσετε αν ο πίνακας Α είναι ορθογώνιος ii) Έστω Β ο πίνακας που προκύπτει μετά από την κανονικοποίηση των γραμμών του πίνακα Α Είναι ο πίνακας Β ορθογώνιος; iii) Έστω V span{ v (,, 4), v (,0, 4)} Να εκφράσετε το διάνυσμα x (, 4, ) ως άθροισμα δύο διανυσμάτων y και w, όπου y V και w V i) diag(6,8,48) I, συνεπώς ο Α δεν είναι ορθογώνιος ii) Έστω, και a (,,) a (,0,) a (4, 4,4) a a a a a a 0 Επειδή o o o, μετατρέποντας τις γραμμές του Α σε μοναδιαία διανύσματα, έχουμε τον ορθογώνιο πίνακα B 0 iii) Βρίσκουμε μία βάση του V { v: vov 0, vov 0} Eχουμε ότι το ( x, yz, ) V αν και μονο αν x y+ 4z 0 x 4z 0 Με γραμμοπράξεις στον πίνακα συντελεστών του ομογενούς γραμμικού συστήματος έχουμε την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή από όπου έχουμε ότι V span{(,,)} Η ορθογώνια προβολή του διανύσματος x (, 4, ) επί του V είναι w προβ V x x o (,,) 9 (,,) (,,) (,, ) (,,) , a, ˆ a, ˆ aˆ και η ορθογώνια προβολή του x (, 4, ) επί του V είναι y προβv x x-προβ x (,, ) V ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ 4/

5 ( μονάδες) (Μπορείτε να συμβουλευθείτε ΕΔΥ_Κεφ6 σελ 8-9 και Κεφ7 σελ 5-6) Έστω xy, με x ( x, x, x) και y ( y, y, y) i) Να αποδείξετε ότι η απεικόνιση :( x, y) x y με x y x y + x y + x y + x y + x y, ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον Ευκλείδειο χώρο ii) Να βρείτε τον πίνακα του εσωτερικού γινομένου στο ερώτημα (i) ως προς την κανονική βάση του να εξετάσετε αν είναι θετικά ορισμένος i) Για να αποτελεί η δοθείσα σχέση εσωτερικό γινόμενο αρκεί να επαληθεύει τις ιδιότητες του Ορισμού Θεωρούμε κλ, και ( x,x,x ) x, y ( y, y, y ), z ( z, z, z ) και Εξετάζουμε αν ισχύει η I ιδιότητα του ορισμού, δηλαδή ( κ x + λy) z κ( x z) + λ( y z) α μέλος (από τον ορισμό του εσωτερ γινομένου) ( κx + λy) z + ( κx + λy) z + ( κx + λy) z + ( κx + λy) z + ( κx + λy) z κx z + λy z + κx z + λy z + κx z + λy z + κx z + λy z + κx z + λy z κx z + κx z + κx z + κx z + κx z + λy z + λy z + λy z + λy z + λy z κ(x z + x z + x z + x z + x z ) + λ(y z + y z + y z + y z + y z ) (από τον ορισμό του εσωτερ γινομένου) β μέλος Για την ιδιότητα I του ορισμού x y y x έχουμε: α μέλος x y (από τον ορισμό του εσωτερ γινομένου) x y + x y + x y + x y + x y (αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών) yx + yx + yx + yx + yx(αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών) yx + yx + yx + yx + yx(από τον ορισμό του εσωτερ γινομένου) y x Για την I ιδιότητα έχουμε: x x ( + ) x xx xx x x x x xx x Προσθετοντας και αφαιρώντας κατά μέλη τις ταυτότητες ( x + x ) x + x + x x, ( x x ) x + x x x έχουμε [( ) ( ) ] x + x x + x + x x και 4 xx ( x + x) ( x x) Οπότε 5 x x [( x + x) + ( x x) ] + [( x + x) ( x x) ] + x ( x x) + ( x + x) + x 0, άρα x x 0 ως άθροισμα μη αρνητικών ποσοτήτων Για την ισότητα της τελευταίας ισότητας έχουμε: x 0 xo x 0 x+ x 0 x x x 0 x 0 x x 0 ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ 5/

6 Παρατήρηση: Επειδή x y xy + xy + xy + xy + xy y x, όπου y [ y y y ] και x [ x x x ], o , άμεσα διαπιστώνουμε ότι: I ) ( kx + λy) oz z ( kx+ λy) k( zx ) + λ( zy ) k( xoz) + λ( y o z) I ) x oy y x ( y x) x ( y ) xy yo x, καθόσον I Για την ( ) ιδιότητα απαιτείται η διαγωνοποίηση του συμμετρικού πίνακα Α, που θα αναφερθούμε στην εργασία ii) Αν θεωρήσουμε την κανονική βάση {,, } e e e του χώρου, ο πίνακας αναπαράστασης του εσωτερικού η γινομένου είναι όπου με e e i o j e oe e oe e oe e e e e e e o o o eoe eoe eoe συμβολίζεται το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων που ορίστηκε στο (i), (δείτε παράγραφο, 7 του βιβλίου) Από τη ιδιότητα (Ι) του εσωτερικού γινομένου, αρκεί να υπολογισθούν τα e e, για τα οποία ισχύει e oe e oe Έχουμε: i j j i o ( ) o ( ), (, 0, 0) ( 0,, 0) o (, 0, 0) o( 0, 0,) 0 o, o ( ) o( ) o ( 0,, 0) o( 0, 0,) 0 o, ( ) ( ) e e,0,0,0,0 e e e e e e e e οπότε e oe o e oe e e 0,, 0 0,, 0 eoe 0, 0, o 0, 0,, Από τον ορισμό 7 εχουμε ότι ο συμμετρικος πίνακας Α είναι θετικά ορισμένος, αν για κάθε μη μηδενικό xx>0 πινακα-στηλη x ισχύει δηλαδή, αν ( x, xx) (0,0,0), τότε x + xx + xx + x + x >0 Αυτό όμως ισχύει λόγω της ιδιότητας Ι του εσωτερικού γινομένου που εχει αποδειχθεί στο i) ( ενας άλλος τρόπος είναι να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα 7 του βιβλίου: O συμμετρικός πίνακας του εσωτερικού γινομένου είναι θετικά ορισμένος καθόσον det[] > 0,,, i o j det 5 > 0 det 0 > 0 και ) ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ 6/

7 4 ( 0 μονάδες) ( Μπορείτε να συμβουλευθείτε ΕΔΥ_Κεφ8 και ΣΕΥ_Γραμμικές απεικονίσεις, σελ -47) Έστω ο μετασχηματισμός f : με f ( xyz,, ) ( x+ y+ z, x y+ 4 z) i) Να αποδείξετε ότι ο f είναι γραμμικός ii) Βρείτε μια βάση και τη διάσταση της εικόνας του f iii) Βρείτε μια βάση και τη διάσταση του πυρήνα του f iv) Υπάρχει ο αντίστροφος μετασχηματισμός f ; v) Να υπολογίσετε τον πίνακα αναπαράστασης του f ως προς τις κανονικές βάσεις των και i) O μετασχηματισμός f είναι γραμμικός, διότι για κάθε ( x, y, z),( x, y, z) στον έχουμε: f( k( x, y, z ) + λ( x, y, z )) f( kx + λx, ky + λy, kz + λz ) ( kx λx ky λy kz λz,( kx λx ) ( ky λy ) 4( kz λz )) (από τον ορισμό της f ) kx ( + y+ z,x y+ 4 z) + λ( x+ y + z,x y+ 4 z) kf ( x, y, z ) + λ f ( x, y, z ) (από τον ορισμό της f ) ii) Επειδή f( x, y, z) x(, ) + y(, ) + z(, 4), τα διανύσματα (, ), (, ) και (, 4) είναι γεννήτορες της εικόνας του f Τα διανύσματα (, ) και (, ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα και συνεπώς {(, ), (, ) } είναι μία βάση της εικόνας του f και συνεπώς η διάσταση της εικόνας είναι iii) Ο πυρήνας του f είναι τα διανύσματα ( x, yzτου, ) x + y + z 0 Η λύση του συστήματος είναι: x y+ 4z 0 βάση του ker f και dim ker f για τα οποία ισχύει: iv) Επειδή ke r f { 0}, ο μετασχηματισμός f δεν είναι αντιστρέψιμος v) Θέτοντας διαδοχικά στην σχέση f( x, y, z) x(, ) + y(, ) + z(, 4) 7 ( x, yz, ) (,,) z, δηλαδή {( 7,,5)} αποτελεί μία 5 5 ( x, yz, ) (,0,0), ( x, yz, ) (0,,0), ( x, yz, ) (0,0, ), εχουμε τον πίνακα αναπαράστασης του f ως προς τις κανονικές βάσεις των και, 4 ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ 7/

8 5 ( 5 μονάδες) Θεωρούμε το σύνολο { e, e, e } S { u, u, u }, με (,,) u, u (,,) και u (, 0,) το σύνολο S, όπου e i, i,,, τα διανύσματα της κανονικής βάσης του και τον γραμμικό μετασχηματισμό f : με f ( xyz,, ) ( x+ y, y zx, + z) i) Να αποδείξετε ότι το σύνολο αποτελεί μία βάση του ii) Να βρεθούν οι πίνακες αναπαράστασης [ f ] και S S B [ f ] iii) Οι πίνακες Α, Β είναι όμοιοι; Ποιος είναι ο πίνακας ομοιότητάς τους; i) Εχουμε ότι u (,,) e + e + e u (,,) e + ( ) e + e u (, 0,) e + 0 e + e Ο πίνακας με στήλες τις συντεταγμενες των διανυσματων του συνόλου S ως προς την κανονική S { u, u, u } (συνήθη) βάση S { e, e, e } του ειναι και επειδή det P 0 u, u, u, τα διανύσματα αποτελούν βάση του Ο πίνακας P είναι ο πίνακας αλλαγής βάσης από την στην S (ορισμός σελ 0- του βιβλίου) S [ ] S S S P [ u ] [ u ] [ u ] 0 ii) Αμεσα υπολογίζουμε τον πινακα αναπαραστασης της f, B [ f ], ως προς την κανονική (συνήθη) βάση: Από τις ισότητες f f f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) e, 0, 0, 0, e + 0e + e e 0,, 0,, 0 e + e + 0e e 0, 0, 0,, 0e e + e έχουμε S 0 B 0 0 Για τον πινακα αναπαράστασης της f, [ f ], έχουμε ότι (σελ 46 ) S P BP Υπολογίζουμε τον PP- : P I / 0 / ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ 8/

9 0 0 0 / / 0 / 0 / / / 0 0 5/ / 0 0 / 0 / 0 0 [ I P ] 0 0 5/ / / 0 / 0 / / / / 0 5/ 6 / P BP iii) Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι ο Α είναι όμοιος προς τον Β με πίνακα ομοιότητας τον πίνακα (αλλαγής βάσης από την στην S ) P S 0 ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ 9/

10 6 ( 0 μονάδες) ( Μπορείτε να συμβουλευθείτε ΕΔΥ_Κεφ9, Κεφ0, ΣΕΥ_Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα, σελ 9-9 και Διαγωνοποίηση σελ -) Ένας τετραγωνικός πίνακας Α ονομάζεται ταυτοδύναμος ή αδύναμος, αν ισχύει Να αποδείξετε ότι: i) οι πίνακες και I είναι ταυτοδύναμοι Δίνεται ο πίνακας ii) ο πίνακας δεν είναι αντιστρέψιμος και να υπολογίσετε τους βαθμούς των πινάκων, και, iii) καθώς και τους αριθμούς tr, det( I ) ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και να βρείτε έναν αντιστρέψιμο πίνακα Ρ ώστε διαγώνιος πίνακας iv) i) Πράγματι, και ( I ) I + +(αφού 8 ( I ) PDP, όπου I ) I Αρα οι πίνακες και I είναι ταυτοδύναμοι ii) Μία κλιμακωτή μορφή του Α είναι det οτι Επειδή έπεται ότι rank 8 ( ) rank( ) ( ) 8 I I Όμοια, και tr k, επομένως 5 rank( I ) rank rank και αφου rank < έχουμε για κάθε γνήσια θετικό ακέραιο k συνεπώς Είναι δε ( το άθροισμα των διαγωνίων στοιχείων του πίνακα) και αφού rank( I ) <έχουμε det( I ) 0 iii) Αν x είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α ιδιοτιμής λ, τότε x λx και και επειδή x διαφορο του μηδενικού διανύσματος λ x λx 8 D x λ x Συνεπώς λ λ 0 Δηλαδή λ {0,} ( προσοχή! αυτό δεν σημαινει αναγκαστικά ότι και οι δυο τιμές είναι ιδιοτιμές) Για λ βρίσκουμε δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα p [ 0] και p [ 5 0 ] [ ] p 5 P [ p p p ] 0 0 Συνεπώς ο πίνακας PDP με D diag(,, 0), (βλ θεώρημα 5 του βιβλίου) Για λ 0, βρίσκουμε το ιδιοδιάνυσμα είναι αντιστρέψιμος και διαγωνοποιεί τον Α: ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ 0/

11 iv) Επειδή , προφανώς ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_ ΣΕΛ /