ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ

AE 0 9 19 30 40 50.98 61 7 8 93.86 104 116 16 138 148.105 160 171 18 19 03 11 0.069 31 ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ Διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών Έστω πλοίο σε ισορροπία σε ήρεμο νερό, ευρισκόμενο κάτω από την επίδραση του βάρους του και των δυνάμεων άντωσης (βλέπε Σχήμα 1). Επειδή το πλοίο ισορροπεί η συνισταμένη δύναμη του βάρους του ισούται με τη συνισταμένη δύναμη της άντωσης και το διάμηκες σημείο εφαρμογής των δύο συνισταμένων δυνάμεων βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο. Όμως, αν η τιμές της καμπύλης βάρους και άντωσης δεν είναι ίσες κατά μήκος του πλοίου, ως συμβαίνει γενικά, η συνισταμένη φόρτιση σε κάθε σημείο είναι διάφορη του μηδενός και προκαλεί κάμψη του πλοίου. Αν θεωρηθεί ότι το πλοίο ισορροπεί χωρίς εγκάρσια κλίση, τότε η κάμψη περιορίζεται στο κατακόρυφο επίπεδο συμμετρίας του. 00 150 100 Full oad Departure Weight Buoyancy oad 50 0 Frame no -50-100 -150-00 Σχήμα 1: Πλοίο κάτω από την επίδραση του βάρους του και υδροστατικής φόρτισης (άντωσης) Αν με b() και w() συμβολιστούν αντίστοιχα οι κατανομές άντωσης και βάρους (θετική είναι η φορά του βάρους) τότε η συνολική φόρτιση που υφίσταται το πλοίο δοκάρι στη θέση ισούται με p()=w()-b(). Λόγω της ισορροπίας του πλοίου προκύπτει ότι το προσημασμένο εμβαδό που

περικλείεται μεταξύ της καμπύλης p() και του άξονα O ισούται με μηδέν, και ότι το κέντρο του τμήματος της παραπάνω επιφάνειας που βρίσκεται από τη μια πλευρά του οριζοντίου άξονα βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το κέντρο του τμήματος της επιφανείας που βρίσκεται από την άλλη πλευρά του άξονα. Ισχύει δηλαδή ότι FE AE FE p() d 0 p() d 0 (0.1) AE Οι πιο πάνω σχέσεις ισοδυναμούν με τη συνθήκη ισορροπίας του πλοίου. Η πρώτη από αυτές δηλώνει ότι οι δυνάμεις που ασκούνται στο πλοίο είναι ίσες με μηδέν και η δεύτερη ότι η συνισταμένη ροπή των δυνάμεων ισούται με μηδέν. παράδειγμα w a AE FE a w a Εστω ότι η κατανομή βάρους και άντωσης για μια φορτηγίδα είναι αυτή που φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Ισχύει ότι w w() d b() d w d w w d 0 a a FE FE a a AE AE 0 a a a a w w() d b() d w d w w d a a FE FE a a AE AE 0 a a a a w a(a ) 6 Παρατηρείται ότι ενώ η άντωση ισούται με το βάρος ανεξάρτητα της θέσης που παρουσιάζεται η μέγιστη τιμή της καμπύλης w(), η συνθήκη, που αφορά την ισορροπία των ροπών ικανοποιείται μόνο όταν a=/. 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ.

Γνωρίζοντας την καμπύλη φόρτισης p(), και θεωρώντας ένα τμήμα της γάστρας, μήκους Δ, λαμβάνονται οι πιο κάτω σχέσεις που συνδέεουν τη φόρτιση p(), με τη κατανομή διατμητικών δυνάμεων Q() και την καμπύλη καμπτικών ροπών M(): dq() p() d d M() p() d (0.) (για την απόδειξη των σχέσεων αυτών και τη σύμβαση που θεωρήθηκε βλέπε Σχήμα ). Για τον υπολογισμό των Q(), M() από τις πιο πάνω σχέσεις είναι απαραίτητη η γνώση της τιμής της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής σε ένα σημείο. Αν σε κανένα άκρο του πλοίου, ασκούνται συγκεντρωμένες δυνάμεις τότε στα άκρα η διατμητική δύναμη είναι μηδέν. Το ίδιο ισχύει και για τις καμπτικές ροπές Σχήμα : Στατική ισορροπία στοιχείου του πλοίου δοκαριού, μήκους d Εφαρμόζοντας τη μία από τις δύο γνωστές οριακές συνθήκες για τη διατμητική δύναμη και την καμπτική ροπή, έστω αυτή που αναφέρεται στο πρυμναίο άκρο, είναι δυνατός ο υπολογισμός των κατανομών των δυνάμεων και ροπών από τις σχέσεις: Q( ) Q p( ) d 0 p( ) d p( ) d AE AE AE AE M() M Q( ) d 0 Q( ) d Q( ) d AE AE AE AE (0.3) 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 3

καμπτική ροπή ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ θεωρώντας ότι οι δυνάμεις στο πρυμναίο άκρο είναι μηδενικές). Αν τεθεί στις προηγούμενες σχέσεις = τότε προκύπτουν τα μεγέθη στο πρυμναίο άκρο, από τις FE Q() Q p() d FE M() M Q() d FE AE FE AE (0.4) Οι Q FE και M FE πρέπει να μηδενίζονται εφόσον το απαιτούν οι οριακές συνθήκες. Αν αυτό δε συμβαίνει τότε, εκτός από την περίπτωση λάθους στους υπολογισμούς, υπάρχουν δύο πιθανές αιτίες: α) συνεχείς αριθμητικές προσεγγίσεις, και β) δεν ισχύουν οι σχέσεις (0.1) για την καμπύλη p(). Στην πρώτη των περιπτώσεων γίνεται μια κατανομή του σφάλματος κατά μήκος του πλοίου σύμφωνα με το Σχήμα 3. Είναι γενικά αποδεκτό, ότι σφάλμα λόγω διαδοχικών αριθμητικών προσεγγίσεων μπορεί να προκαλέσει διατμητική δύναμη στο άκρο, η απόλυτη τιμή της οποίας δεν υπερβαίνει το 3% της μέγιστης απόλυτης τιμής της διατμητικής δύναμης κατά μήκος του πλοίου. Το αντίστοιχο όριο για την καμπτική ροπή είναι 6%. 3000 500 000 1500 1000 500 0 αρχική καμπύλη διορθωμένη καμπυλη 0 0 40 60 80 100 10 απόσταση απο πρυμναίο άκρο Σχήμα 3: Κατανομή αριθμητικού σφάλματος κατά μήκος του πλοίου Η δεύτερη περίπτωση, δηλαδή όταν δεν ισχύουν οι σχέσεις (0.1) για την καμπύλη p(), δηλώνει ότι το βάρος δεν ισορροπεί την άντωση, δηλ. 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 4

προκύπτει συνισταμένη δύναμη ή ροπή, και άρα η θέση ισορροπίας είναι λανθασμένη. Στη περίπτωση αυτή γίνεται αλλαγή στο βύθισμα ή/και διαγωγή του πλοίου, και οι υπολογισμοί επαναλαμβάνονται για τη νέα θέση ισορροπίας. Η αλλαγή στο βύθισμα ΔT και στη διαγωγή Δφ, γίνονται σύμφωνα με τα παρακάτω με αναφορά στο Error! Reference source not found.: Έστω ότι η ολοκλήρωση για τον υπολογισμό της διατμητικής δύναμης και της καμπτικής ροπής αρχίζει από το πρυμναίο άκρο και στο πρωραίο άκρο προκύπτουν διαμτητική δύναμη και καμπτική ροπή Q FE και M FE αντίστοιχα. Ισχύει ότι FE FE FE Q p() d w() d b() d W A FE AE AE AE FE M Q() d W l A l FE W A AE (0.5) όπου W και A το βάρος και η άντωση αντίστοιχα και l W και l A οι αποστάσεις του κέντρου εφαρμογής της άντωσης από το πρωραίο άκρο και της άντωσης από το πρωραίο άκρο αντίστοιχα. Η δράση των Q FE και M FE, που προκύπτουν από τη διαφορά των δυνάμεων βάρους και άντωσης και των ροπών τους αντίστοιχα θα αντικατασταθεί από μία διόρθωση του βυθίσματος ΔT - θετικό ΔT δηλώνει αύξηση του βυθίσματος και αλλαγή της διαγωγής Δφ θετική Δφ δηλώνει αύξηση βυθίσματος της πρύμνης. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι: W A T A g 0 W l A l T A g r I g 0 W A (0.6) όπου r η απόσταση του πρωραίο άκρου από το κέντρο πλευστότητας. Q FE CF M FE 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 5

Σχήμα 4: Απόδειξη σχέσεων για τη διόρθωση της θέσης ισορροπίας Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτουν οι απαιτούμενες διορθώσεις στο βύθισμα και διαγωγή: QFE MFE QFE r T A g I g (0.7) όπου A και I είναι η ίσαλος επιφάνεια και η ροπή αδράνειας αυτής, r η απόσταση του πρωραίου άκρου από το κέντρο πλευστότητας και ρg το ειδικό βάρος του νερού. Αριθμητική ολοκληρωση για τον υπολογισμό των ΔΔ και ΚΡ Q FE CF H ολοκλήρωση της καμπύλες φόρτισης και της καμπύλς των διατμητικών δυνάμεων γίνεται αριθμητικά και με τη βοήθεια Η/Υ. Για το λόγο αυτό χρήσιμο είναι να αναπτυχθούν σχέσεις, που να προσδιορίζουν τη διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή σε ένα σταθμό, όταν είναι γνωστά αφενός η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή σε άλλο σταθμό που απέχει απόσταση Δ από τον προαναφερθέντα και αφετέρου η φόρτιση μεταξύ των δύο αυτών σταθμών M FE Σχήμα 5: Ισορροπία στοιχείο κατά την κάμψη Εστω λοιπόν το τμήμα Δ του πλοίου-δοκαριού που παρουσιάζεται στο Σχήμα 5. Αναπτύσσοντας τη διατμητική δύναμη και την καμπτική ροπή στη διατομή που απέχει +Δ από την αρχή των αξόνων σε σειρά Taylor προκύπτουν οι πιο κάτω σχέσεις: 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 6

3 3 Q Q Q Q( ) Q() 3! 3! 3 3 4 4 M M M M M( ) M() 3 4! 3! 4! Αντικαθιστώντας τις παραγώγους σύμφωνα με τις σχέσεις (0.) τα πιο πάνω αναπτύγματα παίρνουν τη μορφή: 3 p p Q( ) Q() p()! 3! 3 4 p p M( ) M() Q() p()! 3! 4! Αν η μεταβολή της φόρτισης μεταξύ δύο σταθμών είναι γραμμική τότε οι σχέσεις αυτές καταλήγουν στις p( ) p() Q( ) Q() p()! (0.8) p( ) p() Q( ) Q() και 3 p( ) p() M( ) M() Q() p()! 3! (0.9) p( ) p() M( ) M() Q() 6 Οι σχέσεις (0.8) και (0.9) εκφράζουν τη στατική ισορροπία, στην οποία βρίσκεται το στοιχείο μήκους Δ. παράδειγμα Δίνεται η φορτηγίδα με τα χαρακτηριστικά που παρουσιάζονται στην επόμενη σελίδα. Αν η κατανομή βάρους είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί, να υπολογιστούν οι κατανομές διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Να υπολογιστούν οι κατανομές αυτές αν προστεθεί βάρος 40 tons μεταξύ των σταθμών και 4. 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 7

0 18 16 14 1 10 8 6 4 q (tons/ft) ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ 0 18 0 40 ft 80 ft 100 ft ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΣΛΟΥ: 1800 ft ΡΟΠΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΙΣΑΛΟΥ 1.3. ft 4 10 8 6 4 0 Για των υπολογισμό των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών, στην περίπτωση που εξετάζεται, γίνεται χρήση των σχέσεων (0.8) και (0.9). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα 1. Κατ' αρχήν υπολογίζεται η ίσαλος πλεύσης. Προκύπτει ότι το βύθισμα είναι 480/[1800(1/35)]ft =9,33ft και ότι η φορτηγίδα πλέει χωρίς διαγωγή - το κέντρο βάρους βρίσκεται στο μέσο νομέα. Η φόρτιση σε κάθε σταθμό προκύπτει από την αφαίρεση της τιμής της καμπύλης της άντωσης στο σταθμό από την τιμή της καμπύλης του βάρους. Γνωρίζοντας την καμπύλη της φόρτισης οι καμπύλες των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών θα υπολογιστούν από τις σχέσεις (0.8) και (0.9). Παρατηρείται ότι όταν εφαρμοστεί η αρχική συνθήκη στο πρυμναίο άκρο που υπαγορεύει ότι η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή στο σημείο αυτό ισούται με 0, προκύπτουν αντίστοιχες μη μηδενικές δυνάμεις στο πρωραίο άκρο. Οι εναπομένουσες δυνάμεις είναι μικρές, 0,9% και,9% αντίστοιχα, και αποδίδονται στις συνεχείς προσεγγίσεις. Για το λόγο αυτό το συνολικό σφάλμα κατανέμεται σε όλο το διάγραμμα, σύμφωνα με αυτά που παρουσιάστηκαν στα προηγούμενα. Οι τελικές τιμές των 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 8

διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών φαίνονται στις στήλες (m) και (n) του πίνακα, και στα σχέδια που ακολουθούν. Σχετικά με τον υπολογισμό συνοπτικά αναφέρεται, ότι η φορτηγίδα χωρίστηκε σε 0 διαστήματα και στις στήλες (a) και (b) παρατίθενται οι σταθμοί στα άκρα κάθε διαστήματος. Στις στήλες (c)-(h) παρατίθενται οι τιμές από τις καμπύλες βάρους, άντωσης και φόρτισης σε κάθε σταθμό - οι στήλες (c), (e), (g), αναφέρονται στο σταθμό της στήλης (a) και οι στήλες (d), (f), (h), αναφέρονται στο σταθμό της στήλης (b). Στις (i) και (k) υπολογίζοναι οι αυξήσεις της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής κατά μήκος του διαστήματος. Οι τιμές των μεγεθών αυτών πριν τη διόρθωση, σε κάθε σταθμό, βρίσκονται στις στήλες (j) και (l). Για τον υπολογισμό των διαγραμμάτων μετά την πρόσθεση του βάρους 40 tons ακολουθείται η ίδια διαδικασία χωρίς αλλαγή της θέσης ισορροπίας. Οι υπολογισμοί φαίνονται στον πίνακα. Παρατηρείται ότι υπάρχουν εναπομένουσες δυνάμεις στο πρωραίο άκρο, που πρέπει κυρίως να οφείλονται στη λαθασμένη θέση ισορροπίας. Η διόρθωση που γίνεται με τη βοήθεια των σχέσεων (4) δίνει αύξηση του βυθίσματος κατά ΔT=0,78ft και στροφή με φορά αυτή των δεικτών του ρολογιού γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο πλευστότητας ίση με 0,04 rad. Η διαφορά μεταξύ της αρχικά θεωρηθείσης και της νέας θέσης προκαλεί αλλαγή στο βύθισμα σε κάθε σημείο ίση με v() T ( r ) όπου r είναι η απόσταση μεταξύ της θέσης και του κέντρου πλευστότητας. Η επιπρόσθετη φόρτιση που οφείλεται στην αλλαγή αυτή ισούται με Στον πίνακα 3 γίνεται ο υπολογισμός των δυνάμεων που οφείλονται στην επιπρόσθετη φόρτιση κατά τα γνωστά, και στον πίνακα 4 γίνεται η πρόσθεση των αρχικών τιμών -πίνακας - και των μεταβολών -πίνακας 3- για να προκύψουν οι τελικές τιμές, για τις οποίες γίνεται διόρθωση σύμφωνα με τα προηγούμενα. Οι τελικές τιμές θα μπορούσαν να προκύψουν και από την απ' ευθείας ολοκλήρωση της συνολικής φόρτισης 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 9

αντί της πρόσθεσης των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται θεωρώντας αφενός την αρχική και αφετέρου τη μεταβολή της: p() B() g T ( r ) 19 Σεπτεμβρίου 015 σελ. 10

ΠΙΝΑΚΑΣ 1: Υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών βάρος w άντωση b φόρτιση p=w-b ΔQ i+1 Q i+1 +ΔQ i+1 ΔM i+1 M i+1 +ΔM i+1 Q i M i a b c d e f g h i j k l m n st. st. tons/ft tons tons tons-ft tons-ft tons tons-ft 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0 19,000,000 0,000,665,000-0,665 3,34 3,34 13,90 13,90 3,3 13,15 19 18,000,000,665 5,330-0,665-3,330-9,99-6,65 -,73 11,17-6,68 9,67 18 17 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65-13,30-49,88-38,71-13,35-40,96 17 16 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65-19,95-83,13-11,83-0,01-14,83 16 15 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35-16,60-91,38-13,1-16,68-16,96 15 14 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35-13,5-74,63-87,83-13,34-9,33 14 13 5,000 5,000 5,330 5,330-0,330-0,330-1,65-14,90-70,38-358,1-15,01-363,46 13 1 5,000 5,000 5,330 5,330-0,330-0,330-1,65-16,55-78,63-436,83-16,67-44,83 1 11 7,000 7,000 5,330 5,330 1,670 1,670 8,35-8,0-61,88-498,71-8,34-505,46 11 10 7,000 7,000 5,330 5,330 1,670 1,670 8,35 0,15-0,13-518,83 0,00-56,33 10 9 8,000 8,000 5,330 5,330,670,670 13,35 13,50 34,13-484,71 13,34-49,96 9 8 8,000 8,000 5,330 5,330,670,670 13,35 6,85 100,88-383,83 6,67-39,83 8 7 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35 30,0 14,63-41,1 30,01-50,96 7 6 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35 33,55 159,38-81,83 33,34-9,33 6 5 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65 6,90 151,13 69,9 6,68 58,04 5 4 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65 0,5 117,88 187,17 0,01 175,17 4 3 1,000 1,000 5,330 5,330-4,330-4,330-1,65-1,40 47,13 34,9-1,66 1,54 3 1,000 1,000 5,330 5,330-4,330-4,330-1,65-3,05-61,13 173,17-3,3 159,67 1 5,000 5,000 5,330,665-0,330,335 5,01-18,04-108,7 64,90-18,3 50,65 1 0 5,000 5,000,665 0,000,335 5,000 18,34 0,30-49,90 15,00 0,00 0,00 0 0,000 ΔQ i+1, ΔM i+1 είναι η μεταβολή της διατμητικής δύναμης/ροπής κατα μήκος του διαστήματος i+1 Q i, M i είναι η διατμητική δύναμη/ροπή στο σταθμό i ο δείκτης i αναφέρεται στη στήλη (b) οι στήλες (c), (e) και (f) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (a), και οι στήλες (d), (f) και (h) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (b) 31 Αυγούστου 010 σελ. 11

ΠΙΝΑΚΑΣ : Υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών - πρόσθεση βάρους βάρος w άντωση b φόρτιση p=w-b ΔQ i+1 Q i+1 +ΔQ i+1 ΔM i+1 M i+1 +ΔM i+1 a b c d e f g h i j k l st. st. tons/ft tons tons tons-ft tons-ft 0,000 0,00 0,00 0 19,000,000 0,000,665,000-0,665 3,34 3,34 13,90 13,90 19 18,000,000,665 5,330-0,665-3,330-9,99-6,65 -,73 11,17 18 17 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65-13,30-49,88-38,71 17 16 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65-19,95-83,13-11,83 16 15 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35-16,60-91,38-13,1 15 14 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35-13,5-74,63-87,83 14 13 5,000 5,000 5,330 5,330-0,330-0,330-1,65-14,90-70,38-358,1 13 1 5,000 5,000 5,330 5,330-0,330-0,330-1,65-16,55-78,63-436,83 1 11 7,000 7,000 5,330 5,330 1,670 1,670 8,35-8,0-61,88-498,71 11 10 7,000 7,000 5,330 5,330 1,670 1,670 8,35 0,15-0,13-518,83 10 9 8,000 8,000 5,330 5,330,670,670 13,35 13,50 34,13-484,71 9 8 8,000 8,000 5,330 5,330,670,670 13,35 6,85 100,88-383,83 8 7 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35 30,0 14,63-41,1 7 6 6,000 6,000 5,330 5,330 0,670 0,670 3,35 33,55 159,38-81,83 6 5 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65 6,90 151,13 69,9 5 4 4,000 4,000 5,330 5,330-1,330-1,330-6,65 0,5 117,88 187,17 4 3 5,000 5,000 5,330 5,330-0,330-0,330-1,65 18,60 97,13 84,9 3 5,000 5,000 5,330 5,330-0,330-0,330-1,65 16,95 88,88 373,17 1 5,000 5,000 5,330,665-0,330,335 5,01 1,96 91,73 464,90 1 0 5,000 5,000,665 0,000,335 5,000 18,34 40,30 150,10 615,00 0 0,000 ΔQ i+1, ΔM i+1 είναι η μεταβολή της διατμητικής δύναμης/ροπής κατα μήκος του διαστήματος i+1 Q i, M i είναι η διατμητική δύναμη/ροπή στο σταθμό i ο δείκτης i αναφέρεται στη στήλη (b) οι στήλες (c), (e) και (f) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (a), και οι στήλες (d), (f) και (h) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (b) 31 Αυγούστου 010 σελ. 1

ΠΙΝΑΚΑΣ 3: Υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών - πρόσθεση βάρους βάρος w άντωση b φόρτιση p=w-b ΔQ i+1 Q i+1 +ΔQ i+1 ΔM i+1 M i+1 +ΔM i+1 a b c d e f g h i j k l st. st. tons/ft tons tons tons-ft tons-ft 0 0,000 0,00 0,00 0 19 0,000 0,000 0,000 0,88 0,000-0,88-0,7-0,7-1,0-1,0 19 18 0,000 0,000 0,88 0,463-0,88-0,463-1,88 -,60-7,93-9,14 18 17 0,000 0,000 0,463 0,349-0,463-0,349 -,03-4,63-18,30-7,44 17 16 0,000 0,000 0,349 0,35-0,349-0,35-1,46-6,09-7,03-54,47 16 15 0,000 0,000 0,35 0,11-0,35-0,11-0,89-6,98-3,91-87,37 15 14 0,000 0,000 0,11 0,008-0,11-0,008-0,3-7,30-35,94-13,31 14 13 0,000 0,000 0,008-0,106-0,008 0,106 0,5-7,05-36,13-159,44 13 1 0,000 0,000-0,106-0,0 0,106 0,0 0,8-6,4-33,47-19,91 1 11 0,000 0,000-0,0-0,334 0,0 0,334 1,39-4,85-7,97-0,87 11 10 0,000 0,000-0,334-0,448 0,334 0,448 1,95 -,90-19,6-40,49 10 9 0,000 0,000-0,448-0,56 0,448 0,56,5-0,38-8,4-48,91 9 8 0,000 0,000-0,56-0,675 0,56 0,675 3,09,7 5,6-43,30 8 7 0,000 0,000-0,675-0,789 0,675 0,789 3,66 6,38,50-0,79 7 6 0,000 0,000-0,789-0,903 0,789 0,903 4,3 10,61 4,3-178,56 6 5 0,000 0,000-0,903-1,017 0,903 1,017 4,80 15,41 64,81-113,75 5 4 0,000 0,000-1,017-1,131 1,017 1,131 5,37 0,78 90,3-3,5 4 3 0,000 0,000-1,131-1,45 1,131 1,45 5,94 6,7 118,50 94,98 3 0,000 0,000-1,45-1,358 1,45 1,358 6,51 33, 149,61 44,60 1 0,000 0,000-1,358-0,736 1,358 0,736 5,4 38,46 180,51 45,10 1 0 0,000 0,000-0,736 0,000 0,736 0,000 1,84 40,30 198,43 63,54 0 0,000 ΔQ i+1, ΔM i+1 είναι η μεταβολή της διατμητικής δύναμης/ροπής κατα μήκος του διαστήματος i+1 Q i, M i είναι η διατμητική δύναμη/ροπή στο σταθμό i ο δείκτης i αναφέρεται στη στήλη (b) οι στήλες (c), (e) και (f) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (a), και οι στήλες (d), (f) και (h) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (b) 31 Αυγούστου 010 σελ. 13

ΠΙΝΑΚΑΣ 4: Διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές-πρόσθεση βάρους st. διατμητική δύναμη σε tons καμπτική ροπή σε tons-ft (a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d) 0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 19 3,34 0,7 4,06 4,06 1,0 13,90 15,10 15,5 18-6,65,60-4,05-4,05 9,14 11,17 0,30 1,16 17-13,30 4,63-8,67-8,67 7,44-38,71-11,7-9,99 16-19,95 6,09-13,86-13,86 54,47-11,83-67,37-65,66 15-16,60 6,98-9,6-9,6 87,37-13,1-15,84-13,70 14-13,5 7,30-5,95-5,95 13,31-87,83-164,5-161,96 13-14,90 7,05-7,85-7,85 159,44-358,1-198,77-195,78 1-16,55 6,4-10,31-10,31 19,91-436,83-43,93-40,51 11-8,0 4,85-3,35-3,35 0,87-498,71-77,83-73,99 10 0,15,90 3,05 3,05 40,49-518,83-78,34-74,07 9 13,50 0,38 13,88 13,88 48,91-484,71-35,79-31,10 8 6,85 -,7 4,13 4,13 43,30-383,83-140,54-135,4 7 30,0-6,38 3,8 3,8 0,79-41,1-0,4-14,87 6 33,55-10,61,94,94 178,56-81,83 96,73 10,70 5 6,90-15,41 11,49 11,49 113,75 69,9 183,04 189,44 4 0,5-0,78-0,53-0,53 3,5 187,17 10,68 17,51 3 18,60-6,7-8,1-8,1-94,98 84,9 189,31 196,56 16,95-33, -16,7-16,7-44,60 373,17 18,57 136,5 1 1,96-38,46-16,50-16,50-45,10 464,90 39,79 47,90 0 40,30-40,30 0,00 0,00-63,54 615,00-8,54 0,00 (a) :δύναμη/ροπή στην αρχική θέση ισορροπίας (υπόθεση) (b) :αύξηση δύναμης/ροπής λόγω αλλαγής θέσης ισορροπίας (c) :(a)+(b) (d) :δύναμη/ροπή μετά την πρόσθεση του βάρους 30 300 0 00 10 100 0 0-10 18 16 14 1 10 8 6 4 0 0-100 -0-00 -30-300 ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΕ tons-m (ΔΕΞ) ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ tons (ΑΡ.) Για τον υπολογισμό των διαγραμμάτων διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών, απαραίτητα στοιχεία είναι η καμπύλη βάρους του πλοίου - ιδίου βάρους και φορτίου - και η καμπύλη της άντωσης, που προκύπτει από το υδροστατικό διάγραμμα και τις καμπύλες Bonjean, όταν η ίσαλος πλεύσης είναι προσδιορισμένη. Η καμπύλη βάρους υπολογίζεται από τα 31 Αυγούστου 010 σελ. 14

πραγματικά βάρη, όταν αυτά είναι γνωστά. Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού της καμπύλης βάρους. Καμπύλη βάρους Για τον προσδιορισμό της καμπύλης βάρους, τα βάρη ομαδοποιούνται ανάλογα με τη φύση τους και τη θέση τους κατα μήκος του πλοίου. Το συνολικό δε βάρος κάθε ομάδας κατανέμεται, συνήθως ομοιόμορφα ή γραμικά, στο μήκος που ασκείται. Η ομαδοποίηση των βαρών είναι περισσότερο ή λιγότερο λεπτομερής ανάλογα με το στάδιο στο οποίο βρίσκεται η μελέτη και με τα διαθέσιμα στοιχεία. Τα βάρη μπορούν να διακριθούν στό βάρος κενού σκάφους και το πρόσθετο βάρος (DWT), που με τη σειρά τους διακρίνονται στίς εξής κατηγορίες: βάρος κενού σκάφους: βάρος μεταλλικής κατασκευής, βάρος ενδιαίτησης και εξοπλισμού, βάρος κυρίας μηχανής, βάρος ελικοφόρου άξονα και έλικας, βάρος λοιπών μηχανολογικών εξαρτημάτων. πρόσθετο βάρος βάρος ωφέλιμου φορτίου βάρος καυσίμων βάρος εφοδίων και νερού βάρος επιβατών και αποσκευών βάρος πληρώματος βάρος μη μόνιμου έρματος. Οταν ένα βάρος κατανέμεται ομοιόμορφα ισχύει οτι το βάρος ανά μονάδα μήκους ισούται με το βάρος δια του μήκους. Οταν η κατανομή είναι γραμμική, αυτή προσδιορίζεται λαμβάνοντας υπόψη και τη διαμήκη θέση του κέντρου του βάρους. Στο Σχήμα 6, δίνεται ο τρόπος υπολογισμού των τεταγμένων μιάς γραμμικής κατανομής εκτεινόμενης μεταξύ δύο σημείων, όταν είναι γνωστά η επιφάνεια που περικλείει και η θέση του κέντρου της. 31 Αυγούστου 010 σελ. 15

επιφάνεια j b c Κ l j 3 j 3 b c 1 l l l l Σχήμα 6: Προσδιορισμός τεταγμένων γραμμικής κατανομής Το βάρος της μεταλλικής κατασκευής μπορεί να προσδιοριστεί κατά προσέγγιση με ένα τραπέζιο άν το πλοίο έχει παράλληλο τμήμα. Στην περίπτωση αυτή ή μικρή πλευρά του τραπεζίου συμπίπτει με το παράλληλο μήκος του. Τα υπόλοιπα στοιχεία για τον προδιορισμό του τραπεζίου δίνονται απο το Σχήμα 7 ως συνάρτηση του βάρους της μεταλλικής κατασκευής W ως προς το μήκος του πλοίου. h h W 1 Σχήμα 7: Ορθογωνική κατανομή βάρους μεταλλικής κατασκευής Για πλοία με μικρό ή καθόλου παράλληλο τμήμα η η καμπύλη βάρους προσεγγίζεται ως εξής: Το μισό του βάρους της μεταλλικής κατασκευής W, κατανέμεται ομοιόμορφα καθόλο το μήκος του πλοίου. Το άλλο μισό κατανέμεται παραβολικά και καταρχήν συμμετρικά ως προς το μέσο νομέα. 31 Αυγούστου 010 σελ. 16

Το μέγιστο ύψος του παραβολικού τμήματος ισούται με b=3w/4. Εάν το κέντρο βάρους της μεταλλικής κατασκευής απέχει απόσταστη απο το κέντρο του πλοίου τότε η κατανομή τροποποιείται ως εξής: Απο το κέντρο της επιφάνειας της παραβολής, σημείο που απέχει b/5 απο τη βάση της, φέρεται ευθεία παράλληλη προς αυτή. Ακολούθως χαράσσεται ευθεία που συνδέει το μέσο της βάσης της παραβολής με σημείο επι της παραλλήλου που απέχει απο τον άξονα της παραβολής. Το σημείο τομής της παραλλήλου απο τη κορυφή της παραβολής προς τη βάση αυτής, και της ευθείας που χαράχθηκε προηγουμένως προσδιορίζει ένα σημείο της τροποποιημένης κατανομής. Επι πλέον σημεία ευρίσκονται απο την τομή ευθειών παραλλήλων προς την κεκλιμένη ευθεία με παραλλήλους προς τη βάση της παραβολής, όπως φαίνεται στο Σχήμα 8. Σχήμα 8: Κατανομή βάρους για πλοία χωρίς παράλληλο τμήμα Μεταβολή διαγραμμάτων λόγω πρόσθεσης/αφαίρεσης συγκεντρωμένου φορτίου Εστω ότι στο πλοίο του Σχήμα 9, που ισορροπεί σε ήρεμο νερό ασκείται δύναμη συγκεντρωμένη P σε σημείο που απέχει p από την αρχή των αξόνων. Στο παρόν εδάφιο μελετώνται οι μεταβολές στις διατμητικές δυνάμεις και καμπτικές ροπές που προκαλεί η προσθήκη/αφαίρεση της δύναμης. Λόγω της γραμμικότητας των σχέσεων (0.3), και θεωρώντας ότι η ίσαλος πριν και μετά την προσθήκη/αφαίρεση του συγκεντρωμένου φορτίου έχουν μικρές διαφορές, οι διαφορές μεταξύ της τελικής από την αρχική διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή, ΔQ(), ΔM() αντίστοιχα, συνδέονται με τις ίδιες σχέσεις με την επιπλέον φόρτιση, που τις προκαλεί. Ισχύει δηλαδή, ότι αν η επιπλέον φόρτιση που προκαλείται από την εφαρμογή της P είναι Δp(), τότε 31 Αυγούστου 010 σελ. 17

CF Σχήμα 9: Πρόσθεση συγκεντρωμένου φορτίου dq() p() d d M() p() d (0.10) Τονίζεται στο σημείο αυτό, ότι η φόρτιση Δp(), είναι μία συνάρτηση που παρουσιάζει ασυνέχεια στο σημείο εφαρμογής της δύναμης P. Η πρόσθεση του βάρους προκαλεί παράλληλη βύθιση ίση με P T Ag (0.11) και στροφή γύρω από το κέντρο πλεύσης P (P F) I g (0.1) όπου ρg το ειδικό βάρος του νερού και πλευστότητας από την αρχή των αξόνων. F η απόσταση του κέντρου Η βύθιση σε κάποιο σημείο που απέχει απόσταση από την αρχή των αξόνων ισούται με P P (P F) v T ( F) ( F) A g I g (0.13) και η αντίστοιχη φόρτιση 31 Αυγούστου 010 σελ. 18

p() T ( ) B() g F P B() P B() (P F) ( F ) A I (0.14) όπου B(), το πλάτος της ισάλου στη θέση. Η σχέση αυτή ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα, όταν τα τοιχώματα του πλοίου είναι σχεδόν κατακόρυφα, στην περιοχή αλλαγής του βυθίσματος. Στη φόρτιση αυτή πρέπει να προστεθεί, στο σημείο εφαρμογής της, η δύναμη P. Η διατμητική δύναμη προκύπτει από την ολοκλήρωση της φόρτισης, και ισούται με PB( ) PB( )( P F) Q() Q AE d ( F)d P A I AE AE όπου ο τελευταίος όρος είναι ίσος με P όταν η θέση ευρίσκεται μεταξύ της θέσης εφαρμογής της δύναμης και του πρωραίου άκρου, και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Υπολογίζοντας τα ολοκληρώματα προκύπτει ότι A p XA F F Q() MXA P P A I (0.15) όπου με A M συμβολίζεται η επιφάνεια και η πρώτη ροπή της F XA, F XA επιφάνειας αντίστοιχα που βρίσκεται πρύμνηθεν της θέσης, ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο πλευστότητας. Η μεταβολή της διατμητικής δύναμης, μπορεί να προκύψει και ως συνάρτηση των, που είναι η επιφάνεια και η πρώτη ροπή της επιφάνειας αντίστοιχα που βρίσκεται πρώραθεν της θέσης : A XF, M F XF A p XF F F Q() MXF P P A I (0.16) Ο τελευταίος όρος της σχέσης (0.16) είναι ίσος με P όταν η θέση εφαρμογής της δύναμης ευρίσκεται μεταξύ της θέσης και του πρωραίου άκρου, και 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. 31 Αυγούστου 010 σελ. 19

Η αύξηση/ μείωση της ροπής προκαλείται από την παράλληλη βύθιση, τη στροφή και τη δύναμη P. Για τον υπολογισμό της μεταβολής της ροπής στην περίπτωση που εξετάζεται, δε θα γίνει ολοκλήρωση της καμπύλης διατμητικών δυνάμεων, βάσει των σχέσεων (0.) και (0.15), αλλά ο υπολογισμός θα γίνει ολοκληρώνοντας τις ροπές που προκαλούνται από τη φόρτιση που ασκείται στα στοιχειώδη τμήματα του πλοίου-δοκαριού. Από το Σχήμα 10 θεωρώντας το τμήμα του πλοίου πρώραθεν της θέσης, προκύπτει ότι λόγω αλλαγής του μέσου βυθίσματος η ροπή μεταβάλλεται κατά: X P MXF AXF g C P A g A όπου με,m συμβολίζεται η απόσταση του πρωραίου άκρου από το C X XF κέντρο της επιφάνειας που βρίσκεται πρώραθεν της θέσης και η πρώτη ροπή της επιφανείας αυτής ως προς εγκάρσιο άξονα διερχόμενο από τη θέση, αντίστοιχα. Η στροφή Δφ προκαλεί μεταβολή ίση με: AE PB( ) g( P F) P(P F) X X ( F) d I XF ( F)MXF I g I όπου με I X XF συμβολίζεται η ροπή αδράνειας της επιφάνειας που βρίσκεται πρώραθεν της θέσης, ως προς εγκάρσιο άξονα διερχόμενο από τη θέση. Τέλος αν η θέση βρίσκεται πρύμνηθεν της θέσης εφαρμογής της δύναμης P, η δύναμη προκαλεί ροπή ίση με P (P ) Αθροίζοντας προκύπτει ότι η συνολική μεταβολή της καμπτικής ροπής στη θέση ισούται με: X M XF P F X X M() I XF ( F)M XF P P (p ) A I (0.17) 31 Αυγούστου 010 σελ. 0

M Σχήμα 10: Υπολογισμός πρόσθετης καμπτικής ροπής Οι σχέσεις (0.15), (0.17) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό των μεταβολών κατά μήκος του πλοίου, αλλά και για τον προσδιορισμό της μεταβολής της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής σε κάποιο σημείο όταν η δύναμη βρίσκεται σε σε κάποιο τυχόν σημείο (γραμμές επιρροής). παράδειγμα Στη φορτηγίδα του προηγούμενου παραδείγματος, προστίθεται σημειακό βάρος 40tons στο σταθμό 3. Να υπολογιστεί η μεταβολή των διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών. Να προσδιοριστούν επίσης οι γραμμές επιρροής οι σχετικές με τη διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή που αναπτύσσονται στο σταθμό 3 για φορτίο 40tons. p Οι σχέσεις που δίνουν διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή κατά μήκος του πλοίου όταν προστίθεται η δύναμη στο σταθμό 3, είναι οι AXF 35ft F Q() MXF P P ή 4 1800ft 130000ft Q() 1 1 F AXF MXF 1 40tons 1800ft 19,5ft και 31 Αυγούστου 010 σελ. 1

X M XF P F X X M() I XF ( F)M XF P P (p ) A I M() 1 X 1 X X M XF I XF ( F)M XF p P 1800ft 19,5ft Οι αναγκαίοι υπολογισμοί άπο την εφαρμογή των σχέσεων αυτών παρουσιάζονται στον πίνακα 5, και τα αποτελέσματα στα σχήματα της σελίδας -8. 31 Αυγούστου 010 σελ.

ΠΙΝΑΚΑΣ 5: Υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών σε κυματισμό επιφάνεια ροπή επιφανείας ροπή αδρανείας διατμητική δύναμη καμπτική ροπή πλάτος ΔA i A i ΔM M y M ΔI I dq a Q dm b M st. ft ft ft 3 ft ft 3 ft 4 προς εφρμοζόμενη δύναμη προς εφρμοζόμενη δύναμη [ft] 0 0 0 0 0,00 0 0 0,00 0 0,00 0,00 0,00 0,00 1 10 5 5 4 4 1,67 1167 104 104 0,05 0 0,05-0,08 0,00-0,08 0 75 100 167 333 3,33 4333 51 1667 0,18 0 0,18-0,61 0,00-0,61 3 0 100 00 50 1083 5,4 8083 833 8333 0,34 1-0,66-1,9 0,00-1,9 4 0 100 300 50 333 7,78 11333 833 5000 0,49 1-0,51-4,00 5,00 1,00 5 0 100 400 50 4083 10,1 14083 833 56667 0,6 1-0,38-6,79 10,00 3,1 6 0 100 500 50 6333 1,67 16333 833 108333 0,74 1-0,6-10,1 15,00 4,79 7 0 100 600 50 9083 15,14 18083 833 185000 0,85 1-0,15-14,19 0,00 5,81 8 0 100 700 50 1333 17,6 19333 833 91667 0,94 1-0,06-18,66 5,00 6,34 9 0 100 800 50 16083 0,10 0083 833 433333 1,0 1 0,0-3,55 30,00 6,45 10 0 100 900 50 0333,59 0333 833 615000 1,08 1 0,08-8,80 35,00 6,0 11 0 100 1000 50 5083 5,08 0083 833 841667 1,13 1 0,13-34,3 40,00 5,68 1 0 100 1100 50 30333 7,58 19333 833 1118333 1,16 1 0,16-40,04 45,00 4,96 13 0 100 100 50 36083 30,07 18083 833 1450000 1,18 1 0,18-45,91 50,00 4,09 14 0 100 1300 50 4333 3,56 16333 833 1841667 1,19 1 0,19-51,83 55,00 3,17 15 0 100 1400 50 49083 35,06 14083 833 98333 1,18 1 0,18-57,75 60,00,5 16 0 100 1500 50 56333 37,56 11333 833 85000 1,16 1 0,16-63,59 65,00 1,41 17 0 100 1600 50 64083 40,05 8083 833 346667 1,1 1 0,1-69,9 70,00 0,71 18 0 100 1700 50 7333 4,55 4333 833 4108333 1,07 1 0,07-74,76 75,00 0,4 19 10 75 1775 08 8104 45,66 1167 79 4874896 1,0 1 0,0-79,97 80,00 0,03 0 0 5 1800 83 90000 50,00 0 313 5730000 1,00 1 0,00-85,00 85,00 0,00 ΔQ i+1, ΔM i+1 είναι η μεταβολή της διατμητικής δύναμης/ροπής κατα μήκος του διαστήματος i+1 Q i, M i είναι η διατμητική δύναμη/ροπή στο σταθμό i ο δείκτης i αναφέρεται στη στήλη (b) και οι στήλες (d), (f) και (h) αναφέρονται στα μεγέθη του σταθμού (b) 31 Αυγούστου 010 σελ. 3

ΚΑΜΠΤΙΚΗ ΡΟΠΗ ΠΡΟΣ ΕΦΑΡΜΟΖΟΜΕΝΟ ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ [ft] ΔΙΑΤ. ΔΥΝΑΜΗ ΠΡΟΣ ΕΦΑΡΜΟΖΟΜΕΝΟ ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ 0.50 0.5 0 16 1 8 4 0 0.00-0.5-0.50 ΣΤΑΘΜΟΣ (FE:0, AE:0) -0.75 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΜΠΤΙΚΗΣ ΡΟΠΗΣ 0 16 1 8 4 7 6 5 4 3 1 0 0-1 - ΣΤΑΘΜΟΣ (FE:0, AE:0) Από τη σχέση (0.16) προκύπτει η γραμμή επιρροής η σχετική με τη διατμητική δύναμη: 00ft p F 3 Q() 8080ft p P ή 4 1800ft 130000ft Q() 40tons 1 0.111 0.00657 p F ft 1 Η γραμμή επιρροής η σχετική με την καμπτική ροπή προκύπτει από τη σχέση (0.17): 31 Αυγούστου 010 σελ. 4

M() 3 1083ft P F 4 3 8333ft 35ft 1083ft P 4 1800ft 130000ft P ( 15ft) ή p F M() 40tons 0.60ft 0.03759 15ft P F p F Οι πιο πάνω σχέσεις συνοψίζονται στις 0.111 0.00657 50 35 Q() 40tons 0.889 0.00657 35 50 και 0.60 0.03759 50 35 Μ() 40tons 35.60 0.9641 35 50 όπου P F. Σχηματικά οι γραμμές επιρροής παρουσιάζονται στα σχήματα που ακολουθούν. παράδειγμα Δίνεται πλοίο μήκους 13 m, με την κατάσταση φόρτωσης του σχήματος (το πλοίο είναι χωρισμένο με πέντε εγκάρσιες φρακτές σε έξι διαμερίσματα μήκους 3 m το πρώτο και 0 m τα υπόλοιπα. Δίνονται επίσης ότι i) η καμπύλη άντωσης στην κατάσταση φόρτωσης που δίνεται είναι ου βαθμού, ii) η καμπύλη Bonjean της μέσης τομής δίνεται από τη σχέση το A[m ] 5,367 T 3/ [m], όπου A η επιφάνεια σε m και T to βύθισμα σε m, και iii) το βύθισμα της μέσης τομής είναι 5 m. 31 Αυγούστου 010 σελ. 5

190 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes 780 tonnes A E 130 tonnes F E 1. Να δειχθεί οτι η καμπύλη φόρτισης του πλοίου σε tonnes/m είναι η 0, 0051 0,5 19, 0 3m 0, 0051 0,5 1, 8 3m 13m όπου η απόσταση από το πρυμναίο άκρο σε m.. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των διατμητικών δυνάμεων. 3. Να προσδιοριστεί και σχεδιαστεί το διάγραμμα των καμπτικών ροπών. 4. Να υπολογιστεί η θέση και η τιμή των μέγιστων τιμών της διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής. ερώτημα 1 υπολογισμός καμπύλης βάρους: 130 t 190 t t w() 70 0 3 m 13 m 3 m m 130 t 780 t t w() 49 3 m 13 m 13 m 0 m m υπολογισμός καμπύλης άντωσης: Βάρος ανα Βάρος W CG W WCG W μον. μήκους σε tonnes σε m 10 1.30 66 87.10 60 1.90 16 30.70 39 780 4 3.760 39 780 6 48.360 31 Αυγούστου 010 σελ. 6

39 780 8 63.960 39 780 10 79.560 39 780 1 95.160 7.140 437.640 Δ=7.140 tonnes και CG=437.640/7.140 m = 61,9 m b() a b c b()d a b c d b()d a b c d CG 3/ a b c 5, 367 T 4 Αν η αρχή των αξόνων τεθεί στο AE 3 13 13 a b c 13 3 7.140 4 3 13 13 13 a b c 4 3 7.140 61, 9 3 / a 66 b 66 c 5,367.5 1,05 Αν η αρχή των αξόνων τεθεί στο μέσο νομέα 3 66 a c 13 7.140 a 0, 0051 tonnes / m 3 3 66 b 7.140 4, 71 b 0,175 tonnes / m 3 3 / c 5,367.5 1, 05 c 61,51 tonnes / m και με την αρχή των αξόνων στο AE ισχύει ότι b() 0,0051 0,5 51,8 0 13m Καμπύλη φόρτισης p() w() b() 31 Αυγούστου 010 σελ. 7

p() p() 0,0051 0,0051 0,5 19, 0,5 1,8 0 3m 3m 13m παρατηρήσεις: α) λόγω αριθμητικών προσεγγίσεων μπορεί οι συντελεστές να διαφοροποιούνται, β) στην εκφώνηση εδόθη ως φόρτιση η p() w() b() - αυτό δεν επηρεάζει ούτε τη λύση, ούτε τα αποτελέσματα ερώτημα : υπολογισμός διατμητικών δυνάμεων 0 3m Q() Q(0) 0, 0051 0,5 19, d 0 3 0, 0017 0, 5 19, Q(3m) 414,11 tonnes 3m 13m Q() Q(3) 0, 0051 0,5 1, 8 d 3 3 3 Q(3) 0, 0017 3 0, 5 3 1, 8 3 3 0,0017 0,5 1,8 67 Q(1 3m) 11, 65 tonnes ερώτημα 3: υπολογισμός καμπτικών ροπών 0 3m 3 M() M(0) 0, 0017 0, 5 19, d 0 4 3 0, 00045 0, 0833 9, 6 M(3m) 7.546 tonnes m 3m 13m 3 M() M(3) 0, 0017 0, 5 1, 8 67 d 16 4 4 3 3 M(3) 0, 00045 3 0, 0833 3 0, 9 3 67 3 M(13m) 89, tonnes διορθώσεις κατανομών διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών Q(13m) 11, 65 tonnes 3% 414,11 tonnes M(13m) 89, tonnes 6% 7.546 tonnes 31 Αυγούστου 010 σελ. 8

Αρα η διατμητική δύναμη και καμπτική ροπή, που προκύπτουν στο πρωραίο άκρο είναι μικρότερες του 3% και 6% της κατ απόλυτο τιμή μέγιστης διατμητικής δύναμης και καμπτικής ροπής αντίστοιχα, και η διορθωμένες καμπύλες ισούνται με: Q() 0,0017 Q() 0,0017 3 3 0,5 0,5 19, 11,65 13 1,8 67 11,65 13 0 3m 3m 13m 4 3 M() 0,00045 0,0833 9,6 89, 0 3m 13 4 4 3 3 M() 7.546 0, 00045 3 0, 0833 3 0, 9 3 67 3 0 89, 3m 13m 13 ερώτημα 4: υπολογισμός ακροτάτων τιμών Η διατμητική δύναμη παρουσιάζει ακρότατο στις τιμές που μηδενίζεται η φόρτιση δηλαδή στα 3 m και στα 101,5 m (η τιμή αυτή προκύπτει από την εξίσωση μηδενισμού της φόρτισης) από το AE. Η μέγιστη τιμή κατ απόλυτο τιμή παρουσιάζεται στα 3 m και ισούται με 414 tonnes. Ισχύει ότι Q(60)=-3 tonnes και Q(70)=94,3 tonnes. Αρα για Q(6,53)=0 και η μέγιστη απόλυτη τιμή της καμπτικής ροπής εμφανίζευαι στη θέση αυτή και ισούται με 13.869 tonnes-m. 31 Αυγούστου 010 σελ. 9

διατμητική δύναμη σε tonnes καμπτική ροπή σε tonnesm ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΔ ΚΑΙ ΚΡ 400 300 00 100 0-100 -00-300 -400-500.000 0 -.000-4.000-6.000 0 1 4 36 48 60 7 84 96 108 10 13-8.000-10.000-1.000-14.000-16.000 απόσταση από AE διατμητική δύμανη καμπτική ροπή Εκτίμηση ροπής σχεδίασης σε ήρεμο νερό Η απαιτούμενη ροπή καμπτική ροπή σε ήρεμο νερό μπορεί να υπολογιστεί στη φάση της σχεδίασης του πλοίου, εφόσον είναι γνωστη η κατανομή του βάρους άφορτο πλοίο και DWT καθώς επίσης και η μορφή της γάστρας. Επειδή όμως η ροπή σχεδίασης απαιτείται κατά τους υπολογισμούς πριν μπορεί να εκτιμηθεί η κατανομή βαρών, χρησιμοποιούνται σχέσεις για τον υπολογισμό της ελάχιστης απαιτούμένης ροπής σε ήρεμο νερό. Οι σχέσεις διακρίνουν τη ροπή που προξενεί θλίψη στο κατάστρωμα και θλίψη στον πυθμένα. Για την περίπτωση πλοίων bulk carriers μήκους μεγαλύτερου των 90 m, η ροπή σχεδίασης σε ήρεμο νερό σε kn m που θλίβει τον πυθμένα πρέπει να ληφθεί κατ ελάχιστον ίση με: 3 M swmin seamid hog 175 cb 0, 7 190 CW B 10 και η ροπή που προξενεί θλίψη στον πυθμένα: 3 Msw minsea midsag 65 CW B cb 0, 7 10 31 Αυγούστου 010 σελ. 30

όπου το μήκος υπολογισμών σε m και B το πλάτος του πλοίου σε m, c b ο συντελεστής γάστρας και C W ο συντελεστής κύματος 1, που δίνεται για πολοία από 90 έως 500 m από τη σχέση 1,5 300 CW 10, 75 100 90 m 300 m C 10,75 300 m 350 m W 1,5 350 CW 10, 75 150 350 m 500 m 1 wave-coefficient 31 Αυγούστου 010 σελ. 31